Capítulo 2: Cálculo diferencial de una y varias variables

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1 Capítulo 2: Cálculo diferencial de una y varias variables (Fundamentos Matemáticos de la Biotecnología) Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia

2 Contenidos Límites y continuidad Límites laterales Límites infinitos y ĺımites en el infinito Cálculo de ĺımites Continuidad de una función Derivada de una función Definición de derivada y aplicaciones Reglas de derivación El polinomio de Taylor Crecimiento y decrecimiento de una función Máximos y mínimos de una función Representación gráfica de una función Funciones de varias variables Funciones escalares de dos variables Límites y continuidad de funciones de dos variables Las derivadas parciales Gradiente y derivada direccional Extremos de funciones de dos variables

3 Límites y continuidad Concepto de ĺımite Definición (intuitiva) de ĺımite Sean f : R R una función real y c R. Decimos que el ĺımite de f (x), cuando x tiende a c, es L, si f (x) se aproxima a L a medida que x se acerca a c. Escribiremos L = ĺım x c f (x). Pero, qué significa que x se acerca a c (en R)?

4 Límites y continuidad Límites laterales Definición de ĺımites laterales En la recta real R nos podemos aproximar a un número c por la izquierda o por la derecha. Esto conduce a la siguiente definición. Límites por la izquierda y por la derecha El ĺımite por la izquierda (derecha) de f (x), cuando x tiende a c, es L si f (x) se aproxima a L a medida que x se acerca a c por la izquierda (derecha): L = ĺım x c f (x) (respectivamente, L = ĺım x c + f (x))

5 Límites y continuidad Límites laterales Límites laterales y ĺımite Los ĺımites laterales no siempre existen. Por ejemplo: f (x) = x. Entonces ĺım x 0 x = no existe ĺım x = 0 x 0 + Los ĺımites laterales pueden existir pero no coincidir. Por ejemplo: f (x) = x x. Entonces x ĺım x 0 x = 1 ĺım x 0 + x x = 1

6 Límites y continuidad Límites infinitos y ĺımites en el infinito Límites infinitos Límite + (respectivamente, ) Se dice que f tiene ĺımite infinito (menos infinito) cuando x tiende a c, si dado cualquier número M > 0 (N < 0) se cumple que f (x) > M (f (x) < N) siempre que x se acerque suficientemente a c: (ĺım x c f (x) = ). ĺım f (x) = +. x c La recta x = c se denomina asíntota vertical de la función f.

7 Límites y continuidad Límites infinitos y ĺımites en el infinito Límites infinitos f (x) = 1 x 2 f (x) = 1 1 x

8 Límites y continuidad Límites infinitos y ĺımites en el infinito Límites en el infinito Límite en + (respectivamente, en ) Diremos que el ĺımite de f cuando x tiende a + ( ) es L si los valores de f (x) se aproximan a L tanto como queramos cuando x es suficientemente grande (pequeño): (ĺım x f (x) = L). ĺım f (x) = L x + La recta y = L se denomina asíntota horizontal de la función f.

9 Límites y continuidad Límites infinitos y ĺımites en el infinito Límites en el infinito

10 Límites y continuidad Cálculo de ĺımites Cómo calcular ĺımites? Las propiedades básicas de los ĺımites (infinitos o no) son las siguientes: 1 Límite de una suma (o diferencia): 2 Límite de un producto: 3 Límite de un cociente: ĺım [f (x) ± g(x)] = ĺım f (x) ± ĺım g(x) x c x c x c ĺım [f (x)g(x)] = ĺım f (x) ĺım g(x) x c x c x c f (x) ĺım x c g(x) = ĺım x c f (x) ĺım x c g(x), si ĺım g(x) 0 x c 4 Límite de una potencia: ĺım x c [f (x)b ] = ( ĺım x c f (x)) b

11 Límites y continuidad Cálculo de ĺımites Qué hacemos con los infinitos en los ĺımites? Si al calcular un ĺımite se obtiene: + + = +, =. c + = +, c =, para todo c R. (+ ) (+ ) = ( ) ( ) = + (+ ) ( ) = ( ) (+ ) =. Si c > 0: c (+ ) = +, Si c < 0: c (+ ) =, c + = c = 0, para todo c R. c Si c > 0: ĺım x 0 + x = +, c Si c < 0: ĺım x 0 + x =, c ( ) =. c ( ) = +. ĺım c x 0 x =. ĺım x 0 c x = +.

