INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTA TERESA DE JESÚS IBAGUÉ - TOLIMA GUIA No.4 ALGEBRA DOCENTE: EDGARD RODRIGUEZ USECHE GRADO : NOVENO

Transcripción

1 TEMA: ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente Pareja ordenada Una pareja ordenada es una pareja de números, (x, y), escritos en un orden particular. La pareja ordenada (x, y) no es la misma que la pareja ordenada (y, x). Una pareja ordenada es a menudo usada para representar un punto en un plano coordenado o la solución para una ecuación con dos variables. Ejemplo: Encuentre una pareja ordenada que es una solución de la ecuación y = x 3, y grafique el punto en el plano coordenado. La pareja ordenada (5, 2) funciona, ya que 2 = 5 3.

2 (Dese cuenta que en matemáticas avanzadas, una pareja ordenada no tiene que ser una pareja ordenada de números; puede tener parejas ordenadas de conjuntos, funciones, o incluso parejas ordenadas!) Distancia entre dos puntos Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación: Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x 1,y 1 ) y B(x 2,y 2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1) d = 5 unidades

3 RELACIONES Una relación se define como un subconjunto de un producto cartesiano. Simbólicamente: A conjunto de partida B conjunto de llegada. Sean los conjuntos: A = (2, 4, 6) B = (1, 2, 3) A x B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4,3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)} Un subconjunto S que satisfaga x > y será: S = {(2, 1), (4, 1), (4, 2), (4,3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)} Relación inversa Sean los conjuntos: A = (1, 2, 3, 4) B = (1, 2) Definamos la relación, x es divisor de y. Luego: R = { ( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 2 ) } Gráficamente:

4 Encontremos ahora la relación S de B en A dada por "y es múltiplo de x" S = { ( 1, 1 ), ( 2, 1 ), ( 2, 2 ) } Gráficamente: Relación reflexiva Sea el conjunto A = {1, 2, 3} Relacionar A en A y escribir las parejas ordenadas: R = { ( 1, 1 ), ( 2, 2 ), ( 3, 3 ) } Cada uno de los elementos de A está relacionado consigo mismo, es decir, cada pareja ordenada pertenece a la relación. Relaciones con estas características reciben el nombre de reflexivas.

5 Simbólicamente se puede expresar como: Para todo elemento: Diagrama sagital: Relación simétrica Sea la relación R = {(3, 4), (5, 6), (6, 5), (4, 3)} cada pareja ordenada de la relación tiene su recíproco, es decir, para (3, 4) existe (4, 3), que también pertenece a R. Cuando en una relación de x con y se deduce la relación y con x, se puede decir que la relación es simétrica, es decir: Gráficamente: Relación transitiva Analicemos la siguiente relación R = { ( 4, 5 ), ( 5, 2 ), ( 4, 2 ) }

6 El elemento 5 se relaciona en la primera y segunda pareja ordenada y sirve para obtener otra pareja ordenada con los elementos con los cuales se ha relacionado en la primera y segunda pareja ordenada. Cuando en una relación se presenta esta característica se puede decir que la relación es transitiva. Simbólicamente: Gráficamente: Relación equivalente Si una relación es al mismo tiempo reflexiva, simétrica y transitiva se puede decir que es equivalente. Un ejemplo de relación equivalente puede ser: "b es paralelo a, a" Gráficamente: Analizando la gráfica: La recta a se puede considerar paralela a sí misma, es decir, cumple con la propiedad para ser relación reflexiva. Por definición la recta a es paralela a la recta b, y viceversa, luego la relación en este aspecto es simétrica. También se deduce que si la recta a es paralela a la recta b y a es paralela a otra recta c, entonces b es paralela con la recta c.

7 Esta es la condición para que se cumpla la relación transitiva. Si a es paralela a b, y b es paralela a c, entonces a es paralela a c. FUNCIONES Dos líneas se pueden cortar en forma perpendicular u oblicua. Cuando se cortan en forma perpendicular forman un eje de coordenadas rectangulares. Este eje de coordenadas llamado plano cartesiano, sirve para graficar un conjunto de parejas ordenadas generadas por un producto cartesiano. Para realizar la gráfica de una función en un plano cartesiano se procede así: Se trazan los ejes de coordenadas x y. El dominio de la función se coloca sobre el eje de coordenadas x. El codominio de la función se coloca sobre el eje de coordenadas y. Las parejas ordenadas se representan por puntos.

