SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a 213

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1 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a 1 Página ( ) ( ) ( 9) ( ). a) ; ; ; ; ± ; ( 6) / 4 ( 6) ( 7) / 4 b) r: ; ± ; ( 4 4) 7( 5) 10 ( ) ( ) ( ) 0 ( 4 4) 17( 5) 10 ( ) ( ) ( ) 0. a) Mediatriz AB ( 6) ( 4 ) / 5 / Mediatriz AC ( ) ( ) ( ) 6 / 5 1 / 5 Mediatriz BC 5 Recta AC Recta BC 6 5 Bisectriz del ángulo A ( 4 6 4) ± 5( 5 0) 4 ( 4 6 4) 5( 5 0) 4 ( ) ( ) ( ) 0 ( 4 6 4) 5( 5 0) 4 ( ) ( ) ( ) 0 De la misma forma: Bisectriz del ángulo B ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 Bisectriz del ángulo C ( ) ( 10 4 ) ( ) 0 ( ) ( 10 4 ) ( ) 0 ( 4) ( ) ( 5 ) 9 b) Recta AB Página a) ( 4) ( ) 5 b) ( 1) ( 1) -9

2 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a 1 5. r d (C, P) Ecuación ( 1) ( 4) 8 6. ( ) ( 7) 6 7. ( 4) ( 1) 5 Página a) b) c) d) a) D 4 a a E b b 1 r b) D 6 a a E b b / r 9 9 / 4 9 / c) D 0 a a 0 E b b 1 r No es una circunferencia. 10. D 0 a a 0 E 9 b b 9 / C(0, 9 / ) r 81 / 4 17 Por ejemplo: ,,, ,, , 149 9,, Los focos son F(5, 0), F ( 5, 0). 1. a b 8 Eje maor 4 Eje menor 16 c Los focos tienen coordenadas F ( 5,0) 1. a 0 c b B(0, 4 6 ), B (0, 4 6 ) 4, F ( 4 5,0). El eje maor mide 0, el menor mide 8 6 la distancia focal es a a 8 c b A ( 18,0), A ( 18,0) Página a 4 cm; c cm b cm, B (,6 5) Ecuación a 7; c 4 b Ecuación 49 A(7, 0), A ( 7, 0), B (, ) 0, B ( 0, 6 5) 0, B ( 0, ), Página 194. c 5 b 6 a El eje maor mide 61, los vértices son A (,0) A ( 61,0), B(6, 0), B ( 6, 0) 61, a b A(, 0), A (, 0), B(0, ), B (0, ) c F ( 5,0), F ( 5,0) -10

3 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a 1 Eje maor 6 Eje menor 4 Distancia focal a ( ) ( ) ( ) ( ) 1 / / 5 4 ; a 0 a 5 Como c 4 b Página c cm; b 4 cm a cm ( 1) ( ) Si el eje maor está sobre el eje de abscisas: A ( 5,0), A ( 5,0), B(0, 4), B (0, 4) F(6, 0), F ( 6, 0) Si el eje maor está sobre el eje de ordenadas: A ( 0, 5), A ( 0, 5), B(4, 0), B ( 4, 0) F(0, 6), F (0, 6) 5. a a c 5 b F ( 15,0) A(1, 0), A ( 1, 0), B(0, 9), B (0, 9) 6. a 0 0,8 b / 10 b 8 c F ( 41,0), F ( 41,0) 0. c ; a / 0,8,5; b 6,5 4, 5,5 ( ) ( 5) 6,5,5 1. C(4, 4); a 5; b c F(4, 8), F(4, 0) ( 4) ( 4) 5 9. C(0, 0); c 6 a 6 / ( / 5) 0 b Página 198. a 4 c 5 b Los vértices imaginarios son B(0, ) B (0, ). 4. c 6 a 5 b Página a) a 5, c 9 b b) a / b / b 4 / 4 16 / 9 8. c a / b Asíntotas, 9. C(, 9) c (14 4) / 5 a (1 6) / b ( 9) ( ) 9 e 5 /,6 16 -

4 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a 1 0.Los ejes están sobre las rectas,. Los vértices A A son los puntos de la hipérbola con las dos coordenadas iguales: (, 18 / ) (k, k) 8 / ± A (, ), A (, ) B (, ), B (, ) a b ( ) ( ) 6 6 c Los focos tienen coordenadas iguales que cumplen: ( 6 ) ±6 Por lo tanto, F(6, 6), F ( 6, 6). Los puntos de la hipérbola con abscisa cumplen 8 Por lo tanto, (1, 18) es el único punto de la hipérbola con abscisa. rd. p 6 F(, 0) r: V(0, 0) F d r F Página p F( /, 0) d: / 0 4. V(4, 1) p 4 r: 0; F(8, 1) r d F rd F. p 0 F(5, 0) La ecuación es 0-1

