Tutorial MT-a6. Matemática Tutorial Nivel Avanzado. Geometría analítica II

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1 M ate m ática Tutorial MT-a6 Matemática 006 Tutorial Nivel Avanzado Geometría analítica II

2 Matemática 006 Tutorial Geometría analítica Marco Teórico 1. Ejes cartesianos: y 1 y (ordenada x 1 x (abscisa. Distancia entre dos puntos: Sean A(x 1 y B(x,y d = AB = ( x x + ( y y 1 1. Coordenadas del punto medio: Sean A(x 1 y B(x,y Pto. medio = x + x y + y 1 1, 4. Ecuación de la recta: 4.1 Ecuación general de la recta: ax + by + c = 0 4. Ecuación principal de la recta: y = mx + n donde m : pendiente, n : coeficiente de posición (punto donde la recta intersecta al eje y a Si m > 0 b Si m < 0 y y α x α x α : ángulo agudo α : ángulo obtuso CEPECH Preuniversitario, Edición 006

3 c Si m = 0 d Si m indefinida y y n x a y : función constante, y = n x = a x Matemática Pendiente dados dos puntos: Sean A(x 1 y B(x,y m = y x - y 1 - x 1 5. Determinación de la ecuación de la recta dado un punto y la pendiente: Sean A(x 1 y m conocida y y 1 = m ( x x 1 6. Rectas paralelas: L 1 // L m 1 = m 7. Rectas perpendiculares: L 1 L m 1 m = Ecuación de la circunferencia: 8.1 Ecuación general de la circunferencia: x + y + Cx + Dy + F = 0 donde : C = - a, D = - b, F = a + b r Centro : (a,b y r : radio 8. Ecuación cartesiana de la circunferencia: (x a + (y b = r donde : Centro : (a, b y r : radio CEPECH Preuniversitario, Edición 006

4 Matemática 006 Tutorial Ejercicios 1. Cuál debe ser el valor de k para que la recta 5x + (8 k y + = 0, sea paralela a la recta x 7y 4 = 0? A -59 B C 11 D 41 7 E 59. La ecuación, (9 k x + y 6 = 0 representa una recta perpendicular a la recta cuya ecuación es x + y 1 = 0. Cuál es el valor de k? A -5 - B 5 C 5 D 5 E 15. El punto (m,n pertenece a la recta que es perpendicular a: 5y = - 5x y que además corta al eje de las ordenadas en el punto y = n. Cuál es el valor de m en función de n? A -10n B C - 5 n 5 n D 10n E Ninguno de ellos 4 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

5 4. Cuánto mide el área del ABC? L 1 : x + y 8 = 0, L : - x + y 10 = 0 A B C 18 D 08 E 416 A y L 1 L C B x Matemática Sean A,B,C, vértices de un triángulo. Cuál(es de los siguientes triángulos es(son isósceles? I. A(-1,, B(4,1, C(4, II. A(,-, B(-,1, C(8, III. A(,, B(,5, C(-1, A Sólo I B Sólo I y II C Sólo I y III D Sólo II y III E I, II y III 6. En el ABC, los puntos medios de los lados AB, AC y BC son respectivamente (1,, (4, y (-,1. Hallar las coordenadas del vértice A. A (,6 B (0,4 C (8,- D (6,- 10 E Ninguna de ellas CEPECH Preuniversitario, Edición 006 5

6 Matemática 006 Tutorial 7. Sean los puntos A(,1, B(5,1, C(4,7. Determine la ecuación de la recta que es bisectriz del ACB. A y 1 = 0 B x = 4 C y = x - 1 D y + 1 = 0 E y = x Sea una circunferencia con centro en el origen y radio 6. Cuál de los siguientes pares ordenados no pertenece a la circunferencia? A (6,0 B (-, 4 C ( 5, 1 D (0,-6 E (-,-5 9. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la circunferencia cuya ecuación es: x + y + x + 4y = 15 y que pasa por el punto de tangencia (1,. A x y 5 = 0 B x y + 5 = 0 C x + y 5 = 0 D x + y + 5 = 0 E x y = Determine el valor de k para que la ecuación x + y + 5x 7y + k = 0 represente a una circunferencia de radio. A B 9 19 C 19 D 65 4 E 65 6 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

