Diseño Industrial Ecuación de la recta Ing. Gustavo Moll

Transcripción

1 ECUACIÓN DE LA RECTA Tres o más puntos alineados determinan una recta. Encontrar una ecuación que represente a esa recta significa encontrar una le o patrón que deban seguir todos los puntos de esa recta para pertenecer a la misma. Para poder plantear una ecuación debo primero definir ejes de referencia; ésto es un sistema cartesiano al cual referir la recta. (0;0) Por ejemplo, supongamos que hemos diseñado un juguete de madera cuo costo de materiales es de pesos cada juguete: Costo unitario: C U $ jug. Para saber cuanto es el costo de fabricación de juguetes deberé multiplicar el costo unitario por. Si quiero saber el costo de juguetes deberé multiplicar por ; en general deberé multiplicar el costo unitario por la cantidad de juguetes a fabricar. Costo total Costo unitario Cant. de juguetes C $ CU Cant C t Cant Jug T

2 Si quisiera graficar este costo, deberé plantear un sistema coordenado donde en un eje tenga cantidad de juguetes en el otro el costo total. 0 juguetes $ jug 0 jug $0 6 Costo $ Cant Jug. juguete juguetes juguetes $ jug $ jug $ jug jug jug jug $ $ $6 Si al costo unitario le llamo m, a la cantidad de juguetes le llamo al Costo total le llamo, obtendré la ecuación de esta recta que pasa por el origen de coordenadas: Costo $ 6 m. (Ecuación eplícita de la recta) Cant Jug. Cualquier punto perteneciente a esa recta sigue la le: m. $ C T Cant Jug Si analizamos el negocio que estamos haciendo descubriremos que nos estamos olvidando de considerar otros factores que contribuen a crear el costo de fabricación del juguete. Una parte del costo de fabricación son los materiales usados, que daba un costo unitario de $ cada juguete. Pero para fabricar esos juguetes tendré una serie de gastos fijos tales como alquiler de un local donde fabricarlos, impuestos, sueldos, etc. Supongamos que estos gastos totalicen $ 0.

3 Todos estos gastos fijos pasan a formar parte del costo de fabricación, a no directamente en función de la cantidad fabricada, sino como un costo fijo, a que aunque no fabrique ninguna pieza igualmente deberé pagar alquiler, impuestos, etc. Quiere decir que a mi costo total no es el que había planteado, donde para Cero juguete tenía Cero costo. Ahora tendré siempre un mínimo de $ 0. Ahora el costo total será: Costo total Costo unitario Cant. de juguetes + Costo fijo $ C T CU Cant + CF C t Cant + $ 0 Jug Si a ese costo fijo le llamo b, la ecuación de la recta será: m. + b (Ecuación eplícita de la recta) Ahora la recta no pasará por el origen, sino que nacerá en el costo de $ 0. Costo $ b 6 0 $ jug jug + $0 $ jug Cant Jug.

4 La ecuación a. es una función lineal que a cada punto de le hace corresponder un punto de. Por ejemplo, la ecuación: Al darle valores a obtenemos valores para, que al representarlos en los ejes cartesianos - dibujarán una recta. La diferencia entre una ecuación otra es la inclinación de la misma, que está dada por el coeficiente que afecta a. Costo $ 6 O P Q Cant Jug. En el triángulo rectángulo opq, se verifica: pq oq 6 tgα tgα. tg α es un número constante que llamaremos m. tg α. m. m. es la ecuación de las rectas que pasan por el origen m tg α se llama pendiente de la recta o parámetro de dirección.

5 Veamos cómo es el signo de la pendiente m según la inclinación de la recta: Tomaremos dos rectas, una que forme un ángulo de 5º con el eje : m tg 5º + 5º Vemos que la tangente de 5º, es decir m es positiva. Si tomamos otro caso donde el ángulo que forma la recta con el eje es de 0º: M tg 0º -,7 0º Vemos que la tangente de 0º, es decir m es negativa. En general, podemos decir que para ángulos menores de 90º la pendiente m es positiva que para ángulos maores de 90º la pendiente m es negativa. Casos particulares: a) La ecuación del eje. El ángulo α 0º, implica que será tg 0º 0 Entonces: 0. o sea: 0 b) La ecuación de una recta paralela al eje. 5