12 Límites y continuidad Cálculo de ĺımites Cómo calcular ĺımites? OJO! Las siguientes expresiones son indeterminaciones : 0 (± ), +, +, 0 0, ± ±, 1±, 0 0, (± ) 0. Algunas estrategias para calcular ĺımites son las siguientes: Sustitución, factorización ó simplificación, operaciones elementales... Si obtenemos 0 0 ó ± Regla de L Hôpital: ± f (x) ĺım x c g(x) = ĺım f (x) x c g (x).

13 Límites y continuidad Continuidad de una función Concepto de continuidad Continuidad en un punto Sean f : R R una función real y c R un número. Se dice que f es continua en c si se satisfacen las siguientes tres condiciones: 1 Existe f (c) (es decir, c dom(f )). 2 Existe ĺım x c f (x). 3 ĺım x c f (x) = f (c). La función f es continua si lo es en todos los puntos de su dominio. La función f es discontinua en c si no es continua en c.

14 Límites y continuidad Continuidad de una función Ejemplos de funciones continuas y discontinuas 1 Todas las funciones polinómicas son continuas. 2 Las funciones exponenciales y logarítmicas son continuas. 3 Las funciones trigonométricas son continuas. 4 La función valor absoluto f (x) = x es continua. 5 La función x si x < 1, f (x) = 2 si x = 1, 1 si x > 1, es discontinua en x = 1. 6 La función parte entera es discontinua.

15 Límites y continuidad Continuidad de una función Operaciones con funciones y continuidad Si f y g son funciones continuas en c, entonces también son continuas en c: la suma, f + g, la diferencia, f g, el producto, f g, y el cociente, f, si g(c) 0. g Si f es una función continua en c y g es una función continua en f (c), entonces la composición g f es una función continua en c.

16 Derivada de una función Cómo obtener la recta tangente a una gráfica? Dada una función y = f (x), sea P = (x 0, f (x 0 )) un punto de su gráfica. Si Q = (x, f (x)) se aproxima a P, es decir, si x tiende a x 0, entonces la recta que une Q y P se acerca a la recta tangente en P.

17 Derivada de una función Cómo obtener la recta tangente a una gráfica? La recta que pasa por los puntos ( x 0, f (x 0 ) ) y ( x, f (x) ) viene dada por f (x) f (x 0 ) = m x (x x 0 ), donde m x es la pendiente de la recta (tangente del ángulo que forma con el eje OX ). Así, si x tiende a x 0, también las pendientes m x de las rectas se aproximarán a m: m = ĺım x x0 m x = ĺım x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) = ĺım. h 0 h

18 Derivada de una función Definición de derivada y aplicaciones La derivada de una función Una función f : R R se dice derivable en un punto x 0 si existe f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) ĺım = ĺım. x x 0 x x 0 h 0 h Este ĺımite se llama la derivada de f (x) en x 0 y se representa por f (x 0 ) o df dx (x 0). Si no existe f (x 0 ) se dice que f no es derivable en x 0. La recta tangente en f (x 0 ) se escribe y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). Por ejemplo: f (x) = x es derivable en x 0 = 1. f (x) = x no es derivable en x 0 = 0.

19 Derivada de una función Definición de derivada y aplicaciones Derivada y continuidad 1 Una función continua en un punto no tiene por qué ser derivable en dicho punto. Tomemos la función f (x) = x y consideremos el punto x 0 = 0. 2 Una función derivable en un punto también es continua en dicho punto.

20 Derivada de una función Reglas de derivación Reglas básicas de derivación 1 Si f (x) = c, con c constante, entonces f (x) = 0. 2 Si F (x) = c f (x), con c constante, entonces F (x) = c f (x). 3 Si F (x) = f (x) ± g(x) entonces F (x) = f (x) ± g (x). 4 Si G(x) = f (x)g(x) entonces G (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x). 5 Si H(x) = f (x) g(x) entonces H (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) g(x) 2. 6 Regla de la cadena: (f g) (x) = f ( g(x) ) g (x).

21 Derivada de una función Reglas de derivación Derivadas de las funciones elementales f (x) f (x) f (x) f (x) x r, r R rx r 1 1 x 2 x ln x 1 x log a x 1 x log a e e x e x a x a x ln a sen x cos x cos x sen x tg x 1 + tg 2 x cotg x (1 + cotg 2 x) sec x sec x tg x cosec x cosec x cotg x arc sen x 1 1 arc cos x 1 x 2 1 x 2 arc tg x x 2 arccotg x x 2 senh x cosh x cosh x senh x

22 Derivada de una función El polinomio de Taylor El polinomio de Taylor La recta tangente y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) a y = f (x) en x 0 es una función lineal que aproxima f cerca de x 0. Existe un polinomio de grado mayor que aproxime mejor a f? El polinomio de Taylor Sea f (x) una función que es derivable, al menos, n veces, en un punto x 0. Se llama polinomio de Taylor de grado n de f a P(x) = f (x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n!

