Funciones de varias variables

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1 Capítulo Funciones de varias variables Problema Sea f : IR 2 IR definida por: 2 y 2 f, y) = e +y 2 > y, y. i) Estudiar la continuidad de f en IR 2. ii) Definimos g : IR IR como g) = f, ). Analizar la derivabilidad de g en IR y, en su caso, calcular g. i) f es continua en IR 2 {, y) IR 2 : = y} por ser composición de funciones elementales. Falta eaminar que ocurre en puntos de la recta = y, es decir, a, a), a IR. Para el cálculo de f, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función está definida a trozos. > y 2 y 2 e +y = 2 = 2a. y > y + y) y) e +y = 2a Por tanto, el ite eiste y vale 2a = fa, a), es decir, f es continua en estos puntos. ii) La función g está definida como 2 g) = f, ) = e + >, 2.

2 2 Problemas Por el apartado anterior sabemos que g es continua en IR. Además g es derivable en IR { } por ser composición de funciones elementales que son derivables. Sólo falta por analizar qué ocurre con =. Procedemos mediante la definición de derivada. g) g ) =... + Para calcular este ite tenemos que calcular los ites laterales. + 2 e = = e + e + ) + ) = e + e + + ) + e + ) = e + e + + ) + 2e + = 2 2 = 2. En los cálculos anteriores se ha aplicado la regla de L Hopital. Por tanto g es derivable en =. Para finalizar calculamos g. e ) 2 g ) = e + ) 2 >, 2. Problema 2 Estudiar de la continuidad de la función f : IR 2 IR definida por: ) 2 cos + y 0, f, y) = y = 0. La función f es continua en IR 2 {, y) IR 2 : 0, y)} por ser producto, cociente, suma y composición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar los puntos de la forma 0, b) con b IR. Para ello debemos calcular el ite ya que en un entorno de estos puntos la función cambia de definición. ),y) 0,b) 2 cos + y = [0 acotada ] = b = f0, b). Por tanto, f también es continua en los puntos 0, b).

3 Varias variables 3 Problema 3 Estudiar de la continuidad de la función f : IR 2 IR definida por: y 2 sin f, y) = y ) + y 0, y = 0. La función f es continua en IR 2 {, y) IR 2 :, 0)} por ser producto, cociente, suma y composición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar los puntos de la forma a, 0) con a IR. Para ello debemos calcular el ite ya que en un entorno de estos puntos la función cambia de definición.,y) a,0) y2 sin y Por tanto, f también es continua en los puntos a, 0). ) + = [0 acotada ] = a = fa, 0). Problema 4 Sea f : IR 2 IR definida por: + ey ) 2 + y 2 ) 2 + y 2 y 0, y f, y) = + y 2 ) / y = 0 e y 0, + 2 ) / y = 0 y 0,, y) = 0, 0). i) Estudiar la continuidad de f en IR 2.. ii) Definimos g : IR IR como g) = f 2, 2 )) Analizar la derivabilidad de g y, en su caso, calcular la ecuación de la recta tangente a g en el punto = 0. i) f es continua en IR 2 {, y) IR 2 : y = 0} por ser composición de funciones elementales. Falta eaminar qué ocurre en puntos de las rectas = 0, es decir, 0, a), a IR e y = 0, es decir, b, 0), b IR; y el ite en el punto 0, 0). Para el cálculo de f, y), a 0 tenemos que distinguir dos regiones, ya que la,y) 0,a) función está definida a trozos. + ey ) 2 + y 2 ) 2 + y 2 = + a 2 ) / a,y) 0,a) y 0,y) 0,a) =0 + y 2 ) / y = + a 2 ) / a

4 4 Problemas Para utilizamos el infinitésimo el e y,y) 0,a) y = y, en ambos ites, que a 0. 0 Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma 0, a), a 0. Calculamos ahora f, y), b 0 :,y) b,0) + ey ) 2 + y 2 ) 2 + y 2 = + b 2 ) / b,y) b,0) y y 0,y) b,0) y=0 + 2 ) / = + b 2 ) / b Luego la función también es continua en estos puntos. Finalmente analizamos la continuidad de la función en el origen de coordenadas: + ey y e e =0 y=0 e y 2 + y 2 y ) 2 + y 2 ) 2 + y 2 = [ ] = ) 2 + y 2 ) = e y 2 + y y 2 = [ infinitésimo ] = e 0 = + y 2 ) / y = [ ] = e + 2 ) / = [ ] = e Así pues la función es continua en todo IR 2. ii) La función g está definida como g) = =0 y=0 f ), ) = 2 2 y 2 y = e 2 = e ) 2e 2 /2 =0 y=0 0, = 0. y y y = e 0 = = e 0 = Puesto que f es continua en IR 2, su restricción g es continua en IR. Además, g es derivable en IR {0} por ser composición de funciones elementales que son derivables. Sólo falta por analizar qué ocurre con = 0. Procedemos mediante la definición de derivada. g) g0) 2e 2 /2 2 e 2 /2 = = = 0. /2

