ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES

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1 ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES Ejercicio 1 Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial? (b) Resuelve la ecuación matricial dada para. Ejercicio 2 Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de para los que la matriz no tiene inversa. (b) Resuelve el sistema e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones. Ejercicio 3 Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada de orden 3 vale -2 Cuánto vale el determinante de la matriz? (b), para qué valores de la matriz no tiene inversa? Ejercicio 4 halla la matriz que cumple que Ejercicio 5 Determina los valores de para los que la matriz tiene inversa. (b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de para. Ejercicio 6 Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: El determinante de. (b) El determinante de (c) El determinante de. (d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 - C3, 2C3 y C2. Ejercicio 7 Considera la matriz donde es un número real. Para qué valores de x existe? Para los valores de x obtenidos, calcula la matriz. (b) Resuelve, si es posible, la ecuación. Ejercicio 8 Para qué valores de existe la matriz? (b) Siendo, calcula y resuelve el sistema. (c) Resuelve el sistema para. Ejercicio 9 Sabiendo que calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

2 (b) (c) Ejercicio 10 Sabiendo que la matriz tiene rango 2, cuál es el valor de? (b) Resuelve el sistema de ecuaciones Ejercicio 11 Sabiendo que y que ; calcula los siguientes determinantes: (b) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que. Calcula. (c) Sea C una matriz cuadrada tal que. >Puede ser? Razona la respuesta. Ejercicio 12 Se sabe que Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (b) (c) Ejercicio 13 Calcula,, y, siendo, y las matrices transpuestas de y, respectivamente. (b) Razona cuales de las matrices y tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa. Ejercicio 14 Tiene inversa? En caso afirmativo, calcúlala. (b) Determina la matriz X que cumple que, siendo la matriz transpuesta de. Ejercicio 15 Halla la matriz que cumple que siendo Ejercicio 16 Sea la matriz identidad de orden 3 y sea Determina el valor de b para el que. (b) Para b = 2 halla la matriz X que cumple que, donde denota la matriz transpuesta de. Ejercicio 17 Sea la matriz identidad de orden 2 y sea Halla los valores de para los que la matriz no tiene inversa. (b) Halla los valores de y para los que.

3 Ejercicio 18 Sabiendo que ; calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (b) (c) Ejercicio 19 Resuelve, siendo la matriz traspuesta de y Ejercicio 21 Considera, siendo a un número real. Calcula el valor de a para que (b) Calcula, en función de a, los determinantes de y, siendo la traspuesta de. (c) Existe algún valor de a para el que la matriz sea simétrica? Razona la respuesta. Ejercicio 22 Resuelve Ejercicio 23 Sea Determina los valores de para los que la matriz tiene inversa. (b) Para y siendo, resuelve Ejercicio 24 Sea y sea la matriz identidad de orden dos. Calcula los valores tales que. (b) Calcula. Ejercicio 25 Halla el valor de para el que la matriz no tiene inversa. (b) Resuelve para. Ejercicio 26 Halla, si existe, la matriz inversa de. (b) Calcula, si existen, los números reales Ejercicio 27 Sean la matriz identidad de orden 2 y e y que verifican: Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que, donde es la matriz nula de orden 2. (b) Para, halla la matriz tal que, donde denota la matriz traspuesta de. Ejercicio 28 Considera la matriz Determina la matriz. (b) Determina los valores de para los que la matriz tiene inversa. (c) Calcula para.

4 Ejercicio 29 Calcula la matriz inversa de (b) Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz hallada en el apartado anterior, Ejercicio 30 Determina los valores de para los que la matriz tiene inversa. (b) Para = 1, calcula y resuelve la ecuación matricial. Ejercicio 31 y Calcula el valor de para el que la matriz verifica la relación y determina para dicho valor de. (b) Si es una matriz cuadrada que verifica la relación, determina la expresión de en función de y de. Ejercicio 32 Sea A la matriz e la matriz identidad de orden 3. Calcula los valores de para los que el determinante de es cero. (b) Calcula la matriz inversa de A 2I para = 2. Ejercicio 33 Calcula la matriz que verifica ( es la matriz traspuesta de ). Ejercicio 34 Sea la matriz identidad de orden 3 y. Calcula, si existe, el valor de k para el cual es la matriz nula. Ejercicio 35 y Calcula, si existen, la matriz inversa de y la de. (b) Resuelve la ecuación matricial ; donde denota la matriz identidad de orden 3. Ejercicio 36 Estudia el rango de en función de los valores del parámetro. (b) Para, halla la matriz inversa de. Ejercicio 37 Sean y matrices que verifican. a) Si las matrices son cuadradas de orden 3 y se sabe que el determinante de es 3, el de es -1 y el de es 6, calcule el determinante de las matrices y. b) Si. Calcule la matriz. Ejercicio 38 Determina la matriz que verifica. Ejercicio 39 Sean F1, F2, F3, las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices: El determinante de. (b) El determinante de ( es la matriz traspuesta de ). (c) El determinante de. (d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F1 - F3, 3F3, F2.

