Funciones de una variable

Transcripción

1 Funciones de una variable Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga

2 Motivación Conceptos matemáticos Funciones Mundo real Continuidad Derivada Integral

3 Definición de función R A: Dominio R B: Imagen f : A B A x f y = f (x) B y Definición Una función f asigna exactamente un elemento y de Y a cada elemento x de X. Ejemplo f (x) = x x 4 f (2) = = 6

4 Definición de función R A: Dominio R B: Imagen f : A B A x f y = f (x) B y Definición Una función f asigna exactamente un elemento y de Y a cada elemento x de X. Ejemplo f (x) = x x 4 f (2) = = 6

5 Definición de función R A: Dominio R B: Imagen f : A B A x f y = f (x) B y Definición Una función f asigna exactamente un elemento y de Y a cada elemento x de X. Ejemplo f (x) = x x 4 f (2) = = 6 x y

6 Gráfica de una función Definición La gráfica de una función es el conjunto de puntos (x, y) con y = f (x). Por ejemplo: y = f (x) = x 2 ( ) 1 f = Paramétrica: (x,y)=(cos(t),sen(t)), Impĺıcita: x 2 +y 2 =1 Expĺıcita: y = ± 1 x 2? = f (x). t (0,2π)

7 Funciones conocidas Función Definición y dominio Valores computables Polinomios f (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n Todos = n i=0 a i x i Racionales f (x) = p(x) q(x), q(x) 0 Todos Exponencial f (x) = e x f (0) = 1 Logaritmo f (x) = ln x, x 0 f (1) = 0 Seno f (x) = sen x f (0) = 0, f (π/2) = 1, Coseno f (x) = cos x f (0) = 1, f (π/2) = 0,

8 Límite de una función Motivación Dos funciones muy distintas cerca de x = 2 pero ninguna está definida en x = 2. f (x) = x 2 4 x 2 f (x) = x x 2 Definición Para que lim f (x) = L tenemos que: dado cualquier ɛ, conseguir f (x) L < ɛ buscando un δ(ɛ) y haciendo x a < δ { a = = x > k La definición también sirve si L = = f (x) > K

9 Límite de una función Motivación Dos funciones muy distintas cerca de x = 2 pero ninguna está definida en x = 2. f (x) = x 2 4 x 2 f (x) = x x 2 Definición Para que lim f (x) = L tenemos que: dado cualquier ɛ, conseguir f (x) L < ɛ buscando un δ(ɛ) y haciendo x a < δ { a = = x > k La definición también sirve si L = = f (x) > K

10 Cálculo de ĺımites Para funciones conocidas lim f (x) = f (a) si a en el dominio Límites laterales Cancelación lim x 2 x 2 4 lim x 2 x 2 x 3 + sen x e cos x ln(x + 5) + x 3 7 lim x = 0 x 0 1 x lim x 1 1 x

11 Límites: teorema de compresión Ejemplo: lim x 0 x sen 1 x Teorema Si se encuentran dos funciones g(x), h(x) tales que: g(x) f (x) h(x) lim g(x) = = lim h(x) = L entonces lim f (x) = L. Regla mnemotécnica: cero x acotado = cero

12 Límites: teorema de compresión Ejemplo: lim x 0 x sen 1 x Teorema Si se encuentran dos funciones g(x), h(x) tales que: g(x) f (x) h(x) lim g(x) = = lim h(x) = L entonces lim f (x) = L. Regla mnemotécnica: cero x acotado = cero

13 Límites: aproximación diferencial 1 Teorema f (x) lim g(x) = ( ) 0 f (x) = lim 0 g (x) También es válido para la indeterminación Otras indeterminaciones se convierten tomando el logaritmo, la exponencial, sacando factor común Ejemplos: lim x 0 ( 1 ln x x ) lim x ln x x 0 lim x 1 x 1 x 1 lim (sen x) x x 0 1 La regla de L Hôpital es un caso particular del concepto de aproximación por la derivada que veremos más adelante

14 Continuidad Definición Una función f es continua en un punto a si lim f (x) = f (a) Tienen que existir los dos lados de la igualdad: lim f (x) = L

15 Continuidad Definición Una función f es continua en un punto a si lim f (x) = f (a) Tienen que existir los dos lados de la igualdad: f (a) = L

16 Continuidad Definición Una función f es continua en un punto a si lim f (x) = f (a) Tienen que existir los dos lados de la igualdad: lim f (x) = f (a)

17 Discontinuidades De salto: lim f (x) lim f (x) + Esencial: lim f (x) no existe Ejemplo: f (x) = x + 1 Ejemplo: f (x) = x + sen 1 x 1 Infinita: lim f (x) = ± Ejemplo: f (x) = 1 x

18 Discontinuidades De salto: lim f (x) lim f (x) + Esencial: lim f (x) no existe Ejemplo: f (x) = x + 1 Infinita: lim f (x) = ± Ejemplo: f (x) = x + sen 1 x 1 Evitable: f (a) lim f (x) Ejemplo: f (x) = 1 x Ejemplo: f (x) = x2 4 x 2

19 Derivada Definición Una función f es derivable en el punto a si existe el ĺımite f f (x) f (a) f (a + h) f (a) (a) = lim = lim x a h 0 h f (b) f (a) La función es la b a pendiente de la secante en por a, b. En el ĺımite, la secante se convierte en la tangente. Si f es derivable, entonces también es continua..

20 Derivada Definición Una función f es derivable en el punto a si existe el ĺımite f f (x) f (a) f (a + h) f (a) (a) = lim = lim x a h 0 h f (b) f (a) La función es la b a pendiente de la secante en por a, b. En el ĺımite, la secante se convierte en la tangente. Si f es derivable, entonces también es continua..

21 Derivada Definición Una función f es derivable en el punto a si existe el ĺımite f f (x) f (a) f (a + h) f (a) (a) = lim = lim x a h 0 h f (b) f (a) La función es la b a pendiente de la secante en por a, b. En el ĺımite, la secante se convierte en la tangente. Si f es derivable, entonces también es continua..

22 Derivada Definición Una función f es derivable en el punto a si existe el ĺımite f f (x) f (a) f (a + h) f (a) (a) = lim = lim x a h 0 h f (b) f (a) La función es la b a pendiente de la secante en por a, b. En el ĺımite, la secante se convierte en la tangente. Si f es derivable, entonces también es continua..

23 Recta tangente y aproximación lineal La recta tangente tiene la misma pendiente de la curva y pasa por el punto (a, f (a)): y f (a) = f (a) (x a) } f (x)=e Por ejemplo: x = y = x + 1 a=0 Puede tomarse como aproximación para x a: f (x) f (a) + f (a) (x a) Por ejemplo: e En el ĺımite, la aproximación es exacta. sen x Por ejemplo: lim = 1 x 0 x

24 Reglas de derivación 2 2 Fuente:

25 Derivada de la función inversa Definición de inversa: f ( f 1 (x) ) = x Regla de la cadena: f ( f 1 (x) ) ( f 1) (x) = 1 Por ejemplo: f (x) = arctan x ( f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x))

26 Derivación impĺıcita Se puede derivar una expresión que define impĺıcitamente una función. Todas las reglas de derivación siguen siendo válidas. Por ejemplo: calcular la recta tangente de la función y = f (x) en x = 0 dada por x 5 + x y + y 5 = 32 Puede usarse para facilitar los cálculos: derivación logarítmica f (x) = x 3 sen 2 x (x + 1) (x 2) 2

27 Máximos y mínimos Teorema f (x) = 0 En un extremo local x, ocurre: o f (x) no existe f (x) =? Calcular los extremos absolutos.