7 11. En una tienda comercial, por una compra de $ se regalan cuadernos, y si la compra es de $ se regalan 5 cuadernos. Si esta promoción tiene un comportamiento lineal, cuántos cuadernos se regalan si la compra es de $ ? A 4 cuadernos B 44 cuadernos C 45 cuadernos D 46 cuadernos E Ninguna de ellas Matemática En la sección de pastelería de un supermercado, el precio de costo de un pastel de selva negra es de $ 50 y lo venden en $ 570; el precio de costo de un pie de limón es de $ 1.60 y lo venden en $.90. Si el comportamiento del aumento de precio es lineal, cuál es el precio de venta de una tartaleta cuyo costo es de $ 1.500? A $.840 B $.850 C $.860 D $.870 E $ El valor de un auto nuevo es de $ , al final del quinto año su valor depreciado es de $ Sabiendo que la depreciación es lineal, determine en cuántos años, el auto estará totalmente depreciado, es decir, sin valor. A 8 años B 9 años C 10 años D 11 años E 1 años CEPECH Preuniversitario, Edición 006 7

8 Matemática 006 Tutorial 14. El costo del agua potable se obtiene mediante un costo fijo y otro proporcional a la cantidad de m gastados. Si un mes se pagó $ por 41 m, y al mes siguiente $ por 6 m. Si su comportamiento es lineal, cuál es, aproximadamente, el costo fijo cobrado? A $ 490 B $ 500 C $ 550 D $ 555 E $ Una casa nueva se compra en $ , al cabo de años, la casa vale $ Si el comportamiento es lineal, al cabo de cuánto tiempo, aproximadamente, la casa valdrá el doble del precio del que fue comprada? A 7 años B 8 años C 9 años D 1 años E años Respuestas Preg. Alternativa 1 E D A 4 D 5 A 6 E 7 B 8 E 9 C 10 C 11 B 1 D 1 E 14 A 15 C 8 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

9 Solucionario 1. La alternativa correcta es la letra E Solucionario Para que la recta 5x + (8 k y + = 0 sea paralela a la recta x 7y 4 = 0, sus pendientes deben ser iguales. x 7y 4 = 0 (Despejando y 7y = x 4 Matemática 006 y = 7 x m = 7 Luego, la pendiente de la recta 5x + (8 k y + = 0 debe ser 7, es decir, m = 7 5x + (8 k y + = 0 (Despejando y (8 k y = - 5x - y = k x k m = k (Reemplazando m 7 = k (Multiplicando cruzado (8 k = - 5 (Distribuyendo 4 k = - 5 (Despejando k k = 59 k = 59 Para que las rectas sean paralelas k debe ser 59. La alternativa correcta es la letra D Para que la recta (9 k x + y 6 = 0 sea perpendicular a la recta - x + y 1 = 0, el producto de sus pendientes debe ser x + y 1 = 0 (Despejando y y = x + 1 m = Luego, la pendiente de la recta (9 k x + y 6 = 0 debe ser -1, es decir, m = -1 CEPECH Preuniversitario, Edición 006 9

10 Matemática 006 Solucionario (9 k x + y 6 = 0 (Despejando y y = - (9 k x + 6 y = -(9 - k x + 6 m = -(9 - k -1 = -(9 - k (Reemplazando m (Multiplicando cruzado - = (k 9 (Distribuyendo - = k 7 (Despejando k k = 5 Para que las rectas sean perpendiculares k debe ser 5. La alternativa correcta es la letra A 5y = -5x (Despejando y y = -5x + 0 m = -5 (m,n pertenece a la recta que es perpendicular a: y = - 5x + 0 m = 1 5 y corta al eje y en y = n, es decir, en el punto (0,n Encontrando la ecuación de la recta dado un punto y la pendiente: y y 1 = m ( x x 1 y n = 1 5 y = 1 5 (x 0 (Despejando y x + n (Reemplazando x por m e y por n, ya que (m,n pertenece a la recta n = 1 5 m + n / 5 5n = m + 15n (Despejando m m = - 10n m = -10n 10 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

