Vectores equipolentes. Vector libre. Componentes de un vector

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1 1.- VECTORES. OPERACIONES Vector fijo Un vector fijo AB es un segmento orientado con origen en el punto A y extremo en B Todo vector fijo AB tiene tres elementos: Módulo: Es la longitud del segmento AB. El módulo del vector AB se representa por AB Dirección: Es la que determina la recta que pasa por A y B. Sentido: Es el que va del punto A al punto B. Viene determinado por la punta de flecha. Vectores equipolentes Dos vectores son equipolentes si tienen el igual módulo, dirección y sentido Por ejemplo, los vectores AB, CD y EF son equipolentes Vector libre Un vector libre es un conjunto de vectores fijos equipolentes entre sí. Cada uno de estos vectores se llama representante del vector libre. Para representar un vector libre se toma cualquiera de sus representantes. Los vectores libres se suelen expresar con letras minúsculas: u, v, w, etc De ahora en adelante cuando hablemos de vector sin especificar el origen y el extremo nos estamos refiriendo a un vector libre. Componentes de un vector Cualquier vector v tiene dos componentes v = (v 1, v ) Las componentes nos indican el desplazamiento que hay que hacer (en horizontal y en vertical) para ir desde el origen del vector al extremo. La primera componente (v 1 ) nos indica el desplazamiento sobre la horizontal (es positiva si el desplazamiento es hacía la derecha y negativa si es hacía la izquierda) La segunda componente (v ) nos indica el desplazamiento sobre la vertical (es positiva si el desplazamiento es hacía arriba y negativa si es hacía abajo) Ejemplos: Y Y v = (4,) 4 v = (,-4) 4 X X Ejercicio 1 Dibuja el vector v en los siguientes casos: a) El origen es A(, ) y v = ( 4, 5) b) El origen es A(1, ) y v = ( 4, ) c) El origen es A(5, 1) y v = (, ) d) El origen es A(, 4) y v = (, 5) - Página 1 -

2 Vectores paralelos Dos vectores no nulos, u y v, son paralelos si sus componentes son proporcionales. Si los vectores son u =(u,u), v =(v,v ) u // v u = λ v (u,u )= λ(v 1,v ), con λ R = λ u 1 u = =λ v 1 v Ejercicio Determina el valor de k para que los vectores u =(k-,4-k) y v =(6-k,k-7) sean paralelos Suma de vectores Gráficamente se puede hacer de dos formas: Si a =(a,a) b =(b,b) a + b =(a 1 +b,a +b) Ejemplo: (, 7) + (, 4) = (+, 7+4) = (5, 11) Vectores opuestos Son vectores que tienen igual módulo y dirección pero sentidos opuestos Por ejemplo, a y a son vectores opuestos Si a = (a 1, a ), su vector opuesto es a = ( a 1, a ) Ejemplo: El vector opuesto de (, 5) es (, 5) Resta de vectores Para restar vectores se le suma al primero el opuesto del segundo: u v= u+ ( v ) Si u = (u, u ), v = (v, v ) u v = (u v, u + v ) 1 Ejemplo: (, 8) (7, ) = ( 7, 8 ) = ( 4, 6) Producto de un número real por un vector Dado un vector v y un escalar, k R, el vector k v es un vector paralelo a v con el mismo sentido que v, si k > y con sentido opuesto si k <. Su módulo o medida es k v - Página -

