Derivadas. Derivabilidad

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1 Apuntes Tema 4 Derivadas. Derivabilidad

2 4.1 Derivada de una función Llamamos tasa de variación media al cociente entre el incremento que sufre la variable dependiente y el incremento de la variable independiente. Def.: Denominamos tasa de variación media (TVM) de una función f(x) en un intervalo a, b al cociente: f (b) f (a) TVM a, b b a Gráficamente la TVM es la pendiente del segmento que une el punto A(a, f(a)) con el B(b, f(b)). Ejemplo: Dada la función f(x) = x 2 3x + 2, calcula la TVM [- 1, 2]. 39

3 La pendiente en un punto cualquiera de una gráfica la definimos como la pendiente de una recta tangente a dicha gráfica en dicho punto. Una recta tangente a una función en un punto, no corta a la función en ese punto, sino que se apoya suavemente sobre la curva y el punto de contacto es precisamente el que estamos tratando. f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) a + h a m = Δy = f(a+h) f(a) Δx a+ h a : es la pendiente de la recta secante (roja) a la función f(x) entre dos puntos de la función: P(a, f(a)) y Q(a+h, f(a+h)). Cuando h 0, esta recta secante se convierte en recta tangente (azul). Se define la pendiente de f(x) en x = a o derivada en x = a como la pendiente de la recta tangente (azul) a la función en x = a. La inclinación de la función en cualquier punto coincidirá, por tanto, con la de la recta tangente en ese punto. Ejemplos: 1. Dada f(x) = x 2 1 calcula la derivada en el punto de abscisa igual a Calcula la derivada de (1 x) 2 en x = 1. 40

4 4.1.1 Ecuación de la recta tangente y normal a una función en un punto La ecuación de la recta tangente a una función en un punto x = x0 viene dada por: La ecuación de la normal a una función en un punto x = x0, viene dada por: Ejemplos: 1. Calcula la ecuación de la tangente y de la normal a la función f(x) = Ln (x + 3) en el punto x = Determina la ecuación de la recta tangente y normal a f(x) = x + 2 en x = 2. 41

5 4.2 Derivabilidad Def.: Una función y = f(x) es derivable en un punto x = a, si cumple las siguientes condiciones: 1. La función y = f(x) tiene que ser continua en x = a. 2. Las derivadas a derecha e izquierda de la función en x = a tienen que existir y ser iguales: f (a - ) = f (a + ). Las derivadas laterales se definen de la siguiente manera: f (a f(a + h) f(a) ) = lim h 0 h f (a + f(a + h) f(a) ) = lim h 0 + h Ejemplo: La función f(x) = x 1 es un ejemplo importante de función continua, pero no derivable en x = 1 (se trata de un punto anguloso, tiene un pico). Ejemplos: 1. La función f(x) = (1 + 1 x )x es derivable en x = - 1? 2. Es derivable en x = 2 la función siguiente: f(x) = { x2 4 x 2 ln(x 1) x > 2? 42

6 Ejercicios: 1. Calcula el valor del parámetro a para que sea derivable en x = 2 la siguiente función: f(x) = { 4 x x < 2 x 2 + ax x Calcula el valor del parámetro a para que sea derivable en x = ½ la función: f(x) = { ax2 + x si x < 1/2 a si x 1/2. x 43

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8 4.2.1 Estudio de la derivabilidad en un intervalo Una función es derivable en un intervalo (a, b), cuando lo es en todos los puntos del intervalo. Las funciones polinómicas, las trigonométricas del tipo y = sen x e y = cos x, así como las exponenciales del tipo y = a x son derivables en todo su dominio. Si una función es derivable en todo su dominio, a la función que se obtiene al asignar a cada valor de x su derivada, se le llama función derivada. Ejemplos: 1. Estudia la derivabilidad de f(x) = cos x para x [0, π]. 2. Estudia la derivabilidad de la siguiente función definida en todo R como x si x 1 y x 1 f(x) = { 1 x. 0 si x = 1 ó x = 1 Ejercicios: 1. Se sabe que la función f:[0, 5] R definida por f(x) = ax + bx { 2 si 0 < x < 2 es derivable en el intervalo (0, 5). 4 + x 1 si 2 x 5 Calcula las constantes a y b. 2. Determina los valores de las constantes a y b sabiendo que la gráfica de la función f: R R definida por: f(x) = { e x si x 0 admite recta tangente en el ax + b si x > 0 punto P(0, 1)

