9 Lugares geométricos. Cónicas

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1 9 Lugares geométricos. Cónicas Página Dónde se situará el depósito? La solución es P = (0, ) Página Hazlo tú. Mediatriz: y + = 0 Página 7 Hazlo tú. B : 7 7y = 0 B : 7 7y = 0 Hazlo tú. Es una recta, y = 0. a) r : y = + m r m AB = AB r b) + y + y = 0 c) b : ( ) + ( + ) y+ = 0 b : ( + ) + ( ) y+ + = 0 m m = b b El punto de corte de las rectas iniciales es (, 7), se comprueba fácilmente que está en b y b. Página Hazlo tú y y + 0 = 0 Página 9 Hazlo tú. a) Es una circunferencia de centro (, 0) y radio. b) Es una circunferencia de centro d 7, n y radio. c) No es circunferencia. d) No es circunferencia. Hazlo tú. + y + = 0 Es una circunferencia de centro (, 0) y radio r = 9=. + y + 0 y = 0 Si sustituimos = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica. + y = 0 Es una circunferencia de centro (, 0) y radio r =. Página 0 Hazlo tú. La recta r y la circunferencia se cortan en dos puntos, son secantes. La recta r y la circunferencia son eteriores. La recta r y la circunferencia se cortan en un punto, son tangentes. C y s son tangentes en el punto (, ). s es eterior a la circunferencia C. C y s son secantes en los puntos (7, ) y (, ). C y s se cortan en los puntos (, + ) y (, ). b =± r es eterior a C. r y C se cortan en dos puntos. r y C son tangentes. r y C se cortan en dos puntos. Página P(P a C ) = > 0 P es eterior a C. P(P a C ) = 0 < 0 P es interior a C. 7 Ecuación del eje radical: y + = 0 La pendiente del eje radical es m = =. 9 La pendiente de la recta que une O y O es m' = 9. Como m m' =, el eje radical y la recta que une O y O son perpendiculares. Página Hazlo tú. a) ( + ) + y + ( ) + ( y ) = 0 b) ( + ) + y ( ) + ( y ) = y c) ( ) y = + ( ) + y + ( + ) + y = y = ( ) + y ( + ) + y = ± 9y = ( + ) + y = y =

2 Página also. Al contrario; como e = c, si el numerador c es a constante, cuanto mayor sea el denominador a, menor será el cociente, que es la ecentricidad. Página a =, c =, b =, ec 0, Ecuación reducida: y + = 9 ' Página a) Verdadero, porque el valor absoluto de la pendiente de las asíntotas, m = a b, es muy grande, luego la ecentricidad, e = a c, será más grande, puesto que c > b. b) Verdadero, porque las asíntotas y = a b tienen poca pendiente en valor absoluto, luego la ecentricidad, e = c < b, será más pequeña. a a a =, c =, b =, ec,7 Asíntotas: y = ; y = Ec. reducida: y = 9 Página a) ec = 07, Página 9 a) b) ec = 7 b) 0 c) 0 ec = 07, c) 0 d) ec = 0 7

3 d) Página 0 y = = y Página Hazlo tú. Centro C =c, m Radio = La ecuación de la circunferencia es: c+ m + cy m = Hazlo tú. = y Se trata de una parábola cuyo foco es A (0, ) y cuya directriz es r : y =. Página Hazlo tú. a) Parábola con eje vertical. oco: = c0, m Directriz: y b) Es una hipérbola. Centro: O = (, 0). ocos en el eje. Semiejes: a =, b = Semidistancia focal: c = Ecentricidad: ec = = ( ) c) Es una elipse de centro O (, 0) y eje mayor paralelo al eje. Semiejes: a =, b = Semidistancia focal: c = Ecentricidad: ec = d) Circunferencia de centro O (, ) y radio r =. Página Hazlo tú. ( ) ( y ) + = 9 Hazlo tú. ( ) y y ( ) = o = dependiendo del eje en el que estén los focos. Hazlo tú. ( ) = (y ) Página 7 Hazlo tú. r : y = + ; r' : y = + Hazlo tú. y = ( + ) + Página ( ) + ( y) ( ) + ( y) = Operando se llega a y =. Bisectrices: y = y; y = + y 0 Incentro: O =c, m Radio: Ecuación: + y 0 0y + = 0 Punto de tangencia: P = (, ) Centro de la circunferencia: O = (0, ); O = (, ) Hay dos circunferencias: ( 0) + (y ) = y ( ) + (y + ) = Página 7 a) Mediatriz: + y + = 0 d = (, ); AB = (, ) (, ) (, ) = 0, luego las rectas son perpendiculares. b) Mediatriz: + = 0 d = (0, ); AB = (, 0) (0, ) (, 0) = 0, luego las rectas son perpendiculares. + y 0 = 0 + y 0 = 0 Son dos rectas paralelas.