3 Si v = ( v, v ), k R k v = (k v, k v ) Ejemplos:.(, 5) = (6, 15).(1, 7) = (, 14) Ejercicio Sabiendo que u = ( 1, ) v = (4, 5), calcula v 7u Combinación lineal de vectores Dado tres vectores u, v y x, decimos x es combinación lineal (c.l.) de u y v si x= λ u+ µ v siendo λ y µ números reales no todos nulos Por ejemplo, x= u+ 1v es c.l. de u y v Ejercicio 4 Dados a = (, 4) b = ( 1,), expresa el vector c = (, 4) como c.l. de a y b 1 Escribe las componentes de los vectores dibujados: Practica tú: a) b) c) d) e) f) g) h) Halla los valores de m para que sean paralelos los vectores u y v en los siguientes casos: a) u =(-m, m-) y v =(m-7, 4-m) Sol. : m = 9, m = 1 b) u =(-7m-5,m+1) y v =(5m-,1-m) Sol. : m =, m = Si u = (,5) v = ( 1, ), calcula: a) v + 5u Sol.: ( 7,4) b) 7 u 4v Sol.: ( 1,47) 4 Sabiendo que u = (,1) v = (5, ), expresa el vector w como combinación lineal de u y v en los siguientes casos: a) w = (4, ) b) w = (6, 15) c) w = ( 17,1) Sol.: a) w = u + v b) w = u + 4 v c) w = u v - Página -

4 .- VECTORES. PRODUCTO ESCALAR Producto escalar de dos vectores Dados dos vectores u y v, el producto escalar de u y v se puede hallar con la fórmula u. v= u. v. cos uv,, siendo uv, el ángulo que forman los vectores u y v (el que va de u a v) ( ) Por ejemplo, si u y v son vectores que miden y 4, respectivamente y forman un ángulo de 6º entonces su producto escalar es u. v= u. v. cos uv, =. 4. cos6º =. 4.,5= 6 ( ) Si u = ( u, u ) v = ( v, v ) u. v = u v + u v 1 Ejercicio 5 Calcula el producto escalar de los vectores a y b en los siguientes casos: a) a = 7, b = 4 y a, b = π b) = (, 5) y = (7, 4) 5 a b ( ) Módulo de un vector El módulo de un vector nos indica lo que mide dicho vector, es decir, la distancia del origen al extremo. Comou. u= u. u. cos º = u. 1 u = u. u Si u = ( u, u ) u = u. u = ( u, u )( u, u ) u = u + u Ejemplo: El módulo del vector u =(,-4), u = + (-4) = 5 =5 El vector mide 5 unidades Y 5 4 v = (,-4) v = 5 unidades X Los vectores que miden 1 se llaman vectores unitarios. El vector nulo es = (, ) y tiene módulo Ejercicio 6 Comprueba si el vector 4 v = (, ) es unitario 5 5 Ángulo entre dos vectores Observa que si u y v son vectores no nulos, se puede despejar de la fórmula del producto escalar u. v cos ( uv, ) = u. v ( ) u. v u, v = arcos u. v Por ejemplo, si u y v son vectores cuyo producto escalar es 6 y que miden y 4, respectivamente 6 entonces el ángulo que forman es ( uv, ) = arcos = º. 4 Ejercicio 7 Halla el ángulo entre los vectores a) u = (, ) y v = ( 5, 4) b) a = (, ) y b = (1, 8) - Página 4 -

5 Vectores perpendiculares Dados dosvectoresu, vnonulos, u v ( uv, ) = 9º u. v = u. v.cos9º = u. v.=. Luego, u v u. v = Observa que un vector perpendicular a u = (u 1, u ) es u = ( u, u 1 ), pues u. u = u 1 u + u 1 u = Por ejemplo, un vector perpendicular a u = (, 5) es u = ( 5, ) Ejercicio 8 Determina el valor del parámetro k para que los vectores a = (k, 5) y b = (4, 1 k) sean perpendiculares. Practica tú: 5 Calcula el producto escalar de los vectores u y v en los siguientes casos: a) u = 5, v = 6 y u, v = 6º Sol b) u = ( 7, ) y v = (, 5) Sol.: 9 c) ( ).:15 ( ) Sol.:1 4 6, u = v = 4 y u, v = π d) u = (1, 7) y v = (, 8) Sol.: 56 6 Determina el módulo de los siguientes vectores e indica si alguno de ellos es unitario: u = (, 4) v = (, ) w = (, 5) x = (9, 4) y = (, 1) z = (, ) Sol.: u = 5 v = 1 ( unitario) w = 4 x = 41 y = z = 1 ( unitario) 7 Halla el ángulo que forman u y v e indica si en algún caso los vectores son paralelos o perpendiculares: a) u = ( 8, 6) y v = (4, ) b) u = (, 5) y v = (4, ) c) u = (, 7) y v = (14, 6) d) u = (, 4) y v = (1, 5) e) u = (1, ) y v = (, ) f) u = (, ) y v = (, ) Sol.: a) 18 º (paralelos) b) 15º 4 7 c) 9º ( perpendiculares) d) 75º 45 e) 19º 6 4 f ) 15º 8 Calcula el valor del parámetro m para que los vectores sean perpendiculares: 9 9 a) u = (m+, 7) y v = ( 5, 6 m ) Sol.: m= b) u = ( 5, 1 m) y v = (m + 7, 6) Sol.: m= 8.- PUNTOS Y RECTAS Vector de posición de un punto Cualquier punto del plano A(x, y) lleva asociado el vector a = OA, llamado vector de posición del punto A. Observa que OA = (x, y) Es decir, las componentes del vector de posición de A coinciden con las coordenadas del punto A. Vector determinado por dos puntos Sean dos puntos del plano A(a 1, a ) y B(b 1, b ) - Página 5 -

