2.2 Rectas en el plano

Transcripción

1 2.2 Al igual que ocurre con el punto, en geometría intrínseca, el concepto de recta no tiene definición, sino que constituye otro de sus conceptos iniciales, indefinibles. Desde luego se trata de un conjunto de puntos alineados, pero inmediatamente surge la pregunta de que significa que varios puntos estén alineados... y la única respuesta posible, al menos en geometría intrínseca, es que son aquellos que se encuentren sobre una recta; lo cual cierra el círculo vicioso y hace la definición inservible. Intuitivamente, la imagen de una recta es la de un hilo tenso, indefinidamente largo e infinitamente delgado. En la geometría anaĺıtica, se dispone del recurso de representar cada punto por sus coordenadas (x, y) respecto a un sistema de referencia fijado, y puede definirse una recta como el conjunto de puntos que cumplen cierta relación entre ambas coordenadas. La clave está en elegir cuál debe ser la relación de manera que el resultado responda a nuestra idea intuitiva de recta. RECTA Una recta es el conjunto de todos los puntos, cuyas coordenadas (x,y) satisfacen una ecuación del tipo Ax+By+C = 0 donde A, B y C son números reales que identifican la recta. EJEMPLO 2.3 La ecuación 2x 3y 3 = 0 es la ecuación de una recta. De acuerdo con la definición, un punto pertenece a una recta si, al sustituir x por la abscisa del punto e y por su ordenada, se satisface la ecuación. EJEMPLO 2.4 a) El punto (1,3) pertenece a la recta 4x y 1 = 0 por ser = 0. b) El punto (2,3) no pertenece a la recta, ya que = 0. 83

2 recta x = C A Antes de interpretar la definición, conviene distinguir dos casos para evitar ciertas anomaĺıas en los razonamientos (ver figura 2.5): 1. Recta paralela al eje de ordenadas. Si B = 0, la ecuación anterior se reduce a (0,0) C B C A recta y = C B x = C A es decir, el conjunto de puntos de abscisa constante, igual a C A, que representa la recta paralela al eje de ordenadas, situada a distancia C A del origen. 2. Recta paralela al eje de abscisas. Si A = 0, la ecuación anterior se reduce a y = C B (0,0) que representa el conjunto de puntos de ordenada constante, igual a C B, es decir, la recta paralela al eje de abscisas situada a distancia C B del origen. Figura 2.5: paralelas a los ejes de coordenadas. EJEMPLO 2.5 a) La ecuación 2x 5 = 0 tiene B = 0 y es una recta vertical, es decir, paralela al eje de ordenadas, formada por los puntos de abscisa constante x = 5 2. b) La ecuación 3y+1 = 0 tiene A = 0 y es la recta horizontal, es decir, paralela al eje de abscisas, formada por los puntos de ordenada fija y = 1 3. Cuando B = 0 la ecuación se puede expresar y = A B x C B 84

3 que representa una recta del plano, no vertical. Si se hace a = A B y b = C B, resulta: ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA Las coordenadas (x,y) de los puntos de una recta, no paralela al eje de ordenadas, satisfacen la relación y = ax+b para algún par de números reales a y b, que identifican la recta. algunos puntos O todos los puntos Los puntos de una recta que tienen la abscisa o la ordenada igual a un valor dado, se obtienen mediante substitución en la ecuación. Por ejemplo, si se considera la recta definida por y = 1 2 x+4 pueden hallarse los puntos correspondientes a ciertos valores de la abscisa, sin más que calcular, mediante la ecuación, el valor de sus ordenadas. Así, para x = 1, el valor de y es y = = 4.5, de modo que el punto (1,4.5) está sobre la recta. Repetido este cálculo para diversos valores de x se obtienen, por ejemplo, los puntos de la recta que figuran en la tabla siguiente: x y O Figura 2.6: Representación de la recta y = x La representación gráfica de los puntos de la tabla, tal y como aparece en la figura 2.6, da una justificación intuitiva de que la ecuación representa una recta, pues la configuración geométrica obtenida parece responder a la idea intuitiva de puntos alineados. Puede imaginarse que se representan todos los puntos de la recta, sea cual sea la abscisa, con la ordenada calculada a partir de la expresión 1 2x+4. Se obtendría así la gráfica de la recta que está representada en la parte inferior de la figura 2.6. El resultado es similar cualquiera que sean las constantes a y b, si bien la recta obtenida depende de los valores que toman estas constantes y su apariencia gráfica varía. Es decir, según sean a y b, la recta es más o menos inclinada y corta al eje de ordenadas en un punto más o menos alejado del origen. Más concretamente: 85

