FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS Grado 10 Taller # 7 Nivel II LA ELIPSE George Cantor ( ) Nació en San Petersburgo (Rusia). Su madre era rusa y su padre era un comerciante danés. En 1856 la familia se trasladó a Wiesbaden (Alemania). Fueron 6 hermanos. En 1869 entró como profesor en la Universidad de Halle. Cantor siempre quiso que le llamaran de una de las Universidades importantes (Berlín o Gotinga) pero la llamada no se produjo, se cree que por la oposición de Kronecker, con el que estaba enfrentado porque los trabajos de Cantor refutaban los fundamentos de los trabajos que realizaba Kronecker. Cantor estudió los conjuntos infinitos. El primer descubrimiento revolucionario fue la demostración de que había el mismo número de puntos en el plano que en la recta. (Galileo había demostrado que había el mismo número de puntos en segmentos de diferente tamaño). Demostró que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño y que conjuntos, que todos diríamos que tienen mas elementos, tienen los mismos. Por ejemplo, hay el mismo número de números pares que de naturales, hay el mismo número de enteros que de naturales, hay el mismo número de racionales que de naturales. Sin embargo, hay más números reales que naturales. Murió en 1918 en un sanatorio mental. OBJETIVOS GENERALES Plantear y resolver problemas relacionados con la elipse cuyo centro esta en h, k, es decir fuera del origen. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Afianzar el concepto de ecuación de la elipse. Determinar el centro y los elementos de la elipse. Practicar el paso de la ecuación general a la ecuación reducida. MARCO TEÓRICO La elipse es una curva cerrada y plana. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual al eje mayor a. Sea Pn un punto cualquiera de la elipse, se cumple que: PnF + PnF' = ª 1

2 Para determinar los focos F y F' de una elipse conocidos los ejes, se hace centro en un extremo del eje menor, B por ejemplo, y se traza un arco de radio igual al semieje mayor a. La intersección del arco con el eje mayor son los focos de la elipse. Sabiendo que B es un punto de la elipse, se cumple que: BF + BF' = a, como BF=BF', por estar B en un eje de simetría, resulta que BF=BF'=a. ELEMENTOS DE LA ELIPSE

3 Las elipses poseen los siguientes elementos: Ejes de simetría. Son perpendiculares en sus puntos medios. El valor del eje mayor AA' es a y el del eje menor BB' b. El punto de intersección de los ejes es el centro de simetría. Focos. Son dos puntos fijos F y F', situados sobre el eje mayor y simétricos respecto al eje menor. FF' es igual a c. Radios vectores. Son los segmentos comprendidos entre los puntos de la elipse y los focos. La suma de los radios vectores correspondientes a un mismo punto es igual a a. Circunferencia principal. Es la que tiene su centro en el centro de la elipse y radio igual al semieje mayor. Circunferencias Focales. Son las circunferencias con centro en los focos y radio igual a a. DEFINIMOS EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE = c /a TRAZADO DE LA ELIPSE Método de los puntos: Este método se basa en la definición de la elipse. A partir de uno de los focos y hasta el centro de la elipse, dividimos el eje mayor AA', en segmentos complementarios cuya suma es a. A1 + 1A' = A + A' = A3 + 3A' = ª Estos segmentos son las medidas de los radios vectores de un mismo punto. Hallamos los puntos que distan A1 de un foco y 1A' del otro, y así, con los demás segmentos. El trazado de la elipse se realiza a mano alzada. Método de afinidad: Dibujados los ejes, se trazan las circunferencias de centro en O y radios los semiejes de la elipse. Por los extremos de los diámetros de la circunferencia mayor trazamos paralelas al eje menor y por los extremos de los diámetros de la menor, paralelas el eje mayor. Los puntos de intersección pertenecen a la elipse. 3