6 Observa que : OA + AB = OB AB = OB OA Como OA = (a 1, a ) y OB = (b 1, b ) AB = (b 1, b ) (a 1, a ) AB = (b1 a 1, b a ) Es decir, para hallar AB restamos las coordenadas de B menos las de A Por ejemplo, si A(, ), B( 7, 4) entonces AB = ( 7, 4 ( )) = ( 1, 6) Puntos alineados Tres puntos del plano están alineados si están contenidos en la misma recta. A, B y C están alineados AB // AC Ecuaciones de la recta Sea r una recta del espacio de la que conocemos un punto A(a 1, a ) y un vector d= (d 1, d ) en la misma dirección que la recta (llamado vector director de la recta). La recta r se suele indicar así: r( A; d ) AP // d AP = λ d, con λ R Si P(x, y) es un punto cualquiera de la recta, entonces p a = λd p = a+λd Ecuaciónvectorial : r : (x, y) = (a, a ) + λ(d, d ) Igualando las componentes obtenemos las Ecuacionesparamétricas : x= a1 + d1. λ r : y = a + d. λ Observa: - Para obtener puntos de la recta r se le dan valores a λ. - Para que un punto P pertenezca a r, debe existir λ (solución de las ecuaciones) Si despejamos λ en las ecuaciones paramétricas e igualamos obtenemos la x a1 y a Ecuacióncontinua : r : = d d a b c Operando en las igualdades anteriores resulta: d( x a1) = d1( y a) dx d1y da1 + d1a = Ecuacióngeneraloimplícita : r : ax+ by+ c= Un vector director de la recta es d= (d 1, d ) = ( b, a) Observa: - Para obtener un punto de la recta r se le da un valor a una de las incógnitas y se despeja la otra. - Para que un punto P pertenezca a r, debe cumplir la ecuación - Página 6 -

