e x + a si x 0 Calcular a y b para que la función f(x) = ax si 0 < x 1 b / 2x si x > 1

Transcripción

1 PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD e x + a si x 0 Calcular a y b para que la función f(x) = ax si 0 < x 1 b / 2x si x > 1 sea continua en x = 0 y en x = 1. Es derivable en x = 0 y en x = 1? lim (ax 2 + 2) = a = 2 x 0 + En x = 0 l 1 = l 2 ; 2 = 1 + a; a=1 lim (e x + a) = e 0 + a = 1 + a x 0 - En x = 1 lim ( b/ 2x) = b/2 x 1 + l 1 = l 2 ; b/2= a +2; b = 2(a+2) lim (ax 2 + 2) = a = a + 2 b= 2(1+2) b=6 x 1 - e x + 1 si x 0 e x x 0 f(x) = x si 0 < x 1 f (x) = 2 x 0 < x 1 3/ x si x > 1-3 / x 2 x > 1 lim 2 x = 0 x 0 + x = 0 l 1 l 2 no existe lim f `(x) ==> f `(x) no es continua. lim e 0 = 0 x 0 f (x) no es derivable en x=0 x 0 - lim ( -3/ x 2 ) = -3 x 1 + x = 1 l 1 l 2 no existe lim f `(x) f `(x) no es continua lim ( 2x ) = 2 x 1 f (x) no es derivable en x 1 - x = 1

2 Considera la función f(x)= x 3 + px donde p es un número real. Escribir (en función de p) la ecuación de la recta tangente a la grafica f(x) en el punto de abscisa x = 1. Determinar después p, de manera que la recta tangente anterior pase por el punto (2, 0). Si y = x 3 + px para calcular la tangente a la curva en x 0 = 1 + p m t = y (1) ; y = 3x 2 + p ; m t = p = 3 + p La ecuación de la recta tangente es y - y 0 = m t ( x - x 0 ) y ( 1 + p) = (3 + p) (x - 1) y 1 p = (3 + p) x -3 p ; y = (3+ p) x - 2 Si la recta pasa por (2,0) 0 = (3 + p) = 6+ 2p 2 ; 2p = - 4 ; p = 2

3 Cuántos puntos hay en la función f(x) = tengan derivada? Justificar la respuesta. x 2 + 6x + 8 que no Al resolver la ecuación x x + 8 = 0; x ; x 1 = - 2; x 2 = Los valores x = - 4 y x = - 2 hacen que f(x) = 0, y éstos son los puntos que discutir pues, antes de - 4, entre - 4 y - 2 y después de - 2, la f(x) es continua y su derivada también por ser funciones polinómicas. x 2 + 6x + 8 si x < -4 0 si x = -4 f(x)= - x 2-6x- 8 si -4 < x < -2 0 si x = -2 x 2 + 6x + 8 si x > -2 2x + 6 si x < -4 0 si x = -4 f (x)= -2x - 6 si -4 < x < -2 0 si x = -2 2x + 6 si x > -2 En x = -4, lim (- 2x - 6) = 8-6 = 2 x L 1 L 2 f (x) no es continua lim (2x + 6) = = -2 f(x) no es derivable x En x = -2, lim (2x + 6) = = 2 x L 1 L 2 f (x) no es continua lim (- 2x - 6) = 4-6 = -2 f(x) no es derivable x Los puntos (-4, 0) y (-2, 0) no poseen derivada ya que sus derivadas laterales no coinciden.

4 7 Dada f(x) = Existe el limite de f(x) cuando x tiende a 2?. x 2 Es continua en x = 2?. Lo primero es desdoblar la funcion modulo x si x < 2 - x f(x) = = --- si x = 2 En x = 2, f(x) no esta definida lim = + x 2 + x si x > 2 x 2 No existe lim f(x) por no existir sus limites laterales. 7 x 2 lim = - x x + 2 Ademas la f(2) no esta definida

5 Dada F(x) = tg (Lnx). Calcular la ecuación de la recta tangente a F(x) en el punto de abcisa x 0 = /4 Para x 0 = /4 x 0 = tg (Ln /4 ) = tg /4 = 1 = 1 1/x cos² (Lnx) = 1 f = 2 tg(lnx) x. cos² ( lnx). 2 tg(lnx) f ( /4 ) = 1 /4. cos² (Ln /4 ) 2 tg (Ln /4 ) 1 1 = = /4 cos²( /4). 2 tg /4 /4 ( 2/2)² = = = m t /4 ½. 2 /4 y 1 = 1 /4 ( x /4 ) Ecuacion tangente 1 1 y 1 = x 1 ; y = x /4 /4

6 0 si x -1 Dada la función f(x) = ax 3 + bx si -1 < x < 2 Se pide: 11x 16 si x 2 a) Hallar a y b para que la función sea continua en todo x real. b) Analizar su derivabilidad. c) Representar la gráfica. a) En (-, -1] y = 0 es f. constante => continua en R En (-1, 2) y = ax 3 + bx es f. polinómica a, b => continua en R En (2, ) y = 11x 16 es una recta continua en R lim (ax 3 + bx) = -a b x -1 + x = -1 lim 0 = 0 => l 1 = l 2 => - a b = 0 x -1 - lim (11x 16) = = 6 x 2 + x = 2 lim (ax 3 + bx) = 8a + 2b => l 1 = l 2 => 8a + 2b = 6 => 4a + b = 3 x a b = 0 4a + b = 3 => 3a = 3 ; a = 1 y b = -a => b = -1 Para a = 1 y b = - 1 la f(x) es continua en R b) 0 si x -1 0 si x -1 f(x) = x 3 x si -1 < x < 2 => f (x) = 3x 2 1 si -1 < x < 2 11x 16 si x 2 11 si x 2 Las tres funciones f (x) en cada intervalo son continuas ya que dos son funciones continuas y la otra un polinomio de 2º grado. lim 3x 2 1 = 3 1 = 2 x -1 + l 1 = l 2 lim f (x) => f (x) no es continua => En x = -1 lim 0 = 0 x -1 f(x) no es derivable x -1 - lim 11 = 11 x 2 + l 1 = l 2 => lim f (x) = f (2) = 11 En x = 2 lim (3x 2 1) = = 11 x 2 x 2 - f (x) es continua => f(x) es derivable

7 c) y = x 3 x y = 3x 2 1 ; y = 0 ; 3x 2-1 = x = = max y min 3 3 x y x y y = 11x

8 Dada la función f(x) = si x < - 2 x 2 - x si - 2 x < 1 x 2-2 si x 1 Estudia su derivabilidad en R Si no me piden la continuidad de f(x), podemos calcular si es derivable al calcular la f (x) y ver si es continua en R. f (x) = si x < - 2 x 2-1 si - 2 x < 1 2x si x 1 En (-, -2) f (x) = - 1/x 2 esta definida en (-, 0) U (0, ) ya que en x = 0 no existe, f (x) esta definida en (-, -2) C D f (x) es continua en (-, -2) f(x) es derivable en (-, -2). f (2) = - 1 En x = - 2 lim (-1) = - 1 x L 1 L 2 No existe lim f (x) lim ( - 1 / x 2 ) = - ¼ x - 2 x f (x) no es continua f(x) no es derivable En (-2, 1) f (x) = - 1 definida en R por ser funcion constante f (x) es continua en R f (x) es continua en (-2, 1) C R f(x) es derivable en (-2, 1) f (1) = 2 lim (2x) = 2 En x = 1 x 1 + L 1 L 2 No existe lim f (x) lim ( - 1 ) = - 1 x 1 x 1 + f (x) no es continua f(x) no es derivable En (1, ) f (x) = 2x definida en R por ser funcion polinomica de grado 1 f (x) es continua en R f (x) es continua en (1, ) C R f(x) es derivable en (1, )

