En esta oportunidad trabajaremos con curvas a las que llamamos secciones cónicas o simplemente cónicas.

Transcripción

1 Cónicas 5º Año Cód P r o f. B e t i n a C a t t a n e o P r o f. N o e m í B u s c h i a z z o P r o f. J o r g e l i n a O s e s R e s. d e P r o b l e m a s : P r o f. N a t a l i a F e r r a r i Dpto. de M at emática

2 LAS CÓNICAS EN COORDENADAS INTRODUCCIÓN La geometría descriptiva fue creada por los artistas renacentistas como medio para aprender representar el espacio tridimensional. La representación mental del espacio tridimensional se obtiene mediante una larga evolución que no es innata como dicen las investigaciones sicológicas antropológicas. Resulta interesante analizar cómo el álgebra puede colaborar con la geometría, pero recordando siempre no perder de vista los conceptos geométricos así poder permitir la interacción entre la intuición el razonamiento. En esta oportunidad trabajaremos con curvas a las que llamamos secciones cónicas o simplemente cónicas. Dichas secciones reciben tal nombre porque se definen a partir de una superficie cónica recta, cua definición damos a continuación: Dados una circunferencia C (llamada directriz) un punto v (llamado vértice) perteneciente a la recta perpendicular al plano de la directriz que pasa por el centro O (llamada eje), se llama superficie cónica circular recta de vértice v directriz C a la unión de todas las rectas trazadas por el punto v a cada punto de la circunferencia. Las rectas determinadas por V cada uno de los puntos de la directriz C se denominan generatrices (g) Conocidos estos elementos estamos en condiciones de definir a las cónicas como intersección de la superficie cónica recta con un plano que no pase por su vértice. Observemos el dibujo, leamos el cuadro siguiente para conocer la condición que cumple el plano ( ) para la obtención de cada cónica el nombre de las misma. P O L I T E C N I C O 1

3 CÓNICAS Posición de con respecto a algún elemento de la superficie Cónica obtenida cónica Perpendicular al eje e Circunferencia Que no sea paralelo a ninguna de sus generatrices Es paralelo a una sola generatriz Es paralelo al eje e e Elipse g, g // // g Parábola // e Hipérbola El análisis anterior se realizó considerando que el plano no pasara por el vértice, qué ocurre si el plano pasa por el vértice de la superficie cónica? Será nuestro propósito trabajar con las cónicas pero a partir de su identificación con una ecuación. Para lograrlo será preciso apelar al uso de las coordenadas cartesianas, que a partir de plantear la bisección entre puntos pares ordenados de números nos provee de un instrumento para vincular cónicas con ecuaciones. P O L I T E C N I C O

4 CIRCUNFERENCIA Para lograr nuestro objetivo recordemos la definición de la circunferencia como L.G. 1 Dado un punto fijo C del plano un número positivo r, llamamos circunferencia de centro C radio r al conjunto de los puntos P del plano que equidistan r unidades de C Escribiendo simbólicamente la definición de circunferencia de centro C radio r, resulta: C C; r P ; / dist P; C r; r 0 Ecuación cartesiana o canónica de la Circunferencia Para poder encontrar la ecuación cartesiana de esta cónica, es necesario fijar un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal (Figura 5). En este sistema de acuerdo a la definición de circunferencia como L.G. todo punto P(; ) que pertenezca a la misma deberá verificar que: dist P; C r Figura 5 escribiendo esta ecuación en función de la distancia entre puntos del plano coordenado resulta: ( a) ( b) r esta es la ecuación de la circunferencia, pero su epresión puede ser transformada en una forma más simple, para ello elevamos al cuadrado ambos miembros nos queda: ( a) ( b) r Ecuación canónica de la circunferencia 1 Lugar geométrico (L.G.) es el conjunto de todos los puntos solo aquellos puntos, que satisfacen una o más condiciones dadas. La distancia entre dos puntos del plano es el módulo del vector que ellos determinan, es decir dist P 0;P1 P0 P1 P0 P 1 (1 0) (1 0) P O L I T E C N I C O 3

