TEMA 2: EL PLANO AFÍN

Transcripción

1 TEMA : EL PLANO AFÍN En la primera mitad del siglo XVIII nació una rama completamente nuea de la Matemática que surge por la necesidad de relacionar las curas del plano con las ecuaciones algebraicas de dos incógnitas. Fermat, consejero del parlamento de la ciudad francesa de Toulouse y matemático de fama mundial, el famoso filósofo René Descartes, fueron quienes establecieron las bases de los que hoy se conoce como. Dentro de la, la Geometría Plana es la que considera figuras cuyos puntos están todos en un mismo plano. La geometría que utilizamos en nuestra ida cotidiana es una geometría euclidiana, denominada así porque acepta los postulados del matemático Euclides. Posiblemente, de todos los postulados el más famoso sea el quinto: Por cualquier punto se puede trazar una paralela y sólo una a una recta determinada. 1. SISTEMA DE REFERENCIA AFÍN 1. SISTEMA DE REFERENCIA AFÍN. VECTOR DE POSICIÓN ASOCIADO A UN PUNTO Y COORDENADAS DEL PUNTO RESPECTO DEL SISTEMA DE REFERENCIA. ECUACIÓN DE LA RECTA 4. INCIDENCIA DE PUNTO Y RECTA 5. CONDICIÓN DE COLINEALIDAD DE TRES PUNTOS 6. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS 7. HAZ DE RECTAS PARALELAS 8. HAZ DE RECTAS SECANTES Un sistema de referencia del plano afín está compuesto por un punto fijo O del plano físico y dos ectores que forman base de V : 1 O E (plano físico) y u, u V (base de ectores del plano) Sistema de referencia en el plano E S = O, B u1, u u 1 Nota: por comodidad consideraremos una base de ectores del plano formada por dos ectores con origen en O, de direcciones perpendiculares y de módulo la unidad.. VECTOR DE POSICIÓN ASOCIADO A UN PUNTO Y COORDENADAS DEL PUNTO RESPECTO DEL SISTEMA DE REFERENCIA Y A Dado un punto A del plano físico, su ector de posición OA a es el que tiene como origen O y como extremo dicho punto A. u O u 1 u O OA a X 1

2 Fijado un sistema de referencia S = O, B u1, u punto A E del plano afín E y dado un definimos como coordenadas del punto A respecto del sistema de referencia S a las coordenadas del ector del posición OA Podemos expresar lo anterior así: asociado al punto A. E A PARTIR DE AHORA QUEDA FIJADO EL SISTEMA DE REFERENCIA S EN EL PLANO AFÍN S = O, B u1, u u. ECUACIÓN DE LA RECTA Una recta queda determinada conociendo un punto por donde pase y una dirección o bien dando dos puntos A y B por donde pase la recta. V plano físico ectores parejas de nº reales a1 a A OA, coordenadas del punto A y como B el ector a de la base de V 1 x a AX se tiene que : AX AX y son lin. dependientes AX x a AX a es la ecuación ectorial de la recta R u, u es una base del conjunto de ectores del plano entonces se podrá expresar como combinación lineal de los elementos a a u a u 1 1 A O u 1 a x X O Tenemos que la recta r iene determinada por r A, siendo las coordenadas del punto a 1,a de la recta r de coordenadas X x, y A y las coordenadas del ector poniendo las coordenadas de los ectores tenemos que:, 1. Sea X un punto cualquiera, entonces, a partir de la ecuación ectorial x, 1, 1, x a AX a pasando a coordenadas y a a e igualando componentes, se obtiene:

