Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Reconquista. Carrera: Técnico Superior en Programación. Recta en el Plano

Transcripción

1 Recta en el Plano ) Ecuación explícita de la recta:.) Cuando la recta pasa por el origen de coordenadas: Consideremos el sistema de coordenadas una recta R, que pase por el origen de coordenadas que no coincida con ninguno de los ejes. Llamaremos α al ángulo positivo menor que un llano que forma la recta R con el semieje positivo de las x. Si A de coordenadas (x; ), es un punto de la recta R, entonces el cociente entre la ordenada la abscisa de A es la tangente trigonométrica del ángulo α. Luego, si: tg α = m es /x = m = m x A Esta relación es la ecuación de la recta que pasa por el origen que no coincide R con el eje. Luego: Ecuación de la recta que pasa por el origen = m x α A la constante m, se la llama pendiente de la recta x x Utilizando el concepto de pendiente se puede representar una recta sin necesidad de construir una tabla de valores: Ejemplo : = 3/2 x Como la pendiente es a = 3 será ( /x = 3/2) partiendo de origen de coordenadas subimos 3 unidades, luego avanzamos 2 hacia la derecha determinamos el punto P. La recta que pasa por los puntos O P es la recta de ecuación = 3/2 x (Graficar). Ejemplo 2: = -5 x Como la pendiente es-5 será ( /x=-5/ ) Procediendo como en el caso anterior, bajamos unidades,luego avanzamos hacia la derecha determinamos el punto P. La recta que pasa por los puntos O P es la recta de ecuación = -5 x (Graficar). Ejemplo 3: = ¼ x Como a = ¼ será ( /x = ¼) Subimos unidad, luego avanzamos 4 hacia la derecha determinamos P. La recta que pasa por los puntos O P es la recta de ecuación = ¼ x. (Graficar)..2) Cuando la recta no pasa por el origen de coordenadas La función polinómica =m x + h tiene por representación gráfica a una recta. Esta función polinómica es la ecuación de la recta que no pasa por el origen recibe el nombre de: Ecuación explícita de la recta Utilizando los conceptos de pendiente ordenada al origen representaremos una recta sin necesidad de construir tabla de valores. Ejemplo: = ½ x + 3 Como h = 3 m = ½ será ( /x = ½) A partir del punto ( 0 ; 3) subimos unidad luego avanzamos 2 unidades hacia la derecha determinamos el punto P. 2) Ecuación de la recta que pasa por un punto P tiene pendiente m Dado el punto P = (x ; ) la pendiente m, la ecuación de la recta que pasa por P tiene pendiente m es la siguiente: m x x = o bien podemos utilizar: = m( x x ) + Ejemplo: Dar la ecuación de la recta que pasa por P = (3; 5) tiene pendiente 2/3 Como P = ( x ; ) = ( 3 ; 5 ) entonces: x = 3 = 5 Reemplazando en la ecuación, resulta: - 5 = 2/3 ( x - 3 ) Despejar la luego graficar para verificar que realmente pasa por el punto P 3) Ecuación de la recta que pasa por dos puntos : Sean los puntos P 0 = (x 0 ; 0 ) P = (x ; ) tales que x 0 x sea r la recta determinada por P 0 P luego la pendiente de r es: m = x x = /2 x+3 Docente: Mg. Ing. Héctor Daniel Martín

2 como la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos es: = x x x x o bien = ( x x ) x x0 Ejemplo: Escribir la ecuación explícita de la recta que pasa por P = ( 2;3) P 0 = ( -;2). Reemplazando en la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, resulta: = ( ) 2 ( ) 4) Rectas paralelas [ x ] Resolviendo despejando nos queda 7 = x + (graficar). 3 3 Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dadas las rectas r r 2 r : = m x + h r 2 : = m 2 x + b 2 Son paralelas m = m 2 Ejemplo: las rectas: = ½ x; = ½ x + 9 son las ecuaciones de dos rectas paralelas pues tienen la misma pendiente (graficarlas) 5) Rectas perpendiculares Consideremos dos rectas perpendiculares r r 2 donde: r : = m x + h r 2 : = m 2 x + b 2 Con m 0 m 2 0 Observemos que al imponer las condiciones m 0 m 2 0, se está excluendo a las rectas paralelas al eje x son perpendiculares m = - / m 2 Ejercicio : Representar las rectas: = /3 x e = -3 x + 2 Ejercicio 2: Hallar la ecuación de la recta s que pasa por el punto P = ( -2; ) es perpendicular a la recta de ecuación = -4/3 x. Ejercicio 3: Dada la recta r de ecuación = 5x obtener la ecuación explícita de la recta s r que satisface la condición indicada en cada caso: a) s tiene ordenada al origen igual a 2 b) s corta al eje x en x = -5/2 c) s pasa por el punto P = ( ; -2) d) Representar todas las rectas obtenidas. 6) Ecuación implícita de la recta La ecuación de la recta = a x + b puede también escribirse: A x + B + C = 0 Donde los coeficientes A B no pueden ser simultáneamente iguales a cero. Veamos que esta ecuación es la ecuación de una recta: Si B 0 despejando resulta: A C = x B B Es decir si B 0 entonces la anterior es la ecuación de una recta de pendiente m = - A / B ordenada al origen h = - C / B. Ejercicios: Dadas las rectas r : = 2 / 3 x + 2 r 2 : 2 / 3 x = 0 r 3 : = 2/5 x 39/5 r 4 : = 2/5 x 3/5 r 5 : 2 / 3 x - 2 = 0 Pasarlas a las forma implícita /o explícita, verificar si algún par resulta paralela o perpendicular. Graficar Docente: Mg. Ing. Héctor Daniel Martín 2

