Sistema de coordenadas cartesianas. Ecuación de la recta y de la circunferencia.

Transcripción

1 Clase 4 Sistema de coordenadas cartesianas. Ecuación de la recta y de la circunferencia. Clase Sistema de Coordenadas Cartesianas a. Punto medio b. Distancia entre dos puntos Ecuación de la Circunferencia Ecuación de la Recta a. La Pendiente de la Recta b. Recta Vertical c. Rectas Paralelas d. Rectas Perpendiculares Distancia de un punto a una recta... 12

2 1. Sistema de Coordenadas Cartesianas El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical. Las dos rectas se denominan ejes coordenados, su intersección se etiqueta con O y se denomina origen. Por convención, la recta horizontal se llama eje x y la recta vertical se llama eje y. La mitad positiva del eje x es hacia la derecha, la mitad positiva del eje y es hacia arriba. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que llevan las marcas I, II, III, IV. Cada punto P en el plano puede asignarse a una pareja de números, llamados coordenadas cartesianas. Si una línea vertical y otra horizontal que pasaron por P intersectan los ejes x y y en a y b, respectivamente, entonces P tiene coordenadas (a, b). Llamamos (a, b) un par ordenado. El primer número, a, es la coordenada x (o abscisa); el segundo número, b, esla coordenada y (u ordenada). Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o la coordenada x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza la coordenada x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

3 1.a. Punto medio El punto medio del segmento de recta que une entre dos puntos P(x 1, y 1 ) y Q(x 2, y 2 ) con x 1 x 2 y y 1 y 2, es: ( x 1 + x 2 2, y 1 + y 2 ) 2

4 1.b. Distancia entre dos puntos Para cualesquiera dos puntos en el plano cartesiano podemos introducir una fórmula sencilla para obtener la distancia entre dichos puntos. Sean dos puntos P y Q, con coordenadas (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) respectivamente, la distancia viene dada por: d(p, Q) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Ejemplo: Encuentre la distancia entre P( 2,3) y Q(4, 1) d(p, Q) = (4 ( 2)) 2 + ( 1 3) 2 = = Ecuación de la Circunferencia Una circunferencia es el conjunto de puntos que están a una distancia fija (el radio) de un punto fijo (el centro). Por lo tanto, es un pequeño paso ir de la fórmula de la distancia a la ecuación de una circunferencia. Las coordenadas (x, y) de un punto P en la circunferencia debe satisfacer la ecuación: d(p, C) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r Donde el punto C de coordenadas (x 0, y 0 ) es el centro de la circunferencia y r es el radio. Entonces, la ecuación de la circunferencia es: (x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 = r 2

5 Ejemplo: Determine la ecuación estándar de una circunferencia de radio 5 y centro en (1, 5). También, encuentre las ordenadas de los dos puntos en esta circunferencia con abscisa 4. Solución: Por el enunciado sabemos que: r = 5 C = (x 0, y 0 ) = (1, 5) Por lo que sustituyendo los valores en la ecuación estándar de la circunferencia encontramos la ecuación buscada: (x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 = r 2 (x 1) 2 (y + 5) 2 = 25 Luego, para encontrar los dos puntos, sustituimos x = 4: (4 1) 2 + (y + 5) 2 = (y + 5) 2 = 25 (y + 5) 2 = 16 y + 5 = ±4 y = 5 ± 4 y 1 = 1 y 2 = 9 Finalmente, podemos ver en la gráfica que efectivamente los valores y 1 = 1 y y 2 = 9 corresponden a la abscisa 4.

6 3. Ecuación de la Recta Una recta es una sucesión continua e indefinida de puntos extendidos en una sola dimensión, tales que tomados 2 puntos diferentes cualesquiera P 1 (x 1, x 2 ) y P 2 (x 2, y 2 ), el valor del cociente y 2 y 1 con x x 2 x 1 x 2 es siempre la misma constante. 1 El cociente y 2 y 1 x 2 x 1 representa la pendiente (m) de la recta, la cual se define como: m = elevación avance = y 2 y 1 x 2 x 1 También puede expresarse como la tangente del ángulo formado entre el eje x y la recta: m = tanα

7 La ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta. La forma punto-pendiente: Si la recta pasa por un punto fijo P 1 (x 1, y 1 ) con pendiente m. y y 1 = m(x x 1 ) Ejemplo: Se sabe que una recta pasa por el punto P(3,2) y tiene pendiente 2 5. Determine la ecuación de la recta. Solución: Tenemos los siguientes datos: x 1 = 3 y 1 = 2 m = 2 5 Podemos sustituir los valores en la ecuación de la recta punto-pendiente, y 2 = 2 (x 3) 5 y = 2 5 x Y finalmente hemos encontrado la ecuación de la recta, 5y = 2x + 4 La forma pendiente-intersección: Si la recta tiene pendiente m e intersecta con el eje y en el punto b, es decir (0, b). y = mx + b Ejemplo: Dados los puntos P = (3,5) y Q(0, 1), determine la ecuación de la recta. Solución: Tenemos los siguientes datos: P = (x 1, y 1 ) = (3,5) b = 1 (punto de intersección con el eje y) Calculamos la pendiente m de la recta, usando Q(0, 1) = (x 2, y 2 ): m = y 2 y 1 x 2 x 1 = ( 1) = 6 3 = 2