4 r : y 9 = 0 r : y + = 0 Son dos rectas paralelas entre sí y paralelas, a su vez, a la recta dada. r : y + 7 = 0 Es una recta paralela a las dos rectas dadas que, a su vez, son paralelas entre sí. + y 9 = 0 y + 9 = 0 a) + (y ) = Circunferencia de centro A = (0, ) y radio d =. b) + y = Circunferencia de centro A = (0, 0) y radio d =. c) ( + ) + y= Circunferencia de centro A = (, 0) y radio d =. d) ( + ) + ( y+ ) = 9 Circunferencia de centro A = (, ) y radio d =. 7 + y = Circunferencia de centro A = (0, 0) y radio d = a) + y = b) ( ) + (y + ) = c) ( + ) + y= d) + ( y ) = 9 9 a) Es una circunferencia de centro (, ) y radio 7. b) No es una circunferencia. c) No es una circunferencia. d) Es una circunferencia de centro (, 0) y radio y y + = 0 + (y + ) = Hay dos circunferencias que verifican las condiciones: ( ) + (y + ) = y ( ) + (y + ) = ( ) + (y + ) = ( 9) + (y + ) = 0 ( ) + (y + ) = ( ) + (y + ) = y = 9 Recta normal: y + = 0 Recta tangente: + y + = 0 9 dist (C, r) 09, < La circunferencia y la recta son secantes. 0 r es eterior a la circunferencia. r es tangente a la circunferencia. r es eterior a la circunferencia. r es tangente a la circunferencia. r es secante a la circunferencia. Para que la recta sea tangente a la circunferencia, ha de ser b = o b =. Si a < 9, la recta y la circunferencia son eteriores. Si a = 9, la recta y la circunferencia son tangentes. Si a > 9, la recta y la circunferencia son secantes. Página P (P, C ) = 0 P pertenece a C. P (Q, C) = Q es un punto interior a C. P (R, C ) = R es un punto eterior a C. a) y = + y = 0 b) 9 = 0 ( ) + y = 0 c) 0 y = 0 + (y ) 9 = 0 y = ( 7) + y 9 = 0 9 = 0 + (y ) = 0 0 y = 0 0 ( ) + y = 0 0 9

5 a) Puntos de corte: A = (0, ), B = (, 0) b) P(A, C ) = P(A, C ) = 0 P(B, C ) = P(B, C ) = 0 c) El eje radical es la recta que pasa por A y por B. d) Sí, pues los puntos de corte siempre tienen potencia igual a cero respecto a las dos circunferencias. 7 Es una elipse: y + = 9 y + = 9 y + = 0 y + = 7 y + = y + = y + = a) Vértices: (0, 0); (0, 0); (0, ) y (0, ) ocos: (, 0) y ' (, 0) Ecentricidad: ec = 0, b) Vértices: (, 0); (, 0); (0, 0) y (0, 0) ocos: (0, ) y ' (0, ) Ecentricidad: ec = 0, 0 ' 0 0 ' d) Vértices: e, ;, 0 o e 0 o; e0, o y e0, o a) e = ocos: = e0, o y ' e0, Ecentricidad: ec = ' Vértices: (, ); (, ); (0, 0), (0, ) ocos: = (, ), ' = (, ) b) e = 7 0 ' Vértices: (, ); (, ); (, ); (, ) ocos: = (, + 7), ' = (, 7) o 0 c) Vértices: c, 0m ; c, 0m ; (0, ) y (0, ) ' ocos: = c, 0m y ' c, 0m Ecentricidad: ec = 0, ' Es una hipérbola: y y = y = = 70

