Derivadas. 1. Tasa de variación media La tasa de variación media de una función f(t) en un intervalo [a, b] se define como:

Transcripción

1 Derivadas Antes de dar la definición de derivada de una función en un punto, vamos a introducir el concepto de tasa de variación media y dos ejemplos o motivaciones iniciales que nos van a dar la medida de la importancia de esta erramienta en matemáticas; uno va a ser el cálculo de la velocidad instantánea de un móvil y otro el de la pendiente de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos.. Tasa de variación media La tasa de variación media de una función f(t) en un intervalo [a, b] se define como: TVM([a, b]) = f(b) f(a) b a Mide el aumento o la disminución de la función en dico intervalo, de forma que, si es positiva la función es creciente y si es negativa la función es decreciente. En ocasiones, se consideran intervalos del tipo [a, a + ] y la TVM en dico intervalo se expresa: TVM([a, a + ]) = f(a + ) f(a) a + a = f(a + ) f(a) Interpretación geométrica: la TVM de una función en un intervalo [a, b], es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)), (b, f(b)) 2. Motivaciones iniciales. Velocidad instantánea de un móvil Supongamos un móvil que se desplaza según una función espacio S que depende del tiempo transcurrido t, S = f(t) y fijemos un intervalo de tiempo [t 0, t 0 + ]. Supongamos que, en los instantes t 0 y t 0 +, el móvil se encuentra en los puntos P(t 0, f(t 0 )) y Q(t 0 +, f(t 0 + )) respectivamente, como muestra el gráfico.

2 El espacio recorrido desde P asta Q es f(t 0 + ) f(t 0 ). La velocidad media del móvil, v m, en el intervalo de tiempo [t 0, t 0 + ] es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido, es decir, la tasa de variación media de la función f en ese intervalo: v m = T. V. M[t 0, t 0 + ] = f(t 0 + ) f(t 0 ) Es claro que no es lo mismo la velocidad media en el intervalo de tiempo [t 0, t 0 + ] que la que lleva en el instante t 0. Para determinar la velocidad instantánea en el momento t 0 bastará acer el intervalo [t 0, t 0 + ] todo lo pequeño posible, es decir considerar el límite cuando 0. La velocidad instantánea del móvil, v i, en el instante t 0 es: f(t 0 + ) f(t 0 ) v i (t 0 ) Ejercicio Se lanza un balón al aire y la ecuación de movimiento del balón viene dada por f(t) = t 2 + 6t, donde t se expresa en segundos y f(t) en metros. Calcula la velocidad del balón al cabo de 2 segundos y el instante en el que la velocidad es 0. La velocidad instantánea del balón a los 2 segundos de ser lanzado al aire es: f(2+) f(2) (2+) v i (2) 2 +6 (2+) (2 ) = 2 m/s Para calcular el instante t 0 en el que la velocidad es 0, acemos v i (t 0 ) = 0: f(t v i (t 0 ) 0 +) f(t 0 ) (t 0 +)2 +6 (t 0 +) ( t t 0 ) 2 2t 0 +6 ( 2t 0 + 6) = 6 2t 0 v i (t 0 ) = 0 6 2t 0 = 0 t 0 = 3 s Al cabo de 3 segundos, la velocidad es 0. (Al cabo de 3 s el balón a alcanzado su máxima altura, está en el vértice de la parábola que describe V(3, 9) y empieza a caer).2 Pendiente de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos Consideremos una función y = f(x) y un punto de ella P(x 0, f(x 0 )). Vamos a calcular la pendiente m de la recta tangente t a la curva y = f(x) en el punto P (la pendiente de una recta es el valor de la tangente del ángulo α que determina con el eje de abscisas, m = tgα) Consideramos otro punto Q(x 0 +, f(x 0 + )) de la curva y determinamos la pendiente de la recta s que pasa por P y Q: Vector de dirección de la recta s: PQ = ((, f(x 0 + ) f(x 0 )) Pendiente de la recta s: m s = f(x 0+) f(x 0 ) Para determinar la pendiente de la recta tangente t en el punto P bastará acercar el punto Q al punto P sobre la curva, o lo que es lo mismo acer 0; las pendientes de las respectivas secantes estarán cada vez más cerca del valor m que buscamos. Por tanto: 2