23 Derivada de una función El polinomio de Taylor El polinomio de Taylor

24 Derivada de una función Crecimiento y decrecimiento de una función Crecimiento y decrecimiento de una función Función creciente y decreciente Una función f : R R es creciente en un intervalo I si para cualesquiera x 1, x 2 I con x 1 < x 2, se tiene que f (x 1 ) f (x 2 ). Una función f : R R es decreciente en un intervalo I si para cualesquiera x 1, x 2 I tales que x 1 < x 2 se tiene que f (x 1 ) f (x 2 )

25 Derivada de una función Crecimiento y decrecimiento de una función Derivabilidad y monotonía Derivabilidad y monotonía están relacionadas. Recordemos: f (x 0 ) = ĺım x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. Si f (x 0 ) > 0 entonces f es creciente. O bien x < x 0 y f (x) < f (x 0 ) = Creciente. O bien x > x 0 y f (x) > f (x 0 ) = Creciente. Si f (x 0 ) < 0 entonces f es decreciente. O bien x < x 0 y f (x) > f (x 0 ) = Decreciente. O bien x > x 0 y f (x) < f (x 0 ) = Decreciente.

26 Derivada de una función Máximos y mínimos de una función Extremos relativos de una función Máximos relativos Sea f : R R una función real. Se dice que f tiene un máximo relativo (resp., máximo relativo estricto) en el punto x 0 si f (x 0 ) f (x) (resp., f (x 0 ) > f (x)) para los puntos x suficientemente próximos a x 0.

27 Derivada de una función Máximos y mínimos de una función Extremos relativos de una función Mínimos relativos Sea f : R R una función real. Se dice que f tiene un mínimo relativo (resp., mínimo relativo estricto) en el punto x 0 si f (x 0 ) f (x) (resp., f (x 0 ) < f (x)) para los puntos x suficientemente próximos a x 0.

28 Derivada de una función Máximos y mínimos de una función Extremos relativos y derivabilidad Derivabilidad y extremos relativos están relacionados. Ya sabemos que: f es creciente en los intervalos donde f (x) > 0. f es decreciente en los intervalos donde f (x) < 0. Qué ocurre si f (x 0 ) = 0? Pueden suceder varias cosas: 1 f (x) > 0 si x < x 0 (f es creciente antes de x 0 ) y f (x) < 0 si x > x 0 (f es decreciente después de x 0 ). Luego en x 0 hay un máximo relativo. 2 f (x) < 0 si x < x 0 (f es decreciente antes de x 0 ) y f (x) > 0 si x > x 0 (f es creciente después de x 0 ). Luego en x 0 hay un mínimo relativo. 3 f (x) tiene el mismo signo alrededor de x 0, de modo que f es siempre creciente o decreciente, por lo que en x 0 hay un punto de inflexión.

29 Derivada de una función Máximos y mínimos de una función Extremos relativos y derivada segunda Todo esto puede expresarse en términos de la derivada segunda: 1 Si f (x 0 ) < 0 entonces hay un máximo relativo en x 0. 2 Si f (x 0 ) > 0 entonces hay un mínimo relativo en x 0. 3 Si f (x 0 ) = 0 entonces podría haber un punto de inflexión, un máximo o un mínimos relativos. Ejemplo: La función f (x) = 4x x tiene un máximo relativo en x = 2 y un mínimo relativo en x = 2.

30 Representación gráfica de una función Representación gráfica de una función Para representar la gráfica de una función y = f (x) conviene: 1 Determinar el dominio de la función. 2 Determinar los cortes con los ejes y estudiar el signo de la función en cada intervalo. 3 Analizar las simetrías de la función: f ( x) = ±f (x)? 4 Determinar las asíntotas verticales y horizontales. 5 Determinar las asíntotas oblicuas: si existen los ĺımites f (x) ( ) ĺım = m y ĺım f (x) mx = n, x ± x x ± entonces la recta y = mx + n es una asíntota oblicua. 6 Estudiar el crecimiento y decrecimiento. 7 Calcular los extremos relativos: máximos y mínimos y posibles puntos de inflexión.