ÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L

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1 ÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L JUNIO Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1, C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2, C3 + C2, 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A -1 en caso de que exista esa matriz. (Solución: 9, 1/9) 2. Se considera el sistema x + y + z = λ x + y + λz = 1. x + λy + z = 1 a) Discútase según los valores del parámetro λ. (1,5 puntos) b) Resuélvase para λ = 3. (0,75 puntos) c) Resuélvase para λ = 1. (0,75 puntos) (Solución: ) 1., 1 ) (1,1,1) ) (+1,,)) 3. Dada la matriz (Solución: SEPTIEMBRE B = hállese una matriz X que verifique la ecuación -1 XB+B=B ) 4. Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz Calcúlese el determinante de la matriz B. (Solución: 9) (1 punto) x + 2y + 3z = 1 5. Se considera el sistema de ecuaciones lineales x + ay + 3z = 2. 2x + ( 2 + a) y + 6z = 3 4 B = 3A. a) Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea incompatible? (1 punto) b) Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado? (1 punto) c) Resuélvase el sistema para a0. (1 punto) (Solución: ) 2, 2 ) ) 23,, ) Dadas las matrices P = y A = 0 1 0, hállese la matriz B sabiendo que P BP = A. (1 punto) (Solución: 1 1 2, 1 0 1)

2 JUNIO 2005 x + ay z = 2 7. a) Discútase el sistema 2x + y + az = 0, en función del valor de a. (2,25 puntos) 3x + ( a + 1) y z = a 1 b) Para el valor a = 1, hállese, si procede, la solución del sistema. (0,75 puntos) (Solución: ) 0, 0, ) (6, 10,2) ) 8. Sea A una matriz 2 2 de columnas C 1,C2 y determinante 4. Sea B otra matriz 2 2de determinante 2. Si C es la matriz de columnas C 1 + C2 y 3C 2, calcúlese el determinante de la matriz 1 B C. (Solución: 1/6) 9. Dadas las matrices XC A = 1 0 0, C = A = C A. (Solución: X I) (1 punto) (1 punto) 0 0, hállense las matrices X que satisfacen 2 SEPTIEMBRE 2005 a b Sea la matriz A =. Calcúlese el determinante de A sabiendo que A 2A + Id = 0, donde 0 c Id es la matriz identidad y 0 es la matriz nula. (1 punto) (Solución: 1 0 1) Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz (1 punto) 0 1 a (Solución: ()3, ()2) Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales++ ++ a) Discútase según los valores de k e interprétese geométricamente el resultado. (2,25 puntos) b) Resuélvase el sistema para k = 2. (0,75 puntos) (Solución: a) k -2 y k1 S.C.D (los tres planos se cortan en un punto), k -2 S.I (los tres planos se cortan dos a dos en una recta), k1 S.C.I (son el mismo plano) ),, ) Sea A =. Determínense los valores de m para los cuales A + mid no es invertible (donde 2 3 Id denota la matriz identidad). (Solución: 2 5) (1 punto)

3 JUNIO Hállense las matrices A cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad: 0 0 A = A. (Solución: x + 2y + z = Se considera el sistema de ecuaciones lineales (1 + a) y + z = 4. x + 2y + az = 4 a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. (2 puntos) b) Resuélvase el sistema para a2. (1 punto) (Solución: ) 1.., 1., 1. ) (0,1,1)) 16. Dadas las matrices 1 0 P = y sabiendo que BP = A. (1 punto) (Solución: ) SEPTIEMBRE A = 0 1 0, hállese razonadamente la matriz B Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es 1 (1 punto) (Solución: m 1 S.C.D., m1 S.C.I.) 18. Discútase, en función del parámetro real k, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Resuélvase el sistema cuando sea posible. 3+0 (Solución: k 0 y k 3 S.I., k 0 S.C.D. (0,0), k 3 S.C.D. (3, -3), k -3 S.C.D. (-3/5, -3/5)) Dada la matriz determínense los valores del número real a para los cuales existe la matriz inversa de P. (Solución: la matriz tiene inversa para cualquier valor de a) JUNIO Hallar para qué valores de a es invertible la matriz y calcular la inversa para 1 a 0. (1 punto) (Solución: /4 0 )

4 Sean las matrices 2, 2, 0 1 0, 2, a) Hallar la matriz AB t donde B t indica la matriz traspuesta de B. Es inversible? b) Hallar el rango de la matriz A t D c) Calcular que verifique ( +) /7 (Solución: a) ) (10) 1,) 1 ) Discutir en función de a el sistema + 1 (Solución: a 0 y a -1 S.C.D., a 0 S.C.I., a -1 S.I.) SEPTIEMBRE Se considera el sistema x + y + az = 4 ax + y z = 0, donde a es un parámetro real. 2x + 2y z = 2 a) Discutir el sistema en función del valor de a. (2 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1. (1 punto) (Solución: a) 1..., 1...,.. ) (2,,2)) Sean X una matriz 2 2, I la matriz identidad 2 2 y B =. Hallar X sabiendo que BX + B = B + I. (1 punto) (Solución: ) Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz (Solución: 4 1 ()3, 4 ()2, 1 ()2) JUNIO Sean las matrices Calcular la matriz A, sabiendo que A2 B y A 3 C. (Solución: )