3 x a1 1 y a es la " ecuación de la recta r en forma paramétrica ", al ir ariando el parámetro amos obteniendo las coordenadas de todos los puntos de la recta. Despejando " " de las dos expresiones anteriores e igualando se obtiene la "ecuación de la recta r en forma contínua" : x a1 1 x a1 y a ecuación contínua y a 1 de aquí despejando " y - a " obtenemos la " ecuación de la recta r en la forma punto - pendiente ": y a a donde llamamos m pendiente de la recta r y a m a x x despejando "y" se obtiene y = a +m x - a y a m x ma 1 1 y m x n es la " ecuación de la recta r en forma explícita", en donde "m" es la pendiente de la recta y (0,n) el punto de corte de la recta r con el eje de ordenadas OY. Desarrollando la anterior, o bien a partir de la contínua y pasando todo a un miembro y agrupando se obtiene la " ecuación de la recta r en forma general ": y a x a y a x a y a x a y a x a 0 x y a a llamamos : A B y C a a y queda : Ax By C 0 que es la " ecuación de la recta r en forma general " Si pasamos al º miembro el término independiente C y diidimos los dos miembros entre - C : Ax By C Ax By Ax By C 0 Ax By C 1 C C C C C x y C C x y 1 llamamos a y b 1 C C A B a b A B se obtiene la " ecuación de la recta r en forma segmentaria" siendo a,0 y 0,b los puntos de corte de la recta con los ejes coordenados OX y OY respectiamente. Ejemplo: sea r A, con A,1 y,, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A y tiene como dirección el ector en todas sus formas: ecuación ectorial x a AX a Pasamos a coordenadas e igualamos:

4 x, y,1, x 1 es la ecuación de la recta en forma paramétrica y 1 Despejamos de las dos expresiones e igualamos x x y 1 ecuación contínua y 1 de aquí obtenemos la ecuación punto-pendiente: y 1 x 7 y x ecuación explícita Desarrollando la contínua o la punto pendiente: x y 1 x y1 x 9 y x 9 y 0 x y 7 0 ecuación general de la recta Si pasamos al º miembro el término independiente y diidimos los dos miembros x x x y x y 7 0 x y se obtiene la ecuación segmentaria Ejemplo: sea r A, con A,4 y 1,, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A y tiene como dirección el ector en todas sus formas: ecuación ectorial x a AX a Pasamos a coordenadas e igualamos: 4

5 x, y,4 1, x y 1 4 es la ecuación de la recta en forma paramétrica Despejamos de las dos expresiones e igualamos x 1 x y 4 ecuación contínua y 4 1 de aquí obtenemos la ecuación punto-pendiente: y 4 x 1 y x 8 es la ecuación explícita Desarrollando la contínua o la punto pendiente: x y 4 x y 4 x 4 y 4 1 x 4 y 4 0 x y 8 0 ecuación general de la recta Si pasamos al º miembro el término independiente y diidimos los dos miembros x y x y x y 8 0 x y se obtiene la ecuación segmentaria Otra determinación de la recta es conocer dos puntos A y B por donde pasa, en ese caso, tomaremos como ector de dirección el que tiene por ejemplo origen A y extremo B (o al reés). Ejemplo: obtener, en todas sus formas, la ecuación de la recta A 1, B 4, que pasa por los puntos A B AB 4 1,,1 x a AX a ecuación ectorial 5

6 Pasamos a coordenadas e igualamos: x, y 1,,1 x y 1` 1 es la ecuación de la recta en forma paramétrica Despejamos de las dos expresiones e igualamos x1 x 1 y ecuación contínua y de aquí obtenemos la ecuación punto-pendiente: y x y x es la ecuación explícita Desarrollando la contínua o la punto pendiente: x 1 y x 1 y x1 y 6 1 x1 y 6 0 x y 5 0 ecuación general de la recta Si pasamos al º miembro el término independiente y diidimos los dos miembros x y 5 0 x y 5 x y x y se obtiene la ecuación segmentaria 4. INCIDENCIA DE PUNTO Y RECTA Un punto pertenece a una recta cuando al sustituir sus coordenadas en la ecuación de la recta, en cualquiera de sus formas, se satisface la igualdad. Ejemplo: Sea la recta r : y x 5 P,5 pertenece a la recta? r : y x 5 5 5? 5 4 P r, el punto CONDICIÓN DE COLINEALIDAD DE TRES PUNTOS Tres puntos se dicen colineales cuando están alineados. Dados tres puntos del plano, para estudiar su colinealidad, se calcula la ecuación de la recta determinada por dos cualquiera de ellos y, a continuación, se prueba si el otro punto pertenece o no a dicha recta, si pertenece entonces los tres puntos son colineales, en caso contrario los tres puntos no son colineales. Ejemplo: Sean los puntos A 1, B,6 C, puntos son o no colineales:, comprobar si los tres 6