8 Finalmente sustituimos los datos m y b en la ecuación de la recta: y = 2x 1 La forma punto-punto: Si la recta pasa por dos puntos distintos, P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ). y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) Ejemplo: Una vez más considere el ejemplo anterior. Solución: Tenemos los siguientes datos: P = (x 1, y 1 ) = (3,5) Q = (x 2, y 2 ) = (0, 1) Sustituimos los datos en la ecuación de la recta punto-punto, y para finalmente obtener la ecuación que se nos está pidiendo. y 5 = ( 1) 5 (x 3) 0 3 y 5 = 2(x 3) y = 2x 1 Podemos ver que, de ambas formas, siempre vamos a llegar a la misma ecuación de la recta. Todas las formas son correctas, y la elección de una u otra dependerá de los datos con los que se cuente para resolver el problema.

9 3.a. La Pendiente de la Recta La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Se denota con la letra m. Observando la figura siguiente, nos podemos percatar de algunas características de la pendiente: La recta horizontal tiene pendiente 0. Una recta que se eleva hacia la derecha tiene pendiente positiva. Una recta que se eleva hacia la izquierda tiene pendiente negativa. Mientras mayor sea m más inclinada será la recta. Una recta vertical tiene pendiente indefinida, ya que implica una división entre cero 0. 3.b. Recta Vertical En una recta vertical, para dos puntos cualesquiera P(x 1, y 1 ) y Q(x 2, y 2 ), se tiene que x 1 = x 2, por lo tanto: m = y 2 y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 0 Por lo tanto, el concepto de recta vertical no tiene sentido, ya que implicaría división entre cero. La pendiente para una recta vertical se deja indefinida. Como resultado, las rectas verticales no caen dentro del estudio precedente, aunque tienen ecuaciones muy sencillas. La ecuación de cualquier recta vertical se escribe de la forma: x = k Donde k es una constante que representa la intersección de la recta con el eje x.

10 Ejemplo: 3.c. Rectas Paralelas Dos pendientes son perpendiculares si y sólo si tienen la misma pendiente m. Se dice que dos rectas son paralelas cuando no tienen puntos en común. m 1 = m 2 Ejemplo: Las rectas cuyas ecuaciones son y=2x+2 y 2x+5 son paralelas porque, para todo valor de x, la segunda recta está tres unidades por encima de la primera. 3.d. Rectas Perpendiculares Dos pendientes son perpendiculares si y sólo si sus pendientes son recíprocas negativas, una respecto a la otra.

11 m 1 = 1 m 2 Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas con ecuaciones 3x + 4y = 8 y 6x 10y = 7 y que es perpendicular a la primera de estas rectas. Solución: Para encontrar el punto de intersección resolvemos el sistema de ecuaciones, Despejamos x de la primera ecuación, Sustituimos x en la segunda ecuación, 3x + 4y = 8 { 6x 10y = 7 3x = 8 4y x = 8 4y 3 6 ( 8 4y ) 10y = 7 3 2(8 4y) 10y = y 10y = 7 9 = 18y y = 1 2 Luego, sustituimos y = 1 en cualquiera de las ecuaciones, 2 3x + 4 ( 1 2 ) = 8 3x + 2 = 8 3x = 6 x = 2 Entonces, el punto de intersección es el punto (2, 1 ). Ahora, la recta que buscamos 2 tiene que ser perpendicular a la recta 3x + 4y = 8. Si despejamos y de esta ecuación de la recta tenemos: y = 3 4 x + 2

12 Por lo tanto, la pendiente de la recta 3x + 4y = 8 en m = 3. Usando la definición de 4 rectas paralelas, tendremos que la pendiente de la recta que buscamos será: m = 1 ( 3 4 ) = 4 3 Finalmente, utilizando la ecuación de la recta punto-pendiente encontramos la ecuación requerida: y y 1 = m(x x 1 ) y 1 2 = 4 (x 2) 3 y = 4 3 x y = 8x Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de la recta. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta. Sean P(x 1, y 1 ) un punto y y = mx + b una recta cualquiera, se define la distancia entre P y la recta como: d(p, r) = m x 1 y 1 + b m 2 + b 2