9 Dada la función: a) Determina a y b para que f(x) sea continua b)para dichos valores estudia la derivabilidad. Como la f(x) es a,b R, funciones polinómicas de grado 1 o 0 podemos decir que f(x) es continua en (-,0), (0,1) y (1, ) f (x) continua en (-,0), (0,1) y (1, ) f (x) es derivable

10 Dada la función cos x - 1 para x < 0 f(x) = x 2 + a para 0 = x < 2 b para x = 2 x - 1 Hallar los valores de a y b para que sea continua en R. Con estos valores, estudiar su derivabilidad. cos x es continua en R por ser f. sinusoidal En (-, 0) y = cos x es continua en R por ser f. constante y = cos x 1 es continua en R es continua en (-, 0) En (0, 2) y = x 2 +a es continua en R, a por ser f. polinomica de grado 2 y = x 2 +a es continua en (0, 2) b En (2, ) y = es continua b y R excepto para x = 1 que no x 1 pertenece al intervalo, por ser funcion hiperbolica f(x) es continua en (2, ) lim (x 2 + a ) = a x o + En x = 0 l 1 = l 2 ; a = 0 es continua en x = 0 lim ( cos x - 1) = 1-1 = 0 x o - b b lim = = b x 2 + x En x = 2 l 1 = l 2 ; b = 4 + a ; b = 4 lim (x 2 + a ) = 4 + a x 2 - cos x - 1 para x < 0 - sen x x < 0 Si f(x) = x 2 para 0 x < 2 2x 0 x < 2 f (x) 4 para x x 2 x - 1 ( x - 1 ) 2

11 Las 3 funciones f (x) son continuas en sus intervalos por motivos similares lim (- sen x) = 0 x o - En x = 0 l 1 = l 2 = f(0) = 0 continua la f (x) lim ( 2x ) = 0 x o + f(x) es derivable en x = 0-4 Lim = - 4 x 2 + ( x - 1 ) 2 En x = 2 l 1 l 2 f (x) no es continua lim 2x = 4 f(x) no es derivable en x = 2 x 2 - Dada la función polinómica de segundo grado f(x) = a x 2 + b x + c, determina los coeficientes a,b y c, si se sabe que la grafica de esa función pasa por los puntos (1, 2) y (2, 6) y que en este ultimo punto, la recta tangente a la curva tiene como ecuación 7x y 8 = 0. f(x) = a x 2 + b x + c Si pasa por (1, 2) 2 = a b 1 + c Si pasa por (2, 6) 6 = a b 2 + c Ademas como la tangente tiene de ecuación 7x y 8 = 0. y = 7x 8, la pendiente de la recta es m = 7 y a partir de la definición de derivada y (2) = m = 7 Si f (x) = 2ax + b 7 = 2a 2 + b a + b + c = 2 Habra que resolver el sistema 4a + 2b + c = 6 3a + b = 4 4a + b = 7 4a + b = 7 a = b = 4 b = c = 2 c = 4 La funcion es f(x) = 3x 2 5x + 4

12 Dada la función f(x)= x³ - 3x + 1 se anula en algún punto de R? En caso afirmativo, determina un intervalo cerrado de amplitud menor de dos décimas que contenga el punto donde se anula. F(xo) = 0 ; x³ -3x +1 = No existe x entero f(x) es continua en R por ser funcion polinomica f(x) continua en [a,b] c R Elijo [0,1] f(0) = 1 > 0 f(1) = = -1 < 0 signo f(0) signo f(1) f(0 5) = (1/2) ³ - 3(1/8) + 1 = ( ) / 8 = -3/8 < 0 signo f(0) signo f(0 5) [0, 0 5] f(0 25) = (0 25) ³ = 1/64 ¾ + 1 = ( ) / 64 > 0 signo f (0 25) signo (0 5) [0 25, 0 5] f (1/8) = (1/8) ³ - 3(1/8) + 1 = 1/512 3/8 + 1 = ( ) / 512 > 0 f(0 4) = (0,4) ³ = < 0 signo f(0 25) signo f (0 4) [0 25, 0 4] 2ª hipotesis Este intervalo define que existe x o / f(x o ) = 0 y la amplitud del intervalo es = 0 15 < 0 2

13 Dada la funcion y = e 7x, calcular la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a f(x) que sea paralelo a la recta 7x y +2 = 0 Despejar la y en la recta y = 7x + 2 m r = 7 m t =7 por ser r paralela a t y =7e 7x ; y (x o ) = m t 7 e 7xo = 7 e 7xo = 1; e 7xo = e 0 ; 7 x o = 0 x 0 = 0 y o = e 0 = 1 ec tangente : y - 1 = 7(x - 0) y- 1 = 7x; y = 7x + 1 ec normal : y 1 = - 1/7 (x - 0); 7y 7 = - x ; y = - 1/7 x + 1 Dado f(x) = ln (x 2 / x 1) para valores mayores que 1, hallar un punto (a, f(a)) de f(x) tal que la recta tangente a f(x) en ese punto, sea paralela al eje 0X. Escribir la recta tangente y la normal a f(x) en dicho punto. Si la tangente es paralela al eje OX (y=0) m t = m r = 0 f(x) = ln x 2 - ln(x - 1); f (x)= 2x/x 2 1 / (x 1) = (2/x) 1 / (x 1) = = (2x -2 x )/ (x 2 x) = (x 2) / (x 2 x) f (a) = (a - 2) / (a 2 - a ) = 0 a 2 = 0 a = 2 y o = f(2) = ln 4 / ln 1 = ln 4 ln 1 = ln 4 El punto es (2, Ln 4) ec tangente: y ln 4 = 0 (x - 2) y = ln 4 ec normal ; y- ln 4 = -1/0 (x - 2) 0 = x 2 x = 2

14 Demuestra que la ecuación x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x - 1= 0 tiene una raíz positiva Si tomo una f(x) = x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x 1 que es continua en R por ser un polinomio de grado 7 y elijo un intervalo cerrado [a,b] en el que los signos sean distintos, por ejemplo [-1,1] f (-1) = (-1) 7 + (-1) 6 + (-1) 5 + (-1) 4 + (-1) 3 + (-1) 2 + (-1) - 1 = = -2 0 f (1) = = 6 0 Signo f (-1) signo f (1) Por ser f (x) continua en [-1,1] y signo f (-1) signo f (1) se cumplirá el teorema de Bolzano por lo que existe al menos un x 0 (-1,1) / f (x 0 ) = 0, es decir x 0 (-1,1) / x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x 1 = 0 o lo que es lo mismo, que esta ecuación posee al menos una solución o raíz que será positiva si f (0) diera negativa y lo da. f (0)= -1 0 y f (1) = 6 0 En [0,1] signo f (0) signo f (1)