11 4. La alternativa correcta es la letra D A 10 y L 1 L C O 8 D 14 B x Matemática 006 L 1 : x + y 8 = 0 L : - x + y 10 = 0 Área ABC = AB CD Para determinar las coordenadas de C, encontraremos el punto de intersección de las rectas L 1 y L. x + y = 8 / (Eliminando x -x + y = 10 / 6x + 9y = 84-6x + 4y = 0 (Sumando ambas ecuaciones 1y = 104 (Despejando y, simplificando y = 8 Reemplazando y en -x + y = 10 -x + 8 = 10 (Multiplicando y despejando x x = Por lo tanto, C(,8 CD= 8 Para determinar OB, encontraremos el punto de intersección de L 1 con el eje x. x + y 8 = 0 (Despejando y y = - x + 8 y = - x + 8 (Reemplazando y por 0 0 = - x + 8 / 0 = - x + 8 (Despejando x x = 14 B(0,14 OB = 14 CEPECH Preuniversitario, Edición

12 Matemática 006 Solucionario Para determinar AO, encontraremos el punto de intersección de L con el eje x. - x + y 10 = 0 (Despejando y y = x + 10 y = x + 5 (Reemplazando y por 0 0 = x + 5 / 0 = x + 10 (Despejando x x = -10 A ( 0, -10 AO = 10 AB = OB + AO (Reemplazando OB y AO AB = (Sumando fracciones AB = 5 Área ABC = = AB CD 5 8 = 08 Área ABC = 08 1 (Reemplazando AB y CD (Simplificando y multiplicando 5. La alternativa correcta es la letra A Para determinar si el ABC es isósceles, dos lados deben ser iguales. AB = ( x x + ( y y 1 1 I. A(- 1,, B(4,1, C(4, (Aplicando la fórmula de la distancia AB = ( ( 1 (Resolviendo paréntesis 1 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

13 = ( 5 + ( 1 (Aplicando potencias y sumando AB = 6 BC = ( ( 1 (Resolviendo paréntesis = ( 0 + ( (Aplicando potencias y sumando BC = = 4 (Aplicando raíz AC = ( ( (Resolviendo paréntesis = ( 5 + ( 1 (Aplicando potencias y sumando AC = 6 AB = AC ABC isósceles Matemática 006 II. A(, -, B(-,1, C(8, (Aplicando la fórmula de la distancia AB = ( + ( 1+ = ( 5 + ( (Resolviendo paréntesis (Aplicando potencias y sumando AB = 4 BC = ( ( 1 (Resolviendo paréntesis = ( 11 + ( (Aplicando potencias y sumando = 15 (Descomponiendo la raíz BC = 5 5 AC = ( 8 + ( + (Resolviendo paréntesis = ( 6 + ( 5 (Aplicando potencias y sumando AC = 61 AB BC AC ABC no es isósceles CEPECH Preuniversitario, Edición 006 1

14 Matemática 006 Solucionario III. A(,, B(,5, C(-1, (Aplicando la fórmula de la distancia AB = ( + ( 5 (Resolviendo paréntesis = ( 0 + ( (Aplicando potencias y sumando = 9 (Aplicando raíz AB = BC = ( 1 + ( 5 (Resolviendo paréntesis = ( 4 + ( (Aplicando potencias y sumando = 5 (Aplicando raíz BC = 5 AC = ( 1 + ( = ( 4 + ( 0 (Resolviendo paréntesis (Aplicando potencias y sumando = 16 (Aplicando raíz AC = 4 AB BC AC ABC no es isósceles Sólo en I, ABC isósceles 6. La alternativa correcta es la letra E x + x y + y 1 1 Pto. medio =, Sean A(x 1, B(x,y, C(x,y Pto. Medio AB = (1, x 1 + x = 1 x 1 + x = y 1 + y = y 1 + y = 6 14 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

15 Pto. Medio AC = (4, Pto. Medio BC = (-,1 1 x 1 + x = x 1 + x = 8 x + x = -6 x 1 + x y 1 + y x + x y + y = 4 x 1 + x = 8 = y 1 + y = 4 = - x + x = - 6 = 1 y + y = Matemática 006 De y x 1 + x = 8 x + x = - 6 / - 1 x 1 + x = 8 -x - x = 6 4 x 1 x = 14 (Sumando ambas ecuaciones De 1 y 4 x 1 + x = (Sumando ambas ecuaciones x 1 x = 14 1 y 1 + y = 6 y 1 + y = 4 y + y = x 1 = 16 (Despejando x 1 x 1 = 8 De y y 1 + y = 4 y + y = / - 1 y 1 + y = 4 -y - y = - 4 y 1 y = (Sumando ambas ecuaciones De 1 y 4 y 1 + y = 4 (Sumando ambas ecuaciones y 1 y = y 1 = 6 (Despejando y 1 y 1 = A(x 1 A(8, CEPECH Preuniversitario, Edición