6 Como para todo punto de la ordenada () es, entonces la ecuación de esta recta es: c) La ecuación del eje El ángulo α 90º, implica que tg es imposible, tg α no eiste 0 (ha infinitas soluciones). La ecuación m. representa a cualquier recta que pase por o ecepto el eje. El eje no representa una función, pues ha infinitos valores de como imagen. Como para todo punto de la abscisa es cero, entonces: 0 es la ecuación del eje. d) La ecuación de una recta paralela al eje. - Como para todo punto de la abscisa () es -, entonces la ecuación de esta recta es: - Hasta ahora hemos visto la ecuación de la recta: m. + b que es la ecuación eplícita de la recta donde la está despejada en el primer miembro de la ecuación. por ejemplo: + Cuando la no está despejada tenemos la ecuación implícita de la recta. Por ejemplo: - 6

7 Dada la ecuación graficar la recta: Por ejemplo, dada la ecuación + graficar la recta Veremos dos formas de hacerlo, donde cualquiera de los dos métodos es válido el alumno elige el que más le guste. ) Buscamos los puntos donde la recta corta a los ejes coordenados. Donde la recta corta al eje de las sabemos que 0 entonces en la ecuación reemplazamos por su valor (cero) despejamos el valor de , 5 Es decir que sabemos que para 0 será - 0,5 Donde la recta corta al eje de las sabemos que 0 entonces en la ecuación reemplazamos por su valor (cero) despejamos el valor de Es decir que sabemos que para 0 será Con esos puntos a podemos graficar la recta: -0,5 ) La otra forma que veremos es analizando la ecuación: + m. + b Si comparamos ambas ecuaciones veremos que b, siendo b la ordenada donde la recta corta al eje. Es decir que a tenemos un punto de la recta. También veremos que m siendo m la pendiente de la recta. Para verlo mejor epresaremos la ecuación como: + + siendo el desplazamiento según el eje el desplazamiento según el eje. 7

8 Por otro lado el signo positivo de m indica que la inclinación de la recta es menor a 90º. Graficando: b Lo que hemos hecho es marcar el punto conocido ( b ) a partir de ese punto subir unidades en el sentido de las para luego desplazarnos unidad en el sentido de las. El desplazamiento según el eje lo hacemos hacia la derecha debido a que como la pendiente es positiva (m positivo) sabemos que la inclinación de la recta es menor a 90º. EJERCICIOS DE ECUACIÓN DE LA RECTA RECTAS QUE PASAN POR EL ORIGEN ) Dibuja la recta cua ecuación es: pendiente m Comparando la ecuación dada con: m. + b podemos ver que b 0, que implica que la recta pasa por el origen, es decir que corta al eje en la ordenada b 0 Partiendo del punto (0;0) me desplazo unidades en el sentido del eje para luego desplazarme 5 unidades en el sentido del eje. Como el signo de m es negativo sabemos que la inclinación de la recta es maor a 90º, por lo que el desplazamiento será hacia la izquierda. 8

9 ) Determina la ecuación de la siguiente recta graficada: Vemos que el ángulo es maor que 90º por lo que la pendiente será negativa. comparando la ecuación con - Por lo que la pendiente m es: m. + b vemos que b 0 que nos indica que la recta pasa por el origen de coordenadas. Si analizamos el desplazamiento a partir del origen de coordenadas, vemos que sube unidades según el eje, para luego desplazarse unidad según el eje. pend la ecuación de la recta será: RECTAS QUE NO PASAN POR EL ORIGEN ) Representa las siguientes ecuaciones eplícitas: a) - a. + b a pend b - a partir de - (para 0) desplazo una unidad en subo tres unidades en. Como la pendiente es positiva, se que el ángulo α que forma la recta con el eje es < 90º. - 9

10 b) + a. + b a pend b 0,75 a partir de 0,75 desplazo en subo en. Como la pendiente es negativa, se que el ángulo α que forma la recta con el 0,75 eje es > 90º. c) 5 + a. + b a pend 5 b,5,5 a partir de,5 me desplazo en subo 5 en. Como la pendiente es positiva, se que el ángulo α que forma la recta con el eje es < 90º. ) Determina la ecuación eplícita de la siguiente recta (Calcula la pendiente determina la ordenada al origen): pend a b a. + b