7 Si en la ecuación general de la recta fuese b, podemos despejar la y obteniendo: m n ax c a c y= y= x r : y= mx+ n, m= pendiente dela recta b b b Un vector director de la recta es d= (d 1, d ) = (1, m) d a Observa que m= = d 1 b - Si d = entonces la pendiente es cero y la recta es horizontal - Si d 1 = diremos que la pendiente es infinito y la recta es vertical Ejercicio 9 Determina todas las ecuaciones de la recta r. Calcula también dos puntos, un vector de dirección y la pendiente de r en los siguientes casos: a) r pasa por el punto A(, 5) y es paralela al vector d= ( 6, ) b) r contiene a los puntos P(, 1) y Q(, 7) c) La pendiente de r es 4 y pasa por el punto A(, 5) d) r : (x, y) = (, ) + λ(5, ) e) f) r :x+ y 6= g) r : y= x+ Ecuación normal de la recta Supongamos que de una recta r conocemos un punto A(a 1, a ) y un vector perpendicular a la recta n =(a,b) (llamado vector normal a la recta) y+ r : x= 5 Si P(x, y) es un punto cualquiera de la recta, entonces AP n, luego AP. n = ( x a, y a )( a, b) = Ecuaciónnormaldelarecta: - Página 7 - r:a(x a)+b(y a )= c Observa que si hacemos las operaciones resulta r:ax+by aa -ba = r :ax+ by+ c= que es la ecuación general de la recta. Por tanto, a partir de la ecuación general podemos obtener un vector normal (perpendicular) de la recta, n =(a, b) Ejercicio 1 Dada la recta r: x + y 5 = y el punto P(1, ). a) Averigua si la recta r pasa por el punto P b) Calcula un punto de la recta r y un vector de dirección c) Escribe las ecuaciones paramétricas, continua y explícita de la recta r d) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por P e) Calcula la ecuación de la recta t perpendicular a r que pasa por P Practica tú: 9 Averigua si los puntos que se dan están alineados: a) A(, 5), B(, 4) y C(4, 7) b) A(1, 1), B(, 7) y C(, ) c) A(1, 5), B(, 1) y C(, 1) Sol.: a) No b) Si c) No 1 Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos: a) (, ) y (, ) b) (, 4) y (, 4) c) (, 1) y (1, ) d) (, ) y (, 1) Sol.: a) b) 4 c) 1 d)

8 11 Determina todas las ecuaciones de la recta r. Calcula también dos puntos, un vector de dirección y la pendiente de r en los siguientes casos: a) r pasa por el punto A(, 1) y es paralela al vector d= (, 5) b) r contiene al punto P(5, ) y un vector de dirección es d= (1, ) c) r pasa por los puntos A(6, ) y B(4, 8) d) La pendiente de r es y pasa por el punto P( 1, 4) x+ e) r : (x, y) = (1, 4) + λ(5, 6) f) r : = y g) r :x 5y+ 1= h) r : y= 5x Sol.: Sólo voy a dar la ecuación general : a) 5x+ y 1= b) x+ y+ 15= c) 5x+ y 8= d) x+ y 1= e) 6x+ 5y+ 14= f ) x+ y+ = g) Doy un punto y un vector de dirección de r : A(, ), = (5, ) h) 5x+ y+ = 1 Dada la recta r: x + y + 1 = y el punto P(1, ). a) Comprueba que la recta r no pasa por el punto P b) Halla la ecuación general de la recta s paralela a r que pasa por P e) Calcula la ecuación general de la recta t perpendicular a r que pasa por P Sol.: b) s : x y+ 7= c) t : x+ y 9= 1 Haz lo mismo del ejercicio anterior para la recta r y el punto P en los siguientes casos: x= 1 λ x y+ 1 1) r :, P( 1, 5) ) r : =, P(, ) ) r: y = 4x, P(, 4) y = λ 5 Sol.: 1) b) s : x+ y = c) t : x y+ 16= ) b) s : x+ 5y+ 1= c) t : 5x+ y 1= ) b) s : 4x+ y+ 4= c) t : x+ 4y 18= 4.- POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Paralelas Coincidentes Secantes Perpendiculares d Si A r A Si A r A d d r s d r d s d. d r s = a b r y s sonsecantes a b r : ax+ by+ c= a b c Si = r y s son paralelas s : ax + b y+ c = a b c a b c = = r y s soncoincidentes a b c m m r y s sonsecantes r : y= mx+ n Si m= m, n n r y s son paralelas s : y= m x+ n m= m, n= n r y s soncoincidentes En el caso de que r y s sean secantes, para calcular el punto donde se cortan se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas - Página 8 -

