Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 3 b) y 16 x Lugares geométricos y cónicas

Transcripción

1 Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN 4 La ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta x y 4, y del punto P (, ) es: a) x y x y 68 0 b) 4x 9y 8x 6y xy 88 0 c) x y 6 0 El centro radical de las circunferencias: x y x 4y 0 0 x y 6 x y 4y 0 tiene de coordenadas: a) (, 8) b), c), La ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en esta recta x 4y 8 0 y radio es: a) x y 8x 6y 0 7x 7y 68x 6y 0 b) x y 8x 6y 7x 7y 68x 6y c) x y 4x y 0 7x 7y 84x y 0 Una elipse, centrada en el origen de coordenadas, tiene de excentricidad e, y un vértice en el punto (0, 0). Su ecuación es: a) 00 0 b) 00 0 c) Halla las asíntotas de la hipérbola x y 9. a) y x, y x b) y x, y x c) y x, y x Dada la hipérbola x y 8, las coordenadas de sus focos y vértices son: a) A (, 0),A (, 0),F (6, 0), F (6, 0) b) F (, 0),F (, 0),A (6, 0), A (6, 0) c) A (, ), A (, ), F (6, 6), F (6, 6) Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas, y que pasa por el punto A (, 4). a) y 6 x 9y, x 4 b) y 6 x c) y x 9y, x 4 6 El valor de k, para que la recta y x k sea tangente a la circunferencia x y, es: a) k b) k c) k 0 Dada la parábola de ecuación y x 8x, las ecuaciones de las tangentes en los puntos en los que corta al eje OX son: a) y 4x 8, y 4x 4 b) 4x y 8 0, y 4x4 c) y 4x 8, y 4x4 7. Lugares geométricos y cónicas 9

2 Solución de la evaluación (Se indican con las respuestas correctas) La ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta x y 4, y del punto P (, ) es: a) x y x y 68 0 b) 4x 9y 8x 6y xy 88 0 c) x y 6 0 El centro radical de las circunferencias: x y x 4y 0 0 x y 6 x y 4y 0 tiene de coordenadas: a) (, 8) b), c), La ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en esta recta x 4y 8 0 y radio es: a) x y 8x 6y 0 7x 7y 68x 6y 0 b) x y 8x 6y 7x 7y 68x 6y c) x y 4x y 0 7x 7y 84x y 0 4 Una elipse, centrada en el origen de coordenadas, tiene de excentricidad e, y un vértice en el punto (0, 0). Su ecuación es: a) 00 0 b) 00 0 c) 0 0 Halla las asíntotas de la hipérbola x y 9. a) y x, y x b) y x, y x c) y x, y x 6 Dada la hipérbola x y 8, las coordenadas de sus focos y vértices son: a) A (, 0),A (, 0),F (6, 0), F (6, 0) b) F (, 0),F (, 0),A (6, 0), A (6, 0) c) A (, ), A (, ), F (6, 6), F (6, 6) 7 Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas, y que pasa por el punto A (, 4). a) y 6 x 9y, x 4 b) y 6 x c) y x 9y, x El valor de k, para que la recta y x k sea tangente a la circunferencia x y, es: a) k b) k c) k 0 9 Dada la parábola de ecuación y x 8x, las ecuaciones de las tangentes en los puntos en los que corta al eje OX son: a) y 4x 8, y 4x 4 b) 4x y 8 0, y 4x4 c) y 4x 8, y 4x Lugares geométricos y cónicas

3 SÍNTESIS. Lugares geométricos y cónicas Lugar geométrico en el plano Definición Circunferencia Definición Ecuación: Casos particulares: Si la circunferencia pasa por el origen: Si la circunferencia está centrada en el origen: El eje radical de dos circunferencias es El centro radical de tres circunferencias es La excentricidad de una circunferencia es Elipse Definición Ecuación: Casos particulares: Si la elipse no está centrada en el origen, su ecuación es: Si la elipse está centrada en el origen y su eje mayor es vertical, su ecuación es: Si la elipse no está centrada en el origen y su eje mayor es vertical, su ecuación es: La excentricidad de una elipse es siempre 7. Lugares geométricos y cónicas 9

