TRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 3º ESO. (2ª parte)

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1 TRABAJO DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 3º ESO. (2ª parte) 1

2 OPERACIONES CON POLINOMIOS 1.-) Dados los polinomios: P(x) = 3x 2 + 3x - 1, Q(x) = 3x 2 + 2x + 1 y R(x) = -x 3 + 2x Calcular: a) P - Q R b) 3 P + Q R c) P Q d) P Q 2 e) P 2-5 Q f) 2 P Q - R g) Q 3 h) R + 4 P 2.-) Dados los polinomios: P(x) = 4x 2-3x + 2 Q(x) = x 2-4x 5 R(x) = x 3-3x 2 +8x 4 S(x) = x 2 + 2x 5 T(x) = 3x 2 7x 2 Calcular: a) P(x) + Q(x) + R(x) b) 3 P(x)+4 Q(x) c) P(x) 2 + R(x) d) 4 T(x) 7 S (x) 2 e) 9 R(x)-6 S(x) f)-4 P(x)-Q(x) IDENTIDADES NOTABLES 1.-) Calcula: a)(x+1) 2 b)(x-1) 2 c)(x+2) 2 d)(x+3) 2 e)(x-4) 2 f)(x+5) 2 g)(x-3) 2 h)(x+4) 2 2.-) Calcula: a) (2x-3) 2 b)(3x+4) 2 c)(4x-5) 2 d)(3x+2) 2 f) (4x-5) 2 g)(5x+2) 2 h) (4x-7) 2 i) (4x-6y) 2 j) (8x+2) 2 k) (-2x-3) 2 l) (a-7b) 2 m) (5x-2a) 2 3.-) Completa los siguientes polinomios para que sean cuadrados perfectos. a) x 2 +2x+... b) x c)x d) x 2 +8x+... e) 4x 2-12x+ f) 9x 2-24x+... g) 25x h)...+6x+1 2

3 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 1.-) Factoriza los siguientes polinomios: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2.-) Factoriza los siguientes polinomios: a) x 2 + x b) x 2 - x c) x 3 - x 2 d )x 3 + x 2 2 e) x 3-5x f) x 3-16x g) x 2 + 4x h)x 3-4x + 4x 3.-) Factoriza los siguientes polinomios: a) x 3 + 4x 2 + 4x b) x 4 + 6x 3 + 9x 2 c) x 3 + 8x 2 d) x 3 + 6x 2 + 9x e) 3x 4 24x x 2 f) x 5 x Opera y simplifica: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 5.- Multiplica por 8 y simplifica el resultado 6.- Multiplica por 20 y simplifica el resultado 7.- Multiplica por 36 y simplifica el resultado 3

4 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES Para eliminar los denominadores de una ecuación, hay que multiplicar los dos miembros por un múltiplo común de los denominadores. El mejor es el más pequeño posible: EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Ejemplo: Simplificamos m.c.m (2, 3, 6) = 6 Multiplicamos los dos miembros por 6 Operamos y sale x = Resolver: a) b) c) d) 4- e) f) 2.- Comprueba que la ecuación está mal resuelta, Detectar el error y hallar la solución correcta. 2 Resolución correcta: 12 24x = 3x 21x = 0 x = Resolver: a) 3 b) 5x-8 = 3 c) d) 7 e) f) g) h) i) 2 4

5 ECUACIONES SIN SOLUCIÓN O CON INFINITAS SOLUCIONES RECUERDA La ecuación 0 x = b con b no tiene solución La ecuación 0 x = 0 tiene infinitas soluciones. 4.- Resuelve: a) 3x = b) c) 2 ( d) e) f) g) h) i) x+ j) x+ ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita son las ecuaciones que se pueden transformar en otras del tipo: ax 2 + bx +c = 0 Donde a, b, y c son números conocidos y Resolución: Si la ecuación es completa las soluciones son: La expresión b 2 4ac se llama discriminante Puede ocurrir: 1º ) Si b 2 4ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones distintas. 2º) Si b 2 4ac = 0 la ecuación tiene una solución doble. 3º) Si b 2 4ac < 0 No hay soluciones. Ejemplos 1º) x 2 5x + 6 = 0 Las dos soluciones son: x 1 = 3 y x 2 = 2 5