8 Sean los conjuntos A = { 2, 4, 6 } B = { 3, 5 } Realizar el producto cartesiano. Definir el dominio de la función Definir el codominio de la función. Desarrollo: Representar las parejas ordenadas en un plano cartesiano. Producto cartesiano A x B = {(2, 3), (2, 5), (4, 3), (4, 5), (6, 3), (6, 5)} El dominio de la función es el mismo conjunto A, D = {2, 4, 6} El codominio de la función es el mismo conjunto B, Cd = {3, 5} Gráfica: Plano cartesiano:

9 Función lineal Y = f(x) En una función lineal representada por la relación Y = f(x), para cada valor que se le asigne a la variable x, hay un valor de y. Los valores que se le asignen a x reciben el nombre de abscisas, y los valores que resulten de y los llamaremos: ordenadas de la función. Al realizar la gráfica de estos valores (puntos) nos resulta una línea recta o curva que será la gráfica de la función o ecuación Y = f(x). En una función Y = f(x) como a x le asignamos valores independientes para obtener valores de y, la llamaremos variable independiente, y como el valor de y depende de los valores que se le asignen a x, entonces a y la llamaremos variable dependiente. Representar gráficamente la función y = 3x + 3 Dando valores a la variable x, se obtienen valores correspondientes de la variable y: para x = 0 y = 3(0) + 3 = = 3 y = 3 para x = 1 y = 3(1) + 3 = = 6 y = 6

10 para x = 2 y = 3(2) + 3 = = 9 y = 9 para x = 3 y = 3(3) + 3 = = 12 y = 12 para x = -1 y = 3(-1) + 3 = = 0 y = 0 para x = - 2 y = 3(-2) + 3 = = -3 y =- 3 para x = - 3 y = 3(-3) + 3 = = -6 y =- 6 Representando los valores de la variable x como abscisas y los valores correspondientes de la variable y como ordenadas, se obtiene una serie de puntos. La recta que se forma de la unión de esos puntos es la gráfica de y = 3x + 3 Gráfica: Pendiente de la línea recta La gráfica de una función lineal y = mx + b, donde m y b pertenecen a los números Reales (R) corresponden a una línea recta. La línea recta que resulta de graficar una función lineal puede tener una inclinación respecto del eje x, eje horizontal, que recibe el nombre de pendiente (m).

11 En la fórmula y = mx + b, se tiene que: m = pendiente de la recta INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTA TERESA DE JESÚS b = es el punto donde la línea recta corta el eje y. Sea la función y = 4x 2, hallar su pendiente y el punto de corte. Según la fórmula general y = mx + b, se tiene que m = 4 y b = - 2 Por tanto, la pendiente de la recta es 4 y corta el eje y en el punto 2. Realizando la gráfica de la recta podemos comprobar estos valores: para x = 0 y = 4(0) - 2 = 0-2 = -2 y = -2 para x = 1 y = 4(1) - 2 = 4-2 = 2 y = 2 para x = 2 y = 4(2) - 2 = 8-2 = 6 y = 6 para x =-1 y = 4(-1) - 2 = -4-2 = -6 y =-6 para x =-2 y = 4(-2) - 2 = -8-2 = -2 y =-10 Gráfica: Sea el triángulo ABC. La altura BC = 8 unidades El cateto AB = 2 unidades La pendiente viene dada por

12 Luego: m = 8/2 = 4 m = 4 Y observemos que la recta corta el eje y en el punto -2. b = -2 Veamos la siguiente grafica: En donde la tg BC CA y2 y1 m lo cual implica que m = tg x x 2 1 Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1, 6) y B(5, -2) Solucion: m

13 Analiza si la relación "ser perpendicular a" es una relación de equivalencia. Dado el conjunto Q = { 10, 12, 13, 15 }, y la relación Realiza el conjunto de parejas ordenadas. Construye el diagrama correspondiente. Elabora el plano cartesiano. Hallar el dominio y el codominio de la relación. Qué tipo de relación es Representar gráficamente los siguientes punto y hallar las distancias de uno a otro : A (0,0) -- B (6,0) -- C (-5,0) -- D (0,4) -- E (0,-2) -- F (2,2)-- G (2,-5) H (-1,4) -- I (- 3,2) -- J (5/2,-2) Calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A(-4,6), B(6,2) y C(4,-4).

14 Determinar los puntos cuyas distancias al punto P(2,3) son de 4 unidades y cuyas ordenadas son iguales a 5. Ver figura a continuación: Trazar las líneas que pasan por los puntos: 1. (1, 2) y (3, 4) 2. (-3, -2) y (-1, -4) 3. (-4, 3) y (0, 3) 4. (-2, -4) y (-3, -6) Representa gráficamente las funciones: 1. y = 3x + 6

15 2. y = -2x y = 4x y = 8-3x 5. y = -3x Representa las funciones lineales sabiendo que y es la variable dependiente: 1. 2x = 3y 2. 3y = 4x x = y x + 2y = x - y = 2 halla la ecuacion de la recta : b) y 3-4 x