Cambio de representaciones para variedades lineales.

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1 Cambio de representaciones para variedades lineales 18 de marzo de 2015 ALN IS 5 Una variedad lineal en R n admite dos tipos de representaciones: por un sistema de ecuaciones implícitas por una familia de generadores (o, equivalentemente, por medio de una parametrización) A continuación explicamos con ejemplos como sacar información de estas descripciones, y pasar de cada una a la otra Una variedad lineal definida por generadores Consideramos la familia de vectores de R 5 : u 1 = (2, 1, 0, 0, 1), u 2 = (1, 1, 1, 0, 1), u 3 = (3, 0, 1, 0, 2), Sea L la variedad lineal que generan: u 4 = (1, 0, 1, 1, 1), u 5 = ( 1, 1, 1, 1, 0) L = L u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 Por definición, esto significa que L es el conjunto de los vectores v = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) que cumplen la condición: Existen t 1, t 2, t 3, t 4, t 5 en R tal que v = t 1 u 1 + t 2 u 2 + t 3 u 3 + t 4 u 4 + t 5 u 5, y por tanto esta descripción por generadores es directamente interpretable como una parametrización Sea M = [u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ], la matriz cuyas columnas son los vectores u i, escritos verticalmente Por tanto, M = Si escalonamos por filas la matriz M, obtenemos la matriz U = Contando los pivotes, vemos que el rango de U (por definición, igual al rango de M) es 3 Qué información sacamos de este calculo?

2 variedades lineales 2 Los vectores u i son linealmente dependientes Sea T = t 1 t 2 t 3 t 4 Las soluciones de MT = 0 son los coeficientes de las relaciones lineales entre los vectores u i Los sistemas MX = 0 y UT = 0 son equivalentes (tienen las mismas soluciones) Por tanto las soluciones de UT = 0 son también los coeficientes de las relaciones lineales entre los vectores u i Vemos que U es escalonada, el sistema UX = 0 tiene 3 variables pivotes (son t 1, t 2 y t 4 ) y dos parámetros (son t 3 y t 5 ) Por tanto el sistema no es determinado (hay otras soluciones que la solución (0, 0, 0, 0, 0)) Esto significa que hay relaciones (otras que la relación trivial) entre los u i Los u i son linealmente dependientes t 5 Podemos extraer una base de L formada de algunos vectores u i Las columnas de los pivotes son 1, 2 y 4: esto significa que u 1, u 2 y u 4 forman una base de L En efecto, eligiendo en el sistema UT = 0 los valores de los parámetros t 3 = 1 y t 5 = 0, obtenemos una relación lineal del tipo t 1 u 1 + t 2 u 2 + u 3 + t 4 u 4 = 0, que permite expresar u 3 como combinación lineal de u 1, u 2 y u 4 Similarmente, al elegir t 3 = 0 y t 5 = 1, podemos expresar u 5 como combinación lineal de los mismos tres vectores Por tanto u 1, u 2 y u 4 generan L Además, son linealmente independientes (ya que para UT = 0, si t 3 = t 5 = 0, entonces se tiene también t 1 = t 2 = t 4 = 0) Como el rango de M es 3, la dimensión de L es 3 En efecto, hemos encontrado una base de tres elementos para L, por tanto la dimensión de L es 3 Es un resultado importante (que se puede utilizar sin justificar cada vez): Teorema 1 La dimensión del subespacio generado por los vectores representados por las columnas de una matriz es el rango de la matriz Ecuaciones implícitas para L Con algún cálculo más obtenemos ecuaciones implícitas para L Para esto, consideramos un vector indeterminado v = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) y buscamos la condición para que v sea combinación lineal de u 1, u 2, u 3, u 4 y u 5 La formula v = t 1 u 1 + t 2 u 2 + t 3 u 3 + t 4 u 4 + t 5 u 5 se escribe con matrices como: X = MT