6 Ejemplo 2º) Hallar las soluciones de la ecuación: x x +25 = 0 doble Las soluciones son x 1 = -5 y x 2 = -5 es decir una solución doble. Ejemplo 3º) 2 x 2 +4x +4 = 0 No hay soluciones. Ecuaciones incompletas: Una ecuación de segundo grado es incompleta si alguno de los coeficientes b, ó c, o ambos son nulos. Para resolver estas ecuaciones se puede utilizar la ecuación anterior o bien uno de los siguientes procedimientos: - Si b = 0 entonces ax 2 + c = 0 Ejemplo 2x 2 8 = 0, x 2 = 4, x = Solución: +2 y -2 Ejemplo x = 0, x 2 = -8, NO TIENE SOLUCIÓN - Si c = 0 entonces ax 2 + bx = 0 x (ax + b) = 0, x = 0 y x = Ejemplo 3x 2 2x = 0, x(3x 2) = 0 Solución: x = 0, x= EJERCICIOS RESUELTOS 1.-) Resolver la ecuación: La solución es x = 2 doble 2.-) Resolver la ecuación de segundo grado: No hay solución 6

7 3.-) Resolver la ecuación: 4.-) Resolver: La solución es x = 2 doble Las soluciones son: x 1 = ; x 2 = 5.-) Resolver: No hay solución 6.-) Resolver la ecuación: 2x 2 + 5x + 3 = 0 x = Las soluciones son: x 1 = 1; y x 2 = -3/2 7.-) Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta: Soluciones x 1 = +1; x 2 = ) Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta: No hay solución 9.-) Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado Solución x 1 = + 2; x 2 = -2 7

8 10.-) Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta: 5x 2 2x = 0 x (5x 2 ) =0 Solución x= 0 y 5x 2 = 0 luego x = 2/5 11.-) Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta: x ( x + 1 ) = 0 Solución x= 0 y x +1 = 0 luego x = ) Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta: x (3x + 4 ) = 0 Solución x= 0 y 3x +4 = 0 luego x = -4/3 13.-) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado. Indicar el signo del discriminante. Cuántas soluciones tendrán cada ecuación? a) 9x 2 + 6x + 1 = 0 Como el discriminante es cero la ecuación de segundo grado tendrá una raíz doble. La solución es: doble b) 5x 2-7x + 3 = 0 Como el discriminante es negativo no hay soluciones reales. c) x 2 + x - 6 = 0 Como el discriminante es positivo hay dos soluciones reales. x 1 = 2 y x 2 = -3 La solución es: x 1 = 2 y x 2 = -3 8

9 14.-) Operar y resolver la ecuación de segundo grado que resulte: a) 12(x 2 + 5) = 4x x = 4x x 2 = 100 b) 2x (3x 4 )- (1-3x )( 1 + x ) = -2 La solución es x=1/3 doble EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Resuelve: a) x 2-9x +14 = 0 b) 2x 2 +6x +20 = 0 c) x 2 +4x +3 = 0 d) 8x 2-6x+1= 0 e) 20x 2-3x-2 = 0 f) x 2-10x+25=0 g) 9x 2-6x+1= 0 h) x 2-6x+10 = 0 i) x 2 +2x +1=0 j) (2x-3) 2 = 0 k) 5x 2-3x-2 = 0 l) (4x-1) 2 =0 2.-) Resuelve: a) 3x 2 +2x-3= 2 x 2 +7-x b) 2x(2x-5)+18= x (7-x) -12 c) x (2x-1)+ d) x (x-1)+1= e)11(x-1) 2 =(2x-3) 2 +4 x 2 +1 f) (3x- ) 9