5 CÓNICAS Actividades: 1. Determina la ecuación gráfica de la circunferencia que tiene: a) centro en el punto C(0; 0) radio 4 b) centro en el punto C(; -1) radio 5 c) centro en C(1; ) pasa por el punto (; 3) d) diámetro AB siendo A(-6; 7) B(-1; -1).. Determina cuáles de las siguientes ecuaciones representan una circunferencia. En caso afirmativo, determina radio; coordenadas del centro gráfica. a) 16 b) /4 = 0 c) d) e) f) g) 5 h) = 0 i) Determina la ecuación de la circunferencia que a) tiene su centro sobre la recta de ecuación = 0 pasa por los puntos P(; -1) Q(-9 ; 0). b) pasa por los puntos (; 1); (3; 4) (-; 5). Determina su centro radio. 4. Dadas las circunferencias ecuación de la recta que pasa por sus centros Determina la 5. Determina la ecuación de la circunferencia que circunscribe al triángulo cuos lados están contenidos en las rectas de ecuaciones , su centro es el punto (0; -) 6. Dada la circunferencia : a) encuentra dos puntos que pertenezcan a ella b) el punto (1; 0) pertenece a la circunferencia? 7. Determina, en cada caso, la ecuación de la circunferencia realiza una representación gráfica previa a la resolución: a) que pasa por los puntos (0; 9) (1 ; ) es tangente a la recta = b) que pasa por el punto (-4; -) es tangente a los ejes coordenados c) circunscripta al triángulo que forma la recta 1 con los ejes coordenados P O L I T E C N I C O

6 8. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, indicando previamente qué representa cada una de las ecuaciones: a) b) c) d) Dados los siguientes gráficos, determina los sistemas de ecuaciones que los representan en cada caso: a. b) c) (3; 4) ELIPSE Recordemos la definición de esta cónica como L.G.: Dados en el plano dos puntos fijos (F1 F) un número real positivo al que nombraremos a, llamamos elipse al conjunto de los puntos P del plano, cuas distancias a los dos puntos fijos sumadas es una constante e igual a a Acordemos algunos nombres: A los puntos fijos los denominamos focos La distancia entre ellos es la distancia focal la indicaremos: dist F;F 1 recta que los contiene eje focal. c a la escribiendo simbólicamente la definición de elipse de focos F 1 F la suma constante a, a la que epresaremos EF 1 ;F ;a, resulta: F ;F ;a P/P : F ;F a R F P F P a E (*) F1P representa la distancia entre F1 P P O L I T E C N I C O 5

7 CÓNICAS Dado un punto cierto P de la elipse, si lo unimos con los focos queda determinado un triángulo que, como se sabe, por la desigualdad triangular (Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos) resulta: P F1 P F P F1 F c ( ) Por la definición de elipse sabemos que F1 c F F1 P F P a ( ) de ( ) ( ) resulta que a > c a c Ecuación cartesiana de la Elipse con centro en (0; 0) focos en el eje de las abscisas Para poder encontrar la ecuación cartesiana de esta cónica, es necesario fijar un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal. Consideraremos el eje de la abscisas coincidente con el eje focal. El eje de las ordenadas perpendicular al de las abscisas pasando por el punto medio de dicho eje. Es evidente que llegaremos a la ecuación de una elipse particularmente ubicada. P(;) F F1 En este sistema cuáles son las coordenadas de los focos?, recordando que la distancia F c;0 focal la llamamos c resulta que 1 F c;0 De acuerdo a la definición de elipse todo punto P(;) que pertenezca a la misma deberá verificar que: F1P FP a escribiendo esta ecuación en función de la distancia entre puntos del plano coordenado resulta: ( c) ( c) a Trabajando algebraicamente llamando: a c = b, obtenemos: a b 1 Ecuación canónica de la elipse con focos en el eje de las abscisas 6 P O L I T E C N I C O

8 1. Simetría con respecto al eje a. Simetrías de una Elipse ; EF ;F ;a P' ; EF ;F ; a P 1 1 que los puntos cuas abscisas son opuestas tienen la misma ordenada pertenecen a la elipse, es decir, puntos simétricos respecto al eje, por lo tanto la gráfica de una elipse centrada en el origen de coordenadas es simétrica respecto al eje. P (-; ) P(; ) F F 1. Simetría con respecto al origen ; EF ;F ;a P' ; EF ;F ; a P 1 1 que los puntos cuas abscisas son opuestas tienen ordenadas opuestas pertenecen a la elipse, es decir, puntos simétricos respecto al origen, por lo tanto la gráfica de una elipse centrada en el origen de coordenadas es simétrica respecto al origen. P(; ) F F 1 P (-; -) 3. Simetría con respecto al eje ; EF ;F ;a P' ; EF ;F ; a P 1 1 que los puntos cuas ordenadas son opuestas tienen abscisas iguales pertenecen a la elipse, es decir, puntos simétricos respecto al eje, por lo tanto la gráfica de una elipse centrada en el origen de coordenadas es simétrica respecto al eje. P O L I T E C N I C O 7