5 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a 1 Página ( 5) 5; P 1 (0, 5) 5 0 P ( 5, 0) 6. ( 6) 6; P 1 (, 4) 6 0 P (6, 0) 7. ( 8) 4; ; 1 / / 7 P 1 ( / 7, 1 / 7) 6 4 P (6, 4) 8. ( 4) 4; ; 1 1 P 1 (1, ) 4 4 P (4, 4) Página a) Circunferencia b) Elipse c) Hipérbola d) Circunferencia e) Parábola f) Hipérbola g) 5 0 Circunferencia h) Elipse Página 1. Es un conjunto de puntos que cumplen una condición determinada. Por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos del plano con las dos coordenadas positivas es el primer cuadrante.. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto C, llamado centro. ( a) ( b) r. D E F 0 D a E b F a b r 4. Lugar geométrico de los puntos tales que la suma de distancias a dos puntos fijos es una constante positiva. A' O centro F' A, A, B, B vértices F, F focos B O B' AA eje maor longitud a BB eje menor longitud b FF distancia focal c Se cumple a b c. e c / a 5. a b distancia focal c a 6. e c / a; la ecentricidad da una medida del aplastamiento de la elipse, cuanto maor es, más aplastada es la elipse. Si es una circunferencia a b F F O c 0 e 0 7. Lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de distancias a dos puntos fijos es una constante positiva. b F A -1

6 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a 1 s' B s recta VF eje V vértice d(f, d) p O centro F' A' A, A, B, B vértices F, F focos O B' AA eje maor / real longitud a BB eje menor / imaginario longitud b FF distancia focal c Se cumple c a b. s, s asíntotas e c / a 8. A partir de la relación métrica fundamental: c a b : a o bien b a b 9. Tienen las asíntotas perpendiculares, es decir, a b: a 10. e c / a > 1 Cuanto más se acerca a 1, maor es la proimidad de las ramas al eje maor.. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo una recta fija. d A F 1. En cualquier punto P de una parábola, el ángulo formado por la tangente a la parábola en P con la recta FP, es igual al formado por la misma tangente la recta por P paralela al eje. Esta propiedad se aplica en antenas reflectores con forma de paraboloide. En el caso de las antenas, las ondas paralelas que inciden en ellas, se concentran en el foco. En el caso de los reflectores, las ondas que salen del foco, se propagan paralelas. 1. La posición relativa de una recta una cónica siempre se averigua mediante la resolución de una ecuación de segundo grado. Secantes la ecuación tiene dos soluciones > 0 Tangentes la ecuación tiene una solución 0 Eteriores la ecuación no tiene solución < A B 0 circunferencia A B, A, B 0 con el mismo signo elipse A B, A, B 0 con diferente signo hipérbola A B, A o B 0 parábola 15. a) ( ) ( 5) b) ( 4) c) ( 1) ( 1) a) r 5 ( ) ( ) b) C, C( 1, 1) V F r d(c, M) ( 6 1) ( 5 1) 41 ( 1) ( 1) 41 F foco d directriz 9 0 c) r d(c, P) ( 1 4) ( 6 ) 5 5 ( 4) ( )

7 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a 1 d) r ( ) ( ) Rescribimos la recta como s: r d(c, s) ( 5) ( 1) 0; r d(c, s) 5 5 ( 4) ( 5) 9; a a 4 b b r 9 4 ( ) 6 4 L πr 5,1 A πr 50,4 0. El centro es de la forma (, 0) verifica: ( 10 ) 9 ( ) 16 ; ; r ( 10 6 ) La ecuación es: ( 6) 5 1. a) a, b ( ) ( ) 6 > 0 circunferencia b) a, b punto c) a, b no es un lugar geométrico plano. El centro es de la forma C( 1, ). d(c, M) d(c, N) ( 1 ) ( 1) ( 1 1) ( ) ; ; / ( / ) 1 C(, / ) Por otra parte: r d(c, M) ( ) ( / 1) La ecuación es: ( ) ( / ) 5 / 4; a 6 b 5 c 6 5 Centro O(0, 0) 5 / 4 Vértices A(6, 0), A ( 6, 0), B(0, 5), B (0, 5) Focos F (,0), F (,0) Eje maor 1 Eje menor 10 Distancia focal e / a 5 b Eje maor 10 Eje menor 4 c 5 4 F ( 0, 1), F ( 0, 1) e a 4 Eje maor 8 b Eje menor 4 c 6 4 F(, ), F (, ) e 4 O(, 0) 5-15