4 4 Hipérbola Definición SÍNTESIS. Lugares geométricos y cónicos Ecuación: Casos particulares: Si la hipérbola no está centrada en el origen, su ecuación es: Si la hipérbola está centrada en el origen y su eje mayor es vertical, su ecuación es: Si la hipérbola no está centrada en el origen y su eje mayor es vertical, su ecuación es: La excentricidad de una hipérbola es siempre Una hipérbola es equilátera si La ecuación de una hipérbola equilátera es La excentricidad de una hipérbola equilátera es La parábola Definición Ecuación: Casos particulares: La ecuación de una parábola, de vértice V(x 0, y 0 ) y directriz vertical, es: La ecuación de una parábola, de vértice V(x 0, y 0 ) y directriz horizontal, es: Dada la parábola de ecuación y ax + bx + c, las coordenadas de su vértice son: La excentricidad de una parábola es Lugares geométricos y cónicas

5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Actividades complementarias Determina la ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos P(, ) y Q(, ) y tiene su centro en la recta de ecuación y x 4. Calcula la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices A(, ), B(0, ) y C(4, 0). Determina a qué tipo de cónica corresponde la siguiente ecuación: x y 4x 6y 9 0 Una elipse tiene uno de sus focos en el origen de coordenadas, y el otro en el punto F(6, 0). Si sabemos que el semieje mayor vale, calcula la ecuación de dicha elipse. Dada la parábola de ecuación y x 6x 8, calcula la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto de abscisa x. Halla la ecuación de una parábola de directriz la recta y 0, y cuyo vértice se encuentra en el punto V (, ). La ecuación x y 6, representa a una hipérbola equilátera referida a sus asíntotas. Calcula la ecuación de esta hipérbola referida a sus ejes. Considera la hipérbola de ecuación 6 Calcula la diferencia entre la ordenada positiva de la curva y la positiva de la asíntota en el punto de abscisa x Se considera la circunferencia de ecuación: x y Represéntala indicando su centro y su radio. Halla el área de la figura limitada por las tres rectas siguientes: a) La recta tangente a la circunferencia en el punto A (, ). b) La recta normal a la circunferencia en el punto A. c) El eje de abscisas. Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta y y del punto F(, ). Qué figura definen? Se consideran en la parábola y x los puntos A y B, de abscisas x y x a) Halla la ecuación de la tangente a la parábola que es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B. b) Halla el área encerrada por la curva, la tangente obtenida y el eje OX. Por el punto de abscisa x, de la parábola de ecuación y x x,se traza una recta r perpendicular a la tangente a la curva en dicho punto. Halla el área del recinto limitado por la recta r y la parábola. Halla la ecuación del lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por los puntos (, ) y (6, 0). De entre todas, escribe la ecuación de la que tiene radio mínimo. Calcula la ecuación de la recta tangente a la parábola y x,y paralela a la recta y x. 7. Lugares geométricos y cónicas 9

6 DOCUMENTACIÓN. Propiedades reflectoras de las cónicas A continuación se enuncian y demuestran las propiedades reflectoras de las cónicas. (Se presentan algunos ejemplos de sus propiedades, pues son útiles para multitud de aplicaciones.) La elipse Dada una elipse, de focos F y F, y un punto P de la misma, los radios vectores PF y PF forman ángulos iguales con la recta tangente a la elipse en P. La afirmación anterior equivale a decir que la tangente a una elipse en un punto P de la misma es la bisectriz exterior de los dos radios vectores, PF y PF. DEMOSTRACIÓN En primer lugar, razonaremos que de todos los puntos de la recta tangente a la elipse en el punto P, este tiene la propiedad de que la suma de las distancias a F y F es mínima. Consideremos un punto Q cualquiera de la recta tangente; se deberá cumplir: Y Q R P F O F X d (P, F) d (P, F ) d (Q, F) d (Q, F ) Para probar la desigualdad anterior, se toma un punto R situado en la elipse y en la recta de unión de Q con F. A continuación, escribiremos: d (Q, F ) d (Q, R) d (R, F ) d (Q, F ) d (Q, F) d (Q, R) d (R, F ) d (Q, F) A consecuencia de la desigualdad triangular: d (R, Q) d (Q, F) d (R, F), tenemos: d (Q, F ) d (Q, F) d (R, F ) d (R, F) Puesto que P y R pertenecen a la elipse: d (P, F) d (P, F ) d (R, F) d (R, F ) Por lo tanto: d (P, F) d (P, F ) d (R, F) d (R, F ) d (Q, F ) d (Q, F) Luego queda demostrado que de todos los puntos de la recta tangente en P, este es el punto cuya suma de distancias a F y F es mínima. Para demostrar la propiedad reflectora se precisa de un resultado adicional: Sean r una recta y F y F dos puntos situados fuera y en un lado de la misma. Se demuestra que la línea de distancia mínima que une F y F, pasando por un punto, P, de r, es aquella que verifica que los ángulos formados por los segmentos PF y PF con r son iguales. Para confirmar este resultado se toma un punto, H, simétrico de F respecto de r: H A Q F P F B r Lugares geométricos y cónicas

