CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS

Transcripción

1 2º BACH CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS ANA BALLESTER JIMÉNEZ

2 CURVAS TÉCNICAS 1. ÓVALOS. El óvalo es una curva cerrada, plana y convexa formada generalmente por cuatro arcos de circunferencia iguales dos a dos; tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí. La aplicación práctica más importante en dibujo técnico está en el trazado de perspectivas, pues suelen sustituirse de forma aproximada, las elipses por los óvalos. A) Construcción de un óvalo conociendo el eje mayor: MN = 5 5 cm. B) Construcción de un óvalo conociendo el eje menor: ST = 3 5 cm. C) Construcción de un óvalo conociendo sus dos ejes: AB = 6 5 cm y CD= 4 cm. 1

3 2. ÓVOIDES. El ovoide es una curva cerrada, plana y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia: uno es una semicircunferencia y dos son simétricos. El ovoide tiene un eje, llamado a veces eje mayor, y un diámetro, también llamado eje menor. El ovoide es simétrico respecto a su eje. A) Construcción de un ovoide conociendo su eje: MN = 5 cm. B) Construcción de un ovoide conociendo su diámetro: ST = 4 cm. 2

4 3. ESPIRALES. A) Construcción de una voluta de varios centros conociendo el paso. P = 2 cm (4 centros) La voluta es una curva formada por arcos de circunferencia tangentes entre sí, cuyos centros son los vértices de un polígono. B) Construcción de la evolvente del círculo conociendo el radio. R = 1 cm. La evolvente del círculo es la curva que genera un punto fijo de una recta tangente a la circunferencia que se desplaza alrededor de la misma sin resbalar. 3

5 C) Espiral de Arquímedes R = 8 cm. ( construir en un folio aparte ) La espiral es una línea curva que da vueltas alrededor de un punto alejándose de él gradualmente. Se denomina paso a la distancia radial que existe entre dos vueltas o espiras consecutivas. 4

6 CURVAS CÓNICAS Se llaman curvas cónicas a las curvas que se obtienen de la intersección de una superficie cónica por un plano. Supongamos un cono de revolución de dos ramas; según sea la posición de un plano secante respecto del eje del cono, en relación con el ángulo del vértice, se obtienen las siguientes curvas: Circunferencia (fig. 1): Cuando el plano secante es perpendicular al eje de la superficie cónica, y no pasa por el vértice, la sección es una circunferencia ( = 90º). Elipse (fig. 2): Si el plano secante forma con el eje de la superficie cónica un ángulo mayor que el semiángulo en el vértice del cono, el plano corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice, entonces la sección es una curva cerrada que se denomina elipse ( < ). Parábola (fig. 3): Si el plano secante forma con el eje del cono el mismo ángulo que el semiángulo en el vértice o, lo que es los mismo, es paralelo a una generatriz, la curva que resulta es abierta y con un punto en el infinito, llamada parábola ( = ). Hipérbola (fig.4): Cuando el plano secante forma con el eje del cono un ángulo menor que el semiángulo en el vértice, entonces el plano corta a las dos ramas del cono y la sección es una curva abierta de dos ramas que se llama hipérbola ( > ). 5

7 1. ELIPSE Propiedades: Es una curva cerrada, plana y simétrica respecto de dos ejes perpendiculares. Es un lugar geométrico cuya propiedad común de todos sus puntos es que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos, es una constante igual al eje mayor.(2a) Los radios vectores r y r son los segmentos que unen un punto de la elipse con los focos y su suma es igual al eje mayor de la elipse (2a). Los focos se encuentran en el eje mayor y vienen dados por los puntos de corte de una circunferencia con centro en el extremo del eje menor y con diámetro igual al eje mayor (R = semieje mayor). La circunferencia principal de la elipse es la que tiene por centro el de la elipse y radio a. Las circunferencias focales de la elipse tienen por centro uno de los focos y radio 2a. La elipse se puede definir también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco. Eje mayor = AB = 2a Eje menor = CD = 2b Distancia entre focos = FF = 2c Circunf. principal = R OA Circunf. Focales = R 2a y centro en los focos. 6

8 CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE CONOCIENDO LOS EJES: AB = 7 CM Y CD = 4 CM A) Método por puntos: B) Método por haces proyectivos C) Por puntos mediante la circunferencia principal y la de diámetro 2b 7

