Geometría Analítica. 26th March Geometría Analítica
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- María Antonia Rubio Plaza
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1 26th March 2008
2 Sistema de coordenadas cartesianas Dos rectas perpendiculares, que se cortan un punto llamado origen O. Una de las rectas es horizontal: OX. Otra es vertical: OY.
3 Sistema de coordenadas cartesianas Dos rectas perpendiculares, que se cortan un punto llamado origen O. Una de las rectas es horizontal: OX. Otra es vertical: OY. P se ubica en el plano midiendo su distancia a cada recta. La distancia de P a la recta OY se denota x. La distancia de P a la recta OX se denota y.
4 Sistema de coordenadas cartesianas Dos rectas perpendiculares, que se cortan un punto llamado origen O. Una de las rectas es horizontal: OX. Otra es vertical: OY. P se ubica en el plano midiendo su distancia a cada recta. La distancia de P a la recta OY se denota x. La distancia de P a la recta OX se denota y. Y = R (x,y)= (3,4) 1 O X = R
5 Sistema de coordenadas cartesianas OX: eje de las x, o eje de las abscisas. OY : eje de las y, o eje de las ordenadas.
6 Sistema de coordenadas cartesianas OX: eje de las x, o eje de las abscisas. OY : eje de las y, o eje de las ordenadas. Conjuntos de puntos: A = {todos los puntos de coordenadas (x, y) tales que C}, C: Condición que satisfacen dichas coordenadas.
7 Sistema de coordenadas cartesianas Conjuntos de puntos: OX: eje de las x, o eje de las abscisas. OY : eje de las y, o eje de las ordenadas. A = {todos los puntos de coordenadas (x, y) tales que C}, C: Condición que satisfacen dichas coordenadas. Cuadrantes del sistema de coordenadas: 1er. Cuadrante = {(x, y) : x > 0, y > 0} 2do. Cuadrante = {(x, y) : x < 0, y > 0} 3er. Cuadrante = {(x, y) : x < 0, y < 0} 4to. Cuadrante = {(x, y) : x > 0, y < 0}.
8 Lugares Geométricos Definición (Lugar geométrico) Los conjuntos de puntos del plano que satisfacen alguna condición geométrica o algebraica, los llamaremos Lugares Geométricos.
9 Distancia entre dos puntos Teorema de Pitágoras: d(a, B) 2 = d(a, C) 2 + d(c, B) 2. y 2 Y B y 1 C A O x 2 x 1 X
10 Distancia entre dos puntos Teorema de Pitágoras: d(a, B) 2 = d(a, C) 2 + d(c, B) 2. y 2 Y B y 1 C A O x 2 x 1 X Distancia entre dos puntos: d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. (1)
11 Ecuación de la circunferencia A = (a, b) punto fijo y r un número real mayor que 0. Circunferencia con centro en el punto A y radio r: Conjunto de puntos (x, y) del plano tales que su distancia al punto A vale r. C = {P = (x, y) : d(p, A) = r}.
12 Ecuación de la circunferencia A = (a, b) punto fijo y r un número real mayor que 0. Circunferencia con centro en el punto A y radio r: Conjunto de puntos (x, y) del plano tales que su distancia al punto A vale r. C = {P = (x, y) : d(p, A) = r}. Ecuación de la circunferencia: C : (x a) 2 + (y b) 2 = r 2.
13 Observaciones 1 Si C es una circunferencia de ecuación (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 entonces su ecuación puede escribirse como:
14 Observaciones 1 Si C es una circunferencia de ecuación (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 entonces su ecuación puede escribirse como: C : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0. Con A = 2a, B = 2b, C = a 2 + b 2 r 2.
15 Observaciones 1 Si C es una circunferencia de ecuación (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 entonces su ecuación puede escribirse como: C : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0. Con A = 2a, B = 2b, C = a 2 + b 2 r 2. 2 Si M = {(x, y) : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0}, la ecuación del conjunto M puede escribirse:
16 Observaciones 1 Si C es una circunferencia de ecuación (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 entonces su ecuación puede escribirse como: C : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0. Con A = 2a, B = 2b, C = a 2 + b 2 r 2. 2 Si M = {(x, y) : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0}, la ecuación del conjunto M puede escribirse: (x + A 2 )2 + (y + B 2 )2 = A2 + B 2 4C. 4 M : Circunferencia de centro ( A 2, B 2 ) y radio A 2 +B 2 4C 2, cuando A 2 + B 2 4C 0. Si A 2 + B 2 4C < 0, entonces M =.
17 Ejemplo {(x, y)/(x a) 2 + (y b) 2 > r 2 } Representa a la zona exterior a la circunferencia de centro en (a, b) y radio r.
