SISTEMA DE 2 ECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS

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Arturo Caballero Cárdenas
hace 7 años
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1 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON INCÓGNITAS Debemos tener, al menos, tantas ecuaciones como incógnitas para poder hallar éstas. Cuando al resolver un problema nos encontramos con dos incógnitas relacionadas en dos ecuaciones, tenemos un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Para resolver un sistema así, hay que eliminar 1 de las incógnitas, es decir, deducir de ambas ecuaciones otra que no contenga una de las incógnitas, quedando así una ecuación de 1er grado con una incógnita; que resolveremos normalmente. Después, iremos a cualquiera de las ecuaciones originales, sustituiremos la incógnita que hayamos calculado por su valor, y hallaremos la otra. Existen métodos de resolución: igualación, sustitución y reducción. 1. Consiste en despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones y en igualar sus valores.. Consiste en despejar una de las incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones, y sustituir su valor en la otra.. Consiste en transformar una o las dos ecuaciones propuestas, en otras en que los coeficientes de una de las dos incógnitas sea el mismo, pero con distinto signo (es decir, que uno sea el inverso de otro); y sumar ambas ecuaciones, eliminando esa incógnita y obteniendo una tercera con una sola incógnita, la otra. Veamos estos tres sistemas con un ejemplo: EJEMPLO X + Y = 1 X + 4Y = 10 a) : Despejamos cualquiera de las dos incógnitas en ambas ecuaciones; por ejemplo, la x: x + y = 1 1 y 4y 10 entonces: 1 y = 4y 10 tenemos 1 ecuación con 1 incógnita: despejamos la y: 14y = 4 1 y = (4y 10) y = 4 14 ; y = 1 y = 1y 0 y 1y = 0 1 Teniendo la y, calculamos la x, en cualquiera de las dos ecuaciones primitivas. Para ilustrar mejor el ejemplo, lo haremos en las dos, aunque no es necesario: en la 1ª ecuación 1 y ; 1 en la ª ecuación 4y 10; 4 10; Lógicamente, nos da el mismo valor. Y el resultado del sistema es: ; y = 1 Dpto. de Matemáticas colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid

2 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON INCÓGNITAS b) : Podemos despejar la x o la y, como queramos; despejamos la x en la ª ecuación: x + y = 1 x + y = 1 4y 10 entonces: (4y 10) + y = 1 tenemos 1 ecuación con 1 incógnita: despejamos la y: 1y 0 + y = 1 14y = y = 4 y = 4 1 ; y = Ya hemos hallado la y; vamos a cualquiera de las dos ecuaciones que teníamos en el sistema, y sustituimos; lo hacemos en las dos, pero recuerda que con una es bastante: x + y = 1; 1 y ; 1 ; 4y 10; 4 10 Hemos llegado a las mismas soluciones que con el método de igualación; de no ser así, algo habría mal. c) : x + y = 1 para eliminar las x, multiplicaríamos la ª ecuación por para eliminar las y, multiplicaríamos la primera por (-) Obviamente, sólo es necesario, en este caso, una de las dos actuaciones, pero hacemos las dos; empezamos por la de eliminar las x: x + y = 1 x + y = 1 x + 1y = 0 las sumamos: x + y = 1 x + 1y = 0 0x + 14y = 4; y = 4 14 ; y = Sustituyendo, como hemos visto con los dos sistemas anteriores, llegaríamos a que: y = Vamos ahora a hacerlo eliminando las y: x + y = 1 6x 4y = 4 las sumamos: 6x 4y = 4 14; Y volviendo a sustituir, llegaríamos, otra vez, a que y = RESUMIENDO: Es indiferente un método u otro; por cualquiera de los el resultado ha de ser el mismo. Hay que saber hacerlos todos, y cuando no nos pidan uno en concreto, usar aquel que nos parezca más fácil o cómodo. Dpto. de Matemáticas colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid

3 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON INCÓGNITAS (a) x y = x + y = 8 x y = x + y = 8 x = y (x ) = 8 x 6x 6 = 8 x = = 6 y = y = x x + (x ) = 8 x + 6x 6 = y = x y = y = x y = x + y = 8 6x y = 6 x + y = y = x y = y = Dpto. de Matemáticas colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid

4 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON INCÓGNITAS (b) x y 6 = 0 y + + x 6 = y y = x 6 y = x x x 6 6x y = x y = y = y = x x ( x) = 6 x y = x y = 0 y = 0 y = x y = 6 x + y = x + y = 6 x + y = 4y = 8 y = 8 4 y = y ( ) 4 Dpto. de Matemáticas colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid

5 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON INCÓGNITAS (c) x 5y 10 = 0 y = x + 5 y + 10 y 5 y 5 = y 5 10y + 0 = 1y 5 10y 1y = y = 55 y = = 5 y 5 ( y 5 ) 5y = 10 (y 5) 10y = 0 1y 5 10y = y x 5y = 10 x + 1x 15y = 0 10x y = x + 5 y = y = 15 5 Dpto. de Matemáticas colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid

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