8 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a 1 Página 1 6. a) b) c e 7. c / 5 / a a 5 / 4 b 5 / /16 9 / 4 81/16 5 /16 8. Eje maor 16 Eje menor 1 c Centro O(4, 1) Vértices A(4, 9), A (4, 7), B(10, 1), B (, 1), Focos F(4, 1 7 ), F (4, 1 7 ) e 7 / 8 7 / / 4 5 / 4 9. ( ) ( ) c 69 / 4 5 / 4 44 / 4 / 6 Vértices A (7 /, ), A ( 19 /, ), B (, 9 / ),, B (, 1 / ) Focos F(, ), F ( 9, ) e 6 / (1 / ) / 1 0. c 5 b c b ( ) ( 4) 96. a / 4 c / c / 4 b 9 9 /16 ( 4) ( 5) 15 /16. c 5 9 Centro O(0, 0) 15 4 Como sabemos que el eje maor es vertical: b a Si P pertenece a la elipse: ; ; b a b 5 b ( 5 b ) 9b b ( 5 b ) 16 ; 400 b 4 0 b ± 5, la solución negativa no nos sirve a La ecuación es: a (4 6) / 5 b a c, con c < 5 Dos posibilidades: ( (4 c)) Primera O(4 c, 0) 5 5 c Segunda O(4, c) 5. Eje real 6 Eje imaginario 10 c Centro O(0, 0) ( 4) 5 c ( c) 5 Vértices A(, 0), A (, 0), B(0, 5), B (0, 5) Focos F ( 4,0), F ( 4,0) e 4 / Asíntotas 5 /, 5 / 6. a) A(6, 0), A ( 6, 0), B(0, 5), B (0, 5) -16

9 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a 1 c F(,0) 61, F ( 61,0) Asíntotas 5 / 6, 5 / 6 b) 16 9 A(4, 0), A ( 4, 0), B(0, ), B (0, ) c F(5, 0), F ( 5, 0) Asíntotas / 4, / 4 0,, B ( 0, ) c) A(4, 0), A ( 4, 0), B ( ) c , F ( 6,0) F( 6,0) Asíntotas /, / d) a c 8 A(5, 0), A ( 5, 0), B(0, 4), B (0, 4) c F(,0) 41, F ( 41,0) Asíntotas 4 / 5, 4 / 5 b c 6 55 Centro O(0, 0) 5 / 6 / a a 8 / 5 b 6 4 / / 5 4 / 5 4 / / 5 9.Consideraremos el vértice A (9, 1). a c 6 b La ecuación: ( 6) 9 ( 1) 7 40.b / a 0,5 a b Por otra parte, c 5 5 b 4b 5 5b b ± 5, la solución negativa no nos sirve b 5 a c 4 a b 4 a a ±, la solución negativa no nos sirve a b 8 4. c 5 a b e 5 / Asíntotas 4 /, 4 / 4. a) a b A(, 0), A (, 0), B(0, ), B (0, ) c 9 9 8, F (,0) F(,0) e / b) 1 9 no tiene solución no ha puntos de abscisa que pertenezcan a la hipérbola. 44. a b 6 c 6 6 A( 6, 0), A ( 6, 0), B(0, 6 ), B (0, 6 ) F(, 0), F (, 0) 45. Como A(4,5) es un máimo, añadimos un signo negativo: ( 4) p( 5) Si P(6, 1) pertenece a la parábola se verifica: (6 4) p(1 5) p / Por lo tanto, la ecuación es: ( 4) ( 5) -17

