2.2.1 Límites y continuidad

Transcripción

1 . Listas de ejercicios de Cálculo Diferencial. Listas de ejercicios de Cálculo Diferencial.. Límites y continuidad 3. Hallar el dominio de las funciones reales de variable real dadas por: a) f () = b) f () = c) f 3 () = d) f 4 () = ln e) f 5 () = ln f) f 6 () = ln( ) g) f () + f () h) f 3 () f () i) f () + f 3 () j) f 7 () = k) f 8 () = ln(sen ) l) f 9 () = m) f 3 () f 3 () n) f 9 () f 7 () o) p) f 6 () f () + f () f 6 () f 4 ()+f 5 () f 8 () q) (f 5 f 8 )() r) (f f 4 f )() 4. Calcular los siguientes límites: e) lím (+) g) lím j) lím f) lím sen + 3 h) lím( ) i) lím 0 + ( + ) 0 4 ( + k) lím 0 l) lím + 5. Usar límites laterales para verificar la eistencia o no de los siguientes límites: ( ) ( ) Probar, razonadamente, que los siguientes límites valen 0: ( ) e + sen 0 a a a 7. Demostrar que lím a f() = L lím a f() L = 0. Usar este resultado para probar que lím a a a = 0 8. Usar la continuidad de las funciones, para hallar: 0 ( ) ln 3 + ( ) tg(ln(cos(e 0 ))) + + cos ( arctg( 0 )) 9. Encontrar infinitésimos e infinitos equivalentes a: a) sen, cuando + b) + + 4, cuando c) cos(( ) ), cuando d) ln( ), cuando e), cuando 0 f) cos(), cuando g) ln( ), cuando h) e 5, cuando 0 i) sen(), cuando j) tg( 6 ), cuando 0 0. Calcular, si eiste, el valor de: ln(cos ) sen +e 0 0 arctg 3 7 tg( sen( ) 3 5 ) (cos() ) ) I.T.I. en Electricidad 5

2 . Listas de ejercicios de Cálculo Diferencial. a) Si f y g son ifinitésimos cuando a y lím son infinitésimos equivalentes cuando a. f() a g() = L 0, probar que f() y L g() b) Si β es una raíz de multiplicidad m del polinomio P () = a n n + +a +a 0, probar que P () y k( β) m son infinitésimos equivalentes cuando β, para algún valor k 0.. Usar el resultado lím a f() = lím h 0 f(a + h) para calcular ln( ) Calcular, si eiste, el valor de: 3 sen(+) cos( ) cos ( ( ( ) 3 ) 3 ) ( + cos ) 3 sec 4. Considerar las funciones reales de variable real dadas por f() = 3 y g() = 3. Estudiar la continuidad de f y g en sus dominios de definición (indíquese también la continuidad lateral, si ha lugar). 5. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en su dominio: a) f() = c) f() = sen, si 0, si = 0 b) f() = +, si 3 4, si = d) f() = 4, si (+) 0, si =, si > 3, si a +, si < 3 6. Para que valores de las constantes a y b, f() = a + b, si = 3 b, si > 3 7. Sean las funciones f, g, h: IR IR, definidas a trozos mediante: f() =, si 0, si > 0 ; g() =, si, si < < 0 3, si 0 + ; h() = es continua en IR? 3 +, si , si + > a) Estudiar la continuidad de cada una de ellas (indíquese también la continuidad lateral). b) Hallar las epresiones de f, g, f +g y f h, como funciones definidas a trozos. c) Estudiar la continuidad de las funciones anteriores. Qué ocurre en los casos donde no puede aplicarse la regla general? d) Realizar lo pedido en los apartados b) y c) para la función g f. 8. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones según los valores del parámetro a: a, si a a) f a () = (a ), si > a a + b) f a () = a, a + a, a + si < a, si = a si > a 9. Estudiar si las funciones del ejercicio 5 están acotadas superior e inferiormente. I.T.I. en Electricidad 6