3 f(x 0 + ) f(x 0 ) m y la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto P(x 0, f(x 0 )) será t y f(x 0 ) = m (x x 0 ) Ejercicio 2 Consideremos la función f(x) = x 2 + 6x. Vamos a calcular la pendiente de la recta tangente a la parábola en el punto de abscisa x = 2. La ecuación de la recta tangente buscada será t y f(2) = m (x 2) f(2) = 8 f(2+) f(2) m (2+) 2 +6 (2+) (2 ) = 2 Por tanto, la ecuación es t y f(2) = m (x 2) y 8 = 2 (x 2) y = 2x Derivada de una función en un punto 3. Definición En los ejemplos anteriores, emos observado que emos llegado a la misma expresión-solución de dos problemas distintos. Podemos plantear otras situaciones que conduce a esa misma expresión. Es por eso que vamos a darle un nombre y a estudiarla. Se llama derivada de una función f(x) en un punto x 0 de su dominio, y se escribe f (x 0 ) (se lee f prima de x 0 ), al límite del cociente incremental, si existe: f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) [] En ese caso, se dice que f(x) es derivable en x 0. Por tanto: La velocidad instantánea de un móvil con ecuación de movimiento S = f(t), en el instante t 0, es la derivada f (t 0 ). La pendiente m de la recta tangente a la curva de ecuación y = f(x) en el punto de abscisa x 0 es la derivada f (x 0 ). t y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) 3

4 Ejercicio 3 Determina en qué puntos la recta tangente a la curva f(x) = x 2 + 4x es orizontal. Si la recta tangente a f(x) es orizontal, entonces la pendiente es 0. Es decir, buscamos x 0 tal que: f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 + ) (x 0 + ) x 0 m = 0 lim x x x x 2 0 4x 0 2x lim = 0 lim 2x 0 + 4= 0 x 0 = 2 2 4x 0 = 0 = lim (2x ) = Derivadas laterales Cada uno de los límites laterales de la expresión anterior se llama derivada lateral (por la izquierda y por la dereca) de f en el punto x 0 : f (x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) y f (x 0 ) + f(x 0 + ) f(x 0 ) + Cuando las dos derivadas laterales existen (son finitas) y son iguales, la función es derivable en x 0 y el resultado se llama derivada de la función en x 0. Serán de especial interés en las funciones definidas a trozos. Otra forma de expresar la derivada de una función f en el punto x 0 es f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) x x 0 x x 0 donde se a efectuado el cambio x = x 0 +. La expresión [] se utiliza sobre todo para calcular derivadas de funciones en puntos genéricos y la [2] más en casos particulares. Ejercicio 4 Comprueba que la siguiente función continua en x = es derivable en dico punto. 2x 2 si x < f(x) = { x 2 si x Observamos que en x = ay un cambio de definición de la función. Para comprobar si la función es derivable en dico punto, tenemos que calcular las derivadas laterales correspondientes. f () f( + ) f() 2 ( + ) = 2 f () + f( + ) f() ( + ) (2 + ) = 2 Como las derivadas laterales existen ycoinciden, podemos afirmar que la función es derivable en x =. Ejercicio 5 Consideremos la función f(x) = x 2 + 6x. Vamos a calcular la derivada, en el punto x = 2 con las dos expresiones [] y [2] y, después, en un punto x cualquiera con la primera. f f(2+) f(2) (2) f f(x) f(2) (2) x 2 x 2 (2+) 2 +6 (2+) /0 x2 +6x 8 = lim (x 2) (x 4) x 2 x 2 x 2 x 2 (x+) 2 +6 (x+) ( x 2 +6x) [2] (2 ) = 2 (4 x) = 2 x 2 f f(x+) f(x) 2x (x) 2 +6 = 2x + 6 Observemos que esta última expresión permite aora calcular la derivada en un punto particular sin más que sustituirlo en ella, sin necesidad de volver a aplicar la definición de derivada otra vez. [ 2 ( )+6] [ 2 +6] [ 2 /2+6] Así, f ( ) = 8 ; f () = 4 ; f (/2) = 5 A la función f (x) = 2x + 6 la llamamos función derivada o simplemente derivada de la función f(x). 4