18 Ejemplo {(x, y)/(x a) 2 + (y b) 2 > r 2 } Representa a la zona exterior a la circunferencia de centro en (a, b) y radio r. Y r b O a X
19 Ejemplo {(x, y)/(x a) 2 + (y b) 2 r 2 } Representa a la zona interior a la circunferencia de centro en (a, b) y radio r.
20 Ejemplo {(x, y)/(x a) 2 + (y b) 2 r 2 } Representa a la zona interior a la circunferencia de centro en (a, b) y radio r. Y b O r a X
21 Ecuación de la recta A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ) puntos cualquiera con A B.
22 Ecuación de la recta A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ) puntos cualquiera con A B. Recta que pasa por los puntos A y B: x 1 = x 2 o y 1 = y 2 que corresponden a rectas vertical y horizontal respectivamente. x 1 x 2 e y 1 y 2 P = (x, y) pertenece a la recta que pasa por A y B, sí y solamente sí alguna de las siguientes condiciones se cumple: 1 P = A 2 P = B 3 P está en el segmento AB 4 B está en el segmento AP 5 A está en el segmento PB
23 Ecuación de la recta Supongamos que estamos en el caso (3). Gráficamente tenemos: y 2 Y B y P y 1 A C D O x 1 x x 2 X
24 Ecuación de la recta Supongamos que estamos en el caso (3). Gráficamente tenemos: y 2 Y B y P y 1 A C D O x 1 x x 2 X P = (x, y) L (x x 1 )(y 2 y 1 ) = (y y 1 )(x 2 x 1 ).
25 Ecuación de la recta, forma 1 Sea L la recta de ecuación (x x 1 )(y 2 y 1 ) = (y y 1 )(x 2 x 1 ). Si a = (y 2 y 1 ), b = (x 2 x 1 ), c = (x 2 y 1 x 1 y 2 ):
26 Ecuación de la recta, forma 1 Sea L la recta de ecuación (x x 1 )(y 2 y 1 ) = (y y 1 )(x 2 x 1 ). Si a = (y 2 y 1 ), b = (x 2 x 1 ), c = (x 2 y 1 x 1 y 2 ): Ecuación de la recta forma 1 L : ax + by + c = 0.
27 Ecuación de la recta, forma 1 Teorema El conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0 es: i) El conjunto vacío si a = 0, b = 0, c 0.
28 Ecuación de la recta, forma 1 Teorema El conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0 es: i) El conjunto vacío si a = 0, b = 0, c 0. ii) Todo el plano R R si a = b = c = 0.
29 Ecuación de la recta, forma 1 Teorema El conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0 es: i) El conjunto vacío si a = 0, b = 0, c 0. ii) Todo el plano R R si a = b = c = 0. iii) Una recta vertical si a 0 y b = 0. iv) Una recta horizontal si a = 0 y b 0.
30 Ecuación de la recta, forma 1 Teorema El conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0 es: i) El conjunto vacío si a = 0, b = 0, c 0. ii) Todo el plano R R si a = b = c = 0. iii) Una recta vertical si a 0 y b = 0. iv) Una recta horizontal si a = 0 y b 0. v) Una recta oblicua (inclinada) si a 0 y b 0.
31 Ecuación de la recta, forma 1 Teorema El conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0 es: i) El conjunto vacío si a = 0, b = 0, c 0. ii) Todo el plano R R si a = b = c = 0. iii) Una recta vertical si a 0 y b = 0. iv) Una recta horizontal si a = 0 y b 0. v) Una recta oblicua (inclinada) si a 0 y b 0.
32 Observación ax + by + c = 0 representa siempre una recta, tal que: Si a = 0 y b 0 entonces la recta es horizontal. Si a 0 y b = 0 entonces la recta es vertical. Finalmente, si a 0 y b 0 entonces la recta es inclinada.
33 Ecuación de la recta, forma 1 Proposición Sea L : ax + by + c = 0 una recta con b 0.
34 Ecuación de la recta, forma 1 Proposición Sea L : ax + by + c = 0 una recta con b 0. Si A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ) son puntos cualesquiera de L, distintos entre si, entonces y 2 y 1 x 2 x 1 es independiente de A y B y vale a b.
35 Ecuación de la recta, forma 1 Proposición Sea L : ax + by + c = 0 una recta con b 0. Si A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ) son puntos cualesquiera de L, distintos entre si, entonces y 2 y 1 x 2 x 1 es independiente de A y B y vale a b. Demostración....ver pizarra...
36 Ecuación de la recta, forma 1 Proposición Sea L : ax + by + c = 0 una recta con b 0. Si A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ) son puntos cualesquiera de L, distintos entre si, entonces y 2 y 1 x 2 x 1 es independiente de A y B y vale a b. Demostración....ver pizarra... Pendiente Sea L una recta no vertical. Si A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ) son dos puntos diferentes de L, entonces al real m = y 2 y 1 x 2 x 1, se le llama pendiente de la recta L.