3 . Listas de ejercicios de Cálculo Diferencial.. Derivación 30. Aplicar las reglas de derivación, para encontrar la epresión de f en: a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = ln e) f() = ln(sen ) f) f() = (ln( )) g) f() = arctg + h) f() = ln(arccos(tg( ))) i) f() = ( ) Encontar la epresión de las funciones derivadas, indicando el conjunto donde tienen validez: a) f() = b) f() = + c) f() = 4 5 () 3 d) f() = e) f() = ln f) f() = 3. Hallar la recta tangente a las gráficas de las funciones siguientes en los puntos que se indican: a) f() = 3, en = 0 y en =. b) f() = e, en = y en = 0. c) f() =, en = y en = Probar que la parábola y = ( + ) + tiene recta tangente en todos sus puntos. En qué puntos la recta tangente pasa por (0, 0)? 34. Usar la regla de L Hôpital, para calcular (+) ln(cos ) sen e) lím f) lím +e arctg g) lím ln( ) h) lím j) lím e cos i) lím ( + )( arctg()) k) lím α ln α IR l) lím 6 0 ) m) lím ( ln ln α n) lím 0 sen o) lím + ( + ) α IR 35. Estudiar la derivabilidad y obtener las derivadas, de las funciones del ejercicio arctg +4, si 0 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f() = 4, e indicar, si = 0 sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. 37. Para las funciones f, g y h del ejercicio 7: a) Estudiar su derivabilidad en los puntos del dominio. b) Dar la epresión de las funciones derivadas. c) Obtener los intervalos de monotonía. d) Estudiar la eistencia de etremos locales. e) Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones f, g y h. 38. Hallar los etremos locales y globales de f() = + en [, 3] y en [0, + ). 39. Estudiar la monotonía de f() = sen en [0, ] y deducir de ello que sen en [0, ]. I.T.I. en Electricidad 7

4 . Listas de ejercicios de Cálculo Diferencial 40. Probar que: a) Si f es una función estrictamente creciente, entonces f g alcanza un máimo/mínimo en a h alcanza un máimo/mínimo en a b) Si f es una función estrictamente decreciente, entonces f g alcanza un máimo/mínimo en a g alcanza un mínimo/máimo en a 4. Usar los resultados del ejercicio 40, para encontrar los etremos locales de las funciones a) f() = e +3 b) f() = ( 5) + 4. Si f es par y alcanza un etremo en = a, alcanzará también un etremo en = a? Que ocurrirá si f es impar? Y si es periódica de periodo T? 43. Problema: Con una cuerda atamos una vaca al eterior de un edificio de planta cuadrada situado en el centro de un prado. Si la longitud de la cuerda es la misma que el lado del edificio, en qué punto debemos atar la vaca para que tenga la mayor área posible de pasto? y la menor? Modelado del problema: Representamos el edificio por un cuadrado de lado L, por ejemplo él de vértices (0, 0), (L, 0), (L, L) y (0, L). Como el edificio es cuadrado, ocurre lo mismo en cada lado, por lo que basta estudiar uno de los lados, por ejemplo el lado inferior (el segmento (, 0) : [0, L]}). Luego, para cada [0, L], debemos encontrar un función f que asigne a cada el área buscado, es decir, tal que f() = área-abarcado-atando-en-. La solución del problema se obtiene encontrando los puntos donde de alcancen el máimo y el mínimo global de f en el intervalo [0, L]. a) Resolver el problema planteado. b) Repetir el problema para una cuerda de longitud la mitad del perímetro del edificio. 44. Descomponer 00 en dos sumandos tales que el cuádruplo del primero más el cuadrado del segundo sea mínimo. 45. Hallar dos números cuya suma sea a, de modo que la suma de la cuarta potencia de uno, más el cuadrado del otro, sea máima. 46. Entre todos los rectángulos de área 50, cuál es el de perímetro mínimo? y máimo? 47. Sean los triángulos rectángulos que tienen la suma de los catetos constante (e igual a k). Cuál de ellos tiene área máima? 48. Dado un triángulo isósceles de base 8 cm y altura 5 cm, hallar las dimensiones de un rectángulo inscrito en él de área máima. 49. Un prisma de 5 cm de altura tiene como base un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a 0 cm. Calcular las longitudes de los catetos para que el volumen sea máimo. 50. De entre todos los cilindros con volumen 00 cm 3, escoger el de área lateral máima. Cuál es el de área total máima? 5. Hallar las distancias mínima y máima del punto (, ) a la circunferencia ( ) +(y ) = Hallar, las dimensiones del cilindro de volumen máimo inscrito en una esfera de radio R 53. Hallar, las dimensiones del cilindro de área total máima inscrito en una esfera de radio R I.T.I. en Electricidad 8

