EXAMEN EXTRAORDINARIO 8 de julio de 2016

Transcripción

1 CÁLCULO I EXAMEN EXTRAORDINARIO 8 de julio de 16 Apellidos: Titulación: Duración del eamen: horas y 3 minutos Fecha publicación notas: Fecha revisión eamen: Todas las respuestas deben de estar justificadas acompañándolas de los cálculos desarrollados y eplicaciones apropiadas. Cada respuesta tiene un hueco asignado, pero no es necesario ocuparlo enteramene. NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA, MÓVIL, RELOJ inteligente ni ningún otro tipo de medio de adquisición o envío de información al eterior. Ejercicio 1. (.5 pts.) 1) Sea F() = e t / dt. a) Demuestra que F() es creciente para todo R. b) Estudia la concavidad o conveidad ( hacia arriba ) de F() para cada R. ) Considera ahora los dos polinomios P () = y Q() = + b + c, con b < 1. Demuestra que las gráficas de P () y Q() se cortan en un solo punto. Sugerencia: puedes utilizar la función diferencia h() = P () Q(). 1) a) El teorema fundamental del Calculo infinitesimal implica que la derivada de F() es F () = e /. Como la eponencial toma solo valores mayores que cero, F () >, para toda R y por tanto la función es creciente en toda la recta real. b) La derivada F () = e / es a su vez una función derivable, por lo que la concavidad se puede determinar con la segunda derivada. Si F () > la función es cóncava ( hacia arrriba ) si F () < es convea ( hacia arriba ) y si F () = puede haber un punto de infleión, aunque hay que realizar un análisis adicional para asegurarlo. En nuestro caso > si < F () = e / = si = < si > Por tanto, la función es cóncava para (,), convea en (, ) y en = tiene un punto de infleión, ya que la concavidad es distinta a un lado u otro de ese punto ( ó porque F () = 1 ).

2 ) La función h() es la diferencia entre las dos funciones dadas y sus ceros, los puntos tales que h( ) =, son las abscisas de los puntos en los que se cortan las gráficas ( P ( ) = Q( ) ) Calculamos h() = P () Q() = ( + b + c) = 3 + (1 b) + 1 c que resulta ser un polinomio cúbico y es difícil calcular directamente sus ceros. Pero no nos han pedido calcular concretamente en dónde se cortan las gráficas, sino probar que se cortan en un solo punto. Por tanto, hay que demostrar que eiste un cero de h(), y solamente uno. Esto indica que tenemos que encontrar un resultado del tipo teorema de Bolzano para demostrar la eistencia del cero, y la unicidad posiblemente se demuestre usando la derivada h (). Si es muy grande, entonces 3 + (1 b) ( b < 1, así que b 1 > ) es un número positivo muy grande, y se puede elegir tal que 3 + (1 b) > 1 c por muy grande que sea c, es decir, para valores de grandes, h() >. Viceversa, eligiendo muy pequeño ( igual a un número negativo de valor absoluto suficientemente grande ) se tiene que h() <. Como h() es continua, el teorema de Bolzano implica que tiene al menos un cero. Esto en realidad sucede con todo polinomio cúbico. La derivada de h() es h () = b un polinomio cuadrático, que al ser b < 1 no tiene ceros. Por tanto, el signo de la derivada es constante, siempre positivo, y la función es estrictamente creciente. Una función así puede, a lo sumo, tener un cero. Hemos demostrado que hay un cero y es único. Por tanto, las gráficas se cortan, y en un solo punto.

3 Ejercicio. (.5 pts.) a) Escribe la serie de Taylor centrada en cero de la siguiente función: sen si f () = 1 si = b) Calcula el valor de f (n) (), la derivada de orden n de f en =, para cada n N. c) Determina la serie de Taylor centrada en cero de la derivada f (). a) Para todo R se cumple que Por tanto, si, entonces f () = sen sen = = (n + 1)! n+1. (n+1)! n+1 = (n + 1)! n. El valor de esta última serie en = es 1, y por la unicidad de las series de potencias esta es la serie de Taylor de f (). Por tanto, para todo R se cumple que f () = (n + 1)! n. b) Como la serie no tiene potencias de eponente impar, se deduce que f (n) () = para todo n impar. El valor de las derivadas de orden par se deduce de la siguiente igualdad: Entonces f (n) () (n)! = ( 1)n (n + 1)!. f (n) () = ( 1)n (n)! (n + 1)! = ( 1)n n + 1. c) La serie de Taylor de f se obtiene derivando cada término de la serie de f : f () = d d (n + 1)! n = n (n + 1)! n 1. n=1

4 Ejercicio 3. (.5 pts.) Resuelve el problema de valores iniciales dado por y + 1 y = 1 y(1) = 1 Se trata de una ecuación diferencial lineal no homogénea. Hay varias formas de resolverla, y elegimos aquí hacerlo por el método de variación de constantes. La solución general es la suma de la solución general de la homogénea y una solución particular: y g () = y h () + y p (). La solución de la ecuación homogénea se puede calcular por la fórmula ( 1 y h = 1 y h y h () = Ce )d = Ce log+ = C e La solución particular se encuentra suponiendo que es de la forma y sustituyéndola en la ecuación y p + 1 y p = 1, C () e + C()e C()e = C () e = 1 La solución general es entonces + 1 y p () = C() e [ C() e = C () + C() C() + C() ] e C() C () = e C() = e y p () = e e = 1 y g () = C e 1 La solución del problema de valores iniciales se encuentra sustituyendo las condiciones iniciales en la solución general y g (1) = = 1 C = Se deduce entonces que la solución al problema de valores iniciales es C e y() = 1

5 Ejercicio 4. (.5 pts.) a) Calcula la serie de Fourier de la función f () de período π definida como f () = si π < π. b) Determina si es convergente la serie numérica y en caso positivo calcula su suma. 1 (n + 1) π a) Los coeficientes b n son nulos al ser f () una función par. Los coeficientes a n son ( considerando que f () es par ) a = 1 π f ()d = π d = [ ] π = π π π π π y para n > 1 a n = 1 π π π cos(n) f ()d = cos(n) d π π = [ ] π sen(n) π sen(n) d = + [ ] π cos(n) π n π n π n = 1 si n es par π n = 4 si n es impar El desarrollo de Fourier, al cumplir f () las condiciones del teorema correspondiente y ser continua, tiene como suma f () en todo R y es f () = a + (a n cosn + b n senn) = π 4 π n=1 b) La suma de la serie anterior en = ha de ser f () = = : = f () = π 4 π πn cos(n + 1) (n + 1) 1 (n + 1) 1 (n + 1) π = π 8