Preparando la selectividad

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1 Preparando la selectividad PRUEBA nº 2. Ver enunciados Ver Soluciones Opción A Ver Soluciones Opción B

2 Se elegirá el ejercicio A o el ejercicio B, del que se harán los TRES problemas propuestos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del eamen. Se prohíbe su utilización indebida para guardar fórmulas en memoria). OPCIÓN A A1. Considera la ecuación matricial X m 2 +m) = ) con m parámetro real. a) Para qué valores del parámetro m eiste una única matriz X que verifica la relación anterior? 4 puntos) b) Si es posible, resolver la ecuación matricial para m=. 4 puntos) c) Si es posible, resolver la ecuación matricial para m=1. 2 puntos) A2. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos A y B. No se pueden cultivar más de 8 ha con olivos tipo A ni más de 1 ha con los de tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4m 3 de agua anuales y cada una del tipo B, 3m3. Se dispone anualmente de 44m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 5 y cada una de tipo B, 225. Se dispone de 45 para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y de tipo B produce, respectivamente, 5 y 3 litros anuales de aceite: a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maimizar la producción de aceite. 6 puntos) b) Obtener dicha producción. 4 puntos) A3. Dada la ecuación a y= 2 3, se pide: a) Determinar el ángulo que forma con el eje de abscisas. 3 puntos) b) Justifica si la recta que pasa por los puntos A-1, 3) y B 2, 1) es también paralela. 3 puntos) c) Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela a ella que pasa por el punto de intersección de y= 3 2 y 3 2y = 1 4 puntos) OPCIÓN B ) 1 1 1) B1. Dadas las matrices C= 1 2 y D= 1 2 1, se pide: 1 2 a) Hallar C 1 y D 1 4 puntos) b) Calcular la matriz inversa de C D. 4 puntos) c) Comprobar que C D) -1 = D-1 C-1. 2 puntos) B2. Un fabricante de alfombras dispone d ellas siguientes eistencias de lana: 5kg. de color azul, 4 Kg. de color verde y 225 d color rojo. Desea fabricar dos tipos de alfombras: A y B. Para fabricar una de tipo A se necesitan 1 kg de lana azul y 2 kg de lana verde, y para fabricar una de tipo B, 2 Kg de lana azul, 1Kg de lana verde y 1Kg de lana roja. Cada alfombra de tipo A se vende a 2 y cada una de tipo B por 3. Se supone que se vende todo lo que se fabrica. Se pide: a) Cuántas alfombras de cada se han de fabricar para que el beneficio sea máimo? Cuál es el beneficio? Eplicar los pasos seguidos para obtener la solución. 6 puntos) b) Qué cantidad de lana de color quedará cuando se fabrique el número de alfombras que proporciona el beneficio máimo? 4 puntos) B3. Los tres vértices de un triángulo son A, 1), B1, 2) y C3, ) a) Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C. 4 puntos) b) Hallar el punto de intersección de esta recta con la recta de ecuación + 3y = 2. 3 puntos)

3 OPCIÓN A A1. Considera la ecuación matricial X m 2 +m) = ) con m parámetro real. a) Para qué valores del parámetro m eiste una única matriz X que verifica la relación anterior? 4 puntos) b) Si es posible, resolver la ecuación matricial para m=. 3 puntos) c) Si es posible, resolver la ecuación matricial para m=1. 3 puntos) a) Operando X m 2 +m) A = ) B X A= B X A A 1 =B A 1 X I = B A 1 X= B A 1. Para que X tenga solución, la matriz A ha de ser regular, es decir, ha de tener inversa. La matriz A tendrá inversa si det A). det A) = m 2 +m = 2 m2 + m) 4 = 2m 2 +2m 4 =?. Resolviendo, m= 1 y m= 2. Por lo tanto : Si m 1 ó m 2 A 1 X tendrá solucion. b) Si m=, la matriz A= ) Si m= 1 ó m= 2 NO A 1 X NO tendrá solucion. Sí admite inversa. Cálculo de la inversa: ) ) ) 1 1 1/2 A 1 = 1/2 1/2) La ecuación matricial es X= B A 1. X= B A 1 = ) 1/2 1/2 1/2) = 1 1 4) c) Si m=1, la matriz A= ) no admite inversa. No es posible resolver la ecuación. 1/2 1/2) A2. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos A y B. No se pueden cultivar más de 8 ha con olivos tipo A ni más de 1 ha con los de tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4m 3 de agua anuales y cada una del tipo B, 3m 3. Se dispone anualmente de 44m 3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 5 y cada una de tipo B, 225. Se dispone de 45 para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y de tipo B produce, respectivamente, 5 y 3 litros anuales de aceite: a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maimizar la producción de aceite. 6 puntos) b) Obtener dicha producción. 4 puntos) Ha olivos tipo A y Ha olivos tipo B Conjunto de Restricciones: y y y 45} Función objetivo: La producción f, y) = z z= 5 + 3y litros anuales si z= ; y= 5 3