15 Determinar los valores de a y b para que la funcion: sen x + 2 si - 3 x < 0 f(x) = x + b si 0 x 2 satisfaga las condiciones de Bolzano a / x si 2 < x 3 en [-3, 3] a) 1ª Hipótesis: f(x) continua en [-3, 3]. f(0) = 0 + b = b En x = 0 lim (x + b) = b x-> 0 + L 1 = L 2 b = 2 existe lim f(x) = f(0) lim (sen x + 2) = sen = 2 x-> 0 x-> 0 - f(2) = 2 + b En x = 2 lim (a / x) = a / 2 x-> 2 + lim (x + b) = 2 + b L 1 = L 2 a/2 = 2 + b a/2 = 4 a = 8 existe lim f(x) = f(2) x-> 2 - x-> 0 Para a = 8 y b = 2 f(x) es continua en [-3, 3] b) 2ª Hipótesis: sign f(-3) sign f(3) f(-3) = sen (-3) + 2 > 0 f(3) = 8/3 > 0 sign f(-3) = sign f(3) No verifica Bolzano

16 Determina el valor de a para que f(x) sea continua en x = 4 x si x 4 x - 2 f(x) = x 2 ax si x > 4 2 Para que una funcion sea continua lim f(x) = lim f(x) = f(4) x 4 + x 4 - Para empezar, la funcion debe de estar definida en x = f(4) = = f(x) no esta definida f(x) no es continua. Veamos si hay algun valor de a para que si exista el limite de f(x) x 2 ax 16 4a lim = = 8 2a x x 4 0 (x 4) ( x + 2) (x 4) ( x + 2) lim = -- = lim = lim = x 4 - x x 4 - ( x - 2) ( x + 2) x 4 - (x 4) = lim ( x + 2) = = 4 x 4 - Para que exista limite L 1 = L 2 8 2a = 4 2a = 4 a = 2

17 Determinar el valor del parámetro "a" para que la función f(x) sea continua y derivable. x Ln x si 0 < x 1 f(x) = a (1 e -x ) si 1 < x Para que una función sea derivable, lo primero que tenemos que comprobar es que esta función sea continua en (0, ) que es donde esta definida. La función x.ln x es continua en el intervalo (0,1] en el que esta definida ya que x lo es por ser un polinomio y Ln x también es continua siempre que no incluyamos el 0. La función a (1 - e -x ) también es continua en el intervalo (1, ) ya que la función exponencial lo es para todo valor de R. El único problema que puede existir es en el valor x = 1, por ello estudiaremos la continuidad de f(x) en x = 1, obligando a que sea continua y buscando el valor de "a" que lo consiga. f(1) = 1.Ln 1 = 1.0 = 0 lim x Ln x = 1 Ln 1 = 0 x-> 1 - lim a (1 e - x ) = a (1 e - 1 ) x-> 1 + L 1 = L 2 = f(1) para que f(x) sea continua. a (1 - e - 1 ) = 0 ===> a = 0 es el único valor que lo verifica. Veamos ahora si para a = 0, la f(x) es derivable o no. Para que una función sea derivable, es necesario que f (x) sea continua en el intervalo considerado. f (x) = 1 Ln x + x (1/x) = Ln x + 1 si 0 < x 1 a [-(-1) e - x ] = a e - x si 1 < x Como hemos tomado el valor de a = 0 para que fuese continua, f (x) = Ln x + 1 si 0 < x 1 0 si 1 < x Calculando el lim Ln x + 1 = = 1 Como los limites no son iguales podemos x-> 1 - asegurar que la f (x) no es continua, con lo que f (x) no es derivable en x = 1 lim 0 = 0 para ningún valor, ni siquiera para a = 0. x-> 1 +

18 Discutir si la ecuación cos x = 2 x posee alguna solución real positiva Creamos una f(x)= cos x 2 + x para comprobar las hipótesis de Bolzano en (0, b) f(x) = y = cos x D: y = x D: por ser sinusoidal de un polinomio. por ser f. polinómica f(x) es continua f(x) es continua en [ ] Signo f ( < 0 Signo f ( > 0 Signo f ( Signo f ( al menos un x 0 (, ) / f (x 0 ) = 0 existe al menos una solución real positiva Enunciar el teorema de Bolzano y utilizarlo para probar que todo numero real positivo tiene raíz cuadrada.

19 El teorema de Bolzano dice que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y en los extremos del intervalo toma valores de signos opuestos, es decir sig f(a) sig f(b), estas dos hipótesis nos asegura que la f(x) se anula por lo menos en un punto interior a dicho intervalo o lo que es lo mismo, que f(x) corta al eje OX en algún punto dentro del intervalo. A partir de este teorema, se pide demostrar que cualquier numero real y positivo, posee raíz cuadrada. Para ello estableceremos una relación (función) entre cualquier numero real "a" positivo y su raíz cuadrada. Si x es raíz cuadrada de a ( a>0) entonces x 2 = a ==> x 2 - a = 0. Mi función será entonces f(x) = x 2 - a. La f(x) es una función continua en toda la recta real por ser una función polinomica de grado dos. A continuación vemos como son los signos de mi función en el intervalo (-,+ ), ya que nos piden que demostremos para todo R y esto implica la totalidad del eje de abscisas. f(- ) = (- ) 2 - a = + f(+ ) = (+ ) 2 - a = + Según Bolzano, como los signos en los extremos del intervalo son iguales, no me podrá asegurar la existencia de ningún valor de x dentro del intervalo, en el cual la f(x) se anule. Esto me indica que para cualquier numero real "a" positivo, existirá siempre su raíz cuadrada. Escribir la ecuación de la recta tangente a la hipérbola de ecuación

20 x.y = 6 en el punto de abscisa x = 3. Razonarlo. La hipérbola x y = 6 es la gráfica de la función y = 6 / x Primero buscamos el punto de abscisa x = 3 y para ello necesitamos calcular la ordenada del punto. Para x = 3 ==> y(3) = 6 / 3 ; y(3) = 2 luego el punto en donde calcularemos la tangente será P(3;2) Sabiendo que la recta tangente es y - y(a) = y'(a) (x - a) donde a = 3 e y(a) = 2, necesitaremos saber cuanto vale la pendiente de la recta tangente a mi curva en a = f '(x) = y' = y'(3) = - -- = - -- con lo que la ecuación x de la recta tangente será: y - 2 = - -- (x - 3) y operando 3 3 (y - 2) = -2 (x - 3) ; 3y - 6 = - 2x + 6 ==> 2x + 3y - 12 = 0 1 Estudiar la continuidad de f(x) = para x=0