5 . Listas de ejercicios de Cálculo Diferencial..3 Desarrollos de Taylor y representación de funciones 54. Escribir cada uno de los polinomios P () = y Q() = en potencias de y en potencias de Probar que β es una raíz de multiplicidad m del polinomio P () = a n n + + a + a 0 si, y sólo si P (β) = P (β) = P (β) = = P m ) (β) = 0 y P m) (β) Hallar los polinomios de Taylor de orden 4 de las funciones siguientes en los puntos indicados: a) f() = 3 en α = b) f() = cos en α = c) f() = ln en α = d) f() = e en α = e) f() = tg en α = 0 f) f() = 3 4 en α = 57. Construir la fórmula de Taylor de orden 4 de f() = 3 + en el punto y obtener una cota del error cometido al aproimar el valor 5 mediante el polinomio de Taylor de orden Construir la fórmula de MacLaurin de f() = e. Si aproimo el valor de e mediante un polinomio de MacLaurin qué orden tendrá que tener al menos, para que el error cometido sea menor que una diezmilésima (0 4 )? 59. Construir la fórmula de Taylor de f() = ln en el punto. Dar el valor aproimado de ln 3, con un error menor que una diezmilésima. 60. Considerar los polinomios de MacLaurin de orden 4 de las funciones e, sen, cos, ( ), + y ln(+). Usar las operaciones de los desarrollos limitados, para calcular los polinomios de MacLaurin de orden 4 de: a) sen + cos b) e ln( + ) c) ( ) ln( + ) d) ( ) + e e) ( ) + f) sen sen + g) e + ln( + ) h) + + cos e 6. Usar los desarrollos limitados de las funciones f y g en los puntos que se indican, para encontrar los polinomios de Taylor de la composición pedidos: a) f() = en α = 0 y g(y) = e y en β = 0, hallar el de g f en α = 0 de orden 8. b) f() = en α = y g(y) = ln( y) en β = 0, hallar el de g f en α = de orden 5. c) f() = en α = 0 y g(y) = sen y en β = 0, hallar el de g f en α = 0 de orden 7. d) f() = en α = 0 y g(y) = ( + y) en β = 0, hallar el de g f en α = 0 de orden 6. e) f() = en α = y g(y) = ln y en β =, hallar el de g f en α = de orden Hallar los 4 primeros términos (no nulos) de los polinomios de Taylor de: ( ) a) + en α = 0 b) (+) en α = c) ln Probar que si P n () es el polinomio de Taylor de orden n de f en α, entonces a) P n() es el polinomio de Taylor de orden n de f en α. b) f() f(α) y P n () f(α) son infinitésimos equivalentes cuando α. [Nota: De hecho basta con el término de menor grado de P n () f(α)] 64. Hallar polinomios que sean infinitésimos equivalentes de las funciones: en α = 0 a) cuando 0 b) sen cuando c) cuando 65. Usar los polinomios de Taylor necesarios para calcular: ( ) (+cos ) 3 sen arctg tg ( ch ) I.T.I. en Electricidad 9

6 . Listas de ejercicios de Cálculo Diferencial 66. Probar que P () = no tiene ninguna raíz real. 67. Probar que f() = 3 + es decreciente en [, 0]. 68. Sea f: [0, 9] IR continua. Si f : (0, 8) (8, 9) IR viene dada por la gráfica de abajo, Estudiar: intervalos de monotonía y concavidad, puntos críticos y de infleión de la función f (supondremos que eiste f en los puntos donde lo parece). Representar aproimadamente la gráfica de f suponiendo f() 0. Cuál es el dominio de f y qué se puede decir de ella? 69. Para las siguientes funciones, encuentra todas sus asíntotas e indica, mediante un esbozo gráfico, cómo se aproima la función a ellas. a) f() = b) f() = ( ) c) f() = ( +4) 3 d) f() = 3 3 e) f() = sen f) f() = tg 70. Encuentra todas las asíntotas de las funciones siguientes: a) f() = b) f() = 4 ln( + ) c) f() = + d) f() = sen cos 7. Estudia las simetrías y periodicidad de las funciones de los ejercicios 69 y 70 anteriores. 7. Estudiar las funciones siguientes y construir sus gráficas a) f() = ( ) ( ) b) f() = c) f() = 4 ( + ) d) f() = arctg e) f() = + f) f() = 3 g) f() = h) f() = 3+4 i) f() = j) f() = ln k) f() = ln l) f() = ln m) f() = sen(3) 3 sen n) f() = sen 3 + cos 3 o) f() = e sen() 73. Estudiar la función f() = 3 ( ) 5 () y construir su gráfica. 74. Dada la función f() = arcsen, se pide: ( +) a) Dominio y continuidad de f. b) Ver que f no es derivable en =. Hallar la derivada a la derecha y a la izquierda del punto =. c) Estudiar crecimiento y decrecimiento, etremos locales y globales de f. d) Estudiar concavidad y los puntos de infleión de f. e) Tiene asíntotas? f) Representación gráfica de f y de f. I.T.I. en Electricidad 30