7 x1 y r A, AB con AB 1, 6 1, r A, AB 1 1 C, rab?? 0 C rab 1 Luego los tres puntos A, B y C no son colineales. Ejercicios: Dada la ecuación segmentaria de la recta r : x y 1, obtener la cartesiana, las paramétricas y la continua. x y 1 efectuando operaciones y pasando todo a un miembro, se obtiene la cartesiana: x y 6 x y 6 0 Para obtener las paramétricas se des peja de la ecuación cartesiana la x o l a y : 6 y x x y x y llamamos y y Obteniéndose las ecuaciones paramétricas. Despejando de las dos ecuaciones e igualando, se obtiene la contínua: x x y 0 ecuación con tínua 1 y Dada la ecuación de la recta en su forma cartesiana r; x y 4 0 obtener la segmentaria e interpretarla: x y x 0 y 4 r; x y 4 0 x y y 0 x 4 4,0 y 0,4 son los puntos de corte de la recta con los ejes coordenados OX y OY Sea el segmento determinado por los puntos A 1, y B 6,8 a. Coordenadas del punto medio. b. Coordenadas del punto que se encuentra a 1 del punto A. c. Coordenadas del punto que se encuentra a 4 del punto B. d. Coordenadas de los puntos que diiden al segmento en 4 partes., calcular: Nota: segmento que une los puntos A y B ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] Obtengamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B en forma paramétrica: 7

8 x 15 r A, AB con AB 6 1,8 5, 6 r A, AB y 6 Entonces, los distintos apartados se obtendrán al ir dando alores al parámetro todos ellos comprendidos entre 0 y 1: a. Coordenadas del punto medio. 1 7 x , 1 y 6 b. Coordenadas del punto que se encuentra a 1 del punto A. 1 8 x ,4 1 y 6 4 c. Coordenadas del punto que se encuentra a 4 del punto B. 1 9 x , y 6 4 d. Coordenadas de los puntos que diiden al segmento en 4 partes. Falta sólo uno que es para 4 x x , 4 5. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS 8

9 Dos rectas en el plano pueden ocupar las siguientes posiciones relatias: Secantes Paralelas Coincidentes r r P r s s s Para estudiar la posición relatia de dos rectas se resuele el sistema de ecuaciones formado por las respectias ecuaciones de las rectas, en cualquiera de sus formas, o también se estudia la posición comparando los ectores direccionales de las mismas. Ejemplo: Estudia la posición relatia de las rectas: x 1 r s x y 6 0 y Pasamos la recta r a su ecuación cartesina y resolemos el sistema formado por las dos ecuaciones cartesianas: x 1 y r y x 1 x 1 y x y x y 0 r x y 4 0 r x y 4 0 x y x y s x y 6 0 x y Por tanto, las rectas se cortan en el punto P, 7 7 Ejemplo: Estudia la posición relatia de las rectas: x 1 r s x y 6 0 y Como la recta r nos la dan con sus ecuaciones paramétricas, sustituimos x e y, en la ecuación cartesiana de s para aeriguar el alor del parámetro por el que se obtiene el posible punto de intersección: x 1 r s x y y x 1 x r y P y y 7 7 Ejercicio: Hallar el área limitada por la recta r 5x y 5 0 con los ejes coordenados. 9

10 Lo más cómodo para hallar los puntos de corte con los ejes coordenados es pasar la recta a su ecuación segmentaria: 5x y 5 x y r 5x y 5 0 5x y De ésta forma, los puntos de corte con los ejes coordenados son: 1,0 y 0,5 También podríamos haber hallado los puntos de corte con los ejes coordenados como siempre: Punto de corte con OY: x 0 50 y 5 y 5 0,5 Punto de corte con OX: y 0 5x 0 5 x1 1,0 bh 15 5 El área limitada es un triángulo de área: S u Ejercicio: Calcular la ecuación de la recta en forma cartesiana que pasa por el punto P 0,4 y tal que la tangente del ángulo que forma dicha recta con el eje de abcisas sea. Planteamos la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente: y 4 x 0 ya que la pendiente "m" es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positia del eje OX. Pasamos la ecuación a su forma cartesiana: x y