5 Se considera el sistema +2 donde a es un parámetro real. +2 a) Discutir el sistema en función del valor de a. (1,5 puntos) b) Resolver el sistema para a 0. (0,5 puntos) c) Resolver el sistema para a 1. (1 punto) (Solución: a) a 1 S.C.I., a 1 S.I. b) S.I. c) (1-2t, 2-t, t)) Calcular el rango de la matriz (Solución: rango (A) 2) SEPTIEMBRE Sea a un parámetro real. Se considera el sistema (1) a) Discutir el sistema en función del valor de a. (2 puntos) b) Resolver el sistema para a 0. (0,5 puntos) c) Resolver el sistema para a 1. (0,5 puntos) (Sol: ) , 0..., 1.., ) (2,1,), ) (,2,)) 30. Sea A una matriz 3x3 de columnas C1, C2 y C3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C1 C2, 2C1 3C3 y C2 (en ese orden). Calcular el determinante de B en función del de A. (Solución: 3 ) 31. Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores de a: +0 (1 punto) 2+(1)0 (Solución: , 2..., 1...) JUNIO Sea A una matriz cuadrada tal que det(a) - 1 y det((-2) A) 32. Calcular el tamaño de la matriz A. (1 punto) (Solución: n 5) 33. Calcular la matriz X que verifica AX B B t, donde , siendo Bt la matriz transpuesta de B. (1 punto) (Solución: )

6 5 34. Sea el sistema de ecuaciones lineales: + Se pide: 23 a) Discutirlo en función del parámetro.(2 puntos) b) Resolverlo cuando sea compatible. (1 punto) (Solución: )...,.. ),, ) Resolver la ecuación +1 0 (Solución: x -1/3) +1 SEPTIEMBRE Resolver la ecuación 2 10 (Solución: x 1) a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones: (2,5 puntos) 3+25 b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las tres ecuaciones del sistema. (0,5 puntos) (Solución: 1...( ), 1...( ) Estudiar, en función del parámetro real, el rango de la matriz (Solución: 3, 1 2 () 3, 3,1,2 rango (A) 2) (1 punto) JUNIO a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3x3 que verifica que B 2 16 I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B. (1,5 puntos) b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación (Solución: a) 64 b) X ) Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: (1 punto)

7 a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a. (2 puntos) b) Resolver el sistema para a 1. (0,5 puntos) (Solución: a) , 0.., 5.. ) (1,0,0)) Dadas las matrices 0 1 0, a) Para qué valores de m existe B -1? Para m1, calcular B -1. (1,5 puntos) b) Para m 1, hallar la matriz X tal que X. B + C D. (1 punto) (Solución: a) 0, ) ) Discutir según los valores del parámetro, y resolver cuando sea posible, el sistema: +1 +(1)0 +(1)+ (Solución: ,, 1..., 2..) SEPTIEMBRE Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema: (2,5 puntos) (Solución:...,,..) a) Si se sabe que el determinante vale 5, calcular razonadamente y (1,5 puntos) b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2x2 para la cual se cumple que A -1 A t (A t traspuesta de la matriz A), puede ser el determinante de A igual a 3? (1 punto) (Solución: a) 30, -5 b) No, det (A) 1) 45. a) Sea A una matriz cuadrada tal que A 2-3A -2 I (siendo I la matriz identidad). Probar que A admite inversa y utilizar la igualdad dada para expresar A -1 en función de A. (1,5 puntos)

8 1 2 b) Sea 2 0 1la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Hallar razonadamente los 1 2 valores de m para los que el sistema es compatible determinado. (1 punto) (Solución: a) Existe A -1 porque , A -1 (3) b) m 9/4) Sean las matrices y a) Calcular A -1 (1 punto) b) Resolver la ecuación matricial AX + 2 AB B. (1,5 puntos) 1/3 2/3 0 4 (Solución: a) ) JUNIO a) Calcular el rango de la matriz (1,5 puntos) b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y el de B 2. (1 punto) (Solución: a) rango (A) 2 b) ) 48. Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del ++1 parámetro m: (2,5 puntos) (Solución: 1...,1,, 1... (,, )) SEPTIEMBRE a) Averiguar para qué valores de m la matriz 1 1 no tiene inversa. (0,5 puntos) 0 2 b) Calcula la matriz inversa de A para m 0. (1 punto) c) Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale 1 y que el determinante de la matriz 2 A vale 16 Cuál es el orden de la matriz A? (Solución: 2 1 ) 2 2 1, ) 4) 0 0 1

9 50. Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales +2 + (2,5 puntos) +2 (Solución: m 1 S.I., m 0 S.C.D., m 0 y m 1 S.I.) JUNIO (1)(+2) 51. Se considera el sistema de ecuaciones ++ (1) (+2) ++(1) (+2) a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. (1,5 puntos) b) Resolver el sistema para a 1. (0,5 puntos) c) Resolver el sistema para a -2. (0,5 puntos) (Sol: ) , 1..., 2... ) (,,) ) (,,)) 52. Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M 2-2M 3I, donde I denota la matriz identidad. a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M-1 en términos de M e I. (1,25 puntos) b) Hallar todas las matrices M de la forma que cumplen la ecuación M 2-2M 3I (1,25 puntos) (Solución: a) Existe A -1 porque , M -1 2 (2) b) 1 2 1, , 3, ) SEPTIEMBRE Se considera el sistema 2++0, donde a es un parámetro real. Se pide: ++1 a) Discutir el sistema en función del valor de a. (1,75 puntos) b) Hallar la solución del sistema para 1a, si procede. (0,75 puntos) (Solución: a) , 1..., 2.. b) (2,2+3,)) a) Determinar, en función del valor del parámetro real a, el rango de la matriz b) Sea C una matriz 2x2 de columnas C1 y C2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2x2 de determinante 2. Si D es la matriz de columnas 4C2 y C1 C2, calcular el determinante de la matriz BD -1. (1 punto) (Solución: 0 3 () 3, 0 3 rango (A) 2). (1,5puntos)