5 3.3 Función derivada Dada una función f con dominio D, a la función f que ace corresponder a cada x D su derivada, se le llama función derivada o simplemente derivada de la función f. f : D R x y = f (x) Ejercicio 6 Halla la función derivada de la función f(x) = f no es derivable en x = 2. f f(x+) f(x) (x) x+ 2 x 2 x 2 y calcula la derivada en x = y x = /2. Prueba que (x+ 2) (x 2) = (x+ 2) (x 2) (x 2) 2 Sustituyendo, tenemos que f () = y f (/2) = 4/9. Como la función f no está definida en x = 2, no es continua, por lo que tampoco es derivable. 4. Operaciones con funciones derivables Consideramos dos funciones f y g derivables en el punto x = a y k R. 4. Derivada de una suma de funciones (f + g) (a) = f (a) + g (a) La derivada de una suma (resta) es la suma (resta) de derivadas. 4.2 Derivada del producto de número real por una función (k f) (a) = k f (a) La derivada de una constante por una función, es la constante por la derivada de la función. (k f) (k f)(a+) (k f)(a) (a) f(a+) f(a) = k lim = k f (a) 4.3 Derivada del producto de dos funciones (f g) (a) = f (a) g(a) + f(a) g (a) La derivada del producto de dos funciones f g es la derivada de f por la derivada de g. 4.4 Derivada de la inversa /f de una función f Si f(a) 0 ( f ) (a) = f (a) [f(a)] 2 ( ( f ) f (a) )(a+) ( f )(a) = lim [f(a+) f(a) f(a+) f(a) f(a+) f(a) ] = lim f(a) f(a+) f(a+) f(a) = f(a+) f(a) lim f(a+) f(a) = f (a) [f(a)] 2 5

6 4.5 Derivada del cociente de dos funciones Si g(a) 0 ( f g ) (a) = f (a) g(a) f(a) g (a) [g(a)] Derivada de la composición de dos funciones (f g) (a) = f (g(a)) g (a) conocida como regla de la cadena en la que se supone g derivable en x = a y f derivable en g(a). 5. Derivada de funciones elementales simples 5. Derivada de la función constante Sea k R. La derivada de la función constante f(x) = k es f (x) = 0. f f(x+) f(x) c c (x) 0 = Derivada de la función identidad f f(x+) f(x) x+ x (x) = f(x) = x ; f (x) = 5.3 Derivada de funciones potenciales α R; f(x) = x α ; f (x) = α x α 5.4 Derivada de la función raíz cuadrada f(x) = x ; f (x) = Es un caso particular de función potencial para α = /2. 2 x 5.5 Derivada de funciones exponenciales 5.6 Derivada de funciones logarítmicas a R, a > 0, a ; f(x) = a x ; f (x) = a x La En particular, f(x) = e x ; f (x) = e x a R, a > 0, a ; f(x) = log a x ; f (x) = x log a e En particular, f(x) = Lx = lnx ; f (x) = x 5.7 Derivada de funciones trigonométricas f(x) = senx ; f (x) = cosx f(x) = cosx ; f (x) = senx f(x) = tgx ; f (x) = = + cos 2 x tg2 x 6