21 1 1 1 f(0) = = = = / /x lim 3 1 / x = 3 1 / 0+ = No existe lim x lim 3 1 / x = 3 1 / 0 - = 3 - = ---- = --- = 0 Si existe lim x 0-3 lim 1 1 x lim = = = = 0 Si existe lim x /x lim 2 + lim 3 1/x 2 + x 0 + x 0 + lim 1 1 x lim = = = Si existe lim x /x lim 2 + lim 3 1/x x 0 - x 0 - Al existir los limites laterales pero ser distintos, habrá una discontinuidad de 1ª especie con salto finito único ya que f(0) coincide con uno de los limites laterales. Estudiar la continuidad de las funciones :

22 x³ 5x-5 a) y = b) ( x + 1)² x² - 1 Para que sea continua, basta con que este definida. El cociente esta definido en R excepto las x que anulan el denominador, que en este caso es x = -1 La función será continua en D = Ұ x (-,-1) U ( -1, ) En x = -1 la f (x) es discontinua de segunda especie por ser sus limites laterales + b) Aquí el dominio es R excepto las x que hagan x² - 1= 0, es decir, x = + 1 5x - 5 La y = será continua en D : Ұ x (-,-1) U (-1, 1) U ( 1, ) x² - 1 5x En x = -1 lim = = - discontinua de segunda especie x -1 x² pues no existe lim ƒ(x) x -1 5x (x - 1) 5 5 En x = 1 lim = ---- = lim = lim = ---- x 1 x² x 1 (x+1) (x-1) x 1 x Discontinua evitable pues existe lim ƒ(x) pero ƒ(1) = --- no esta definida x 1 0 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función:

23 3x + 5 si x - 1 f(x) = 2 si - 1 < x 1 x 2-3x + 1 si x > 1 (-,-1) f. polinómica de grado 1 f(x) continua en R (-1,1) f. constante f(x) continua en R (1, ) f. polinómica de grado 2 f(x) continua en R En x = - 1 lim 2 = 2 x-> -1 + L 1 = L 2 existe lim f(x) = f(-1) f(x) es lim (3x+5) = = 2 x-> -1 x-> -1 - continua en x = - 1 En x = 1 lim (x 2-3x+1) = = -1 x-> 1 + L 1 L 2 No existe lim f(x) f(x) no es lim 2 = 2 x-> 1 - continua en x = 1 3 si x -1 f (x) = 0 si -1 <x 1 2x-3 si x >1 En los 3 intervalos la f (x) es continua en R por ser 2 f. continuas y una f. polinómica de grado 1 f(x) es derivable. En x = -1 lim 0 = 0 x-> -1 + L 1 L 2 No existe lim f (x) lim 3 = 3 x-> -1 x-> -1 - f (x) no es continua f(x) no es derivable En x = 1 f(x) no es derivable por no ser continua Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f(x) dada por:

24 x 2 + 2x + 2 si x < -1 f(x) = 1 si -1 x 1 Razonando las respuestas. 2x 2 x si x > 1 Mientras no se diga la contrario habrá que buscar la continuidad y la derivabilidad en toda la recta real. a) Veamos primero la continuidad. En (-, - 1) y = x 2 + 2x + 2 esta definida en R por ser una función polinómica de grado 2 f(x) esta definida en (-, - 1) C R continua en (-, - 1). f(-1) = 1 En x = - 1 lim (1) = 1 L 1 = L 2 lim f(x) = f(-1) x -> -1 + x -> -1 lim (x 2 + 2x + 2) = = 1 Continua en x = - 1 x -> -1 En (-1, 1) y = 1 esta definida en R por ser una función continua f(x) esta definida en (- 1, 1) C R continua en (- 1, 1). f(1) = 1 En x = 1 lim (2x 2 x) = 2 1 = 1 L 1 = L 2 lim f(x) = f(1) x -> 1 + x -> 1 lim (1) = 1 Continua en x = 1 x -> 1 - En (1, + ) y = 2x 2 x esta definida en R por ser una función polinómica de grado 2 f(x) esta definida en (1, + ) C R continua en (-, - 1). f(x) es continua en R. b) Veamos si es derivable y para ello tenemos que hallar f (x). 2x + 2 si x < -1 f (x) = 0 si - 1 < x < 1 4x 1 si x > 1 En (-, - 1) y = 2x + 2 esta definida en R por ser una función polinómica de grado 1 f (x) esta definida en (-, - 1) C R f (x) continua en (-, - 1) f(x) derivable en (-, - 1) f (-1) = 0

25 En x = - 1 lim (0) = 0 L 1 = L 2 lim f (x) = f(-1) x -> -1 + x -> -1 lim (2x + 2) = = 0 f (x) continua en x = - 1 x -> -1 f(x) derivable en x = - 1 En (-1, 1) y = 0 esta definida en R por ser la función continua nula f (x) esta definida en (- 1, 1) C R f (x) continua en (- 1, 1). f(x) derivable en (- 1, 1). f (1) = 0 En x = 1 lim (4x - 1) = 4 1 = 3 L 1 L 2 No existe lim f (x) x -> 1 + x -> 1 lim (0) = 0 f (x) no es continua en x = 1 x -> 1 - f(x) no es derivable en x = 1 En (1, + ) y = 4x 1 esta definida en R por ser una función polinómica de grado 1 f (x) esta definida en (1, + ) C R f (x) es continua en (-, - 1) f(x) es derivable en (1, + ) F(x) es derivable en toda la recta real excepto en el punto de abcisa x = 1 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de x 2 si x 2 f(x) = en x = 2 2x si x > 2 f(2) = 2 2 = 4 Continua en x = 2?. lim (2x) = 4 x L 1 = L 2 existe lim f(x) = f(2) = 4 lim (x 2 ) = 4 x 2 x 2 - f(x) es continua en x = 2 Derivable en x = 2? f (x) = 2x si x 2 2 si x > 2 f (2) = 2 2 = 4 lim (2) = 2 x L 1 L 2 No existe lim f (x) lim (2x) = 4 x 2 x 2 - f (x) no es continua en x = 2 f(x) no es derivable en x = 2 Estudiar la derivabilidad de la función

26 -1 Si x = 0 2x (x-3) f(x ) = Si 0 < x < 3 3x 2-9x 2 / 3 Si x = 3 Para que una función sea derivable es necesario que primero sea continua. La función para todo x distinto de 0 y de 3 es continua por ser cociente de dos polinomios que solo se anulan en estos dos valores 0 y 3. Estudiemos la continuidad en x = 3 calculando los limites laterales y f(3). 2 f(3) = x (x - 3) lim = --- = lim --- = --- = f(3) x-> 3 3x (x - 3) 0 x-> La función es continua en x = 3. Para ver si es derivable deberemos calcular su derivada y ver si es continua en x = 3 0 si x = 0 (4x - 6) (3x 2-9x) - (2x 2-6x). (6x - 9) f (x) = = 0 si 0 < x < 3 (3x 2-9x) 2 0 si x = 3 f (3) = 0 ; lim f (x) = 0 = f (3) Como la f (x) si es continua en x = 3 esto nos x-> 3 dice que la f (x) si es derivable en x = 3 Estudiemos la continuidad de f (x) en x = 0, f (0) = - 1 2x (x - 3) lim = --- = lim --- = --- f (0) x-> 0 3x (x - 3) 0 x-> La f(x) no es continua en x = 0, por lo que tampoco será derivable para x = 0. Existe el limite de la función f(x) = e 1/x cuando x tiende a 0?.

