3.1 DEFINICION. Una elipse E es el conjunto de los puntos del plano euclideano IR2 tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano

Transcripción

1 3.1 DEFINICION. Una elipse E es el conjunto de los puntos del plano euclideano IR tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano es una constante. Sean Fl y F, dos puntos del plano ft y a un número real positivo. Entonces

2 3. NOTACION Y PROPIEDADES 1. Los puntos Fl y F, se denominan focos de la elipse.. El punto medio Fo = i(fl + F,) del segmento FlF se llama centro de la elipse. 3. Si Fl t F,, la elipse corta la recta X' que pasa por Fl y F en exactamente dos puntos Vl y V,, que reciben el nombre de vértices de la elipse. Se demuestra que El segmento V1V se llama eje mayor de la elipse y tiene longitud a. El número a se llama semieje mayor. 4. Si Fl t F,, la elipse corta la recta Y' que pasa por F, y es perpendicular al eje mayor en exactamente dos puintos Bl y B. Se demuestra que Y que d(b,, F,) = d(b,, Fo) b +C = a El segmento BlB se llama eje menor de la elipse y tiene longitud 6. El número b se llama semieje menor. C 5. El número e = - se llama excentricidad de la elipse. Es fácil de ver que O I e 5 1. a 3.3 ECUACIONES DE LA ELIPSE CON EJE PARALELO A UN EJE DE COORDE- NADAS CARTESIANAS. TEOREMA. l. La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es paralelo el eje X es con a > b, en donde se tiene que centro de la elipse: (h, k) vértices de la elipse: (h - a, k) y (h + a, k) focos de la elipse: (h - c, k) y (h + c, k), c = Jm

3 La Elipse 77. La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje Y es en donde se tiene que [centro de la elipse: (h, k) (x-q +-= b con a > b, a (Y -q {vértices de la elipse: (h, k - a) y (h, k +a) [focos de la elipse: (h, k - e) y (h, k + c), c = Jm Elipse con eje paralelo al eje X 3.4 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. Hallar una ecuación de la elipse con vértices (4,-7) y (,5) y uno de los focos en (1,3). SOLUCION. Representamos gráficamente los vértices VI = (-4, - 7) Y v = (,5) y el foco F = (1,3) Debemos calcular la longitud a del eje mayor y el foco Fl.

4 Se tiene a = d(v,,v) = J[-(-4)1 +[5-(-7)1 = J180 Los vectores Fl - Vl y V - F son paralelos y tienen igual longitud pues d(v,, F,) = d(v, F) Por consiguiente, son iguales y se cumple Fl - Vl = V - F O Fl = Vl +V - F = (-4,-7)+(,5)-(53) y así F, = (-3, - 5). Designemos con P = (x, y) un punto arbitrario de la elipse. Por definición se debe verificar d(p, Fl) + d(p, F) = a Y eliminando los radicales del primer miembro se obtiene RESPUESTA. La ecuación buscada es 656x + 504~~ - 16xy + 100x + 960y = O (x- h) PROBLEMA. Demostrar que + - k) = 1, a > b, es la ecuación de una a b elipse con centro (h, k) y eje mayor paralelo al eje X. Probar que a = semieje mayor, b = semieje menor (h - a, k), (h + a, k) son los vértices de la elipse, (h - c, k), (h + c, k) son los focos de la elipse, donde c = dm.

5 SOLUCION. Puesto que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje X, los focos Fl, F y el centro (h, k) tienen igual ordenada k. Siendo el centro el punto medio de los focos tenemos Fl=(h-c,k) y F=(h+c,k), con c>o. Si P = (x, y) es un punto cualquiera de la elipse se debe cumplir Observemos que (1) implica que d(p,fl)+d(p,f,)=a, a>o c < a En efecto, por la desigualdad triangular c = d(f,, F) < d(p, F,) + d (~, F) = a para cualquier punto de la elipse. Así c < a. Volviendo a la ecuación (1) podemos escribir Desarrollando [[(x- h)+c1 +(Y- k)] = [a-/[(x - h)-c1 +(y- k)l] (x- h) + c(x - h)+c +(y - k) = = 4a - 4a,/[(x - h) - c1 +(y - k) + ( X - h) - c(x - h) + c +(y - k)' De () se tiene c < a y podemos hacer b = a - c > 0, con b > 0. La última ecuación se convierte en b(x - h) + - k) = ab, y si b > O, dividiendo (x- h)' por ab se obtiene 7 (y- k) +-=l. a b