9 D) Por haces proyectivos a partir de diámetros conjugados. RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE A) Tangente y normal en un punto T de la elipse. 8

10 B) Desde un punto P exterior. C) Rectas tangentes y paralelas a una dirección dada. 9

11 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA ELIPSE EJERCICIOS ELIPSE 1. Dada una pareja de diámetros conjugados A B = 80 mm, C D = 50 mm que forman un ángulo de 60º, hallar los ejes de la elipse. 10

12 2. Trazar la tangente a una elipse en un punto P de ella, empleando la circunferencia principal, sabiendo que 2a= 80 mm y 2b= 50 mm, y que los radios vectores de P miden 23 y 57 mm. 3. Trazar las tangentes a una elipse desde un punto exterior P empleando la circunferencia principal, sabiendo que 2a= 80 mm, 2c= 70 mm. (Distancia PF = 10 cm y PF = 4 cn) 11

13 4. Trazar las tangentes a una elipse paralelas a una dirección dada empleando la circunferencia principal. AB = 80 mm y CD = 50 mm. 12

14 2. HIPÉRBOLA Propiedades: Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en su punto medio O, centro de la curva. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario o virtual, ya que no tiene puntos comunes con la curva. Es simétrica respecto de los dos ejes y, por tanto, respecto del centro O. Los focos se encuentran siempre en el eje real, y se hallan con la construcción de un triángulo rectángulo cuyos catetos sean los semiejes real e imaginario. Con radio igual a la hipotenusa de dicho triángulo centro en O se hallan los focos. Elementos: AB = 2a = eje mayor = eje real CD = 2b = eje menor = eje imaginario F y F = focos. Distancia entre focos FF = 2c r y r = radios vectores. Distancias de un punto de la hipérbola a los dos focos. La diferencia de estas distancias es siempre igual al eje mayor. r r = 2a Circunferencias focales = centro en los focos y radio igual al eje mayor AB. Circunferencia principal: diámetro AB y centro en O. Asíntotas: son las diagonales del rectángulo definido por los ejes AB y CD. Son las tangentes a la hipérbola en los puntos del infinito. 13

15 CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA CONOCIENDO LOS EJES: AB = 40 y CD = 30 mm. A) Método por puntos: B) Por haces proyectivos: RECTAS TANGENTES A LA HIPÉRBOLA A) En un punto T de la hipérbola. 14

16 B) Desde P exterior. C) Rectas tangentes a la hipérbola y paralelas a una dirección dada. 15

17 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA HIPÉRBOLA PROBLEMA: Una hipérbola está determinada por la distancia focal 2c = 50 mm y su eje real 2a = 35 mm. Determinar los puntos de intersección con una recta que pasa por un foco y forma un ángulo de 22º30 con el eje real. 16

18 3. PARÁBOLA Propiedades: Es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F llamado foco, y de una recta fija d llamada directriz. La parábola es simétrica respecto del eje. A las distancias iguales entre un punto P de la parábola al foco F y a la directriz d, se les denomina radios vectores r y r Tiene un eje perpendicular a la directriz, y un vértice V y un foco F situados en dicho eje. El vértice, como cualquier otro punto de la parábola, equidista de la directriz y del foco. La directriz d de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito. Según esto, la directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada tangente. La tangente en el vértice, hace de circunferencia principal. 17

19 CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA CONOCIENDO LA DISTANCIA ENTRE EL FOCO Y LA DIRECTRIZ: FD = 2 CM A) Método por puntos. B) Por haces proyectivos RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA A) En un punto T de la parábola. 18

20 B) Tangente a la parábola desde un punto P exterior. C) Tangente a la parábola y paralela a una dirección dada r. 19

21 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA PARÁBOLA. EJERCICIOS PARÁBOLA 1. Determinar los elementos de la parábola conociendo la directriz d y dos puntos A y B de la curva. 20

22 2. Determinar los elementos de la parábola conociendo el foco F y dos tangentes t1 y t2. 3. Construir la parábola conociendo el foco F y dos puntos A y B de la curva. 21

23 4. Construir la parábola conociendo la directriz d y dos tangentes t1 y t2. 22