4 PENDIENTE Y ORDENADA EN EL ORIGEN DE UNA RECTA La constante a se denomina pendiente de la recta e indica su inclinación, puesto que expresa lo que crece, o decrece, la ordenada y de los puntos de la recta por cada unidad que aumente la abscisa x. La constante b representa la ordenada en el origen, en el sentido de que la recta de ecuación y = ax+b pasa por el punto (0,b) y b es, por tanto, el nivel al cual la recta corta al eje de ordenadas. (x 2,y 2 ) (0,b) (x 1,y 1 ) (0,b) x 1 2 x 1 y 2 y 1 = a(x 2 x 1 ) > 0 (x 1,y 1 ) 1 x 2 x 1 y 2 y 1 = a(x 2 x 1 ) < 0 (x 2,y 2 ) y = ax+b O 1 O 1 y = ax+b Recta con pendiente positiva a > 0. Recta con pendiente negativa a < 0. Figura 2.7: Pendiente de una recta. En la figura 2.7 se representa una recta con pendiente positiva, a la izquierda, y otra con pendiente negativa, a la derecha. Cuanto más grande sea a, más inclinada es la recta; mientras que valores de a próximos a cero, corresponden a rectas casi horizontales. Además el signo de a indica si la recta es creciente o decreciente; es decir si y aumenta o disminuye al aumentar x. Observamos que puesto que una recta queda geométricamente determinada por dos puntos, para trazar la gráfica de una recta de ecuación dada, basta determinar el valor de y para un x = 0 arbitrario, y unir (x,y) con (0,b). EJEMPLO 2.6 Las rectas y = 2x 1 e y = 5x 3 tienen pendientes positivas, a = 2 y a = 5 respectivamente. Ambas son crecientes pero, como la segunda pendiente es superior a la primera, la primera recta está menos inclinada hacia arriba. En cambio, la recta y = 3x+2 tiene pendiente negativa y su inclinación es hacia abajo. 86

5 2.2.1 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Dados dos puntos de coordenadas (x 1,y 1 ) y (x 2,y 2 ), existe una única recta que pasa por ambos. Podemos preguntarnos cuál será la ecuación de dicha recta o, dicho en otros términos, cuál es la relación que liga la ordenada y la abscisa de cualquier otro punto (x,y) alineado con los dos primeros. La respuesta es sencilla: se pretende buscar una ecuación de la forma y = ax+b que se verifique para los valores (x 1,y 1 ) y también para los valores (x 2,y 2 ); debe ser pues { y2 = ax 2 + b y 1 = ax 1 + b sistema de ecuaciones lineales que permite determinar a y b. Si se restan ambas ecuaciones resulta y 2 y 1 = a(x 2 x 1 ), de donde a = y 2 y 1 x 2 x 1 y b = y 1 ax 1. El cálculo anterior supone impĺıcitamente que x 1 = x 2. Si x 1 = x 2 la respuesta es todavía más simple, puesto que la recta en cuestión es paralela al eje de ordenadas y su ecuación es simplemente: x = x 1. En definitiva: ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Si los dos puntos tienen abscisas distintas x 1 = x 2 la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x 1,y 1 ) y (x 2,y 2 ) es y = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 )+y 1. Si los dos puntos tienen abscisas iguales x 1 = x 2, la ecuación es x = x 1. EJEMPLO 2.7 La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,2) y (3, 1) es y = (x 1)+2 o bien y = 3 2 x+ 7 2 En cambio, la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 1, 3) y ( 1,2) es x = 1. 87

6 (x 3,y 3 ) (x 2,y 2 ) C (x 1,y 1 ) B A B C Figura 2.8: Tres puntos alineados. CONDICIÓN DE ALINEACIÓN DE TRES PUNTOS Condición de alineación de tres puntos Conocida la ecuación de la recta determinada por dos puntos, el criterio para saber si tres puntos están alineados es automático; basta comprobar si las coordenadas del tercero verifican la ecuación de la recta determinada por los dos primeros. Es decir, debe verificarse y 3 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x 3 x 1 )+y 1 lo que, después de restar y 1 y dividir por x 3 x 1, equivale a y 3 y 1 x 3 x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1. Tres puntos (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) y (x 3,y 3 ) están alineados si o bien x 1 = x 2 = x 3. y 3 y 1 x 3 x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 EJEMPLO 2.8 Los puntos (1,1), (2,4) y (0, 2) están alineados ya que se cumple = = 3. La condición de alineación de tres puntos, tales como se representan en la figura 2.8, significa que son proporcionales los catetos: CC AC = BB AB o bien CC BB = AC AB. 88