6 Hallaremos los vértices del eje mayor. La recta L que contiene al eje mayor es y = k. Por lo tanto, haciendo y = k en la ecuación de la elipse, obtenemos y así, VI = (h - a, k) y V = (h + a, k) son los vértices de la elipse. Puesto que por definición se tiene 1 a semiejemayor = -d(vl,v) = - = a vemos que a es el semieje mayor. De igual modo, la recta que contiene al eje menor es x = h. Por lo tanto, haciendo x = h en la ecuación de la elipse, obtenemos y así B, = (h, k - b) y B = (h, k + b) son los extremos del eje menor. 1 b Luego se tiene semieje menor = -~(B~,B~) = - = b PROBLEMA 3. Hallar una ecuación de la elipse con centro en (O, l), sus focos en el eje Y, y la longitud del eje mayor igual a 513 veces la longitud del eje menor y que pasa por el punto (- 1/5,4). SOLUCION. Designaremos con a y b las longitudes de los semiejes mayor y menor, respectivamente. Se tiene entonces que a=qb (1) Puesto que se trata de una elipse con eje paralelo al eje Y y centro en (0, l), la ecuación buscada es de la forma Debemos determinar a y b. X (y- 1) Sustituyendo (1) en () se obtiene - +-=1, b 5b 9 y como el punto (- 1/5,4) se encuentra en la elipse

7 La Elipse 81 O 5b = y de aquí b=3 9 a=fb=$x3=5. RESPUESTA. La ecuación de la elipse es (Y - q x - + -=l. 9 5 PROBLEMA 4. contiene a F. Sean e un número real O < e < 1, F un punto fijo y L una recta que no 1) Probar que los puntos P del plano cuya distancia del punto F es e veces la distancia de la recta L forman una elipse. ) Si a y b son los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente, y si c = Jn', probar que c = ea. Nota. Llamamos foco al punto F, excentricidad al número e, y directriz a la recta L. 1) Consideramos un sistema de coordenadas cartesianas XY con origen en el punto F tal que el eje X sea perpendicular a la recta L y orientamos X positivamente en el sentido de la recta L al punto F. Se tiene así F = (O, 0), L : x = -d, donde d =d(f, L). Designemos con P = (x, y) un punto tal que d(p,f)=ed(p,l). Se tiene entonces F = (O, O) 1 / d(p9 F)

8 e4d Sumando - en ambos miembros para completar cuadrados en los corchetes, 1- e se tiene ed y dividiendo ambos miembros entre - 1-e Puesto que O < e < 1 implica e < 1 y 1-e >O, ambos denominadores son positivos y la ecuación es, en verdad, la de una elipse con centro en ) Siendo O < e < 1 se obtiene 1 - e < 1 [&, o] y ejes paralelos a los ejes de coordenadas. 1-e Así, si a y 6 son los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente, se cumple

9 La Elipse 83 ed Luego c =a - b = --- ed - e4d ed =e x =ea, (1 - e) l-e (1-e) (1 - e) PROBLEMA 5. Un satélite se mueve alrededor de la tierra describiendo una órbita elíptica, donde la tierra es un foco y la excentricidad es #. La distancia más corta a la tierra es 450 Krns. Hallar la distancia más grande a la que se aleja el satélite de la tierra. SOLUCION. Sean Fl = (-c, O) y F. = (c, O) los focos de la elipse y la tierra ubicada en el foco F1 (Ver figura). Designaremos con a y b los semiejes mayor y menor, respectivamente. Es claro que distancia más corta= d(fl, V.) = a - c = 450 (1) Debemos calcular distancia máxima = d(fl, V ) = a + c () d(fl, V.) = a + c Por el problema 4,si e es la excentricidad se tiene c = ea. Sustituyendo e = obtenemos a = 3c Resolviendo (1) y (3) da c=5. Finalmente de () RESUESTA. 900 Krns. a-c=450 a = 3c d(fl, V) = a + e = 4c = 4 x 5 = 900 Km. PROBLEMA 6. Hallar la ecuación de la elipse con focos (-.1) y (6,O) y excen- - J65 tricidad e = - 10 SOLUCION. Designemos con C el centro de la elipse, VI y V, los vértices y F, = (-,l) y F = (6, O), los focos de la elipse.

