LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS
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- Nieves Benítez Palma
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1 LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. d(x,f) + d(x,f ) = k
2 LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. d(x,f) d(x,f ) = k
3 LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Parábola: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto, llamado foco, y de una recta llamada directriz. d(x,f) = d(x,d)
4 ESTUDIO DE LA ELIPSE Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. ELEMENTOS DE LA ELIPSE Centro de la elipse: O Semieje mayor: a Semieje menor: b Semidistancia focal: c Focos: F(c,0), F(-c,0) Vértices: A(a,0), A (-a,0), B(0,b), B (0,-b) Constante: k = a, porque d(a,f) + d(a,f ) = k, luego k = a
5 RELACIONES EN LA ELIPSE: 1) a = b + c El vértice B cumple: d(b,f) + d(b,f ) = k Como k = a y d(b,f) = d(b,f ) d(b,f) = d(b,f ) = a a, b y c forman un triángulo rectángulo, luego a = b + c ) Excentricidad: exc c = a La excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.
6 Cuanto más separados están los focos, mayor es la excentricidad y más se aleja la elipse de la circunferencia. a = 15, c = 4 exc = 4/15 = 0 67 a = 15, c = 9 exc = 9/15 = 0 6 a = 15, c = 1 exc = 1/15 = 0 8 Cómo será una elipse de excentricidad cero? Es una circunferencia
7 ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE: Ecuación de la elipse centrada en el origen de coordenadas y cuyos ejes son los ejes de coordenadas. Cualquier punto X(x,y) de la elipse cumple: d(x,f) + d(x,f ) = k Como k = a, d(x,f) + d(x,f ) = k, (x c) (y 0) (x c) (y 0) a
8 (x c) (y 0) (x c) (y 0) a, x cx c y x cx c y a, x cx c y a x cx c y, x cx c y a x cx c y, x cx c y 4a 4a x cx c y x cx c y, x cx c y 4a 4a x cx c y x cx c y, cx 4a 4a x cx c y cx, 4a x cx c y 4a 4cx, Simplificando por 4, a x cx c y a cx, elevando al cuadrado, 4 a x cx c y a cx, a x cx c y a a cx c x, 4 4 a x a cx a c a y a a cx c x, a x a cx a c a y a a cx c x, 4 4 a x a c a y a c x, a x c x a y a a c, sacando factor común a x en el 1 er miembro y a a en el º, se obtiene x a c a y a a c, como a = b + c, a c = b, luego b x a y a b, dividiendo por a b, se obtiene
9 b x a y a b, dividiendo por a b, se obtiene: b x a y a b, a b a b a b b x a b a a y a b a b b, es decir, x y 1 a b
10 EJEMPLO 1: Escribir la ecuación de la elipse centrada en el origen de focos (,0) y (-,0) y constante 6. La ecuación de una elipse centrada en el origen de coordenadas es de la forma: K = a, luego a = 6, a = 3 a = b + c, b = a c, b = 9 4 = 5 x y x a y b 1 EJEMPLO : Escribir la ecuación de la elipse centrada en el origen, de excentricidad 0 8 y semieje mayor 10. Represéntala. La ecuación de una elipse centrada en el origen de coordenadas es de la forma: x y 1 a b c c Conocemos a = 10, como exc =, a 10 = 0 8, c = 8; a = b + c, b = a c, b = , b = 36, b = 6. x y
11 REPRESENTACIÓN DE x y Ejes de coordenadas.- Centro de la elipse 3.- Semiejes 4.- Vértices de la elipse 5.- Dibujar la elipse
12 ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE CON LOS FOCOS EN EL EJE Y: FOCOS SOBRE EL EJE X FOCOS SOBRE EL EJE Y x y 1 a b y x 1 a b
13 ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EL CENTRO FUERA DEL ORIGEN DE COORDENADAS FOCOS SOBRE EL EJE X FOCOS SOBRE EL EJE Y (x ) (y ) 1 (y ) (x ) a b 1 a b
14 EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la siguiente elipse y represéntala. y x Centro: O(0,0) Focos sobre el eje Y Semiejes: a: 6, b = 4 a = b + c, c = a b = = 0, c = 0 = 4 47 Vértices: A(0,6), A (0,-6), B(4,0), B (-4,0) Focos: F(0,4 47), F (0,-4 47)
15 EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la siguiente elipse y represéntala. (x ) 4 y 1 Centro: C(,0) Focos sobre el eje X Semiejes: a =, b = 1 a = b + c, c = a b = 4 1 = 3, c = 3 = 1 73 Vértices: A(4,0), A (0,0), B(,1), B (,-1) Focos: F( 73,0), F (0 7,0) exc = c a
16 EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la siguiente elipse y represéntala. (x ) (y 1) Centro: C(-,1) Focos sobre paralelo al eje X Semiejes: a = 5, b = 4 a = b + c, c = a b = 5 16 = 9, c = 3 Vértices: A(4,0), A (0,0), B(,1), B (,-1) Focos: F( 73,0), F (0 7,0) exc = c a
17 EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la elipse 4x + y = 4 y represéntala. Dividiendo la ecuación por 4 obtenemos: y x 1 4 y 4, x 1 Centro: C(0,0) Focos sobre el eje Y Semiejes: a =, b = 1 a = b + c, c = a b = 4 1 = 3, c = 3 = 1 73 Vértices: A(0,), A (0,-), B(1,0), B (-1,0) Focos: F(0,1 73), F (0,-1 73) exc = c a
18 EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la elipse 4x + 9y 16x + 36y + 16 = 0 y represéntala. Si nos fijamos en los términos que contienen x podemos escribir: (x 4) = 4x 16x + 16 (3y + 6) = 9y + 36y + 36 luego 4x + 9y 16x + 36y + 16 = (x 4) + (3y + 6) 36 por tanto la ecuación de la elipse se puede escribir: (x 4) + (3y + 6) 36 = 0 (x 4) + (3y + 6) = 36 Si en el primer binomio se extrae factor común a y en el segundo a 3, se obtiene: [(x )] +[3(y + )] 36 = 0, 4(x ) 9(y ) (x ) +9(y + ) = 36 dividiendo por 36 (x ) (y ) 9 4 1
19 (x ) (y ) Focos sobre un eje paralelo al eje X Centro: C(,-) Semiejes: a = 3, b = a = b + c, c = a b = 9 4 = 5, c = 5 = 4 Vértices: A(5,-), A (-1,-), B(,0), B (,-4) Focos: F(4 4,-), F (-0 4,-) exc = c a
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