16 Matemática 006 Solucionario 7. La alternativa correcta es la letra B y 7 C 1 A D B 5 x d = ( x x + ( y y 1 1 AC = ( 4 + ( 7 1 (Resolviendo paréntesis = ( 1 + ( 6 (Aplicando potencias y sumando AC = 7 BC = ( ( 7 1 (Resolviendo paréntesis = ( 1 + ( 6 (Aplicando potencias y sumando BC = 7 AC = BC ABC isósceles de base transversal de gravedad AB si CD es bisectriz CD altura y D punto medio AD = 1 D(4,1 AB // Eje x m = 0 y la designaremos m = 0 Como CD AB m 1 m = - 1 (Reemplazando m m 1 0 = -1 m 1 no existe La ecuación de la recta que es bisectriz del ACB es x = 4 16 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

17 8. La alternativa correcta es la letra E Ecuación cartesiana de la circunferencia: ( x a + ( y b = r donde : Centro : ( a, b y r : radio Sea una circunferencia de centro (0,0 y radio 6 ( x a + ( y b = r (Reemplazando a, b y r x + y = 6 (Aplicando potencias x + y = 6 Matemática 006 Para que un punto pertenezca a la circunferencia, al reemplazar x e y en la ecuación se debe cumplir la igualdad. A (6,0 x + y = 6 (Reemplazando x e y (Aplicando potencias y sumando 6 (6,0 pertenece a la B (-,4 x + y = 6 (Reemplazando x e y (- + (4 (Aplicando potencias (Multiplicando y sumando 6 (-,4 pertenece a la C ( 5, 1 x + y = 6 (Reemplazando x e y ( 5 + ( 1 (Aplicando potencias (Sumando 6 ( 5, 1 pertenece a la D (0,- 6 x + y = 6 (Reemplazando x e y 0 + (- 6 (Aplicando potencias y sumando 6 (0,- 6 pertenece a la (-,- 5 no pertenece a la CEPECH Preuniversitario, Edición

18 Matemática 006 Solucionario 9. La alternativa correcta es la letra C Ecuación general de la circunferencia: x + y + Cx + Dy + F = 0 donde : C = - a, D = - b, F = a + b r Centro : (a,b y r : radio x + y + x + 4y = 15 x + y + x + 4y 15 = 0 C =, D = 4, F = - 15 (Expresando de la forma general C = - a (Reemplazando C = - a (Despejando a a = - 1 D = - b (Reemplazando D 4 = - b (Despejando b b = - Centro (- 1,- Debemos encontrar la ecuación de la recta tangente a la y que pasa por punto de tangencia (1,. Como debe ser tangente, entonces el producto de sus pendientes debe ser 1. Determinaremos la pendiente de la recta que pasa por los puntos (- 1,- y (1, m = y - y 1 x - x 1 (Reemplazando x 1,x,y m = - (- 1 - (-1 (Eliminando paréntesis y sumando 4 m = m = m = Determinaremos la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, y que tiene pendiente y y 1 = m ( x x 1 (Reemplazando m,x 1 y = -1 (x 1 / y 4 = - 1(x 1 (Eliminando paréntesis y 4 = - x + 1 (Expresando de la forma general y + x 4 1 = 0 (Sumando y + x 5 = 0 La ecuación de la recta tangente a la circunferencia y que pasa por el punto (1, es: y + x 5 = 0 18 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

19 10. La alternativa correcta es la letra C Ecuación general de la circunferencia: x + y + Cx + Dy + F = 0 donde : C = - a, D = - b, F = a + b r Centro : (a,b y r : radio x + y + 5x 7y + k = 0 radio: C = 5, D = -7, F = k Matemática 006 C = - a (Reemplazando C 5 = - a (Despejando a a = -5 D = - b (Reemplazando D - 7 = - b (Despejando b b = 7 F = a + b r k = ( -5 + ( 7 - (Reemplazando F,a,b,r (Aplicando potencias k = (Sumando fracciones k = (Sumando k = k = 8 4 (Simplificando k = 19 Para que la ecuación x + y + 5x 7y + k = 0 represente a una de radio, k = 19 CEPECH Preuniversitario, Edición