9 CÓNICAS P(; ) F F 1 P (; -) De lo epuesto podemos concluir que: La elipse tiene centro de simetría es el origen de coordenadas. b. Intersección con los ejes coordenados 1. Intersección con el eje Para buscar los puntos donde la curva corta al eje debemos buscar los puntos de ordenada cero, es decir: 0 Si a a Los puntos a; 0 a; 0 a b a, que son los puntos de intersección de la elipse con el eje se los denomina vértices de la misma al segmento que ellos determinan se lo llama eje maor. Intersección con el eje Para buscar los puntos donde la curva corta al eje debemos buscar los puntos de abscisa cero, es decir: 0 Si b b a b b Los puntos 0; b 0; b, que son los puntos de intersección de la elipse con el eje también se los denomina vértices al segmento que ellos determinan se lo llama eje menor 8 P O L I T E C N I C O

10 c. Ubicación de la curva Todos los puntos del plano que pertenezcan a la elipse deben satisfacer su ecuación, es decir P b 1 ; EF ;F ;a 1 a a Como vemos, esta epresión tendrá sentido cuando a; es decir que el subconjunto de puntos del plano cuas abscisas pertenezcan al intervalo a; a serán puntos de la elipse. En forma análoga la condición que deben asumir las ordenadas de ellos, son b, o sea b b. De lo anterior, podemos concluir que la curva estará ubicada en la región sombreada que muestra el siguiente gráfico: b a d. Ecentricidad de la elipse Se define como ecentricidad de una curva E al cociente entre la semidistancia focal el semieje maor a, es decir c a como a > c, resulta 1 Es fácil de ver que cuando los focos de la curva están más próimos entre si, la elipse se aproimará a una circunferencia. Observación: Si la elipse tiene los focos en el eje de las ordenadas, razonando de manera similar a lo anterior, podemos concluir que su ecuación es 1 b a P O L I T E C N I C O 9

11 CÓNICAS Actividades 1. Determina la ecuación de cada una de las elipses dibujadas. a) b) c) Dada la elipse , determina: a) Sus semiejes b) Sus focos c) Su ecentricidad d) Su gráfica 3. Determina en cada caso, la ecuación gráfica de la elipse, centrada en el origen de coordenadas, que verifica: a) uno de sus focos es (4; 0) uno de sus vértices es (6; 0) b) sus semiejes son 3 1 c) su eje maor es 10 la distancia focal es 8 d) la distancia focal es 3 la ecentricidad 1 3 e) los puntos 4; 3 ; 3 pertenecen a la elipse 4. Dada la ecuación a) Es la ecuación de una elipse? b) En caso afirmativo, determina: i) el semieje maor ii) las intersecciones con los ejes coordenados iii) representación gráfica 5. Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas, eje maor en el 1 eje de las ordenadas que pasa por los puntos ; 1 ; 6. Determina analítica gráficamente, los puntos de intersección, si eisten, de la elipse 1 con la recta Halla todos los elementos de una elipse centrada en el origen de coordenadas, que pase por el punto (0; 8) su ecentricidad es 0,3. Represéntala gráficamente. 10 P O L I T E C N I C O

12 8. Determina la intersección entre: a) las elipses dadas b) la elipse 1 la circunferencia de centro 0; 0 radio Dada la elipse de ecuación , determina: a) tres puntos que estén dentro de ella b) dos puntos que estén fuera de ella c) un punto que pertenezca a ella 10. Escribe un sistema de ecuaciones que de como resultado la intersección de la elipse la recta del siguiente dibujo, sabiendo que el punto F, en el cual la recta corta la eje, es uno de los focos de la elipse. 4 0 F Determina la ecuación de la recta tangente a la elipse misma de abscisa = 1 Hipérbola 9 36 en el o los puntos de la Dados en el plano dos puntos fijos (F1 F) un número real positivo al que nombraremos a, llamamos hipérbola al conjunto de los puntos P del plano, cuas distancias a los dos puntos fijos, tienen una diferencia, en valor absoluto, constante e igual a a Acordemos algunos nombres: A los puntos fijos los denominamos focos La distancia entre los focos es la distancia focal F ;F c dist 1 Escribiendo simbólicamente la definición de hipérbola de focos F 1 F diferencia H F 1 ;F ;a ), resulta: HF 1;F ;a P/P : F 1;F ar F1 P FP a (*) constante a ( F1P representa la distancia entre F1 P P O L I T E C N I C O 11