5 Ejercicio 40 Calcula, si existe, la inversa de la matriz. (b) Calcula las matrices e que satisfacen las ecuaciones matriciales y. Ejercicio 41 Se consideran las matrices y, donde es una constante e la matriz identidad de orden 2.. Determina los valores de para los cuales la matriz no tiene inversa. (b) Calcula para. (c) Determina las constantes y para las que se cumple Ejercicio 42 Indica los valores de para los que A es invertible. (b) Resuelve la ecuación matricial para. ( es la matriz traspuesta de ). Ejercicio 43 Sea la matriz Comprueba que se verifica. (b) Calcula. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado ). Ejercicio 44 Determina los valores de para los que tiene inversa. (b) Calcula la inversa de A para = 1. (c) Resuelve, para, el sistema de ecuaciones. Ejercicio 45 Calcula la matriz que cumpla la ecuación. Ejercicio 46 Considera las siguientes matrices Calcula. (b) Resuelve la ecuación matricial, donde I es la matriz identidad de orden 2 y es la matriz traspuesta de. Ejercicio 47 Obtén un vector no nulo, de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2. Ejercicio 48 De la matriz se sabe que. Se pide: Halla y. Indica las propiedades que utilizas. (b) Calcula (c) Si B es una matriz cuadrada tal que Ejercicio 49, siendo la matriz identidad, halla Determina los valores de para los que la matriz no tiene inversa. (b) Para = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo la matriz identidad de orden 2.

6 Ejercicio 50 Sean y dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son y. Halla: (b) (c) (d), siendo la matriz traspuesta de. (e) El rango de Ejercicio 51 Demuestra que se verifica la igualdad siendo la matriz identidad de orden 3. (b) Justifica que es invertible y halla su inversa. (c) Calcula razonadamente. Ejercicio 52 Hay algún valor de para el que no tiene inversa? (b) Para, resuelve la ecuación matricial. Ejercicio 53 Calcula el rango de según los diferentes valores de. (b) Razona para qué valores de el sistema homogéneo tiene más de una solución. Ejercicio 54 Calcula el rango de dependiendo de los valores de (b) Para, resuelve la ecuación matricial. Ejercicio 55 Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es (b) Para, determina la matriz que verifica la ecuación, siendo la matriz traspuesta de. Ejercicio 56 Sean y dos matrices que verifican: Halla las matrices y. (b) Resuelve la ecuación matricial, siendo la matriz identidad de orden 2 y la matriz traspuesta de. Ejercicio 57 Sea la matriz Determina los valores de para los que la matriz tiene inversa, siendo la matriz identidad de orden 3. (b) Para, resuelve la ecuación matricial. Ejercicio 58 Demuestra que y que, siendo I la matriz identidad de orden 2. (b) Calcula la matriz X que verifica la ecuación.

7 Ejercicio 59 Determina, si existe, la matriz que verifica, siendo la matriz traspuesta de C. Ejercicio 60 Encuentra la matriz X que satisface la ecuación, siendo Ejercicio 61, sea la matriz que verifica que Comprueba que las matrices y poseen inversas. (b) Resuelve la ecuación matricial. Ejercicio 62 Sea la matriz Para qué valores del parámetro no existe la inversa de la matriz? Justifica la respuesta. (b) Para, resuelve la ecuación matricial, donde denota la matriz identidad y la matriz traspuesta de. Ejercicio 63 Halla. (b) Calcula la matriz que satisface ( es la matriz traspuesta de ). (c) Halla el determinante de. Ejercicio 64 Sabiendo que el determinante de una matriz es 4, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas: y (b) Ejercicio 65 Sea una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es. Calcula: El rango de. (b) El determinante de ( es la matriz traspuesta de ). (c) El determinante de. (d) El determinante de, donde es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de. Ejercicio 66 Sea Determina los valores de para los que los vectores fila de son linealmente independientes. (b) Estudia el rango de según los valores de. (c) Para, calcula la inversa de Ejercicio 67 Sea Comprueba que y calcula. (b) Calcula y su inversa. Ejercicio 68 Sean y las matrices Calcula las matrices e para las que y. (b) Halla la matriz que verifica ( denota la matriz identidad y la matriz traspuesta de ).

8 Ejercicio 69 Calcula e tales que y ( es la matriz traspuesta de ). (b) Calcula tal que. Ejercicio 70 a) Halla, si es posible, y. b) Halla el determinante de siendo At la matriz traspuesta de. c) Calcula la matriz que satisface.