10 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a p 8 Ha dos posibilidades: Primera F(4, 0), d: 4, 6 Segunda F( 4, 0), d: 4, Sea P(a, b) dicho punto. Ha dos posibilidades: Primera posibilidad p Como P pertenece a la parábola, b a / p. En este caso, el foco es F(0, p / ) la directriz es d: p / Se verifica: 18 b 18 a p / (b p / ) 18 a / p 18 a (a p / / p p / ) Solución: p 5, a ± 5,916 Por lo tanto, la ecuación de la parábola es 70 mientras que la ecuación de la directriz es 5 /. Segunda posibilidad p Como P pertenece a la parábola, b a / p. En este caso, el foco es F(0, p / ) la directriz es d: p / Se verifica: 18 a 18 a / p 18 a 18 a ( a p / / p ( a / p p / / p p / ) Solución: p 7, a ±6,08 p / ) Por lo tanto, la ecuación de la parábola es 74 mientras que la ecuación de la directriz es 7 /. 48. Al tener un máimo, la parábola es de la forma ( m) 6( n) donde V(m, n) es el vértice: Como el foco es F(, 5) la distancia entre éste V es 4 V(, 9) d: La ecuación es ( ) 6( 9) 49. d(v, d) 4 p 8 F(, 5) La ecuación es ( ) 6 ( 1) 50. d(f, V) d: ( ) P 1 (0, ) 16 / 5 6 / 5 P ( 16 / 5, 6 / 5) No tiene solución No ha puntos de corte Página F 0 A(, 4) pertenece a la circunferencia: F 0 F 9 La circunferencia es: Si es tangente a los dos ejes, las coordenadas del centro son iguales, es decir, C(a, b) C(a, a). Por otra parte, como el radio de la circunferencia es a: d(a, C) a d (A, C) a (a 1) (a ) a a 6a 5 0 a 1 C(1, 1) ( 1) ( 1) a 5 C(5, 5) ( 5) ( 5) a) 4 a a 8 b b 4 r b) Los puntos de r cumplen ( ) 4 8( ) 4 0; P 1 (, 0) 6 4 P ( 6, 4) 56. a) a c 740,9 a c 815,7 Por lo tanto, sumando las dos epresiones: a.556,6 a 778, millones de km c 7,4 millones de km e 7,4 / 778, 0,048 b) b , , ,1 777,4 millones de km La ecuación es: 778, 777, ; -18

11 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a ; ( 5) 4 1; ( 5) 4 ( ) V(, 5) p F(5, 5), d: ; ; ± ± 5 ± ± Puntos de corte: , 1, , , , 59. a) Parábola b) Hipérbola c) Hipérbola 60. Es una hipérbola: O(, 4) a 5 b 50 5 c A(8, 4), A (, 4), B(, 4 5 ), B(, 4 5 ) F( 5, 4), F ( 5, 4) Asíntotas, e 61. V(60 /, 60) V(15, 60) ( 15) p( 60); La parábola pasa por el origen de coordenadas, por lo tanto: (0 15) p(0 60) p 15 / 4 La ecuación es: ( 15) 15 ( 60) Los puntos de abscisa están situados a 100 pies del centro: Si 5 (15 15) 15 ( 60) / / 6 Si 415 (415 15) 15 ( 15) / / 6 Los puntos son (15, / 6) (415, / / 6). 6. a) b) Infinitos c) d) 1 Autoevaluación 1. a) ( ) ( 1) 7 b) Eje X 0 1 6, 6 ( 6, 0), ( 6, 0) Eje Y 0 1, (0, 1 ), (0, 1 ). a 5, b a 5 b / a 8 / 5 b a 0 b 6 c F ( 4,0), F ( 4,0) c a / a 6 (la solución negativa no nos interesa) -19

12 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 191 a 1 La ecuación es 8. Los vértices A A están sobre la recta, por lo tanto: 8 ± A(, ), A (, ) Los focos B B están sobre la recta : B(, ), B (, ) Finalmente: c Las coordenadas de los focos también son iguales cumplen: d(o, F) d(o, F ) 6 ; ( ) ( ) 6 ; 7 ±6 F(6, 6), F ( 6, 6) 6. ( 1) p ( ) A(, ) pertenece a la parábola, por lo tanto: ( 1) p ( ) p / La ecuación es ( 1) ( ) 7. V(0, 0) p 4 d: F(0, 1) 8. n 0 n ( n) ; 14 1n n 1 0; 94 6n 0 n 1 7, n 7 Si n [ 7, 7] < 0 La ecuación no tiene solución Son eteriores. Si n 7 o bien n 7 0 La ecuación tiene una solución Son tangentes Si n ( 7, 7) > 0 La ecuación tiene dos soluciones Son secantes. 9. El haz de rectas concurrentes en A es: m ( 1) De éstas buscamos la que tiene un solo punto de corte con la parábola, es decir, la pendiente m que cumple: m ( 1) 4 ; m (m 4) m 0 tal que: m 1 0, es decir, m ±1 Las rectas que buscamos son: a) tienen el mismo signo b) 9 b b 5 a a m m n n El centro es (, ) ( ) ( ) c) 5 9 d) A(7, ), A (, ), B(, 0), B (, 6) e) Hemos calculado a b en el apartado b. Finalmente, c