27 lim e 1 / x = e 1 / 0 + = e = x lim e 1 / x = e 1 / 0 - = e - = = 0 x 0 - e La funcion no tiene limite ya que uno de sus limites laterales no existe. Halla a y b para que la función f(x) sea continua y derivable para todo x real. x 2 si x 1 f(x) = x 2 + ax + b si x > 1 (-, 1) y = x 2 es continua en R por ser una función polinómica de grado 2 continua en (-, 1) C R. (1, ) y = x 2 + ax + b a, b R, f(x) es continua en R por ser una función polinómica de grado 2 continua en (1, ) C R. f(1) = 1 2 = 1 x = 1 lim ( x 2 + ax + b) = -1 + a + b x -> a + b = 1 lim (x 2 ) = 1 a + b = 2 x -> 1 - f (x) = 2x si x 1-2x + a si x > 1 (-, 1) f '(x) = 2x es continua en R por ser una función polinómica de grado 1 continua en (-, 1) C R f (x) derivable en (-, 1) (1, ) f '(x) = - 2x + a a R, f '(x) es continua en R por ser una función polinómica de grado 1 continua en (1, ) C R f'(x) derivable en (1, ) f'(1) = 2 1 = 2 x = 1 lim (- 2x + a) = a x -> a = 2 ; a = 4 lim (2x) = 2 a + b = 2; 4 + b = 2; b = -2 x -> 1 - Halla los valores de los números a y b para que la f(x) definida por

28 resulte derivable independiente del valor de b,es decir, Para que sea derivable ha Halla el punto P en el que se cortan las funciones ;

29 Hallar la ecuación de las rectas tangentes en P a cada una de las curvas y demostrar que son perpendiculares (Selectividad Prueba ) a) 4-1 ±2 P(2, 1) No vale = 2 y- 1 = 2 (x - 2) son perpendiculares ya que m t = m t = Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica y = Ln x, en los puntos a) x = 1; b) x = e ; c) x = e -1

30 La recta tangente es y - yo = m t (x - xo ) 1 a) x o = 1 y o = Ln1 = 0 ; m t = y (0) = ---- = 0 1 tag : y - 0 = ---- ( x - 1 ) ; x - 1 = 0 ; x = b) x o = e ; y o = Ln e = 1 ; m t = y (e) = ---- ; e tag : y - 1 = ( x - e ) ; y = ---- x ; y = --- x e e e 1 c) x o = e -1 ; y o = Ln e -1 = - 1 ; m t = y (e -1 ) = ---- = e e -1 tag : y + 1 = e ( x 1/e) ; y = e x ; y = e x - 2 normal: y + 1 = - 1/e (x 1/e) ; y = - 1/e x + 1/e 2-1 x 2-9 x 3 La f(x) = x - 3 Hallar el valor de a para que f(x) sea continua en x = 3. a x = 3 x (x + 3) (x - 3) lim = = lim = 6 x 3 x x 3 x - 3 Si obligo a que f(3) = 6 la f(x) será continua, luego para a = 6 mi f(x) será continua x R x 2-9 x 3 La f(x) = x - 3 Hallar el valor de a para

31 a x = 3 que f(x) sea continua en x = 3. x (x + 3) (x - 3) lim = = lim = 6 x 3 x x 3 x - 3 Si obligo a que f(3) = 6 la f(x) será continua, luego para a = 6 mi f(x) será continua x R La funcion f(x) definida en [-1, 1] por: si x 0 f(x) = x 2 x Es continua en [-1, 1]? 0 si x = 0 En los intervalos [-1, 0) y (0, 1] la f(x) esta definida para todos los x excepto en x = 0 en la que se anulan los denominadores es decir definida en (-, 0) U (0, ) si es continua en los dos intervalos. f(0) = x 3 En x = 0 lim = = - = lim = --- = No existe x 0 x 2 x 0 0 x 0 x 2 0 limite de f(x) f(x) no es continua en x = 0 La función definida por ƒ(x) = x³ - ax² - 2 si x < 3 x + 4 si x >3 es

32 continua en R. Hallar el valor de a Si queremos que ƒ(x) sea continua en R es necesario que : En (-,3) y= x³ - ax² - 2 es continua Ұ a por ser función polinómica En ( 3, ) y = x + 4 es continua Ұ a por ser función polinómica En x = 3 lim x + 4 = 7 x 3 + Lim (x³ - ax² - 2) = 27-9a² -2 x 3 Para que sea continua l₁ = l₂ 7 = 27-9a² - 2; 9a² = 18 ; a² = 2 ; a = ± 2 Solo para a= ± 2 podemos asegurar que ƒ(x) es continua en R, para los demás valores de a, los limites laterales de ƒ(x) en x= 3 seran distintos y existiran discontinuidades de primera especie (1+x) n - 1 no está definida en x = 0. La función f(x) = Hallar f(0) para que f(x) sea x continua en todo R n n n n (1+x) n n + 1 x + 2 x n x n - 1 Calculamos lim = lim -- = x 0 x x 0 x n n n x + 2 x n x n 1 n n n = lim = lim x + + n x n-1 = x 0 x x 0 n = 1 = n Si llamo f(0) = n la f(x) será continua x 4 La funcion f(x) = verifica f(-2) = - 4 ; f(3) = 1 y no existe x + 1

33 un punto del intervalo (-2,3) donde f(x) se anule. Contradice el teorema de Bolzano? No lo contradice, pues la 1º hipótesis no se cumple. 4 f(x) = no es continua en [-2, 3] ya que en x = -1 la f(x) no esta definida y x + 1 por tanto no es continua en x = -1 No podemos asegurar que exista x 0 en (-2, 3) / f(x 0 ) = 0, aunque los signos de f(-2) y de f(3) sean distintos. La funcion f(x) = 2senx + 5 toma el valor 6 en el intervalo (0, π/2)? En caso afirmativo, determina el valor x=c / f(c) = 6 2 sen c + 5 = 6 ; 2 sen c = 1 ; sen c = ½ c = arcsen(1/2) = 30º = π/6 que pertenece a (0, π/2) 150º = 7π/6 que no pertenece a (0, π/2) c = π/6 f (0) = 2 sen0 + 5 = 5 f (π/2) = 2 sen(π/2) + 5 = 7 La f (x) = senx es funcion creciente con lo que f (x) = 2senx + 5 también es creciente. Obtener los puntos de la gráfica f(x) = x 4-7x x 2 + 3x + 4 en los que la recta tangente sea paralela a la recta y - 3x - 2 = 0