4 ECUACIÓN DE LA ELIPSE La ecuación de una elipse con centro en h, k está dada por: x h y k 1 elipse horizontal a b x h y k 1 elipse vertical b a es de anotar que a es el semieje mayor y b es el semieje menor; además si h 0 k 0, el centro coincide con el origen, existe una relación muy importante entre los elementos de la elipse. a b c EJERCICIOS RESUELTOS 1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F(3, 0) y F (-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). Solución: Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 se tiene que, b y por tanto b. De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V 1 (5, 0), V (-5, 0), V 3 (0, ) y x y x y V (0, -). Además, su ecuación viene dada por : Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 5x + y = 100

5 Solución: La ecuación: 5x + y = 100, puede escribirse en las formas equivalentes: x y 1 5 (porqué?) x y 1 La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen 5 cuyo semieje mayor es a = 5 y semieje menor es b =. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y. De otro lado c 1y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos F 0, 1 y F ' 0, 1. Además, los vértices de la elipse son los puntos: V 1 (, 0), V (5, 0), V 3 (-, 0) y V (-5, 0). La figura recoge toda la información obtenida. 3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: x + y 16x + y + 13 = 0 Solución: La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes: x 16x y y (completación de cuadrado) y x y 1 x y 1 x (factorización y simplificación) 1 (dividiendo por ) 1 Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(, -1), semiejes; b = 1 y a =. el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = (ver fig.). Los vértices son los puntos V 1 (, 1), V (, -3), V 3 (3, -1) y V (1, -1). F, 1 3 y Como c= 3 se tiene que los focos están localizados en los puntos 1 F ',

6 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En cada una de las elipses siguientes hallar: a) la longitud del semieje mayor, b) la longitud del semieje menor, c) las coordenadas de los focos, d) la excentricidad (1) x y () x y (3) 5x 89y Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes de forma que satisfagan las condiciones que se indican. (1) Focos (,0), vértices ( 5,0) () Focos ( 0, 6), semieje menor 8 3. Hallar la ecuación de una elipse de centro el origen, focos en el eje x, y que pase por los puntos ( 3, 3) y (, 5 /3). Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (3,1) y (-5,1) sea igual a 10. Qué curva representa este lugar?. 5. Dada la elipse de ecuación 9x 16y 36x 96y 36 0, hallar: a) las coordenadas del centro, b) el semieje mayor, c) el semieje menor, d) los focos. 6. Hallar la ecuación de la elipse uno de cuyos focos es el punto (-1,1), directriz x 0 y la excentricidad de 7. Un arco tiene forma de semielipse con una luz de 150m siendo su máxima altura de 5m. Hallar la longitud de dos soportes verticales situados cada uno a igual distancia del extremo del arco. 8. La tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del sol que se encuentra en uno de los 8 focos. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse vale Km y que la excentricidad es aproximadamente 1/6, hallar la máxima y la mínima distancia de la tierra al sol. 9. Un segmento AB, de 18 unidades de longitud, se mueve de forma que A está siempre sobre el eje y, y B sobre el eje x. Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x,y) sabiendo que P pertenece al segmento AB y está situado a 6 unidades de B. 10. Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuyo producto de las pendientes de las rectas que unen P(x,y) con los puntos fijos (3,-) y (-,1) es igual a -6. 6

7 11. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas determinando además los vértices y los focos: a. 16x + 5y = 100 b. 9x + y = 36 c. x + y = 16 d. x + 9y = 18 e. y + x = 8 f. x + 9y = En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica. Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vértice en (5, 0). Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vértice en (3, 0). Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vértice en (0, -). Focos en (±, 0); longitud del eje mayor 6. Focos en (0, ± 3); las intersecciones con el eje x son ±. Centro en (0, 0), vértice en (0, ); b = 1. Vértices en (± 5, 0); c =. Centro en (, -), vértice en (7, -); focos en (, -). Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es 8. Centro en (1, ); focos en (1, ); pasa por el punto (, ). 13. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos y los vértices de cada elipse. Trace la gráfica correspondiente. x y 9 1 EJERCICIOS ADICIONALES 1. Determine los focos de la elipse 16X + 9Y = ; y trace la grafica. Deduzca la ecuación de la elipse con grafica 5 5 7