6 9 9 y = 0 y y y = = = a) Vértices: (0, 0); (0, 0) ocos: = (, 0), ' = (, 0) e = 0 ' 0 0 b) Vértices: c, 0m ; c, 0m ocos: = c, 0m, ' = c, 0m e = ' e) Vértices: (0, ); (0, ) ocos: = (0, 0); ' = (0, 0) 0 e = = ' f) Vértices: (0, ); (0, ) ocos: = (0, 7); ' = (0, 7) 7 e = 0 ' 0 c) Vértices: (, 0); (, 0) ocos: = c 0, m ; ' = c 0, m e = ' g) Vértices: (, 0); (, 0) ocos: = (, 0); ' = (, 0) e = d) Vértices: (, 0); (, 0) ocos: = (, 0); ' = (, 0) e = ' ' 7

7 h) Vértices: (0, ); (0, ) ocos: = (0, 0); ' = (0, 0) e = 0 = 0 ' Página 9 y = o bien: ( ) = cy + m a) y = 0 b) y = c) y = 0 d) y = 7 = y y = 9 ; y = 9 a) Vértice: (0, 0) oco: c, 0m Directriz: = 0 a) Vértices: (, ); (, ) ocos: = (0, ); ' = (0, ) e = 0 = Asíntotas: y = ± b) Vértice: (0, 0) oco: c, 0m Directriz: = ' 0 0 b) Vértices: (, ); (, ) ocos: = (, ); ' = (, ) c) Vértice: (0, 0) oco: c0, m Directriz: y = e = Asíntotas: y = ± ( ) d) Vértice: (0, 0) oco: (0, ) Directriz: y = 0 0 ' 7

8 0 a) Es una elipse a =, b =, c = ec = 07, e) Es una parábola. Vértice: (0, 0) oco: c 7, 0 m Directriz: = 7 ' b) Es una hipérbola Z a, b, c ; ec ] = = = = 7, [ Asíntotas: y= ; y= ] \ f) Es una elipse a =, b = 9, c = 9 ec = 09, / ' ' / c) Es una circunferencia de centro (0, 0) y radio. / / / / d) Es una hipérbola: Z ] a=, b=, c= ; ec =, [ Asíntotas: y= ; y= ] \ a) Es una elipse de centro O = (, ) Eje mayor: O a =, b =, c = Vértices: (, ); (, ); (, 9); (, ) ocos: = (, ); ' = (, 0) ec = b) Es una hipérbola de centro O = (, ) a =, b =, c = Vértices: (, ); (, ) 9 ocos: = (, ); ' = (, ) ec = Asíntotas: y + = ± ( ) ' ' ' 7

9 c) Es una parábola. Vértice: (, ) d: y = oco: = (, ) d) Es una circunferencia de centro O = (, ). Radio: r = a) + y + y = 0 b) Hay dos rectas: O y= + + * y= + Hay dos circunferencias que cumplen la condición: C : ( ) + (y ) = C': ( ) + (y ) = = 0 + y y = 0 Hay dos circunferencias que cumplen la condición: C : ( ) + (y ) = 00 C' : ( + ) + (y + ) = 00 C : ( ) + y = 7 C : ( ) + (y ) = La recta tangente en (0, 0) es y =. C : ( + ) + (y ) = 0 Si k =, k =, son tangentes. Si k é (, ) (, ), son eteriores. Si k é (, ), son secantes. El eje radical es la recta que pasa por A y por B, pues los puntos de corte siempre tienen potencia cero respecto a las dos circunferencias. Eje radical: = 0 a) Las circunferencias se cortan en el punto (, 0). Son tangentes interiores. b) Las circunferencias se cortan en el punto (, 0). Son tangentes eteriores. y + = 00 = (y ) ( ) = 0 a) = (y + ) b) y = c m c) ( ) = (y + ) d) ( ) = cy m 7 a) Vértice: V = (, 0) = (, 0) Directriz paralela al eje O: = 0 b) Vértice: V = (0, ) = (, ) Directriz paralela al eje O: = 9 Si m é (, ) P es interior a la circunferencia C. Si m = o m = P é C Si m é (, ) (, ) P es eterior a C. 7