7 Dado un punto cualquiera de r, Q, se verifica que F Q QF F Q QH. Observando la figura se deduce que la línea de distancia mínima que une F y F mide lo mismo que la que se obtiene de unir, en línea recta, F con H. El punto buscado, P, es el punto de intersección del segmento F H con r. Los ángulos F PA y HPB son iguales, por lo que se verifica F PA FPB, y se demuestra la propiedad reflectora de la elipse. Una consecuencia física de esta propiedad es la siguiente: dado un espejo elíptico, la luz emitida desde un foco se refleja en el espejo y converge en el otro foco. Esta propiedad sirve para diseñar unas lámparas que utilizan los dentistas: consiste en hacer incidir la luz emitida desde uno de los focos de su espejo en un lugar determinado de la dentadura de los pacientes, en el que se sitúa el otro foco. También, como consecuencia de esta propiedad, en ocasiones, al estar situados en el andén de un metro podemos oír la conversación de las personas situadas en el andén opuesto. Esto es debido a que las ondas de sonido emitidas por las personas que dialogan se reflejan en el techo de la estación, que tiene sección de forma elíptica, y convergen en un punto del andén opuesto. Las personas que hablan y la que oye la conversación se encuentran en los focos de la elipse. La parábola El ángulo formado por una paralela al eje con la tangente en un punto de la parábola, es igual al ángulo formado por dicha tangente con la recta que une el punto de tangencia con el foco. DEMOSTRACIÓN Tomamos un sistema de referencia con el origen en el vértice de la parábola. De este modo las coordenadas del foco serán x F(0, c), y la directriz, r, tendrá de ecuación y c. Podemos escribir para la parábola la ecuación: y ; si derivamos, se 4 c x obtiene: y c La recta tangente en el punto P(x 0, y 0 ), tendrá de ecuación: x0 (y y 0 ) (x x 0 ) cy cy 0 x 0 x x 0 c c(y y 0 ) x 0 x P pertenece a la parábola x 0 4c y 0 La intersección de la recta tangente con el eje de ordenadas es el punto P 0 (0, y 0 ). DOCUMENTACIÓN. Propiedades reflectoras de las cónicas Y R Q F P O X P 0 D Observando la figura comprobaremos que d(f, P 0 ) c y 0.Dado que P pertenece a la parábola: d(p, F) d(p, r) c y 0 ; por tanto, d(f, P 0 ) d(f, P). El triángulo FPP 0 es isósceles, luego los ángulos FP 0 P y FPP 0 son iguales. Sin embargo, el ángulo FP 0 P coincide con el ángulo de reflexión RPQ, luego RPQ FPP 0,con lo cual queda demostrada la propiedad. La propiedad anterior puede interpretarse físicamente: las ondas emitidas por el foco de una parábola se reflejan en ella y forman un haz paralelo al eje de la parábola. De modo análogo, las ondas que llegan formando un haz paralelo al eje de la parábola (esto ocurre cuando la fuente emisora está lejos de la parábola) se reflejan en ella de forma que el haz converge en el foco. En esta propiedad se basan las antenas parabólicas y los radiotelescopios: el receptor se halla situado en el foco de la parábola. La hipérbola En cada punto, P, de una hipérbola de focos F y F, la recta tangente es la bisectriz del ángulo formado por los radios focales PF y PF. DEMOSTRACIÓN Supongamos la ecuación de una hipérbola centrada en el origen de coordenadas: x y a b y b a a x y b a x x a x dado que el punto P(x 0, y 0 )pertenece a la hipérbola: 0 y a 0 b x 0 a y 0 a b 7. Lugares geométricos y cónicas 97