9 = Ejercicio 11 Dadas las rectas r: x + y 1 =, s: x 6t a 4 y = 1+ t a) Escribe la ecuación general de cada una de ellas b) Determina el valor de a para que sean paralelas c) Para qué valor de a son perpendiculares? d) Halla el punto de corte para el valor de a hallado en el apartado anterior x k 8λ y = 1+ 14λ Ejercicio 1 Halla el valor de k para que las rectas r: 7x 4y + 6 =, s: = + sean coincidentes Practica tú: 14 Estudia la posición relativa de las siguientes parejas de rectas y determina su punto de corte en los casos x y+ 5= en que las rectas sean secantes: a) Sol.: coincidentes b) x y 4= Sol.: sec antes en P (6,1) x+ 4y 1= x+ 5y 17= c) x y+ 4= x y+ 8= Sol.: paralelas d) y= x 5 y = x + Sol.: paralelas e) y= x+ 1 y = x 7 Sol.: sec antes en P( 8, ) f) x y+ 5= y = x Sol.: sec antes en P (5,1) 15 Dadas las rectas r: mx + y = 1 s: 4x y = m a) Determina el valor de m para que sean paralelas Sol.: m= b) Halla el valor de m para que sean perpendiculares Sol.: m= 4 c) Para m = 1, calcula el punto donde se cortan Sol.: P ( 6, 6) 16 Sean las rectas r: x 5ay = 1 s: x + y = a) Halla el valor de a para que sean coincidentes Sol.: a= 1 b) Calcula el valor de a para que sean perpendiculares Sol.: a= c) Halla el punto de corte para a = Sol.: P (1,) 15 x 1 4λ y = b+ 6λ 17 Halla el valor de b para que las rectas r: x y + 1 =, s: = + sean coincidentes Sol.: b= 18 Si r: 5x y + 4 = s: x= 1+ nλ y= 8 λ a) Determina el valor de n para que sean paralelas Sol.: n= b) Halla el valor de n para que sean perpendiculares Sol.: n= 5 c) Halla el punto de corte de r y s para el valor de n hallado en el apartado anterior Sol.: P(, 6) Página 9 -

10 5.- DISTANCIAS Y ÁNGULOS EN EL PLANO Distancia entre dos puntos Se define la distancia entre dos puntos A y B, y se representa por dist(a, B), como la longitud del segmento AB. Por tanto, dist( A, B) = AB Ejercicio 1 Calcula el perímetro del triángulo de vértices: A(1, 5), B(, 7) y C(, 4) Ángulo entre dos rectas Se define el ángulo entre dos rectas r y s, y se representa por ( r, s ), como el menor de los ángulos que forman entre sí sus vectores directores. dr. ds ( r, s ) = ( dr, ds) = arcos d. d r s Si se conocen las pendientes de las rectas r y s, m r y m s, el ángulo que forman r y s también se puede calcular con la fórmula: ( m, ) ar r m r s = tg 1+ m m r Se toma el valor absoluto porque el ángulo debe ser menor o igual que 9º s s - Si las rectas son paralelas o coincidentes, entonces el ángulo que forman es º - Si las rectas fuesen perpendiculares, entonces el ángulo sería de 9º. En este caso, d. d Ejercicio 14 Halla el ángulo que forman las rectas r y s en los siguientes casos: x+ a) r : x+ y+ 1= y s : x y+ = b) r : = y s : y = x + 5 Ejercicio 15 Comprueba que el triángulo de vértices A(, 1), B(, 4), C(5, 6) es un triángulo rectángulo y calcula su perímetro y su área Practica tú: 19 Hallar la distancia entre los puntos A (, ) y B(6,) Sol.: 17 Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C: a) A(, ), B(, 7) y C(6, ) Sol.:19, b) A(1, ), B(4, 7), C(, 6) Sol.:17,7 u c) A( 1, ), B(, 5), C(, 6) Sol.:11,41 1 Calcula el ángulo entre las rectas r: (x, y) = (1, ) + λ(4, ), s: 1x 5y + 1 = Sol.: 75º 45 u u u r s = Halla el ángulo que forman las rectas: x = t x = 1 4t r: s: Sol.: 9º y = 4+ t y = 1 6t Halla el perímetro del triángulo de vértices P(, 5), Q(6, ) y R(, 4) Sol.: P= 4,5 u 4 Comprueba que el triángulo de vértices P(, ), Q(, 8), R(9, 7) es un triángulo rectángulo en P y calcula su perímetro y su área. Sol.: P= 6,67 u A=,5u - Página 1 -