5 Varias variables 5 Por tanto g es derivable en = 0 y g 0) = 0. La ecuación de la recta tangente en = 0 es y g0) = g 0) 0) = y =. Problema 5 Estudiar la continuidad de f : IR 2 IR definida por: 2 y 2 e +y > y, f, y) = 2 = y, sin 2 y 2 ) + y < y. i) f es continua en IR 2 {, y) IR 2 : + y = 0} por ser composición de funciones elementales. Falta eaminar qué ocurre en puntos de las rectas: + y = 0, es decir, a, a), a IR. Para el cálculo de f, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función está definida a trozos. > y 2 y 2 e +y = sin 2 y 2 ) + y < y > y + y e +y y) = 2a = 2 y 2 < y + y = < y Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma a, a). y) = 2a Problema 6 Estudiar de la continuidad de la función f : IR 2 IR definida por: siny), y) 0, 0), f, y) = 2 + y 2 0, y) = 0, 0). La función f es continua en IR 2 {0, 0)} por ser producto, composición y cociente de elementales y no anularse el denominador. Para estudiar la continuidad en el 0, 0), debemos estudiar el ite de la función. siny) 2 + y 2 = 2 y = [0 acotada ] = y2

6 6 Problemas Por tanto, f, y) = 0 = f0, 0) y f es continua en este punto. Problema 7 Sea f : IR 2 IR definida por: e +y y, f, y) = + y y =. Estudiar la continuidad de f en IR 2. La función es continua en IR 2 {, y) IR 2 :, )} por ser cociente de elementales y no anularse el denominador. Estudiamos que ocurre en los puntos de la forma a, a), a IR. e +y = [ infinitésimos equivalente] = = fa, a). + y Por tanto, f es continua en estos puntos. Problema 8 Estudiar la continuidad de la función f : IR 2 IR definida por: siny) > 0, f, y) = 0 = 0, 2 y < 0. i) f es continua en IR 2 {, y) IR 2 : = 0} por ser composición de funciones elementales y no anularse el denominador. Falta eaminar qué ocurre en puntos de la recta: = 0, es decir, 0, b), b IR. Para el cálculo de está definida a trozos. f, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función,y) 0,b) siny),y) 0,b) >0 y =,y) 0,b) = b >0 2 y b =,y) 0,b) 0 = <0 Si b = 0, el ite es 0 0 que es indeterminado, es el caso que nos falta por analizar.

7 Varias variables 7 ite Por tanto, la función no es continua en los puntos de la forma 0, b), b 0. Para calcular el 2 y tenemos que calcular los ites direccionales: y = m. <0 2 m 0 <0 = 0 m = m. <0 Como los ites direccionales dependen de la dirección, f no es continua en 0, 0). 2 y <0 no eiste. Por tanto, Problema 9 i) Estudiar la continuidad de la función f : IR 2 IR definida por: e 2 y 2 f, y) = + y 2 y, = y. ii) Sea g) = e 2. Hallar el desarrollo de Taylor de orden cuatro de la función g) en el punto = 0. i) La función es continua en IR 2 {, y) IR 2 :, )} por se cociente de elementales y no anularse el denominador. A continuación estudiamos que pasa con los puntos de la forma a, a), a IR. e 2 y 2 2 y 2 = + y + y = y) = 2a = fa, 0). Por tanto f es continua en a, a), a IR. ii) Para calcular el desarrollo de Taylor de 4 orden de la función g) en el punto = 0 podemos proceder de dos formas. La primera de ellas consiste en calcular las derivadas directamente y construir el polinomio: g) = g0) + g 0) + g 0) g ) giv) ) g ) = 2e 2, g ) = e ), g ) = e ),

8 8 Problemas Problema 0 Sea f : IR 2 IR definida por: sen) seny) e y y 0, sen) 0, y = 0, f, y) = seny) = 0, y 0, y = y = 0. i) Estudiar la continuidad de f en IR 2. ) ii) Sea g) = e 2 f, ). Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 de g en un entorno del punto = 0. i) f es continua en IR 2 {, y) IR 2 : y = 0} por ser composición y producto de funciones elementales y no anularse el denominador. Falta eaminar qué ocurre en puntos de las rectas 0, y = 0, es decir, a, 0), a 0 y = 0, y 0, es decir, 0, b), b 0 y en el punto 0, 0). a, 0), a 0. sen) seny),y) a,0) e y sen)y = = sena) = fa, 0).,y) a,0) y a Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma a, 0), a 0. 0, b), b 0. sen) seny),y) 0,b) e y seny) = = senb) = f0, b).,y) 0,b) y b Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma 0, b), b 0. Calculamos ahora el ite en el 0, 0). sen) seny) e y = = f0, 0) La función es continua en 0, 0). ) ii) Calculamos g) = e 2 f, ) = sen 2 ). El polinomio de Taylor de orden 4 de g en un entorno del punto = 0 es: P 4,0 g)) = g0) + g 0) + g 0) 2! 2 + g 0) 3! 3 + giv) 0) 4. 4!