13 CÓNICAS Dado un cierto punto P de la hipérbola, si lo unimos con los focos queda determinado un triángulo que, como se sabe, por la desigualdad triangular (Un lado de un triángulo es maor que la diferencia de los otros dos) resulta: P F1 c F F1 P FP F1 F c Por la definición del L.G. sabemos que de donde resulta que cualesquiera sean a ;c, resulta: F1 P FP a a a c c Ecuación cartesiana de la Hipérbola con centro en (0; 0) focos en el eje de las abscisas Para poder encontrar la ecuación cartesiana de esta cónica, es necesario fijar un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal. Consideraremos el eje de las abscisas determinado por la recta F 1 F. El eje de la ordenadas perpendicular al de las abscisas pasando por el punto medio del segmento que determinan F 1 F. P(; ) En este sistema las coordenadas de los focos son F1 c;0 F c;0, recordando que la distancia focal la llamamos c De acuerdo a la definición (*) todo punto P(;) que pertenezca a H deberá verificar que: F1 P FP a F1 P FP a 1 P O L I T E C N I C O

14 considerando la distancia entre dos puntos en el sistema de coordenadas planteado resulta: c c a Trabajando algebraicamente llamando: c a = b, obtenemos: a b 1 Ecuación canónica de la hipérbola con focos en el eje de las abscisas a. Simetrías de una Hipérbola 1. Simetría con respecto al eje ; HF ;F ;a P' ;H F ;F ; a P 1 1 que puntos cuas abscisas son opuestas tienen la misma ordenada por lo tanto la gráfica es simétrica respecto al eje.. Simetría con respecto al origen ; HF ;F ;a P' ; HF ;F ; a P 1 1 que puntos cuas abscisas son opuestas tienen ordenadas opuestas por lo tanto la gráfica es simétrica respecto origen. P O L I T E C N I C O 13

15 CÓNICAS 3. Simetría con respecto al eje ; HF ;F ;a P' ; HF ;F ; a P 1 1 que puntos cuas ordenadas son opuestas tienen abscisas iguales por lo tanto la gráfica es simétrica respecto del eje. b. Intersección con los ejes coordenados: 1. Intersección con el eje Para buscar los puntos donde la curva corta al eje debemos buscar los puntos de ordenada cero o sea: 0 1 a a 1 a a b o sea los puntos a ;0 a ;0 pertenecen a la hipérbola, se los denomina vértices de la hipérbola. Intersección con el eje 0 1 b 1 b a b luego la hipérbola que estamos considerando, no interseca al eje c. Ejes de la hipérbola El segmento determinado por los puntos a ;0 a ;0, vértices de la hipérbola se denomina eje transverso o real El segmento determinado por los puntos b ;0 b ;0, se denomina eje imaginario 14 P O L I T E C N I C O

16 Para ubicar los puntos a ;b a ; - b observemos la siguiente construcción: F(-c; 0) F1(c; 0) La circunferencia trazada tiene radio igual a c. Si por el vértice (a; 0) trazamos una perpendicular al eje de las en la intersección con dicha circunferencia encontramos un punto que con el centro de coordenadas el vértice determina un triángulo rectángulo de cateto a e hipotenusa c. Como sabemos que c a b podemos escribir: c b a o sea que aplicando el teorema de Pitágoras vemos que el otro cateto del triángulo mide b. d. Ubicación de la curva De acuerdo a lo visto en los puntos anteriores despejando el valor de en la ecuación canónica, podemos ubicar a la curva en el plano, o sea: b P; HF 1;F ; a 1 a a b a es decir, para que la raíz tenga solución en los reales o sea eista el correspondiente valor de debe cumplirse que a. La curva estará ubicada en los semiplanos que sombreamos a continuación: (-a;0) (-a;0) P O L I T E C N I C O 15

17 CÓNICAS e. Ecentricidad de la hipérbola Otro dato importante en las cónicas es la ecentricidad, a definida en la elipse. La ecentricidad es un número que resulta del cociente entre la semidistancia focal (c) el semieje transverso (a) c como c a resulta que 1 a f. Asíntotas de la hipérbola Se puede demostrar que las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con eje focal b el de las abscisas son : = a b a b a Ecuación cartesiana de la Hipérbola con centro en (0; 0) focos en el eje de las ordenadas Si iniciáramos nuevamente todo el estudio de la hipérbola pero colocando los focos equidistantes del origen de coordenadas, pero en el eje de las, 16 P O L I T E C N I C O