34 Para buscar los puntos P(x o,y 0 ), como la recta tangente que pasa por ellos es paralela a la recta y = 3x + 2, las pendientes de la recta tangente y de la recta dada, deben ser iguales. La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez despejada la y, luego m t = 3 La pendiente de la recta tangente será por tanto m t = 3 Por otro lado, siguiendo la interpretación geométrica de la derivada de una función, sabemos que la derivada de la función particularizada para un x o debe ser igual que la pendiente de la recta tangente trazada a la curva por el punto, es decir deberá de valer m t. f (x o ) = m t Calculemos la f (x) = 4x 3-21x x + 3 e igualemos a 3. 4x 3-21x x + 3 = 3 ===> 4x 3-21x x = 0 x.(4x 2-21x + 26) = 0 x = 0 4x 2-21x + 26 = 0 21 ± ± 5 13/4 x = 13/4 x = = = x = 2 Como vemos, existirán tres puntos de mi curva, de abscisas 0, 13/4 y 2 en los que la tangente geométrica es paralela a la recta dada. Solo nos falta calcular las ordenadas correspondientes a cada una de las abscisas. y(0) = 4 P 1 (0,4) 5717 y(13/4) = (13/4) 4 7 (13/4) (13/4) (13/4) + 4 = luego P 2 ---, y(2) = = 22 P 3 (2,22) Probar, aplicando el teorema de Bolzano, que la ecuación e x + x = 0 tiene alguna solución real.

35 Bolzano asegura que si f(x)es continua [a,b]y los signos f(a) y f(b) son distintos existe al menos un valor x Є (a,b) / f(x 0 ) = 0 Si cojo la f(x) = e x + x y un intervalo de la recta real (-1,1) tal que 1 signo f(-1) = e -1 + (-1) = < 0 e signo f(1) = e > 0 Como y = e x es continua en R sera continua en [-1,1] Como y = x es continua en R sera continua en [-1,1] Por lo tanto la y = e x + x sera continua en [ -1,1] Según Bolzano existe al menos un x 0 Є (-1, 1) / e x0 + x 0 = 0 esto quiere decir que la ecuación posee al menos una solución real o un punto de corte de f(x) con el eje de abscisas. Probar que el f(x) = x + senx 1 = 0 es continuo x R y que además existe una raíz real de la ecuación: x + senx = 0 x es continua por ser f.de grado 1 f(x) es continuo en R ya que senx es continua por ser f.sinusoidal 1 es continua por ser f.constante f(x) es continua en [0, π/2 ] C R. Busco este intervalo ya que en el se verifica la 2ª hipótesis de Bolzano signo f(a) signo f(b). f(0) = 0 + sen0 1 = -1 < 0 f(π/2) = π/2 + senπ/2 1 = π/2 > 0 signo f(0) signo f(π/2) Por Bolzano x o (0, π/2) / f(x o ) que existe al menos una raíz ó solución real de la ecuación: x + senx 1 = 0 Probar que la ecuación: x³ + 2x² - x - 4 = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo (1,2)

36 Si llamamos f(x) = x ³ + 2x² - x 4, lo que nos esta pidiendo es que aseguremos que existe al menos un xo (1,2) tal que f(xo) = 0 es decir que f(x) corte al eje OX en al menos un punto del intervalo. Esto es la tesis del Teorema de Bolzano y para que se verifique, se deben cumplir las dos hipótesis del Teorema. a) Que f(x) sea continua en [1,2]. Por ser f(x) una función continua en R ya que es una f.polinómica de grado 3, se puede asegurar que es continua en [1,2] C R. b) Que signo f(b) signo f(a) f(1) = 1³ + 2.1² = -2 < 0 f(2) = 2³ + 2.3² = 10 > 0 signo f(1) signo f(2) Al verificar las hipótesis, Bolzano asegura que f(xo) = 0 para al menos un xo (1,2) x³ + 2x² - x 4 = 0 tiene al menos una raíz real en (1,2). Puede ocurrir que exista el continua en x 0? lim x x 0 f(x) y que la función no sea Si existe lim x x Si además f(x 0 ) = 0 es porque sos límites laterales existen y son iguales. lim x x 0 f(x), la f(x) sería contínua. La función no será continua en x = x 0, bien porque f(x 0 ) no esté definida o bien porque f(x 0 ) exista pero sea lim x x0 f(x) Que se puede afirmar de una función continua en un intervalo cerrado [a,b] que toma valores de signos contrarios en los extremos del intervalo?.

37 Se puede afirmar que existe un numero c tal que a < c < b y donde f(c) = 0. Por otro lado se puede afirmar que la función tiene en [a,b] un máximo, es decir, que existe un c 1 [a,b] tal que f(x) f(c 1 ) para todo x [a,b] y que verifica que f(c 1 ) > 0 Asimismo, que existe un valor mínimo, es decir, que existe un c 2 [a,b] tal que f(c 2 ) f(x) y que verifica que f(c 2 ) < 0. Si llamamos f(c 2 ) = a' y f(c 1 ) = b' puesto que la función toma todos los valores intermedios entre a' y b', se puede afirmar que la función transforma el intervalo [a,b] en el intervalo [a',b'] y de forma que el valor 0 [a',b'] 1 Sea f(x) = 3+(x+1) sen Calcular f(-1) para que f(x) sea x + 1 continua en x= lim [ 3 + (x+1) sen ] = 3 + lim (x+1) sen = 3+ lim (x+1) sen x -1 x+1 x -1 x+1 x -1 x+1 1 sen ---- esta acotado entre los valores +1 y -1, tanto si x -1 + como si x -1 - x+1 Luego lim f(x) = K = 3 x -1 Si damos a f(-1) el valor 3, la f(x) será continua en x = -1 Sea f(x) = e x + 2. Se pide: a) Representar la gráfica ; b) Hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta y = x ; c) Hay algún punto en el que la recta tangente sea horizontal?. 4,7

38 a) y = x y = e x + 2 no corta al eje OX y = 2 0 = e x + 2 ; - 2 = e x No existe ningún valor de x Corta al eje OY para x = 0 ; y = e = 3 x = 1 ; y = e = 4,7 y = lim x e x + 2 = + 2 = y = lim e x + 2 = e = 1 / e + 2 = 2 x b) Si la tangente es paralela a y = x m t = m r = 1 y (x 0 ) = m t ; y = e x ; e x 0 = 1 ; Ln e x 0 = Ln 1 x 0 = 0 punto de tangencia. (0,3) La única tangente horizontal podría ser y = 2 pero al ser la asíntota solo costará a la curva en x = - ; luego no hay ningún punto. Sea f(x) = x 2 x. Probar que es continua en R. Dibujar su gráfica. x 2 x x < 0 0 x = 0 f(x) = x 2 - x = x ( x 1 ) = -x 2 + x 0 < x < 1

39 0 x = 1 x 2 x x > 1 Para dibujar la función modulo, dibujamos y = x 2 x. x y El vértice será el máximo ó mínimo. x x 0 0 y = 2x 1; y = 0; 2x 1 = 0; x = 1/2; ½ - ¼ x y = y > 0 mín (1/2, 1/4, -1/2) = ( ½, - ¼) -1 2 En la figura hacemos positiva toda la parte de la función que salga negativa. La función en (-,0) es continua par ser función polinómica de 2º grado en (0,1) es continua por ser función polinómica de 2ºgrado en (1, ) es continua por ser función polinómica de 2 grado. En x = 0 = 0 = 0 = f (x) = 0 CONTINUA = 0 En x = 1 = 0 = f (1) = 0 CONTINUA Sea. Hallar los puntos de la gráfica f(x) en los que la recta tangente pasa por el origen de coordenadas. Dibujamos la gráfica: D=R