20 Matemática 006 Solucionario 11. La alternativa correcta es la letra B Como estamos en presencia de un comportamiento lineal, aplicaremos geometría analítica, es decir, utilizaremos y y 1 = m ( x x 1 Nuestros pares ordenados serán ($, cuadernos ($ 10000, ( 0000, 5 y m = - y 1 (Reemplazando x x - x 1,x,y m = (Restando m = y y 1 = m ( x x 1 (Reemplazando m,x 1 y = ( x (Distribuyendo y simplificando y = x (Despejando y y = x 1 Si la compra es de $ ,determinaremos a cuántos cuadernos equivale, (150000,y Sabemos que la ecuación que representa este comportamiento lineal es: y = x (Reemplazando x y = (Simplificando y = 45 1 y = 44 Si la compra es de $ se regalan 44 cuadernos. 0 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

21 1. La alternativa correcta es la letra D Como estamos en presencia de un comportamiento lineal, aplicaremos geometría analítica, es decir, utilizaremos y y 1 = m ( x x 1 Nuestros pares ordenados serán (precio costo, precio venta ( 50, 570 ( 160, 90 m = y - y 1 x - x 1 (Reemplazando x 1,x,y m = (Restando m = (Simplificando Matemática 006 m = y y 1 = m ( x x 1 (Reemplazando m,x 1 y 570 = ( x - 50 (Distribuyendo y 570 = x (Despejando y y = x 10 Si el precio de costo de una tartaleta es de $ 1500, determinaremos cuál es el precio de venta, (1500,y Sabemos que la ecuación que representa este comportamiento lineal es: y = x 10 (Reemplazando x y = (Multiplicando y restando y = 870 Si el precio de costo de una tartaleta es de $ 1.500, su precio de venta es de $ La alternativa correcta es la letra E Como estamos en presencia de un comportamiento lineal, aplicaremos geometría analítica, es decir, utilizaremos y y 1 = m (x x 1 Nuestros pares ordenados serán (años, $ (0, $ (5, $ CEPECH Preuniversitario, Edición 006 1

22 Matemática 006 Solucionario m = m = m = y - y 1 x - x 1 (Reemplazando x 1,x,y (Restando (Simplificando m = y y 1 = m (x x 1 (Reemplazando m, x 1, y 1 y = (x - 0 (Distribuyendo y = x (Despejando y y = x Determinaremos en cuántos años el auto estará totalmente depreciado, es decir, sin valor, entonces, y = 0. Sabemos que la ecuación que representa este comportamiento lineal es: y = x (Reemplazando y 0 = x (Despejando x x = x = El auto estará totalmente depreciado a los 1 años. 14. La alternativa correcta es la letra A (Simplificando Como estamos en presencia de un comportamiento lineal, aplicaremos geometría analítica, es decir, utilizaremos y y 1 = m ( x x 1 Nuestros pares ordenados serán (m, $ (41, (6, 1595 m = y - y 1 x - x 1 (Reemplazando x 1,x,y m = 6-41 (Restando m = (Simplificando CEPECH Preuniversitario, Edición 006

23 m = 414, y y 1 = m ( x x 1 (Reemplazando m,x 1 y = 414, ( x - 41 (Distribuyendo y = 414, x 1698, (Despejando y y = 414, x + 48,8 El costo fijo es aproximadamente $ 484, la alternativa que más se acerca es A 15. La alternativa correcta es la letra C Matemática 006 Como estamos en presencia de un comportamiento lineal, aplicaremos geometría analítica, es decir, utilizaremos y y 1 = m ( x x 1 Nuestros pares ordenados serán (años, $ (0, $ (, $ m = y - y 1 x - x 1 (Reemplazando x 1,x,y m = - 0 (Restando m = (Simplificando m = y y 1 = m ( x x 1 (Reemplazando m,x 1 y = ( x - 0 (Distribuyendo y = x (Despejando y y = x Si le costó $ , el doble es $ (x, Sabemos que la ecuación que representa este comportamiento lineal es: y = x (Reemplazando y = x (Despejando x x = (Simplificando x = 9,5 La casa valdrá el doble a los 9,4 años aproximadamente, la alternativa que más se acerca es C CEPECH Preuniversitario, Edición 006

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