18 llegaríamos a la siguiente epresión 1 b a a b 1 Un análisis similar al realizado hasta aquí se podría repetir para esta hipérbola, llegando a las siguientes conclusiones: el eje imaginario es el eje de las el eje transverso el eje. Los vértices en este caso son los puntos (0; a) (0; -a) Las asíntotas serán las rectas a b La relación que guardan a; b c es c a b P O L I T E C N I C O 17

19 CÓNICAS Actividades 1) Halla la ecentricidad, coordenadas de los vértices, focos ecuaciones de las asíntotas realiza la gráfica de la hipérbola de ecuación: a) 1 b) c) 16 1 ) Halla la ecuación de la hipérbola con asíntotas 3 5 focos ; 0 ; 0 3) Halla la ecuación de la hipérbola que contiene a los puntos: 4 5 P 5 ; Q 34 ; 3 3 4) Determina la ecuación de la hipérbola, que satisfaga las condiciones indicadas en cada caso: a) Focos f 50 ; vértices V 30 ; b) Vértices V 30 ; asíntotas de ecuación 3 c) Focos f 0; 5 asíntotas 1 3 5) Determina la ecuación de la hipérbola cuo eje focal es el eje, si se sabe que 3 P 1 5 ; pertenece a la hipérbola la recta es una de sus asíntotas. 5 6) Halla los puntos de intersección de la hipérbola de ecuación 3 0.Resuélvelo gráfica analíticamente. 1con la recta ) Dada la hipérbola de ecuación , halla sus semiejes; sus focos; su ecentricidad; sus asíntotas su gráfica ) Resuelva gráficamente el siguiente sistema 0 18 P O L I T E C N I C O

20 Parábola Dados en el plano un punto fijo (F) una recta ( ), llamamos parábola al conjunto de los puntos P del plano, cuas distancias al punto fijo a la recta son iguales. Acordemos algunos nombres: Al punto fijo lo denominamos foco (F) A la recta la llamamos directriz ( ) Escribiendo en símbolos el L.G., resulta: F ; P/P ; ;F dist F;P dist P; Ecuación cartesiana de la Parábola con vértice en (0; 0) foco en el eje de las ordenadas Para obtener la ecuación canónica de la parábola consideramos un sistema de coordenadas p p de tal modo que la directriz sea ) el foco sea F 0; Si p > 0, gráficamente resulta: Teniendo en resulta que: cuenta este sistema Si P(; ) es un punto de la parábola se cumple: dist F;P p FP = dist ;P p P O L I T E C N I C O 19

21 CÓNICAS es decir p p elevando al cuadrado ambos miembros resulta p p p p p p simplificando, resulta: p Ecuación canónica de la parábola con vértice en (0; 0) foco en el eje de las ordenadas a. Simetrías de una Parábola 1. Simetría con respecto al eje ; F; P' ;F P ; que puntos cuas abscisas son opuestas tienen la misma ordenada por lo tanto la gráfica es simétrica respecto al eje. 0 P O L I T E C N I C O

22 b. Intersección con los ejes coordenados: 1. Intersección con el eje Para buscar los puntos donde la curva corta al eje debemos buscar los puntos de ordenada cero o sea: p o sea el punto 0 ;0 pertenece a la parábola, se lo denomina vértice de la parábola es decir, la parábola interseca al eje en (0; 0). Intersección con el eje 0 p 0 0 p Observación: Si consideramos p < 0, resulta: Ecuación cartesiana de la Parábola con vértice en (0; 0) foco en el eje de las abscisas p Si se hubiese tomado como foco el punto F ; 0 como directriz resulta una parábola de eje de simetría el eje su ecuación: p ) la gráfica p Ecuación canónica de la parábola con vértice en (0; 0) foco en el eje de las abscisas P O L I T E C N I C O 1

23 CÓNICAS Observaciones: En este caso la simetría se cumple respecto del eje Si p > 0 Si p < 0 Ecuación de una parábola cuo vértice es un punto cualquiera del plano su eje de simetría paralelo al eje de las abscisas Consideremos una parábola cuo eje de simetría sea una recta paralela, por ejemplo al eje su vértice un punto de dicho eje de coordenadas V a;b, de tal modo que el eje de simetría será la recta b. La gráfica resultará entonces: P O L I T E C N I C O