3 Ejercicios varios sobre recta en el plano ) Completar el siguiente cuadro, realizando para cada ejercicio el correspondiente gráfico. Indicar cuales resultan ser paralelas cuales perpendiculares. N o Ecuación Implícita Ecuación Explícita m h P 0 P 2/3-5 2 x + - = 0 3 = 2x x 3 = (2, 0) 6-3/2 (4, 3) 7 (-2, 7) (2, 5) 8 = 4 x = 0-2x + 6 = 0 2 (, 5) (, -2) 3 = -3/4 + 4/3 x (-3, 0) 6 ½ x 3/2 + 7/2 = 0 7 (-3, -2) (4, -2) 8 = 2 - /2 x 9 -,5 (0, 2) 20 5/3 x + 2/3 4/3 = 0 2, (3, ) 23 (, 7) (-, 3) 2) Un verdulero compra 3 cajones de sandías el primer día del mes, 4 el siguiente, 5 el tercero continúa así durante todo el mes. Construir la recta en donde en las ordenadas están los cajones en el otro los días. Indicar cuantos cajones ha comprado el día 9 cuantos el día 23. En qué día duplica la cantidad de cajones que compró el 8vo día?. 3) Representar gráficamente las siguientes rectas dadas por las condiciones indicadas. a. Pendiente m = 2, ordenada al origen h =. b. Pendiente m = ½, ordenada al origen h = -. c. Pend. m = -, ord, h = 0. d. m = -/2, h = 2. e. m = 0, h =. 4) Escribir las ecuaciones anteriores en forma implícita o general. Indicar dos puntos de paso en cada recta. 5) Elegir un punto de paso para luego escribir las ecuaciones de una recta paralela a cada una de las anteriores (item 3). Escribirlas en forma general o implícita. 6) Elegir un punto de paso para luego escribir las ecuaciones de una recta perpendicular a cada una de las anteriores (item 3). Escribirlas en forma general. 7) Escribir las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de : a. Un romboide de vértices A=(2,-2) ; B=(4,-) ; C=(6,-2) ; D=(4,-5) b. Un paralelogramo donde tres de sus vértices son A=(2,2) ; B=(4,3) ; C=(2,7). Encontrar el otro vértice. Ejercicios varios sobre inecuaciones en el plano ) Representar las gráfica de las inecuaciones en el plano cartesiano: a) x 0 b) 2x > c) 2x d) 2 x 3 e) x 3 > 3 f) 3x + 6 g) 4x > 0 h) x 2 i) / 2 x < 6 j) x + > 2 k) 3x 2 l) x 4 < n) 2x 0 m) 3 + ñ) 2( x,5 ) < 3( 3) Docente: Mg. Ing. Héctor Daniel Martín 3

4 2) Representar las gráfica de los sistemas de inecuaciones en el plano cartesiano: a) d) g) j) m) x + 2 < 4 3 3x < x + 6 2x 2 / 3 x 5x 20 5x x 0 b) e) h) k) n) 2 6 < 2x + 3 2x > 4 2x + > 4 2x 2 = < 4 2x > 4 2x + > x 0 c) f) i) l) f) < 0 5x 20 5x < x + < 0 0 Algunas páginas en Internet Teoría: Animado, mu didáctico: Ejercicios: Ejercicios resueltos: Editor de ecuaciones MathTpe: Inecuaciones: (un ejemplo de aplicación) Docente: Mg. Ing. Héctor Daniel Martín 4

5 Ejercicios adicionales: Completar los siguientes cuadros representar gráficamente las rectas Ecuación Ecuación m h Puntos de paso α Explícita Implícita P Q ( 2, 3 ) ( 3, 2 ) ( 2, 4 ) ( 2, 8 ) ( 2, 7 ) ( 4, 7 ) ( -2, 3 ) ( 2, -3 ) /3 ( 6, 2 ) -/2 ( 2, 4 ) 2 ( 3, 9 ) (, -9 ) / ( 0, 0 ) ( 8, 8 ) ( 3, -9 ) (, -9 ) (, 3 ) (, 4 ) 0 0 Ecuación Ecuación m h Intersecciones α Explícita Implícita eje x eje Y= 3/2x + 2 3x+2-4= x-2=0 x+2= Y= -2x + 3/ =0 2/3 7 Docente: Mg. Ing. Héctor Daniel Martín 5