37 Ecuación de una recta, forma 2 L recta de pendiente m y que pasa por A = (x 0, y 0 ).
38 Ecuación de una recta, forma 2 L recta de pendiente m y que pasa por A = (x 0, y 0 ). Ecuación de la recta forma 2 L : (y y 0 ) = m(x x 0 ).
39 Ecuación de una recta, forma 3 L la recta que pasa por A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ).
40 Ecuación de una recta, forma 3 L la recta que pasa por A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ). Si x 1 = x 2 entonces la ecuación de L es L : x = x 1.
41 Ecuación de una recta, forma 3 L la recta que pasa por A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ). Si x 1 = x 2 entonces la ecuación de L es L : x = x 1. Si x 1 x 2 entonces :
42 Ecuación de una recta, forma 3 L la recta que pasa por A = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ). Si x 1 = x 2 entonces la ecuación de L es L : x = x 1. Si x 1 x 2 entonces : Ecuación de la recta forma 3 L : (y y 1 ) = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ).
43 Ecuación de una recta, forma principal L : ax + by + c = 0 recta no vertical (b 0). Sea m su pendiente.
44 Ecuación de una recta, forma principal L : ax + by + c = 0 recta no vertical (b 0). Sea m su pendiente. Ecuación de la recta forma principal L : y = mx + n.
45 Paralelismo y perpendicularidad Simetral Dados dos puntos P, Q R 2 distintos, llamamos Simetral de P y Q, al Lugar Geométrico que satisface d((x, y), P) = d((x, y), Q).
46 Paralelismo y perpendicularidad Simetral Dados dos puntos P, Q R 2 distintos, llamamos Simetral de P y Q, al Lugar Geométrico que satisface d((x, y), P) = d((x, y), Q). Ecuación de la Simetral ver pizarra...
47 Paralelismo y perpendicularidad Simetral Dados dos puntos P, Q R 2 distintos, llamamos Simetral de P y Q, al Lugar Geométrico que satisface d((x, y), P) = d((x, y), Q). Ecuación de la Simetral ver pizarra... P L Q
48 Paralelismo Definición: (Paralelismo) Diremos que dos rectas L 1 y L 2 son paralelas (denotado L 1 L 2 ) si se cumple L 1 = L 2 o bien L 1 L 2 =.
49 Paralelismo Definición: (Paralelismo) Diremos que dos rectas L 1 y L 2 son paralelas (denotado L 1 L 2 ) si se cumple L 1 = L 2 o bien L 1 L 2 =. Dadas las rectas no verticales L 1 : y = m 1 x + n 1, y L 2 : y = m 2 x + n 2 se tiene que (x, y) L 1 L 2 y = m 1 x + n 1 = m 2 x + n 2
50 Paralelismo Definición: (Paralelismo) Diremos que dos rectas L 1 y L 2 son paralelas (denotado L 1 L 2 ) si se cumple L 1 = L 2 o bien L 1 L 2 =. Dadas las rectas no verticales se tiene que L 1 : y = m 1 x + n 1, y L 2 : y = m 2 x + n 2 (x, y) L 1 L 2 y = m 1 x + n 1 = m 2 x + n 2 y = m 1 x + n 1 y (m 1 m 2 )x = n 2 n 1
51 Paralelismo Definición: (Paralelismo) Diremos que dos rectas L 1 y L 2 son paralelas (denotado L 1 L 2 ) si se cumple L 1 = L 2 o bien L 1 L 2 =. Dadas las rectas no verticales se tiene que L 1 : y = m 1 x + n 1, y L 2 : y = m 2 x + n 2 (x, y) L 1 L 2 y = m 1 x + n 1 = m 2 x + n 2 y = m 1 x + n 1 y (m 1 m 2 )x = n 2 n 1 Pero la ecuación (m 1 m 2 )x = n 2 n 1 tiene solución única sólo para m 1 m 2 0.
52 Paralelismo Propiedad Dos rectas no verticales L 1 y L 2 son paralelas si y sólo si m L1 = m L2.
53 Perpendicularidad Perpendicularidad Se dice que dos rectas L y L son perpendiculares u ortogonales (denotado L L ), si se cumple que: P, Q L, (P Q), L es paralela a la simetral entre P y Q. S L P Q L
54 Paralelismo y perpendicularidad Teorema Sean L y L dos rectas. Entonces L L si y sólo si una de las siguientes afirmaciones es cierta. L es horizontal y L es vertical (o vice versa). L y L son oblicuas y m L m L = 1.
55 Paralelismo y perpendicularidad Teorema Sean L y L dos rectas. Entonces L L si y sólo si una de las siguientes afirmaciones es cierta. L es horizontal y L es vertical (o vice versa). L y L son oblicuas y m L m L = 1. Demostración....ver pizarra...
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