9 Varias variables 9 Calculamos en primer lugar las derivadas y las evaluamos en = 0. g) = sen 2 ) g0) = 0 g ) = 2 sen) cos) g 0) = 0 g ) = 2cos 2 ) sen 2 )) g 0) = 2 g ) = 2 2 cos) sen) 2 sen) cos)) = 8 sen) cos) g 0) = 0 g iv) ) = 8cos 2 ) sen 2 )) g iv) 0) = 8 Por tanto, P 4,0 g)) = Problema Sea f : IR 2 IR definida por: senhy) 0, f, y) = y = 0. i) Estudiar la continuidad de f en IR 2. ii) Sea g) = f, ). Demostrar que g es C IR) y hallar el polinomio de Taylor de orden de g en un entorno del punto = 0. Indicación: Si k) = 0 entonces senhk)) es un infinitésimo equivalente a k), IR n.) a i) f es continua en IR 2 {, y) IR 2 : = 0} por ser cociente de funciones elementales y no anularse el denominador. Falta eaminar qué ocurre en puntos de la recta: = 0, es decir, puntos de la forma 0, b). senhy),y) 0,b) 0 y = = b = f0, b),y) 0,b) 0 Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma 0, b). ii) Calculamos g) = f, ). senh 2 ) g) =, 0 0, = 0. Para demostrar que g C IR) tenemos que probar que g es continua y derivable con continuidad en IR.

10 0 Problemas La función g es continua en IR por ser la restricción de una función continua. Por otro lado, para cualquier punto 0 tenemos que g ) = 2 cosh 2 ) senh2 ) 2, que es continua por ser composición de funciones elementales y no anularse el denominador. Para calcular la derivada en = 0 aplicamos la definición. g g) g0) senh 2 ) 0) = = =. Por tanto, g es derivable en = 0 y g 0) =. Además, Por tanto g C IR). 0 g ) = 0 2 cosh 2 ) senh2 ) 2 = 2 = = g 0). El polinomio de Taylor de orden de g en un entorno del punto = 0 es: P,0 g)) = g0) + g 0) =. Problema 2 Sea f : IR 2 IR la función definida por y 3 )e y ) f, y) = 2 y 2 si 2 y si 2 y 2 = 0. i) Estudiar la continuidad de f en IR 2. ii) Sea g : IR IR definida como g) = f, ). Estudiar la derivabilidad de g en IR y en su caso calcular la función g. ) La función f es continua en IR 2 {, y) IR 2 : 2 y 2 0} por ser composición de funciones elementales que son continuas. Debemos estudiar sólo la continuidad en los puntos de las rectas y = 0 y + y = 0, ya que entorno de estos puntos la función cambia de definición. y = 0, los puntos son de la forma a, a), a IR.,y) a,a) y 3 2 y 2 e y ) =,y) a,a) a 3 a = a2 = fa, a) si a 0 2a 2 indeterminado si a = 0 y 3 e y = + y y

11 Varias variables Para resolver la indeterminación debemos calcular el ite mediante los ites por rectas: m 3 3 y = m = 0 + m = m m = + m. Como este último ite depende de las rectas, la función no es continua en el 0, 0), pero sí lo es en los puntos de la forma a, a), a 0. + y = 0, los puntos son de la forma a, a), a IR. Podemos suponer a 0, ya que del apartado anterior sabemos que no será continua en este caso. a 3 a)e 2a ) 0 y 3 2 y 2 e y ) = =, y 3 e y = + y y Luego f no es continua en los puntos de la forma a, a). ii) La función g) = f, ) está dada por: )e ) g) = 2 si, 0 si =, e ) = si, + 0 si =, La función g es continua en IR { }, ya que la función f no era continua en, ). Por tanto también sabemos que g no será derivable en =. Por otro lado g es derivable en IR {, } por ser composición de funciones derivables y no anularse el denominador. Luego sólo nos falta por estudiar la derivabilidad en el punto =, que debemos efectuar mediante la definición. g g) g) ) = = e + lo que implica que g es derivable en =. Por último la función derivada es: g ) = = e + = 2, { e + +) 2 si 2 si =