11 Otra forma de encontrar los datos: A veces nuestro dato de la pendiente m viene disfrazado no se lo reconoce a simple vista. Podemos tener el dato de otras tres formas: ) La pendiente es del 0 % φ % indica que por cada 00 unidades que se desplaza en horizontal, sube 0 en vertical. Como la pendiente m es la tangente de φ, ésto es el cociente entre cateto opuesto cateto adacente, será: cat. op. 0 m tg φ 0, cat. ad. 00 ) El ángulo φ es de 0º Como sabemos que la pendiente m es la tangente de φ, será: m tang 0º 0,577 ) En lugar de darnos el ángulo nos dan el suplemento. 80º φ Dato: 80º Cuando hablamos de ángulo de una recta, estamos hablando del ángulo que forma con el sentido positivo del eje, es decir el que en la gráfica figura como φ. Es un error mu común confundir los datos. Se debe tener en claro que 80º es el suplemento del ángulo buscado, es decir que: φ 80º - 80º 00º Luego, la pendiente m tg 00º - 5,67

12 RECTAS PARALELAS Para que dos rectas sean paralelas deben tener la misma inclinación, es decir que el ángulo que forman con el eje debe ser el mismo para las dos rectas. Si el ángulo φ es el mismo para las dos rectas, también lo será la pendiente m, es decir la tang. Φ. Por ejemplo: φ φ +,5 Son todas ecuaciones de rectas paralelas, la primera corta al eje en, la segunda pasa por el origen de coordenadas, la tercera corta al eje en -,5 la última lo corta en -. Pero todas tienen la misma pendiente, por lo tanto son paralelas. RECTAS PERPENDICULARES Cuando dos rectas son perpendiculares tienen distinto signo (si una es positiva, la otra será negativa) la pendiente de una es la inversa de la otra. tg tg m m ésta es la relación que vincula las pendientes de dos rectas perpendiculares. Si la ecuación de R es m + b La ecuación de R es + b m Siendo R R

13 Ejemplo: R: 5 R: R R R R R : + 7 R : 5 RECTA QUE PASA POR UN PUNTO DE COORDENADAS CONOCIDAS Cuando mis datos son la pendiente m de una recta las coordenadas de un punto perteneciente a la misma debo utilizar la fórmula: 0 m. ( 0 ) donde: ( 0 ; 0 ) son las coordenadas de un punto perteneciente a la recta m es la pendiente de la recta. Ejemplo: Dada la Sea R la recta de pendiente m el punto P 0 (-, ) La ecuación de la recta de pendiente que pasa por P 0 es: ( 0 ) m ( 0 ) ( (- )) ( + )

14 CUANDO EL DATO DE LA PENDIENTE SE ENCUENTRA DISFRAZADO Si en lugar de tener como dato que m tuviesemos como dato, por ejemplo, que el ángulo que forma la recta con el eje es de 70º el punto P 0 (-, ), sabiendo que la pendiente m es la tangente de ese ángulo, solo tenemos que calcular: m tang 70º,77 La ecuación de la recta que pasa por P 0 es: ( 0 ) m ( 0 ),77 ( (- )),77 ( + ),77 + 5,9 7,9 + 5, ,9 Si en lugar de tener como dato que m tuviesemos como dato, por ejemplo, que la pendiente de la recta es del 0 % el punto P 0 (-, ), sabiendo que la pendiente del 0% indica que por cada 00 unidades que se desplaza en horizontal, se desplazará 0 en vertical que m es la tangente del ángulo que se forma, solo tenemos que calcular: φ 00 0 m 0 tan ϕ 00 0, La ecuación de la recta que pasa por P 0 es: ( 0 ) m ( 0 ) 0, ( (- )) 0, ( + ) 0, + 0,6,6 + 0,6 + +,6

15 CUANDO LA RECTA DEBE PASAR POR UN PUNTO DE COORDENADAS CONOCIDAS ADEMÁS SER PARALELA A OTRA RECTA DADA En este caso nuestro dato es, por ejemplo, que la recta debe pasar por el punto P 0 (- ; ) ser paralela a la recta + Sabemos que para que dos rectas sean paralelas deben tener la misma pendiente; en nuestro caso m De esta forma, la ecuación de la recta será: ( 0 ) m ( 0 ) ( ( )) ( + ) , +, 5

16 CUANDO LA RECTA DEBE PASAR POR UN PUNTO DE COORDENADAS CONOCIDAS ADEMÁS SER PERPENDICULAR A OTRA RECTA DADA En este caso nuestro dato es, por ejemplo, que la recta debe pasar por el punto P 0 (- ; ) ser perpendicular a la recta + Sabemos que para que dos rectas sean perpendiculares deben tener el signo cambiado la pendiente de una ser la inversa de la de la otra; en nuestro caso si la recta dada es de pendiente m, la nueva recta tendrá pendiente: m De esta forma, la ecuación de la recta será: ( 0 ) m ( 0 ) ( ( )) ( + )