11 Ejercicio: Dadas las rectas r x y 4 0 s x y 9 0 hallar su punto de intersección y las ecuaciones de las rectas que pasa por el punto,4 y son paralelas a cada una de las dadas. Resolemos el sistema para obtener el puntode corte : x y 4 0 x y 9 0 x y 4 x y 9 6x y 1 6x 4y 18 4x y 8 x y 9 6 y 7 17 x , 6 7 Recta paralela a r y que pase por el punto,4 : Al ser paralela el comienzo en la x y en la y es el mismo: x y C 0 El término independiente lo obtenemos con la condición de que pasa por el punto,4 : x y C 0 4 C 0 C 10 recta x y

12 Recta paralela a s y que pase por el punto,4 : Al ser paralela el comienzo en la x y en la y es el mismo: x y C 0 El término independiente lo obtenemos con la condición de que pasa por el punto,4 : x y C 0 4 C 0 C 1 recta x y HAZ DE RECTAS PARALELAS Es el conjunto de rectas en una dirección dada. Sea la dirección, 1, entonces el haz de rectas con esa dirección es: x a1 y a h 1 Vamos a expresarlo en la forma cartesiana: x a1 y a h x a y a x a y a a a x a y a 0 reagrupando x y a a renombrando A B K a a A y B son números pero K es ariable pues depende del punto,,por lo que el haz de rectas de dirección, es: 1 1 Ax By K 0 1

13 Ejemplo: Escribir las ecuaciones del haz de rectas paralelas de dirección 1, x a y a h 1 1 x a y a 1 x a y a 1 x a y a 0 1 x y a a 0 1 x y K 0 Vamos a determinar, por ejemplo, de todo el haz h aquella que pase por el punto A,1, para lo cuál tenemos que determinar el alor de K correspondiente. h x y K 0 1 K 0 K 5 la recta será de ecuación: 7. HAZ DE RECTAS SECANTES Es el conjunto de todas las rectas con el mismo punto base, denominado értice del haz. A a 1,a, entonces el haz de rectas con ese punto base es: Sea el punto base x a y a h 1 1 r x y 5 0 Vamos a expresarlo en la forma punto pendiente: x a y a h y a x a ahora, son ariables, sea m es el haz de rectas de unto base A, y a m x a p a a 1 1 Ejemplo: Calcular la ecuación del haz de rectas de értice el punto A,1 x y1 h y 1 x ahora, son ariables, sea m y 1 m x es el haz de rectas de punto base A,1 1

14 Extraer de dicho haz la ecuación de la recta que sea paralela a la recta s y x 5 5 Pasamos la recta a su forma punto pendiente: s x 0 x1 Entonces: m y 1 m x m y 1 x es la recta que se pide Ejercicio: Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A,1 y por el punto de r x y 6 0 intersección de las rectas s x y 1 0 Resolemos el sistema formado por las dos rectas para aeriguar su punto de intersección: r x y 6 0 r x y 6 x 5 y 4 s x y 1 0 s x y 1 El punto de intersección r s P 5,-4 Para calcular la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos consideramos como ector direccional el ector AP 5, 4 1, 5 x y1 Con lo cuál, la recta sería de ecuación: t, la expresamos en su forma 5 cartesiana: 5 x y 1 5x 10 y 5x 10 y 0 t 5x y 1 0 es la recta que buscamos. Vamos a hacerlo ahora considerando el haz de rectas de base el punto P de intersección de r y s, lo podemos expresar así: r x y 6 0 haz x y 6 x y 1 0 como queremos una recta s x y 1 0 de dicho haz que pase por el punto A,1, tendremos que calcular el alor adecuado para el 1 parámetro : Sustituimos el alor de en la ecuación del haz: x y 6 x y 1 0 operando obtenemos la recta t 5x y