4 Recta 3: pendiente m= -4/3 y= )/3 44/3 Recta 4: pendiente m= - 2 y= La función objetivo, cuando z=, tiene de pendiente m= 5/3. Dado que: 4/ 3 m 3 < 5/3 < 2 m m 4 La solución es el punto C a) 5 Ha olivos tipo A y 8 Ha olivos tipo B C5, 8) y= 2+18} b) La producción será z= = 4 9 litros anuales A3. Dada la ecuación a y= 2 3, se pide: a) Determinar el ángulo que forma con el eje de abscisas. 3 puntos) b) Justifica si la recta que pasa por los puntos A-1, 3) y B 2, 1) es también paralela. 3 puntos) c) Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela a ella que pasa por el punto de intersección de y= 3 2 y 3 2y = 1 4 puntos) a) La función y= 2 3 es una función polinómica de 1º grado, su gráfica es una recta de pendiente m= 2 y sabemos que m= tg α, siendo α el ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las X. Por lo tanto, tg α = 2 y el ángulo α = arc tg 2 = 63º 26' 5.8. b) La recta que pasa por los puntos A-1, 3) y B 2, 1) tiene de pendiente m= y 2 y = = 2 3. Por lo tanto no son paralelas ya que tienen distinta pendiente. c) Cálculo del punto de intersección: y= y=1} ) = 1; = 1 e y= 1. Una recta paralela tendrá la misma pendiente, su ecuación será y= 2 + b. Como ha de pasar por el punto 1, 1), sustituyendo, resulta: 1=2 1 + b; b= 1 La recta buscada es y= 2 1.

5 OPCIÓN B ) 1 1 1) B1. Dadas las matrices C= 1 2 y D= 1 2 1, se pide: 1 2 a) Hallar C 1 y D 1 4 puntos) b) Calcular la matriz inversa de C D. 4 puntos) c) Comprobar que C D) -1 = D -1 C puntos) a) detc)= = = 2 ; Dado que C= 2 C 1. C 1 = 1 C Ca ) t 1 5) 2 3 ; C a ) t = 4 2 C a + +1 = 2) + 3) = +4 2) +5) C 1 = 1 C Ca ) t = ) ; C 1 = = 2 D a = detd)= ; /2 3/2 5/2) ) = 2 1 2)= 2 ; Dado que D= 2 D 1. D 1 = 1 D Da ) t ) + 1) = + 2) +2) D 1 = 1 D Da ) t = ) ) 1 b) Cálculo de C D = 1 2 = detc D) = c) D 1 C 1 = AdjC D) = 1 4 2) 1 ; 2 ; D a ) t 2 2 2) = 1 1 ; /2 1/2 2 1) D 1 = = ) 1 1) = = ; AdjC D) ) 2 6 6) t 2 2 = 2 2 ; 2 2 6) 1 1 1/2 1/2 2 1) = 2 3 1) = ) = 1/2 1/2 1/2 C D) 1 1/2 1/2 1/2 3/2) = 1/2 3/2 5/2) 1/2 1/2 1/2 1/2 = C D) 1/2 1/2 3/2) 1. B2. Un fabricante de alfombras dispone de las siguientes eistencias de lana: 5kg. de color azul, 4 Kg. de color verde y 225 de color rojo. Desea fabricar dos tipos de alfombras: A y B. Para fabricar una de tipo A se necesitan 1 kg de lana azul y 2 kg de lana verde, y para fabricar una de tipo B, 2 Kg de lana azul, 1Kg de lana verde y 1Kg de lana roja. Cada alfombra de tipo A se vende a 2 y cada una de tipo B por 3. Se supone que se vende todo lo que se fabrica. Se pide: a) Cuántas alfombras de cada se han de fabricar para que el beneficio sea máimo? Cuál es el

6 beneficio? Eplicar los pasos seguidos para obtener la solución. 6 puntos) b) Qué cantidad de lana de color quedará cuando se fabrique el número de alfombras que proporciona el beneficio máimo? 4 puntos) nº de alfombras tipo A y nº de alfombras tipo B LANAS Tipo A Tipo B Total kg) azul verde roja Conjunto de Restricciones: 1 +2y 5 } 2 2+y 4 3 y y Función objetivo: f, y) = z z= 2 + 3y si z= ; y= 2 3 Recta 1: pendiente m= -1/2 y= 5 / Recta 2: pendiente m= - 2 y= La función objetivo, cuando z=, tiene de pendiente m=-2/3. Dado que: 1/ 2 m 1 y= / 2+25 La solución es el punto C y= 2+4 } C1, 2) =1 alfombras tipo A. El beneficio será z= = 8.. y=2 alfombras tipo B} Otra forma de obtener la solución es el estudio en cada vértice: Punto B: y= / 2+25 B5, 225) y=225 } < 2/3 < 2 m m 2 Punto y Beneficio z= y A B C Máimo D 2 4, b) 1 nº de alfombras tipo A y 2 de alfombras tipo B LANAS 1 alfombras Tipo A necesitan 2 alfombras Tipo B necesitan Se han gastado kg) Había un Total de kg) Quedan kg) azul 1 1 =1 kg 2 2 = 4 kg 5 kg 5kg kg de azul verde 2 1= 2kg 1 2 = 2 kg 4 kg 4 kg kg de verde roja 1 2= 2 kg 2 Kg 225 Kg 25 kg de rojo

7 B3. Los tres vértices de un triángulo son A, 1), B1, 2) y C3, ) a) Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C. 4 puntos) b) Hallar el punto de intersección de esta recta con la recta de ecuación + 3y = 2. 3 puntos) a) La ecuación punto-pendiente de la recta es y y = m ) Si es paralela al lado AB su pendiente será m = b a 2 2 AB = 2 1 b 1 a 1 1 = 1 R Si ha de pasar por el punto C3, ) resulta: y = 1 3 ) y = 3 b) El punto de intersección y= 3 +3y=2} +y= 3 +3y=2 } / +4y= 1 y= 1/4 3 3y=9 + 3y=2 } 4+ / =11 =11/4 P 11 4, 1 4)