Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos

Transcripción

1 Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím n n n + n + + n + lím n n n + n + + n + Dividiendo por n en el numerador y en el denominador, vemos que L lím n + n + n + + n ( ) n n Calcula razonadamente el valor del ĺımite lím n n + ( ) n n El término general de la sucesión, a n, cumple n + a n Por tanto, a n e, n ( n + n ) n ( + n) n ( ( + ) n )n e, n Decide razonadamente si la serie n 7 n (n!) (n)! converge o diverge Nombra o enuncia el criterio utilizado La serie es positiva, siendo su término general a n 7n (n!) Por tanto, (n)! a n+ a n 7 n+ ((n+)!) ((n+))! (n)! 7 n (n!) 7(n + ) (n + )(n + ) 7 4, n Al ser el ĺımite mayor que uno, la serie diverge según el criterio del cociente 4 Decide la convergencia condicional o absoluta (o la divergencia, en su caso) de las series infinitas n ( ) n n, n sen n n,

2 ( ) La primera serie es alternada y converge por el criterio de Leibniz, ya que la sucesión es n n positiva, decreciente y tiende a cero Su serie asociada con los valores absolutos: puede compararse con n la armónica: n n n y, por tanto, n n diverge En conclusión, la serie inicial converge condicionalmente n La segunda serie converge absolutamente por el criterio de comparación ya que clase que n converge sen n n n y hemos visto en 5 Cuáles de los siguientes ĺımites eisten y son finitos? lím / sen, lím cos El primer ĺımite es cero por el teorema de encaje, visto en clase, puesto que / sen /, La segunda función es oscilante : al igual que en algunos ejemplos vistos en clase, es fácil encontrar sucesiones a lo largo de las cuales los valores de la función tienden a valores diferentes Por ejemplo, podemos elegir las sucesiones n πn y t n π/ + πn, cuando n Resulta que f( n) mientras que f(t n ), luego el ĺımite lím cos no eiste 6 Demuestra que la función + + toma el valor / en algún punto c [, 6] Sea f() + + Esta función es obviamente elemental y eiste con seguridad cuando + >, es decir, para > (También podría eistir para otros valores pero ésos no nos interesan) Por tanto, f es continua en el intervalo cerrado [, 6] Además, f() < / y f(6) Es fácil ver que este último valor es > / ya que 7 < 7 (cierto porque 7 < 4) Por el teorema del valor intermedio de Bolzano, en algún punto c [, 6] se cumple f(c) / 7 Para qué valor real del parámetro a es horizontal en el punto (, ) la tangente a la gráfica de la función f() a (a + ) +? La pendiente de la tangente en debe ser cero: f () (a + ), pero a + > para todo a R y, por tanto, la derivada no se puede anular Luego la tangente no es horizonal en dicho punto para ningún valor del parámetro

3 8 Calcula el ĺımite L lím + (e ) En primer lugar, usando la continuidad de la función elemental logaritmo y su comportamiento en los etremos de su dominio, vemos que ln L ln lím + (e ) lím + ln(e ) lím + ln(e ) El siguiente paso es convertir la epresión que figura en el ĺımite en una fracción: ln(e ) ln L lím + Puesto que tenemos una forma, podemos aplicar la regla de L Hôpital: ln L lím + e e e lím + e El último ĺımite puede calcularse de varias maneras He aquí una de ellas Recordando el ĺımite elemental: obtenemos que Puesto que ln L, se sigue que L e lím, ln L lím + e e 9 Estima el error de aproimación de la función f() cos cerca de a por el polinomio de Taylor de grado y en el punto / proceder: Para obtener el polinomio de Taylor P n () de orden n de la función coseno, tenemos dos formas de ) usar el desarrollo de cos en serie de Taylor alrededor de a ; en este caso: cos! + 4 4! 6 6! +, truncando luego la serie después de la potencia n ; ) calcular las derivadas sucesivas f (), f (), f (),, evaluándolas en a, etc De cualquiera de las dos maneras, obtendremos: P () P (), P () P (), P 4 () P 5(), Los polinomios P y P coinciden porque f (), lo cual significa que no hay ningún término con Lo que nos interesa en concreto en este caso es P () / y / El error que se comete al aproimar cos por P (), según la fórmula vista en clase, es igual a E f (4) (c)( a) 4 /4! para algún punto c entre a y /, Recordando que f (4) () cos, tenemos la siguiente estimación para E; E f (4) (c), 4 4 cos c, 4, 4, 467 Para la función f() sen, halla su polinomio de Taylor de orden en a

4 La respuesta es: P () Como recordaremos de la teoría vista en clase, los polinomios de Taylor en a de la función sen son, /!, etc Multiplicándolos por, obtenemos que los polinomios correspondientes de f() son, 4 /!, etc El primero es de grado mientras que el siguiente ya es de grado 4; por tanto, P () Otra manera de llegar a la misma conclusión es calculando f () sen + cos y f () cos sen y evaluándolos en, para luego calcular P () f() + f () + f () Calcula la integral indefinida sen cos Primero aplicamos un truco visto en otros ejercicios similares: I sen cos cos sen cos y luego el cambio de variable t sen Éste nos da dt cos, cos sen t y, por tanto, dt I t ( t ) dt t ( + t) ( t) De esta manera hemos conseguido reducir la integral I a la integral de una función racional de t Ésta se puede calcular usando las fracciones simples o parciales: t ( + t) ( t) A + t + B t + C t + D t Multiplicando ambos lados por el denominador de la izquierda: t ( + t) ( t), obtenemos la condición At ( t) + Bt ( + t) + Ct ( t ) + D ( t ) Agrupando los términos constantes y los términos que contienen a t, t y t respectivamente, vemos que D + Ct + (A + B D)t + ( A + B C)t Para que el polinomio (constante) a la izquierda y el polinomio a la derecha sean iguales para todo t R, es necesario y suficiente que sus coeficientes correspondientes sean iguales, luego D, C, A + B D, A + B C De ahí se sigue inmediatamente que D, C, A+B y B A De las dos últimas ecuaciones fácilmente obtenemos A B / Por lo tanto, t ( + t) ( t) t + t + t, que es la representación buscada Integrando y recordando que ln + C para todo, obtenemos I ln t + ln t t + C ln t + t t + C, donde C R es una constante arbitraria Finalmente, sustituyendo de nuevo t sen, vemos que I ln sen + sen sen + C 4