9 4.3 Desarrollo de Taylor En muchas ocasiones, no se pueden estudiar funciones en un cierto intervalo con comodidad. En esos casos se supera la dificultad construyendo una función polinómica que aproxima a la función dada en un entorno del punto x = a. Este tipo de aproximación se realiza por medio de la fórmula de Taylor que veremos a continuación y es una más de las aplicaciones de las derivadas. Desarrollo en x = a f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) 2 + f (a) (x a) f n) 3! n! (x a)n + ε Siendo ε = fn + 1) (n + 1)! (x a)n + 1 el término épsilon el error cometido al efectuar el desarrollo. Si la función la desarrollamos en x = 0, en vez de en x = a, el desarrollo recibe el nombre de McLaurin. Ejemplo: Escribe el desarrollo de orden tres de la función f(x) = ln x en x = 1. 46

10 Ejercicios 1. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes y normal en le punto P(2, 3) de la curva 3 f(x) = (x + 1) 3 x. 2. Calcula un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x 3 x sea paralela a la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 20) 3. Averigua en qué punto de la gráfica de f(x) = x 2 2x la pendiente de la recta tangente es 4. En qué punto la recta tangente forma un ángulo de 45º con el eje OX? 4. Determina las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función f(x) = x + 2 en el punto de abscisa Considera la función f(x) = x 3 3x 2 + 2x + 2 a) Determina la ecuación de la recta tangente en x = 3 b) Existe alguna otra recta tangente a la gráfica de f(x) que sea paralela a la que se ha encontrado? En caso afirmativo determina su ecuación 3 6. Determina, si existe, la recta tangente a la función f(x) = x 1 en x = Halla el punto en que la función f(x) = sen x 2 tiene recta tangente con pendiente 2 π y escribe su ecuación. 8. Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica f(x) = Ln (3x 2) en x = 2, y calcula también, en qué punto la pendiente es perpendicular a la tangente anterior (ojo con el dominio). 9. Determina en qué punto del intervalo (0, ) la tangente de la curva f(x) = Ln (senx) es perpendicular a la bisectriz del primer cuadrante. 10. Estudia la derivabilidad de las funciones: a) f(x) = x 2 1 b) f(x) = { x2 4 si x 2 Ln (x 1) si x > 2 en x = 2 c) f(x) = x x 1 en x = Halla la función derivada de f(x) = x 3 + x. 12. Determina las derivadas laterales en x = 2 de la función f(x) = x 3 3 { x si x 2. Podemos afirmar que f es derivable en x = 2? x 2 + x + 1 si x >

11 13. Estudia la derivabilidad de la función f(x) = (1 + 1 x )x en x = Calcula los valores de a y b para que la función f sea derivable: ax 2 + b si x < 0 a) f(x) = { x a si 0 x 1. a + b si x > 1 x x Ln x si 0 < x 1 b) f(x) = { a (1 e x ) si x > 1. 3ax + b si x 0 c) f(x) = { e x (ax+b) si x > 0. d) f(x) = { ebx cos(ax) si x < 0 Ln (e + x) a si x Halla el valor de m para que la gráfica de f(x) admita recta tangente en x = 1 f(x) = { 3 mx2 si x 1 2 si x > 1. mx 16. Escribe el desarrollo de McLaurin de orden 3 de las funciones f(x) = sen x y g(x) = e x. 17. Determina el valor de k que hace que f(x) = ex horizontal. x 2 +k tenga un único punto de tangente 48