40 La tag a la f(x) que pase por (0,0) es la recta y=0 que corta a f(x) en (0,0) (-1,0) y (1,0) cos x 1 para x < 0 Sea la función f(x) = + a para 0 x < 2 para x 2

41 Hallar los valores de a y b para que sea continua en R. Con estos valores, estudiar su derivabilidad. (-, 0) y = cos x 1 es continua por ser función sinusoidal-función constante. (0, 2) y = + a es continua a por ser función polinómica. (2, ) y = es continua b excepto para x = 1 (2, ) + a) = a En x = 0 L 1 = L 2 ; a = 0 cos x 1) = 1-1= 0 = = b En x = 2 L 1 = L 2 b = 4 + a; b = 4 + a = 4 + a cos x 1 x < 0 - sen x x < 0 Si f(x) = 0 x < 2 f (x) = 2x 0 x < 2 x 2-4 / (x 1) 2 x 2 Las 3 funciones f (x) son continuas en sus intervalos. x = 0 = 0 L 1 = L 2 = f(0) continua la f (x) f(x) es = 0 derivable en x = 0 = - 4 x = 2 L 1 L 2 f (x) no es continua f(x) no es = 4 derivable en x = b x - 1 x 2 Sea f(x) = 3x < x < 1 Calcular el valor del parámetro b para que la f(x) sea continua en - x x 1 x = -1 y en x = 1 1

42 f(-1) = b = 1 + b Para que f(x) sea continua en x = - 1 (-1) 2 En x = - 1 lim (3x 2 + 4) = 7 L 1 = L 2 7 = 1 + b b = 6 x -> -1 + lim (1/x 2 + b) = 1 + b lim f(x) = 7 = f(-1) x -> -1 x -> -1 f(1) = = 7 En x = 1 lim ( x 3 + 8) = = 7 L 1 = L 2 lim f(x) = 7 = f(1) x -> 1 + x -> 1 lim (3x 2 + 4) = = 7 Continua en x = 1 x -> 1 - Para b = 6 podemos asegurar que la f(x) es continua en x = -1 y en x = 1 Sea f una función de la que se sabe que: f -- = --, f -- = -- y en general f -- = --- para todo n N n n 2 Si f es continua en el origen, que se puede asegurar del valor de f en el origen, f(0)?. La función que representa los valores particulares dados será: f(x) = x 2 la cual es continua en el origen. 1 1 f(0) = lim --- = -- = 0 n-> n 2 Sea la función f(x) = 1 / x es continua en el intervalo [-1, 1]? y en (-1, 1)? Para que sea continua en [-1, 1], lo debe ser por la izquierda de -1, por la derecha de 1 y en el (-1, 1). 1 1 lim f(x) = f(-1)? lim = = -1 = f (-1) es continua por la izquierda de x = -1 x 1 x 1 x 1

43 lim x 1 f(x) = f(1)? lim x = = 1 = f (1) es continua por la derecha de x = -1 x 1 El problema es que para x = 0 (-1, 1) la f (0) = 0 1 no está definida, y aunque lim f (x) exista o no ( en este caso es ), podemos asegurar que f (x) en x = 0 no es x 0 continua por no estar definido la f (x), ni en [-1,1], ni en (-1,1) Sea f(x) la funcion definida por: f(x) = 4 si - 3 x < 3 a) Es derivable f(x) en x = 3?. 7 x si 3 x 7 b) Cuál es el significado geométrico del resultado obtenido?. Para x = 3 f (x) = 0 si - 3 x < 3-1 si 3 x 7 f (3) = - 1 lim (-1) = - 1 x-> 3 + L 1 L 2 No existe lim f (x) f (x) no es continua en x = 3 lim (0) = 0 x-> 3 x-> 3 - f(x) no es derivable en x = 3 Geométricamente la f(x) = 4 en [-3, 3) es la funcion copnstante de pendiente 0, mientras que la f(x) = 7 x en [3, 7] es una recta de pendiente 1, por eso la f(x) no es derivable, ya que sus pendientes por la derecha y por la izquierda de x = 3 no coinciden. Sea la funcion f(x) definida por: f(x) = 2x + a si x < 3 a) Encuentre al valor de a para que f(x) sea continua. x 2 2x si x 3 b) Comprobar si es derivable en x = 3. a)

44 En (-, 3) y = 2x + a esta definida en R para todo valor de a, por ser una funcion polinomica de grado 1 f(x) definida en (-, 3) C R f(x) es continua en (-, 3). En (3, ) y = x 2 2x esta definida en R para todo valor de a, por ser una funcion polinomica de grado 2 f(x) definida en (3, ) C R f(x) es continua en (3, ). f(3) = = 3 En x = 3 lim (x 2 2x) = 3 x 3 + lim (2x + a) = 6 + a x 3 - L 1 = L 2 3 = 6 + a a = - 3 la f(x) tiene limite y es continua b) f (x) = 2 si x < 3 2x 2 si x 3 f (3) = = 4 En x = 3 lim (2x - 2) = 4 x 3 + L 1 L 2 No existe lim f (x) f (x) no es contilim (2) = 2 x-> 3 x 3 - nua en x = 3 f(x) no es derivable en x = 3 x para x < 1 Se considera la función g(x) = y las funciones x + 1 para x 1 f 1 (x) = (x - 1) g(x) f 2 (x) = (x - 1) ² g(x). Estudiar la derivabilidad de las funciones f 1 y f 2 en el punto x = 1. x. (x - 1) x<1 x² - x x < 1 Estudiamos la derivabilidad de f 1 (x)= f 1 (x) =

45 (x+1) (x-1) x 1 x² - 1 x 1 f 1 (x ) = 2x - 1 x < 1 2x x 1 lim (x² - 1) = 1-1 = 0 x 1 + f 1 (x): x=1 l 1 = l 2 Э lim f 1 (x) = f 1 (1) = 0 lim (x² - x) = 1 1 = 0 x 1 f 1 (x) es continua. x 1 - lim 2x = 2 x 1 + f' 1 (x): x=1 l 1 l 2 no Э lim f 1 (x) f 1 (x) no es x 1 continua lim (2x - 1) = 2 1 = 1 x 1 - f 1 (x) no es derivable en x=1. x (x-1)² x<1 x³ - x² + x x<1 3x² - 4x + 1 x<1 f 2 (x) = f 2 (x)= f 2 (x) = (x+1)(x-1)² x 1 x³ - x² - x +1 x 1 3x² - 2x -1 x 1 f 2 (x): x = 1 lim (x³ - x² - x + 1) = = 0 x 1+ l 1 = l 2 Э lim f 2 (x )= f 2 (1) = 0 lim (x³ - 2x² + x )= =0 x 1- x 1 f 2 (x) es continua. lim (3x² - 2x - 1) = = 0 f' 2 (x): x=1 x 1 + l 1 = l 2 Э lim f 2 (x )= f2 (1) = 0 x 1 lim (3x²-4x+1)=3-4+1=0 x 1 - f 2 (x) es continua f 2 (x) es derivable en x = 1. Se define la función f(x) del siguiente modo: Ln x -1 para x >1 f(x)= Encontrar los valores de a y b para que 2x²+ax+b para x 1 sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas. Estudiar su derivabilidad. Hallar los puntos de su gráfica en los que la tangente es paralela al eje x.