10 g) 3x h) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es de la forma: Hay tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: Método de sustitución: - Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se sustituye en la otra. Ejemplo: x = 15 2y (Despejando una incógnita de la 2ª ecuación) 3(15 2y) 5y = 1 (Sustituyendo en la otra ecuación) 45 6y 5y = 1, -11y = -44 y = 4 (Operar y resolver) x = = 15 8 = 7 (Sustituir el valor de la incógnita hallada para obtener la otra incógnita) Método de igualación: Solución x = 7 ; y = 4 - Despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones e igualamos las dos expresiones. Ejemplo: x = 15 2y x = (Despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones) 15 2y = (Igualar las dos expresiones de la misma incógnita) 45 6y = 1 +5y -11y = -44 y = 4 (Operar y Resolver) x = = 7 (Sustituir el valor de la incógnita obtenida para hallar la otra incógnita) Solución x = 7 ; y = 4 10

11 Método de reducción: -Prepara las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente, restar las dos ecuaciones. Ejemplo: (Multiplicamos la primera por (-2) y sumamos) x-2(-9) = 8; x+18 = 8; x = -10 (sustituimos el valor de la incógnita obtenida para hallar la otra incógnita) Solución x = -10 y= -9 EJERCICIOS RESUELTOS 1.-) Resolver el sistema por los tres métodos (igualación, reducción y sustitución) Solución Igualación: Despejamos y de las dos ecuaciones incógnita, la resolvemos Igualamos obtenemos una ecuación con una Sustituimos este valor en la ecuación anterior Solución del sistema x= 3; y=1 Sustitución: Despejamos y en la segunda ecuación Sustituimos y por este valor en la primera ecuación Resolvemos la ecuación anterior 11

12 Para x=3 hallamos el valor de y Solución x= 3 ; y =1 Reducción. Multiplicamos por 3 la segunda ecuación Solución x= 3 ; y= 1 MÉTODO GRÁFICO 2.-) Resuelve el siguiente ejercicio a) Dada la ecuación y = 5- x da diez valores a x y calcula los correspondientes valores de y b) Representa gráficamente la ecuación anterior (recuerda que el eje OX es el eje de abscisas y que el eje OY es el eje de ordenadas) c) Haz lo mismo con y = x-3 d) Compara las dos gráficas. Hay algún punto en común? e) Utiliza los datos obtenidos para representar las dos ecuaciones en una sola gráfica. f) Hay algún punto que te llame la atención? g) Tienen algún punto en común? Cuál es? (Observa que es el mismo punto que has obtenido al localizar las tablas) NOTA: El punto en común es la solución de dicho sistema y es el punto en que se cortan las dos rectas 12

13 3.-) Resuelve el siguiente ejercicio análogo al anterior: a) Dada la ecuación y = x +4 da diez valores a x y calcula los correspondientes valores de y b) Representa gráficamente la ecuación anterior (recuerda que el eje OX es el eje de abscisas y que el eje OY es el eje de ordenadas) c) Haz lo mismo con y = x +8 d) Compara las dos gráficas. Hay algún punto en común? e) Representar las dos ecuaciones en una sola gráfica. f) Hay algún punto que te llame la atención? g) Tienen algún punto en común? 4.-Representa gráficamente las rectas y = 2x-3 e y = -x +5 y halla su punto de corte. Resuelve el sistema formado por las dos rectas y comprueba que la solución que obtienes es el punto de corte. 5.- Encuentra gráficamente el punto de corte de intersección de las rectas y = x -6 y x +y -4= 0. Resuelve el sistema formado por las dos rectas y comprueba que la solución que obtienes es el punto de corte. 6.- Resolver gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba la solución. a) b) c) d) e) f) EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Resolver por el método que consideréis más adecuado los sistemas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 13