17 RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS DE COORDENADAS CONOCIDAS Cuando la recta debe pasar por dos puntos de coordenadas conocidas, por ejemplo los puntos A ( ; -) B ( ; ) En este caso tengo dos formas de resolverlo: ) Utilizando la ecuación de la recta que pasa por un punto ) Utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos ) Utilizando la ecuación de la recta que pasa por un punto A ( ; ) B ( ; ) Primero graficamos para tener una idea eacta de la ubicación de los puntos. B A φ > 90º unid. Una vez ubicados los puntos podemos observar que se forma un triángulo virtual (marcado en azul) que nos audará a calcular el valor de la pendiente, que en definitiva es la tangente del ángulo. cat. op m tgϕ cat. ad El signo negativo lo deducimos al saber que el ángulo que forma la recta con el eje de las es maor que 90º. Luego adoptamos uno cualquiera de los dos puntos que tenemos como dato, por ejemplo el punto A (;) planteamos la ecuación: ( 0 ) m ( 0 ) ( ), , 5 7

18 ) Utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos Primero graficamos para tener una idea eacta de la ubicación de los puntos. Por dos puntos pasa una sola recta. Consideremos dos puntos A ( ; ) B ( ; ) A uno de ellos le asignaremos ( 0 ; 0 ) al otro ( ; ) Es decir: Para A: 0 0 Para B: luego reemplazamos en la fórmula anterior ( ) ,5 Como vemos por las dos vías llegamos a la misma ecuación de la recta que pasa por los puntos A b. El único cuidado que ha que tener, con cualquiera de los dos métodos, es en no confundir los signos ni el órden de 0, 0, e, porque de confundirlos el resultado de la ecuación será incorrecto. 8

19 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA La ecuación de la recta suele epresarse de esta forma: a. + b a + b 0 en general: A + B + C 0 Que se llama ecuación implícita o ecuación general de la recta. Despejando obtenemos la ecuación eplícita: donde: A a B A B C B b C B Ejemplo: Dada la ecuación general hallar la ecuación eplícita de la recta. Despejamos : ecuación eplícita 5 5 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS a b La distancia entre dos puntos a b es la medida del segmento ab (será un número real no negativo). ab ac + cb d ( a, b) ( ) + ( ) d ( a, b) ( ) + ( ) 9

20 Ejemplo: a (-, -5) b (, -) d ( a, b) ( + ) + ( + 5) DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA P 0 R La distancia de un punto P o a una recta es la medida de la longitud del segmento de la perpendicular trazada por el punto a la recta. P d d ( 0 P0, R) ( P, P) siendo P el pie de la perpendicular a la recta R por P 0 Los pasos a seguir son los siguientes:. Se determina la ecuación de la recta perpendicular a R por el punto P 0.. Se determina el punto de intersección de ambas rectas, p (,) resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones (método de igualación).. Se calcula la distancia entre los puntos P 0 P utilizando el teorema de Pitágoras. Ejemplo: Sea R la recta de ecuación P 0 (0, ) P 0 (0;) 5 7 R. Determinamos R R Ecuación de R Ecuación de R (que pase por P 0 ) ( 0 ) ( 0 0) ( 0 )

21 .Se resuelve el sistema. En P se igualan las dos ecuaciones, es decir que las coordenadas de P (, ) son las mismas para las dos rectas Reemplazamos en alguna de las ecuaciones para obtener el valor de El punto de intersección de las rectas será: P (, ). Calculamos la distancia entre P 0 P: 7 5 P 0 (0, ) P (, ) d ( P 0, P) 7 ( 0) + 5 ( ) ( ) d ( P0, P) 9 8 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS R φ R α ß γ Para averiguar el valor del ángulo ϕ entre las rectas R R debemos tener en cuenta lo siguiente: El ángulo γ (que forma R con el eje ) es igual a: γ α + β β ϕ vértice) por ser ángulos opuestos por el

22 es decir que γ α + ϕ ϕ γ - α Ejemplo: Sean las rectas R R de ecuaciones: R + R - + Será: entonces: la pendiente de tg ( ) ( tangente de α) la pendiente de γ tg ( ) ( tangente de γ) tg ( ) º γ tg ( ) 5º Pero teniendo en cuenta la inclinación de la recta R, vemos que 5º es en realidad el suplemento de γ, por lo que γ es en realidad igual a: Por lo tanto será: γ 80º - 5º 5º 5º γ5º ϕ γ - α 5º - º 0º 8 6