PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción A Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio 3, Opción B Reserva 4, Ejercicio 3, Opción A Septiembre, Ejercicio 3, Opción A Septiembre, Ejercicio 3, Opción B

2 Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 0 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. a) Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?. b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A a) No es posible ya que el sistema resultante resulta ser incompatible. En efecto: x y z x 0y 50z x 3z tiene solución. No b) x y z x 0y 50z x z x 80 ; y 10 ; z 40

3 1 1 1 Considera la matriz A m m m m m m a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3. x 1 b) Estudia si el sistema A y 1 tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos z 1 en el apartado anterior. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B a) Calculamos el determinante de la matriz A y lo igualamos a cero m m m m m m m m m m m ( 1) 0 0 ; 1 Luego, para m 0 y m 1 el rango de A es menor que 3. b) Hacemos la discusión del sistema Luego, el sistema tiene solución para m 1 R(A) R(M) m 0 1 S.Incompatible m S.Compatible Indeterminado La solución para m 1, es: x 1 y z x y z 1 y y z z

4 x y z 0 Dado el sistema de ecuaciones lineales: x y z 0 x 5y z 1 a) Clasifícalo según los valores del parámetro. b) Resuelve el sistema para 1. MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN A. a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero A = ; A continuación, calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión: R(A) R(M) 3 3 S. Incompatible 1 S. Compatible Indeterminado 1 y S. Compatible Determinado b) Vamos a resolverlo para z x 3 x y z 0 z 1 y x y z 0 3 z z

5 Dado el siguiente sistema de ecuaciones x y 1 ky z 0 x ( k 1) y kz k 1 a) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. b) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero A = k 1 k k 0 k 0 ; k 1 1 k1 k A continuación, calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión: R(A) R(M) k 1 3 S. Incompatible k 0 S. Compatible Indeterminado k 0 y1 3 3 S. Compatible Determinado b) Vamos a resolverlo, sabiendo que z : x y 1 ky 0 x ( k 1) y k k 1 Para que el sistema tenga solución, el determinante de la matriz ampliada debe valer cero, luego: k 0 k 0 ; k 1 k1 1k Como en el apartado a) hemos visto que para k 0 el sistema era incompatible, sólo nos queda como solución posible que k

6 Halla los valores del parámetro m que hacen compatible el sistema de ecuaciones: x y z x y z m x 3 y z m MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes A = El rango de la matriz de los coeficientes es, luego, para que el sistema tenga solución el rango de la matriz ampliada también debe ser. 1 1 m 5m 5m 10 0 m 1 ; m 1 3 m

7 a) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución: x y z mx x y z my x y 4z mz b) Resuelve el sistema anterior para el caso m 0 y para el caso m 1. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 3.OPCIÓN A. a) Lo primero que hacemos es ordenar el sistema. x y z mx ( m) x y z 0 x y z my x ( m) y z 0 x y 4z mz x y (4 m) z 0 Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero A = m m 1 m 8m 16m 9 0 m 1 ; m 1 4 m Luego, este sistema homogéneo tiene más de una solución para los valores 7 13 m 1 y m b) Vamos a resolverlo Caso1: m 0 Sistema Compatible Determinado, sólo tiene la solución trivial x y z 0 Caso: m 1 Sistema Compatible Indeterminado x z x y z 0 x y z y z x y 3z 0 x y 3z z z

8 x y z a 1 Considera el siguiente sistema de ecuaciones: x y az a x ay z 1 a) Discútelo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en el caso a. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3.OPCIÓN A. a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero A = a a 3a 0 a 1 ; a 1 a 1 A continuación, calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión: R(A) R(M) a 1 3 S. Incompatible a S. Compatible Indeterminado a 1 y 3 3 S. Compatible Determinado b) Vamos a resolverlo para x1z x y 1 z a y 0 x y z z z

9 Sabemos que el sistema de ecuaciones: x y 3 z 1 x y z tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación ax y 7z 7 a) Determina el valor de a. b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3.OPCIÓN B. a) El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema formado con las tres ecuaciones debe valer cero, para que el rango de la matriz de los coeficientes sea, luego: A = a 40 0 a 8 a 1 7 Debemos comprobar que para este valor de a, el rango de la matriz ampliada del sistema tambien es. b) Vamos a resolver el sistema 4 5z x 5 x y 1 3z 3 5z y x y z 5 z z Como la suma de las incógnitas tiene que valer 1, tenemos: 6 x 5 4 5z 3 5z 1 x y z 1 z 1 z y z 5