46 Para que sea continua en x =1. lim (ln x - 1)= ln 1-1= -1 x 1 + l 1 = l 2-1 = 2 + a + b a + b = - 3. lim (2x² + ax + b)= 2+ a + b x 1 - Para que pase por el origen (0,0), cojamos f(x) = 2x² + ax + b ya que x = 0 1 0= 0+ a 0 + b b=0 y a=-3. f(x)= 2x² - 3x x 1 4x - 3 x 1 f (x)= ln x - 1 x >1 1 / x x >1 Veamos si f (x) es continua en x = 1. lim 1 / x = 1 / 1 = 1 x 1 + l 1 = l 2 Э lim f (x)=f (1)=1 f (x)es continua x 1 lim (4x - 3) = 4-3 = 1 f(x) es derivable en x = 1. x 1 - Para que la tangente sea paralela al eje OX, este tiene m r =0 m t = m r = 0. En y = 2x² - 3x y`= 4x - 3 = 0 4x o = 3; x o = ¾ y o = 2 ( ¾ )² - 3 ¾ = 2 9/16 9/4 = 9/8 9/4 = -9/8 P(3/4, -9/8) En y = ln x - 1 ; y`= 1 / x 1 / x o = 0 ; x o = 1 / 0 no existe P Se puede aplicar el teorema de Bolzano a la función f (x) = intervalo [0, ]. Razónalo. en el Hipótesis f (0)= = 0

47 f ( ) = = 0 Signo f (0) signo f ( ) f (x) no está definida para x R / =0 La f (x) no es continua en x= ya que no está definida. f ( ) = =. Falla la 1ª hipótesis del teorema de Bolzano No se puede asegurar que x 0 [0, ] / f (x 0 ) = 0 Se puede asegurar que la función x 3-3 sen x + 4 toma el valor cero en algún punto del intervalo [-2,2]? Razonar la respuesta indicando el resultado teórico utilizado. Para asegurar que algún x 0 Ɛ [-2,2] haga que la ecuación x 3 3sen x + 4 = 0 se verifique, me ayudo de una ƒ(x) = x 3 3 sen x + 4 que según Bolzano: Si ƒ(x) es continua en x 0 Ɛ [-2,2] y aquí lo es por ser x 3 ƒ polinómica de grado 3, sen x f sinusoidal y periódica y 4 una función constante en las que las tres son continuas e R y la suma de funciones continuas es siempre continua. Además sig ƒ (-2) = (-2) 3 3 sen(-2) + 4 = sen (-2) + 4 <0 sig ƒ (2) = sen 2 +4 = 8-3 sen > 0 Sig ƒ(-2) sig ƒ(2) Con lo que se cumplen las dos hipótesis de Bolzano => Existe al menos un x 0 Ɛ (-2,2) / ƒ(x 0 ) = 0, es decir, existe algún valor de x que verifique la ecuación x 3 3 sen x + 4 = 0 dentro del intervalo (-2,2) Se puede asignar un valor a f(0) para que la función definida por f(x) = 1 - x.sen 1/x (para x 0) sea continua en el punto x = 0?. Se puede, siempre que exista lim f(x) x-> 0 lim (1 x sen 1/x) = 1 - lim x sen 1/x = 1 0 k = 1 x-> 0 x-> 0 ya que lim sen 1/x = k pues sen 1/x esta acotado siempre entre -1 y +1

48 Con solo hacer que f(0) = 1, hace que la función sea continua. x 2 + ax si 0 x < 2 Se sabe que la funcion f (x) = es continua en [0,5] b + x-1 si 2 x 5 y además verifica f(0) = f(5). Hallar a y b. Con estos valores, dibujar la grafica. Para que f (x) sea continua en basta [0,5] con observar la continuidad en x = 2

49 lim ( b + x+1 ) = b + 1 x 2 + lim (x 2 + ax) = 4 + 2a x 2 - Para que sea continua l 1 = l 2 b + 1 = 4 + 2a Además f(0) = f(5) ; f(0) = 0 + a 0 = 0 f(5) = b = b + 2 b + 2 = 0; b = = a; - 5 = 2 a; a = - 5/2 x 2 5/2 x 0 x < 2 2x 5/2 0 x < 2 f(x) = f (x) = -2 + x-1 2 x 5 1 / 2 x-1 2 x 5 lim 1 / 2 x-1 = 1 / 2 1 = 1/2 x 2 + l 1 l 2 no existe lim f `(x) f `(x) no es continua x 2 lim ( 2x 5/2) = 4 5/2 = 3/2 x 2 - f (x) no es derivable x y x y / / = 0 bx 2 + ax si 0 x 2 Se sabe que la función f(x) = c + si 2 < x 5 es derivable en (0,5) y además verifica que f(0)= f(5). cuánto valen a, b y c? Para que sea derivable antes debe ser continua en x = 2 lim c + = c + 1

50 x 2 + x = 2 l 1 = l 2 c + 1 = 4b + 2a lim bx 2 + ax = 4b + 2a x 2 - y derivable en x = 2, para lo cual la derivada debe de ser continua f (x) = 2bx + a 0 x 2 2 < x 5 lim = x 2+ x = 2 l 1 = l 2 4b + a = lim 2bx + a = 4b + a x 2- Además f(0) = f(5) f(0) = b + a 0 = 0 f(5) = c + = c + 2 c + 2 = 0 c = -2-1 = 4b + 2a = 4b + a + = a 4 b = - = -1 ; b = - Un cierto día, la fuerza las olas, medida en Nw, en función del tiempo t ( en horas ) es F(t) = t. Si la fuerza es menor que 50 Nw, no se puede practicar surfing porque el mar esta demasiado en calma. Si es superior a los 200 Nw, las normas de seguridad impiden practicarlo. Con estos datos, si t varia desde las 0 a las 24 de ese día en que horario puede practicarse surfing?

51 x 1 8 x t t>8 F(t)= t = 0 t= t t< t < 50 ; 350 < 50t ; t > t < 50 ; 50 t< 450 ; t < 9 Entre los tiempos 7 y 9 horas la F es < 50 y no se practica t > 200; -50t > -200 ; 50 t < 200 ; t < t > 200 ; 50 t > 600 ; t >12 Entre los tiempos 0 < t < 4 y 12 > t > 24 la F es > 200 y las normas de seguridad impiden practicarlo. Solo se practicara surfing entre las horas 4 y 7 y entre las horas 9 y 12.