14 j) PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA 1.- Calcula un número cuya mitad es 63 unidades menores que su doble 2.- Calcula un numero sabiendo que sus tres cuartos superan en 22 unidades a su mitad. 3.- Rosa ha comprado dos CD de música que ayer se vendían al mismo precio, pero se encuentra con que uno esté rebajado un 15% y el otro 10%. Así se ahorra 3 Cuánto costaba originalmente cada CD? 4.- Un número impar, su siguiente y su anterior suman 213. Calcularlos 5.- Isabel da la cuarta de su caja de bombones a Elena y de los que quedan, le da la mitad a Carmen. Carmen da un tercio de su parte a Carlos, al que le tocan 8 bombones. Calcula cuántos bombones tenía la caja y cuántos se llevo cada uno. Isabel Elena Carmen Carlos PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITA 1.- Un televisor y un video cuestan Si el televisor se rebaja un 20 % entonces costarían lo mismo. Cuál es el precio de cada uno? 2.- En una granja hay gallinas y conejos. El número de cabezas es 282, y el de patas 654. Calcular cuántas gallinas y cuántos conejos hay. 3.-Calcular el área de un rombo sabiendo que la suma y la diferencia de sus diagonales es 170cm y 70cm respectivamente 4.- Hemos pagado una factura de 435 con billetes de 5 y de 10. En total hemos dado 60 billetes. Averigua cuántos da a cada clase. 5.- La razón entre los lados de un rectángulo es y su perímetro es 132 cm. Calcular su área. 14

15 ECUACIONES DE LA RECTA La pendiente de una recta de la que conocemos dos puntos P(x 1, y 1 ) y Q(x 2, y 2 ) es: ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE La ecuación de una recta de la que conocemos un punto P(x 1, y 1 ) y su pendiente es m es: y = y 1 +m (x-x 1 ) ECUACIÓN GENERAL Ó IMPLICITA ax+by+c = 0 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a) A(1, 2) y B(7, 4) b) A(-1, 5) y B(-8, 0) c)a(1, -2) y B(-8, -2) d) A(2, -3) y B(7, 5) e) A(-3, -7) y B(-1, -1) f) A(7, 5) y B(-3, 2) g) A(, ) y B( ) h) y i) y 2.- Comprueba que las siguientes rectas pasan por el punto (5, 2) a) y = 2+3(x-5) b) y = 2-4 (x-5) c) y = 2 + d) y = 2 + e) y = 2 f) y = 2 + 0,05(x-5) 3.- Hallar dos puntos en cada una de las siguientes rectas: a) y = -3+2(x-1) b) y = -3-5 (x-1) c) y = -3 + d) y = -3 e) y = (x+3) f) y = 4.- Completa la ecuación de las siguientes rectas para que pasen por el punto (4, 2) a) y = + 4(x -.) b) y = + (x -.) c) y = + (x.) Lo mismo para que pasen por el punto (-1, 5) a) y = + 8(x -.) b) y = + (x -.) c) y = + (x.) 15

16 5.- En cada una de las rectas siguientes indica un punto y su pendiente ecuación punto pendiente y = 1-2(x-1) y = -4- (x-2) y =5+ 2,5(x+9) y = (x-5/2) 6.- Escribe la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto (1, 4 ) y su pendiente es 8 b) Su pendiente es 5/9 y pasa por el punto (0, 3) c) Su pendiente es -3 y pasa por el punto ( ) d) Su pendiente es o y pasa por el punto ( ) e) Su pendiente es - y pasa por el punto (0, 0) f) Es paralela a la recta anterior y pasa por (-1, -1) g) Es paralela a la recta del apartado c) y pasa por (-1, ) 7.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 4) y (-5, -7) en la forma punto- pendiente. 8.- Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) P(1, 0) Q(-3, -6) b) P(3, 0) Q(0, -6) c) P(-1, ) Q(5, - 7,5) d) P(3, -2) Q(-3, 1) e) P(-, 1) Q(-1, - ) f) P(6,9, -3) Q(-3,5, -6,5) g) P(, 0) Q(0, - ) h) P(125, 50) Q(200, -23) i) P(-1, -1) Q(-3, -3) 16