10 c) Vértice: V = (, ) = (, ) Directriz paralela al eje O: y = 7 Es una hipérbola: y = ' d) Vértice: V = (, ) = (0, ) Direcriz paralela al eje O: = ( ) ( y ) Página 0 9 y 9 / 9 70 y = = = 7 Es una hipérbola de eje O: y = = (, 0), ' = (, 0) 7 Es una elipse: y + = ' 7 r : y = 7 y = 0 ( ), r': ( ) 7 y + 9 = ( ) 77 y + = 0 7 La distancia máima se alcanza cuando la Tierra está en el vértice opuesto al foco del Sol y es,9 UA. 79 e = 0,07 Como la ecentricidad es muy pequeña, la órbita es casi una circunferencia. 0 a) VII b) III c) V d) e) IV f) VI g) II h) VIII i) I j) I Página Todas son tangentes a los ejes de coordenadas. a) No es ninguna cónica. b) Hipérbola con focos en el eje O. c) No es ninguna cónica. d) Es una parábola. a) Parábola hacia la izquierda. Está en el.º y. er cuadrantes. b) Parábola hacia la derecha. Está en el. er y.º cuadrantes. c) Parábola hacia abajo. Está en el. er y.º cuadrantes. d) Parábola hacia arriba. Está en el. er y.º cuadrantes. P P' = es la rama roja. P' P = es la rama azul. 7

11 a) Está mal dibujada porque a y b son casi iguales, luego c tiene que ser muy pequeño y, sin embargo, los focos están muy separados, siendo c la distancia al centro del foco. b) Mal. a es la hipotenusa del triángulo que une el centro, un foco y un vértice del eje O, y no mide igual que el semieje mayor. c) Bien. Dibujamos el triángulo rectángulo de vértices el centro de la elipse, el vértice superior de la elipse y un foco. La medida de la hipotenusa de ese triángulo es similar a la medida del semieje horizontal. d) Bien. Dibujamos el triángulo rectángulo de vértices el centro de la elipse, el vértice superior de la elipse y un foco. La medida de la hipotenusa de ese triángulo es similiar a la medida del semieje horizontal. a) + y = Circunferencia de centro O = (0, 0) y radio r = b) + y = k a Circunferencia de centro O = (0, 0) y radio r = k a Para que sea una circunferencia, k > a k > a 7 a) A = (, ), B = (, ) P (P, C ) = 7 = d (P, A ) d (P, B ) b) Los triángulos PAB' y PA'B son semejantes porque tienen un ángulo común y un ángulo inscrito con arco común, luego los lados son proporcionales: PA = PB' PA PB = PA' PB' PA' PB Luego el resultado no depende de la recta secante elegida. A' A O B' B P e b c l o + eb c l a co + y+ c= 0 a a c e b c l o + y+ c = 0 a Para que sea una cónica, e bc l o < 0 pues en otro caso, la suma de tres números positivos daría 0, que es im- a posible. Si e bc l o < 0 k > Es una hipérbola. a Si e bc l o 0 k No es la ecuación de a ninguna cónica. Autoevaluación Página + y = 0, y 7 = 0 ( ) + (y + ) = Interior k é (, ). Tangente k =, k = Eterior k é (, ) «(, + ) a) y + = b) y 9 a) y 9 = Es una hipérbola en la que: a =, b = Asíntotas: y =, y = Semidistancia focal: c = a+ b= ocos: (, 0) y ' (, 0) Vértices: V (, 0) y V' (, 0) = c) y = ( c) + y l = k ( k ) + (k l c ) + y + c = 0 Es una cónica por ser una ecuación de segundo grado. Si k = c y l = a : a c ' O 7

12 b) Es una hipérbola centrada en el punto (, ). a =, b =, c = Asíntotas: y = ; y = + ocos: (0, ), ' (0, ) 7 7 Los focos son (0, ) y ' (0, ). Ecentricidad: ec = a c Asíntotas: y = = e y = Vértices: V (, ), V' (, ) y = ' O ' 9 El eje radical de las circunferencias es y =. C y + = 9 y = / C 77