7 Thales de Mileto AC No es difícil deducir que los últimos cocientes coinciden también con AC/AB y que se cumple por tanto CC BB = AC AB = AC AB. La proporcionalidad de los lados del triángulo ACC con los lados del triángulo ABB es la esencia del teorema de Thales, uno de los resultados más antiguos de la geometría griega Posición relativa de dos rectas Intersección de dos rectas La intuición geométrica indica que dos rectas, no paralelas, se cortan en un punto. Desde el punto de vista anaĺıtico, se pueden determinar las coordenadas x e y del punto de intersección, sin más que caer en la cuenta de que deben verificar la ecuación de ambas rectas. Para admitir la posibilidad de que alguna de ellas sea paralela al eje de ordenadas, conviene escribir la ecuación en la forma inicial. INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS El punto de intersección de las rectas Ax+By+C = 0 y A x+b y+c = 0 si existe, tiene por coordenadas la solución del sistema de ecuaciones { Ax + By + C = 0 A x + B y + C = 0 Desde luego, si el sistema no tiene solución, es que las rectas son paralelas y distintas. En cambio si el sistema tiene infinitas soluciones, ambas rectas coinciden. En ambos casos debe verificarse AB A B = 0 que es la condición para que dos rectas sean paralelas o coincidentes. 89

8 y=3x+5 y=x 2 De esta manera, la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas adquiere una interpretación geométrica sencilla. ( , 2 ) EJEMPLO 2.9 Las rectas y = x 2 e y = 3x+5 se cortan en el punto cuyas coordenadas son la solución del sistema formado por ambas ecuaciones. Si se resta la primera ecuación de la segunda, se obtiene 2x+7 = 0; luego x = 7 2 y, por consiguiente, y = Así pues el punto de corte es ( 7 2, 11 ) 2, (ver figura 2.9). Figura 2.9: Intersección de dos rectas. paralelas Puesto que la pendiente de una recta marca su inclinación con respecto a los ejes de coordenadas, dos rectas serán paralelas si tienen la misma pendiente. CONDICIÓN DE PARALELISMO (FORMA EXPLÍCITA) Las rectas de ecuaciones son paralelas si a = a. y = ax+b y = a x+b Cuando las ecuaciones de las rectas están en forma general es sencillo encontrar la condición de paralelismo. Se ha visto en el apartado anterior que dos rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A x + B y + C = 0 son paralelas, o coinciden, si AB A B = 0. Salvo en el caso en que ambas fuesen verticales, será B = 0 y B = 0, de manera que de la condición anterior tenemos el siguiente resultado, que nos muestra de nuevo que las pendientes tienen que coincidir. 90

9 CONDICIÓN DE PARALELISMO (FORMA IMPLÍCITA) Las rectas de ecuaciones son paralelas si Ax + By + C = 0 A x + B y + C = 0 A B = A B o lo que es lo mismo AB A B = 0. EJEMPLO 2.10 y=2x+6 y=2x 3 3y 4x 3=0 9y 12x+36=0 Figura 2.10: paralelas. a) Las rectas y = 2x 3 e y = 2x + 6 son paralelas porque tienen la misma pendiente a = 2. b) Las rectas 3y 4x 3 = 0 y 9y 12x+36 = 0 son paralelas, porque se cumple 3 ( 12) 9 ( 4) = 0. Aunque también puede observarse que sus pendientes 4 3 y 12 9 coinciden. A partir de lo anterior, es sencillo obtener la ecuación de la paralela a una recta dada que pasa por un punto (x 0,y 0 ) ya que, además de tener pendiente a, la ecuación debe satisfacerse para x = x 0 e y = y 0. Por otra parte, en el caso de que la recta sea vertical, la paralela por un punto es inmediata. ECUACIÓN DE LA RECTA PARALELA POR UN PUNTO La ecuación de la paralela a la recta y = ax+b por el punto (x 0,y 0 ) es y = a(x x 0 )+y 0. En el caso de una recta vertical x = k, la paralela por (x 0,y 0 ) es la vertical x = x 0. EJEMPLO 2.11 a) La ecuación de la paralela a la recta y = 3x 1 por el punto (1,1) es y = 3(x 1)+1, es decir, y = 3x 2. 91