3 variedades lineales 3 Por tanto, cada una de las proposiciones que vienen es equivalente a la siguiente: v es combinación lineal de los vectores u i Existen t 1, t 2, t 3, t 4, t 5 tal que v = t 1 u 1 + t 2 u 2 + t 3 u 3 + t 4 u 4 + t 5 u 5 El sistema MT = X, de incógnitas las coordenadas de T, es compatible Para comprobar la compatibilidad del sistema, montamos la matriz ampliada N = (M X) del sistema y aplicamos el método de Gauss Al escalonar (sin buscar pivote en la ultima columna, obtenemos: x x 2 V = x 2 + x x x 3 + x x x 3 + x 5 Las dos ultimas filas corresponden a ecuaciones que no involucran las variables t i del sistema, del tipo 0 = 0 o 0 = 1 El sistema es compatible si y solo si son del tipo 0 = 0 Para esto es necesario y suficiente que { x x 3 + x 4 = x x 3 + x 5 = 0 Es un sistema de ecuaciones implícitas para L Para hacer esto con SAGE, es más simple representar el sistema MT = X por la matriz ampliada (M I) (con I la matriz ampliada) y aplicar el método de Gauss a esta matriz ampliada Obtenemos una matriz escalonada (U J) que representa el sistema UT = JX, equivalente a MT = X Concretamente, en este ejemplo, formamos la matriz ampliada con: En este ejemplo: N = Maugment(identity_matrix(QQ, 5)) Es (M I) = Después de escalonar obtenemos: (U J) = Las ecuaciones implícitas aparecen en las dos ultimas filas de la parte de la derecha No son exactamente las mismas que las ecuaciones obtenidas a mano pero forman un sistema equivalente

4 variedades lineales 4 En resumen Dada una variedad lineal en R n definida por una familia de generadores, montamos la matriz M de la familia de vectores Escalonamos la matriz por filas por el método de Gauss Entonces: Podemos leer en la matriz escalonada el rango de M (es el número de pivotes en la matriz escalonada) Este rango es la dimensión de L Considerando las posiciones de los pivotes, sabemos como elegir vectores para obtener una base Al aplicar las mismas operaciones a la matriz ampliada (M X) (o con SAGE a la matriz ampliada (M I)) obtenemos las ecuaciones implícitas de L como condiciones de compatibilidad del sistema MT = X A partir de un sistema de ecuaciones implícitas Consideramos la variedad lineal L en R 5 definida por el sistema de ecuaciones: Sea 2 x 2 +3 x 3 +4 x 4 = x 2 +x 3 +x 5 = 0 22x 3 +4x 4 x 5 = A = , X = Entonces A es la matriz de los coeficientes del sistema, y el sistema se escribe: AX = 0 Al aplicar el método de Gauss obtenemos la matriz escalonada por filas: Veamos la información que sacamos de este cálculo x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 La dimensión de L Vemos en la matriz que hay dos pivotes: en las columnas 1 y 2 Esto significa que las variables x 1 y x 2 son variables pivotes, y las otras tres variables x 3, x 4 y x 5 son parámetros De esto deducimos que L es de dimensión 3 (es el numero de parámetros, ojo: no es el rango de A)

5 variedades lineales 5 Con algún calculo más: base y parametrización de L Obtendremos una base de L resolviendo completamente el sistema A partir de ahora, siguiendo la reducción de Gauss Jordan, obtenemos Esta matriz es la matriz de coeficientes del sistema homogéneo: { x 1 x 3 2x x 5 = 0 0 x 2 +2x 3 +3x x 5 = 0 Introduciendo nuevas letras t i para los parámetros, obtenemos que este sistema es equivalente a: x 1 = t 1 +2t t 3 x 2 = 2t 1 3t t 3 Existen t 1, t 2, t 3 en R tal que x 3 = t 1 x 4 = t 2 x 5 = t 3 Es una parametrización de L En forma matricial este sistema se escribe: t 1 X = T, con T = t t y en termino de descomposiciones en vectores: (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = t 1 (1, 2, 1, 0, 0) + t 2 (2, 3, 0, 1, 0) + t 3 ( 5 2, 5 4, 0, 0, 1 ) Esto nos dice que los tres vectores v 1 = (1, 2, 1, 0, 0), v 2 = (2, 3, 0, 1, 0) y v 3 = ( 2 5, 5 4, 0, 0, 1) forman una familia generadora de L Es fácil comprobar que es una base, y siempre lo será la familia generadora obtenida por este procedimiento de resolver el sistema En resumen Dada una variedad L definida por un sistema de ecuaciones AX = 0, 1 Después de escalonar la matriz A, podemos contar las variables pivotes y los parámetros La dimensión de L es el número de parámetros 2 Después de aplicar el método de Gauss Jordan, (o seguir Gauss por sustitución), expresamos las variables pivotes en función de los parámetros Introduciendo nuevas letras para los parámetros, obtenemos una parametrización de L En esta parametrización leemos directamente una base de L