8 DOCUMENTACIÓN. Propiedades reflectoras de las cónicas A continuación, obtenemos el valor definitivo de la pendiente de la recta tangente en P: m b x0 a y0 La ecuación de la recta tangente en el punto P es: (y y 0 ) b x0 (x x a 0 ) y0 Utilizando el valor de la pendiente obtenida, podemos comprobar que la recta tangente forma el mismo ángulo con cada uno de los radios focales, es decir, es la bisectriz del ángulo formado por los segmentos PF y PF. F O Y En el sentido físico puede interpretarse que los rayos luminosos emitidos desde un foco se reflejan en la hipérbola y siguen una trayectoria que es la línea recta que une el punto de reflexión con el otro foco. Y P X F O F X En la propiedad reflectora de la hipérbola se basa el sistema de navegación LORAN (Long Range Aid to Navigation). Este sistema, puesto en práctica durante la Segunda Guerra Mundial, permite determinar la posición de un buque midiendo la diferencia de tiempos con la que se reciben las señales emitidas de forma simultánea por dos estaciones terrestres. La diferencia de tiempos determina una hipérbola sobre la cual está situado el buque. Si otras dos estaciones emisoras también emiten señales simultáneas, determinan otra hipérbola sobre la cual se halla el buque. La intersección de ambas hipérbolas determina su situación. F Lugares geométricos y cónicas

9 SOLUCIONES DEL MATERIAL FOTOCOPIABLE. Lugares geométricos y cónicas Lugar geométrico en el plano Definición. Es el conjunto de puntos de este que cumplen una condición determinada. Circunferencia Definición. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto al que llamamos centro. Ecuación: x y m x n y p 0 Casos particulares: Si la circunferencia pasa por el origen: deberá cumplir que p 0. Si la circunferencia está centrada en el origen: x y R El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. El centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene la misma potencia respecto de dichas circunferencias. La excentricidad de una circunferencia es: igual a cero. Elipse Definición. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Ecuación: x y a b Casos particulares : Si la elipse no está centrada en el origen, su ecuación es: (x x 0 ) (y y 0 ) a b Si la hipérbola está centrada en el origen y su eje mayor es vertical, su ecuación es: y /a x /b Si la hipérbola no esta centrada en el origen y su eje mayor es vertical, su ecuación es: (y y 0 ) (x x 0 ) a b La excentricidad de una hipérbola es siempre el cociente entre la semidistancia focal y el semieje real e c/a. Una hipérbola es equilátera si el semieje real es igual al semieje imaginario, a b. La ecuación de una hipérbola equilátera es x /a y /a. La excentricidad de una hipérbola equilátera es e. La parábola Definición es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta, llamada directriz, y de un punto, llamado foco. Ecuación y px Casos particulares: La ecuación de una parábola, de vértice V (x 0,, y 0 ) y directriz vertical es: (y y 0 ) p (x x 0 ) La ecuación de una parábola, de vértice V (x 0,, y 0 ) y directriz horizontal es: (x x 0 ) p (y y 0 ) Dada la parábola de ecuación y ax bx c, las coordenadas de su vértice son: b, b 4ac a 4a La excentricidad de una parábola es la excentricidad de la parábola es. Si la elipse está centrada en el origen y su eje mayor es vertical, su ecuación es: b x a y, donde a b Si la elipse no está centrada en el origen y su eje mayor es vertical, su ecuación es: (x x 0 ) (y y 0 ) b a La excentricidad de una elipse es siempre menor que, ya que el semieje mayor es siempre mayor que la semidistancia focal. e c/a Hipérbola Definición. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Ecuación: x /a y /b Casos particulares: Si la hipérbola no está centrada en el origen su ecuación es: (x x 0 ) (y y 0 ) a b. Actividades complementarias x y 4x 4y 7 0 x y 4x y 0 La ecuación corresponde a una elipse centrada en el punto C(, ), de eje mayor vertical, con semieje menor, b 0, y semieje mayor, a (x ) y 6 8x y 7 0 x x y 4 Las asíntotas son: y 4 x e y 4 x La diferencia entre las dos ordenadas es: y a y 09 0, Lugares geométricos y cónicas 99

10 9 Y a) La ecuación de la recta tangente es: 4x y 40 b) Área u O X La ecuación de la recta perpendicular es: y x La recta y la parábola se cortan en los puntos: P(, 0) y Q(, ) Área 4 u C (0, 0), r Ecuación de la recta tangente en A: x y 0 Ecuación de la recta normal en A: x y 0 Área u El lugar geométrico de los centros de las circunferencias es la recta de ecuación: y x 7 De todas las circunferencias que pasan por los puntos (, ) y (6, 0), la ecuación de la que tiene radio mínimo es la que tiene el centro en el punto (4, ): x y 8x y 0 0 y x x Ecuación de una parábola de foco el punto F(, ) y directriz la recta y. 4 La ecuación de la tangente es: 4x 4y Lugares geométricos y cónicas