12 Ejercicios PAU 1. Determina los valores de a y b para que sea derivable la función f(x) = { eax si x 0. (Junio 2013) 2a + b sen x si 0 < x 2. Dada la función f(x) = cos 2 (3x), halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a su gráfica en el punto de abscisa x = π. (Sept 2012) 12 ì3x 2 + sen 2 x+ 2 si x 0 3. Dada la función ï (Junio 2012) 3 f (x) = í x + 2acos x si 0 < x < p ï ï 3 î x+ b - 2 si p x a) Halla los valores de a y b para que f(x) sea continua en todo R (explicar). b) Estudia la derivabilidad en R de la función con los valores de a y b obtenidos anteriormente. 4. Estudia la derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, (Sept 2011) ì ïsen2x+ 1 3 e-2 x si x 0 ïï x+1 f (x) = í + Ln(x+1) si 0 < x < 2 ï 3 ïï x 2-2x si x ³ 2 î dando expresiones de la derivada donde exista. (Sept 2011) 5. Estudia la derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, ì1+ sen 2 x si x 0 ï f (x) = í x 3 +1 si 0 < x <1 ï e x2-1 ï î si x ³1 dando expresiones de la derivada donde exista. (Junio 2011) 6. Dada la función f(x) determina los valores de a y b para que resulte derivable en toda la recta real. (Junio 2010) 49

13 ì f (x) = ebx + a 2 x si x < 0 íî b+ cosax si x ³ 0 7. Halla los valores de m para que la función sea derivable en toda la recta real ìï f (x) = m2 senx si x 0 í îï e -mx -1 si x > 0 (Sept 2010) 8. Dada la función f(x) = ax 2 + bx + c, determina los valores de a,b y c para que se cumplan las siguientes condiciones: (Sept 2010) a) que la gráfica de f pase por el punto (0, 4). b) que la recta y = - 4x + 7 sea tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1. 50

14 Ficha de repaso del tema 4 1. Dada la función f(x) = ax 2 + bx + c, determina los coeficientes a, b y c para que corte el eje de abscisas en x = 1 y en x = 3, de modo que su recta tangente en x = 1 sea paralela a la recta de ecuación x + y + 3 = 0. (Sol.: a =1/2, b = 1) 2. Calcula los valores de a para que las rectas tangentes a la gráfica de la función f(x) = ax 2 + 2x + 3 en x = 1 y en x = - 1 sean perpendiculares entre sí. (Sol.: x = ± 5 2 ) 3. Calcula los valores de a para que las rectas tangentes a las curvas y = e x e y = e - 2x en x = a sean perpendiculares (Sol.: a = Ln 2) 4. Dada la función f(x) = x 3, averigua si la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa 3 pasa por el punto P(1, 5). A continuación encuentra todas las rectas del plano que pasan por el punto (1,5) y son tangentes a la gráfica en algún punto. (Sol.: Sí ; Las rectas y = 27x 54 e y = 3x + 2) 5. Averigua para qué valor de x la recta tangente a la curva y = Ln (x 2 + 1) es paralela a la recta y = x. Escribe la ecuación de esta recta tangente. (Sol.: y = x 1 + Ln2) 6. En qué punto la recta tangente a la función f(x) = x e x es paralela al eje de abscisas? Determina la tangente en ese punto (Sol.: P(- 1, - e 1 ), y = - 1/e) 7. Estudia la derivabilidad de la siguiente función en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada en dicho punto f(x) = { ex si x 0 xe x2 si x < 0 (Sol.: f(x) = { ex si x 0 (1 2x 2 )e x2 si x < 0 ) 1 x si 0 x < 1 8. Sabiendo que f: (- 1, 1) R dada por f(x) = { 2x 2 1 es x + c si 1 < x < 0 2 derivable en el intervalo (-1, 1): a) Halla el valor de c (Sol.: c = 1) x b) Determina la función derivada (Sol.:{ si 0 x 1 4x 1 si 1 < x < 0) 2 c) Halla las ecuaciones de la las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta y = - x. (Sol.: y = - x + 31/32, y = - x + 5/4) 9. Averigua el valor de los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable en x = 1: f(x) = { x2 ax + b si x 1 (Sol.: a = 1, b = 0) alnx si x > 1 51