24 Aplicando nuevamente el concepto de LG. Para la parábola, en esta situación resulta: dist F;P dist P; que traduciéndolo a distancia en el sistema de coordenadas resulta: p a p a elevando al cuadrado a ambos miembros p p a a resolviendo cancelando pa p a a p pa b b b b p a Ecuación canónica de la parábola cuo vértice es un punto cualquiera del plano su eje de simetría paralelo al eje de las abscisas Ecuación de una parábola cuo vértice es un punto cualquiera del plano su eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas Se puede demostrar efectuando un análisis similar al del apartado anterior que : ( a) p( b) Ecuación canónica de la parábola cuo vértice es un punto cualquiera del plano su eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas Actividades 1. Halla las coordenadas del foco la ecuación de la directriz de la parábola gráfica. = 8. Dibuja su. Deduce la ecuación de la parábola cuo foco es el punto F4; 0 la ecuación de su directriz Determina gráfica analíticamente los puntos de intersección de la curva de ecuación = la recta de ecuación = -. P O L I T E C N I C O 3

25 CÓNICAS 4. Encuentra la ecuación de la parábola cuo foco se encuentra en ; 4 la ecuación de su directriz es 5. Encuentra la ecuación de la parábola con foco en el eje de las ordenadas que pasa por los puntos 5; 4 ; ; 1 1; Dada la parábola , halla las coordenadas del vértice del foco. 7. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola 9 en el punto de abscisa ordenada positiva. CIRCUNFERENCIA. 1) a) 16 0 Respuestas a los problemas propuestos b) 1 5 c) d) 3 4 ) a) Es la ecuación de una circunferencia de centro (; -) radio 4. b) Es la ecuación de una circunferencia de centro (-1; 3/) radio 6. c) No es la ecuación de una circunferencia. d) Es la ecuación de una circunferencia de centro (-4; -3) radio 5. e) Es la ecuación de una circunferencia de centro (0; 3) radio 8. f) No es la ecuación de una circunferencia. g) Es la ecuación de una circunferencia de centro (0; 0) radio 5. h) Es la ecuación de una circunferencia de centro (-1; ) radio 4/3. i) No es la ecuación de una circunferencia. 3) a) b). Su centro es ; su radio ) 5) ) a) Los puntos (4; -1) (4; -5) pertenecen a la circunferencia. b) El punto (1; 0) no pertenece a la circunferencia. 7) a) Las ecuaciones son: b) Las ecuaciones son: c) P O L I T E C N I C O

26 8) Los sistemas están integrados por una circunferencia una recta. a) (-;1) (1;3) b) (0:0) (-3;0) c) (-1;) (0;1) d) no eiste solución 9) a) b) c) ELIPSE 1) a) 1 b) 1 c) ) a) a = 3; b = 5 b) Los focos son: (0; ) (0; -) c) Ecentricidad: 3 3) a) b) 1 1 c) d) 1 1 e) ) a) Es la ecuación de una elipse. b) i) semieje maor = 6 ii) intersección con el eje : (4; 0) (-4; 0) intersección con el eje : (0; 6) (0; -6) 5) No eiste una elipse que verifique las condiciones dadas. 6)Los puntos de intersección son: ; ; ) 80 semieje maor : 91 semieje menor : Focos :,0,0 5 5 semieje maor : semieje menor : Focos : 0, 0; 5 5 P O L I T E C N I C O 5

27 CÓNICAS 8)a)Los puntos de intersección son: 5 5 ;, 5 5 ;, 5 5 ;, 5 5 ; b) No ha puntos de intersección. 9) a) (0; 0), (1; 0) (0; ) b) (; 3) (-3; 0) c) (; 0) 10) ) La ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto ; 7 ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto ; 7 1) a) HIPÉRBOLA 9 ; vértices: ;0 b) ; vértices: ; focos: 9;0 1;0 ; focos: ;0 1 es La 1 es ; ecuaciones de las asíntotas: ; ecuaciones de las asíntotas: 17 c) ; vértices: 0; 1 ; focos: 17 0 ; ; ecuaciones de las asíntotas: ) ) 1. Con focos en el eje de las ordenadas no eiste ninguna. 9 4) a) 1 b) 1 c) ) 1 6) Los puntos de intersección son: 4 3 ; ; ) a = 3; b = 4; vértices: 3;0 ; focos: 5;0 ; ecentricidad: ; asíntotas: 3 3 8) No se presenta la resolución gráfica. PARÁBOLA 1) Foco: (; 0). Ecuación de la directriz:. ) 8 3) Los puntos de intersección son: (4; ) ( 1; -1) 4) 1 1 5) ) Vértice: (4; 1). Foco: (4; 5) 7) = P O L I T E C N I C O