5 Evalúa la integral indefinida Completando el cuadrado en el denominador: () ( + ) + 4, obtenemos I ( + ) ) + ( + Después del siguiente cambio de variable (bastante obvio): ( + )/ t, (t/) dt, se obtiene I 4 dt t + 6 arc tg t + C + arc tg + C 6 Si una función es diferenciable dos veces y su segunda derivada es cero, deduce que la función es lineal: f() m + n, para algunos m, n R La igualdad f () se cumple para todo R Integrándola, obtenemos f () m para cierta constante m R y para todo R Integrando esta nueva igualdad, obtenemos f() m + n, para alguna constante n R 4 Calcula el valor eacto de la integral ( + ) Aplicando el cambio de variable t en nuestra integral definida, obtenemos: dt, t ; : t, : t, de manera que dt ( ( + ) + t arc tg π π ) π Calcula el valor de la integral ln e Integrando por partes: u, dv e, du, v e, obtenemos e e e e e + C Por el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos que ln e (e e ) ln ln e ln e ln ( e ) ln + ln 6 Calcula el área comprendida entre las curvas f() y g() 4 5

6 Los puntos de intersección de las dos gráficas se encuentran resolviendo la ecuación f() g(), es decir, 4 Para, la ecuación es equivalente a 4, que es lo mismo que 4 + Las soluciones de esta ecuación cuadrática son 4 ± ±, siendo ambas positivas y menores que 4 ya que > Observando las gráficas de las funciones f y g entre y +, vemos que g() > f() en dicho intervalo y que encierran una región en forma parecida a la de media luna, contenida en el triángulo con los vértices (, ), (4, ) y (, 4) Esto se puede comprobar algebraicamente, pues en el intervalo (, + ) se cumple 4 + <, luego < 4 y, al ser positivo, podemos dividir por para deducir que 4 > El área entre las dos gráficas es, por tanto, A + (g() f()) + (4 ) (4 ln ) + 4 ln + 7 Evalúa la integral ( )(9 + ) Primero descomponemos la fracción en suma de fracciones simples Dado que >, este trinomio cuadrático no tiene ceros reales, luego no se puede factorizar más (en factores lineales con coeficientes reales) Por tanto, según la teóría, buscamos los números reales A, B y C para los que ( )(9 + ) A + B + C 9 + para todo Multiplicando ambos lados por ( )(9 + ), obtenemos A(9 + ) + ( )(B + C) (A + B) + (C B) + 9A C, R Comparando los coeficientes del polinomio a la derecha con los del polinomio constante uno, deducimos que A + B, C B, 9A C Por tanto, B C A y A, luego A / y B C / Finalmente, ( )(9 + ) La primera fracción se integra directamente, la segunda usando el cambio de variable t + y la tercera, directamente o poniendo primero t El resultado final es ( )(9 + ) ( ln ln(9 + ) arc tg ) ln 8 ln (π 4 π 6 ) ln( + ) ln π 6 6

7 8 Halla F () cuando la función F viene dada por (a) F () (a) Considerando la función g() e t dt, (b) F () e + log(t + ) dt e t dt, vemos que F es la función compuesta de g y h() : F () g( ) g(h()) Por tanto, la Regla de la Cadena y el Teorema Fundamental del Cálculo nos dicen que F () g ( ) e (b) Para poder aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo, representamos la función F como diferencia de dos integrales: e + e + F () log(t + ) dt log(t + ) dt log(t + ) dt Derivando la diferencia, obtenemos (como en el apartado anterior): F () (e + ) log((e + ) + ) log( 4 + ) 9 Si f : [, ] R es una función continua y tal que c f(t) dt? Razona la respuesta Sí, esto se cumple siempre Damos la prueba a continuación En primer lugar, puesto que f C[, ], podemos definir la función F mediante F () f(t) dt, [, ] f(t) dt, es cierto que siempre eiste c (, ) Según el Teorema Fundamental del Cálculo, F es diferenciable y, por tanto, continua en el mismo intervalo Además, F cumple F () f(t) dt, F () f(t) dt Puesto que < / <, por el Teorema de Bolzano se sigue que eiste c (, ) tal que F (c) /; es decir, c f(t) dt (a) Determina los puntos críticos de la función en el intervalo indicado F () sen t t dt, ( π, π ), (b) Razona si los puntos críticos encontrados son puntos de máimo o mínimo o no 7

8 (a) Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, derivamos la función F, obteniendo F () sen Para encontrar los puntos críticos de F, igualamos la derivada a cero y obtenemos sen Recordando que π < < π, la única posibilidad es π (b) Para decidir si el punto crítico encontrado, π, es un punto de etremo local o no, calculamos la segunda derivada de F (aplicando la regla del cociente) y eaminamos su signo en dicho punto: F () ( sen ) cos sen ; F (π) π ( ) π π < Por tanto, el punto crítico es un punto de máimo local 8