7 Ejercicio 7 Calcula la derivada de las funciones siguientes: a) f(x) = 3x 2 f (x) = 3 2x = 6x b) f(x) = 3x 2 + 2x 3 f (x) = 3 2x + 2 = 6x + 2 c) f(x) = 2 = 2 x 4 x 4 f (x) = 2 4x3 = 8 x 8 x 5 d) f(x) = x x+2 f (x) = (x+2) ( x) (x+2) 2 = 3 (x+2) 2 e) f(x) = ex 2 = 2 ex f (x) = 2 ex 6. Derivada de funciones elementales compuestas Para justificar las reglas que nos van a permitir derivar funciones compuestas, vamos a ver un ejemplo en el que utilizamos la regla de la cadena 3.6. Ejercicio 6 Calculemos la derivada de la función u(x) = ( + 2x) 5 La función u(x) es composición de las funciones f(x) = + 2x y g(x) = x 5. f x + 2x ( + 2x) 5 g(f(x)) = (g f)(x) = u(x) Como f (x) = 2 y g (x) = 5x 4, aplicando 4.6 tenemos: u (x) = g (f(x)) f (x) = g ( + 2x) 2 = 5 ( + 2x) 4 2 = 0 ( + 2x) 4 Aplicando un razonamiento similar para cualquier función compuesta obtenemos las reglas que vemos a continuación. 6. Derivada de la función potencial α R; f(x) = [u(x)] α ; f (x) = α [u(x)] α u (x) 6.2 Derivada de la función raíz cuadrada f(x) = u(x) ; f (x) = Es un caso particular de función potencial para α = /2. g 2 u(x) u (x) 6.3 Derivada de funciones exponenciales a R, a > 0, a ; f(x) = a u(x) ; f (x) = a u(x) u (x) La En particular, f(x) = e u(x) ; f (x) = e u(x) u (x) 6.4 Derivada de funciones logarítmicas a R, a > 0, a ; f(x) = log a u(x) ; f (x) = u(x) u (x) log a e En particular, f(x) = L[u(x)] = ln[u(x] ; f (x) = 6.5 Derivada de funciones trigonométricas u(x) u (x) f(x) = sen[u(x)] ; f (x) = cos[u(x)] u (x) f(x) = cos[u(x)] ; f (x) = sen[u(x)] u (x) f(x) = tg[u(x)] ; f (x) = cos 2 [u(x)] u (x) = [ + tg 2 u(x)] u (x) 7

8 7. Continuidad y derivabilidad La relación entre estos dos conceptos queda determinada por la proposición siguiente:. Toda función f derivable en un punto x 0 es continua en dico punto. Como f es derivable en x 0, existe f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) x x 0 x x 0 Por otro lado, lim [f(x) f(x 0 ] [(x x 0 ) f(x) f(x 0 ) ] (x x x x 0 x x 0 x x 0 ) lim 0 x x 0 de donde lim f(x) = f(x 0 ) con lo que f(x) es continua en el punto x 0. x x 0 Como consecuencia: 2. Si f no es continua en un punto x 0 entonces no es derivable en x 0. Ejercicio 7 x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = 0 f (x 0 ) = 0 Estudia la derivabilidad en x = de la función f(x) = { x2 si x 2x + si x > lim x f() = ; lim f(x) { x2 = x lim x +(2x + ) = 3 lim f(x) x Por tanto, la función no es continua en x = y, en consecuencia, tampoco es derivable en dico punto. Ejercicio 8 Estudia la derivabilidad de la función f(x) = { x2 si x 2 x si x > a) x R x <, f(x) = x 2 : continua por ser polinómica y f (x) = 2x x R, x >, f(x) = 2 x continua por ser polinómica y f (x) = 2x si x < Por tanto: f (x) = { [] si x > Estudiamos la derivabilidad en x = lim x f() = ; lim f(x) { x2 = x lim x +(2 x) = lim f(x) = ; f() f(x) x x Por tanto, la función es continua en x =. Sin embargo, sustituyendo en [], f () = 2 y f () + = con lo que f no es derivable en x =. Resumiendo: f(x) es continua en su dominio R y derivable en R {}. 8

9 8. Derivadas sucesivas Hasta aora sabemos obtener la función derivada f (x) de ciertas funciones elementales. Si calculamos la derivada de f (x) obtenemos f (x), derivada segunda de f(x), y así, sucesivamente, obtenemos f (x) f (n (x) asta obtener la derivada n ésima de la función f inicial. Ejercicio 9 Obtener la derivada n ésima de la función f(x) = e 2x Calculamos las primeras derivadas asta encontrar una fórmula para la derivada que nos piden: f (x) = 2e 2x ; f (x) = 4e 2x ; f (x) = 8e 2x ;. ; f (n (x) = 2 n e 2x 9