10 Puesto que Fl y F son dados necesitamos calcular a = d[v1, V). Si c = d(fl, C) = d(f, C) entonces Y por el problema 4, c=ea De (1) y () y e se obtiene a = 5 Si P = (x, y) pertenece a la elipse se debe cumplir Eliminando radicales se obtiene,/(x+,/- = 10 PROBLEMA 7. Hallar la ecuación de cada ' t elipse con un vértice en (1, 1) y un vértice en (3,5) si el eje mayor es vertical. SOLUCION. Sean E, y E las elipses cuyas ecuaciones se trata de hallar. Las ecuaciones buscadas son de la forma + = (1: - h) (y - k) b a 1 con a>b Para El se tiene centro: (1,5) (x - 1) (y - 5) b=3-1= yasí, El:- +-=

11 La Elipse 85 Para IE se tiene centro: (3,l) (x - 3) (y - l), b=3-1= yasí, E,: - +-= (x-1) (y-5) (x- 3) +-= (y- 1) RESPUESTA. Las ecuaciones son - 1 y = 1 PROBLEMA 8. La cuerda de una elipse a través de un foco y perpendicular al eje mayor b se llama lado recto o cuerda focal. Probar que la longitud del lado recto es -. SOLUCION. Consideremos la ecuación de una elipse centrada en el origen y eje mayor paralelo al eje X ' X y - + = 1 a b Los extremos de un lado recto tienen abscisas x = fc y ordenadas y: donde a = b + c, As (., -] : y ) : son los extremos de un lado recto. b Luego, la longitud del lado recto es -. PROBLEMA 9. Un techo de 0 mts. de ancho tiene la forma de una semielipse. icúal es la altura del techo a 4 mts. de las paredes laterales, si éste tiene una altura de 18 mts. en el centro y de 1 mts. en las paredes?

12 SOLUCION. Consideramos un sistema de coordenadas cartesianas XY con origen en el centro de la elipse. La ecuación de la elipse es x y YA Luego - + -=l A 4 mts. de distancia de la pared, la abscisa tiene valor x, = 10-4 = 6 y la ordenada correspondiente yo en la elipse G yo cumple = 1 de donde y, = 4.8. u (0,O) x altura buscada paredes llilllllll/lllllll/l7 Luego, la altura buscada es yo + 1 = = 16.8 RESPUESTA. El techo tiene 16.8 mts. de altura a 4 metros de las paredes laterales. 3.5 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 1. menor 3. Hallar la ecuación de la elipse con focos en (0,O) y (0,B) y semieje PROBLEMA. Hallar la ecuación de la elipse con centro en (-1, l), semieje mayor 3 y excentricidad 13 si el eje mayor es horizontal. PROBLEMA 3. Un arco tiene la forma de una semielipse. Qué tan ancho es el arco a una altura de 6 m sobre la base, si éste tiene 3 m de ancho en la base y una altura de 1m? PROBLEMA 4. Hallar la ecuación de la elipse con vértices en (-1, - 1) y (3,3) y excentricidad e = b. PROBLEMA 5. Una elipse con centro en el origen tiene un vértice en (-4,3). Hallar la ecuación de la elipse si la longitud del lado recto es 151. b Nota. Lado recto = -, por el problema 8,3.4.

13 La Elipse 87 PROBLEMA 6. Hallar la ecuación de la elipse con vértices en (,O) y (,6) y uno de los focos en (,5). PROBLEMA 7. Hallar una ecuación de la elipse con centro en (6, l), vbrtice en (0, - 5) y un foco en el eje X. RESPUESTAS x +391y + 4xy = 0; focos (,-t), (-4)