10 b) La forma general de la paralela por un punto también es válida cuando la recta tiene pendiente a = 0, es decir, es paralela al eje de abscisas. Por ejemplo, la paralela a la recta y = 4 por el punto (3, 2) es y = 2. c) La paralela a la recta x = 1, por el punto ( 5, π) es igual a x = 5. perpendiculares (r) (r ) El concepto de perpendicular a una recta dada es más delicado, porque hay que saber interpretar lo que significa anaĺıticamente la perpendicularidad en términos de las pendientes. En la figura 2.11 se observa que si una recta (r) es muy inclinada tiene una pendiente a grande la perpendicular (r ) tiene una pendiente pequeña y de signo contrario. Y al revés, la perpendicular a una recta (r ) de pequeña pendiente es una recta (r) de pendiente grande y de signo contrario. Figura 2.11: Una recta r y su perpendicular r. c B a (r) (1,a) a A b h D a C 1 (1, a ) a (r ) Figura 2.12: La recta y = ax y su perpendicular y = a x. Para deducir con más precisión la relación que existe entre la pendiente de una recta y la de su perpendicular, se considera, como muestra la figura 2.12, un triángulo ABC rectángulo en A, de catetos b y c, y 92

11 se traza por A la perpendicular a la hipotenusa, para obtener una altura h del triángulo, cuya intersección D con la hipotenusa determina sobre ella dos segmentos de longitudes a y a. Como resultado de aplicar el teorema de Pitágoras a cada uno de los tres triángulos rectángulos de la figura, se tiene Entonces: ABD : a 2 = c 2 h 2, ACD : a 2 = b 2 h 2, ABC : (a+a ) 2 = b 2 + c 2. b 2 + c 2 = (a+a ) 2 por ABC = a 2 + a 2 + 2aa = c 2 h 2 + b 2 h 2 + 2aa por ABD y ACD y por consiguiente al simplificar resulta aa = h 2. Consideremos ahora la recta (r) de pendiente a que pasa por el origen de coordenadas. Su ecuación es y = ax y, evidentemente, pasa por el punto (1,a). Sea (r ) la recta perpendicular a (r) que pasa por el origen. Si denotamos a su pendiente por a, su ecuación es de la forma y = a x, y, además, pasa por el punto (1, a ). El dibujo de las rectas r y r proporciona una imagen idéntica a la anterior, como se ve en la parte derecha de la figura 2.12, salvo que, ahora, h = 1. Luego, según hemos visto, debe ser aa = 1, o equivalentemente a = 1 a. En definitiva, la pendiente a de la perpendicular (r ) a (r) vale: a = 1 a. Más aún, toda perpendicular a (r) paralela a (r ) tiene pendiente 1 a. Conocida la pendiente de las perpendiculares a una recta dada, para determinar la ecuación de aquella de entre ellas que pasa por un punto dado (x 0,y 0 ), basta imponer que pase por dicho punto. 93

12 ECUACIÓN DE LA RECTA PERPENDICULAR POR UN PUNTO La ecuación de la perpendicular a la recta y = ax+b por el punto (x 0,y 0 ) es y = 1 a (x x 0)+y 0. EJEMPLO 2.12 La perpendicular a la recta y = 2x 1 por el punto (2, 1) tiene pendiente 1 2 y su ecuación es y = 1 2 (x 2) 1, es decir, 2y+x = 0. Ambas están representadas en la figura Resta por analizar los casos extremos, es decir, encontrar la perpendicular a rectas paralelas a los ejes de coordenadas: ECUACIÓN DE LA PERPENDICULAR A LOS EJES Si a = 0, la recta es paralela al eje de abscisas y su perpendicular por el punto (x 0,y 0 ) es la paralela al eje de ordenadas x = x 0. Simétricamente, la perpendicular a la recta vertical x = k por (x 0,y 0 ) es la paralela al eje de abscisas y = y 0. EJEMPLO y+x = 0 y=2x 1 a) La perpendicular a la recta y = 2 por el punto ( 3 2, 2 5) es la recta de ecuación x = 3 2. ( 2,π ) b) La perpendicular a la recta x = 4 por el punto es la recta y = π. (2, 1) Figura 2.13: perpendiculares. 94