Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Transcripción

1 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierías Facultad de Ingeniería, Mecánica, Eléctrica y Electrónica Trimestre Invierno 2008, 10 de enero de 2008

2 Contenido 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Resumen 2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Resumen 3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

4 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Propiedades de la línea recta y y (x 2, y 2 ) x (x 1, y 1 ) x La línea recta Algunos hechos fundamentales sobre la línea recta son: Propiedad: La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) está dada por: m = y 2 y 1 x 2 x 1 = y x si x 1 x 2

5 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Propiedades de la línea recta y La línea recta Algunos hechos fundamentales sobre la línea recta son: y x = 0 (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) x Propiedad: Si x 2 x 1 = 0 y y 2 y 1, entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefinida

6 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Propiedades de la línea recta y b m = y x y = mx + b x La línea recta Algunos hechos fundamentales sobre la línea recta son: Propiedad: Cualquier recta (excepto una con pendiente indefinida) se puede describir escribiendo su ecuación en la forma pendiente-ordenada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada

7 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Propiedades de la línea recta y b 2 b 1 y = mx + b L 2 : m 2 La línea recta Algunos hechos fundamentales sobre la línea recta son: Propiedad: Dos rectas distintas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente L 1 : m 1 x

8 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Propiedades de la línea recta y La línea recta Algunos hechos fundamentales sobre la línea recta son: m = a b ax + by = c x Propiedad: Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax + by = c (b 0), entonces, se puede calcular fácilmente la pendiente de la recta como, m = a b

9 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Propiedades de la línea recta y La línea recta Algunos hechos fundamentales sobre la línea recta son: m 2 = 1 m 1 L 1 : m 1 L 2 : m 2 x Propiedad: Si m 1 es la pendiente de la recta L 1, y m 2 es la pendiente de la recta L 2, m 1 0 y L 1 y L 2 son perpendiculares, entonces m 2 = 1 m 1

10 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Propiedades de la línea recta y La línea recta Algunos hechos fundamentales sobre la línea recta son: L : m = 0 Propiedad: Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente de cero x

11 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Propiedades de la línea recta y La línea recta Algunos hechos fundamentales sobre la línea recta son: L : m indefinida Propiedad: Las rectas paralelas al eje de las y tienen una pendiente indefinida x

12 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistema de ecuaciones Consideremos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 Un sistema con una solución única Considere el sistema Solución x y = 7 x + y = Sumando ambas ecuaciones y después restándolas, obtenemos: x = 6 y = 1

13 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistema de ecuaciones Consideremos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 Un sistema con un número infinito de soluciones Considere el sistema Solución x y = 7 2x 2y = 14 Para este sistema podemos observar que 2(x y = 7), por lo tanto la solución es de la forma: y = x 7

14 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistema de ecuaciones Consideremos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 Un sistema sin solución Considere el sistema Solución x y = 7 2x 2y = 13 En este caso tenemos 2(x y = 13 2 ), por lo tanto las rectas son paralelas y diferentes

15 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Representación matricial de sistemas lineales La matriz de coeficientes, A es: A = Definición Una Matriz es un arreglo rectangular de números Por ejemplo, para el sistema de ecuaciones lineales: 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + 1x 2 2x 3 = 4

16 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Representación matricial de sistemas lineales La matriz aumentada del sistema es: Definición Una Matriz es un arreglo rectangular de números Por ejemplo, para el sistema de ecuaciones lineales: 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + 1x 2 2x 3 = 4

17 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Operaciones elementales en una matriz: Operaciones elementales con renglones 1 Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero 2 Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón 3 Intercambiar dos renglones Ejemplo: R R

18 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Operaciones elementales en una matriz: Operaciones elementales con renglones 1 Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero 2 Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón 3 Intercambiar dos renglones Ejemplo: R 2 R 2 2R

19 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Operaciones elementales en una matriz: Operaciones elementales con renglones 1 Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero 2 Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón 3 Intercambiar dos renglones Ejemplo: R 1 R

20 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Reducción de Gauss Ejemplo 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + 1x 2 2x 3 = Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote 2 Se calcula R i (1/c i )R i 3 Se calcula R j R j c j R i 4 Se repite para todos los elementos del pivote

21 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Reducción de Gauss Ejemplo 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + 1x 2 2x 3 = 4 Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote 2 Se calcula R i (1/c i )R i 3 Se calcula R j R j c j R i 4 Se repite para todos los elementos del pivote R R

22 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Reducción de Gauss Ejemplo 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + 1x 2 2x 3 = 4 Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote 2 Se calcula R i (1/c i )R i 3 Se calcula R j R j c j R i 4 Se repite para todos los elementos del pivote R 2 R 2 4R 1 R 3 R 3 3R

24 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Reducción de Gauss Ejemplo 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + 1x 2 2x 3 = 4 Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote 2 Se calcula R i (1/c i )R i R 3 R 3 + R Se calcula R j R j c j R i 4 Se repite para todos los elementos del pivote

26 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Reducción de Gauss Ejemplo 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + 1x 2 2x 3 = 4 Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote 2 Se calcula R i (1/c i )R i 3 Se calcula R j R j c j R i 4 Se repite para todos los elementos del pivote x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 1x 2 + 2x 3 = 4 1x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = 9 2x 2 3x 3 4 2x 3 3

27 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Reducción de Gauss-Jordan Ejemplo 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + 7x x 3 = Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote 2 Se calcula R i (1/c i )R i 3 Se calcula R j R j c j R i 4 Se repite para todos los elementos del pivote

28 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Reducción de Gauss-Jordan Ejemplo 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + 7x x 3 = 30 Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote 2 Se calcula R i (1/c i )R i 3 Se calcula R j R j c j R i 4 Se repite para todos los elementos del pivote R R

29 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Reducción de Gauss-Jordan Ejemplo 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + 7x x 3 = 30 Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote 2 Se calcula R i (1/c i )R i 3 Se calcula R j R j c j R i 4 Se repite para todos los elementos del pivote R 2 R 2 4R 1 R 3 R 3 2R

30 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Reducción de Gauss-Jordan Ejemplo 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + 7x x 3 = 30 Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote 2 Se calcula R i (1/c i )R i 3 Se calcula R j R j c j R i 4 Se repite para todos los elementos del pivote R R

31 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Reducción de Gauss-Jordan Ejemplo 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + 7x x 3 = 30 Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote 2 Se calcula R i (1/c i )R i 3 Se calcula R j R j c j R i 4 Se repite para todos los elementos del pivote R 1 R 1 2R 2 R 3 R 3 3R

32 Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Reducción de Gauss-Jordan Ejemplo 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + 7x x 3 = 30 Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote 2 Se calcula R i (1/c i )R i 3 Se calcula R j R j c j R i 4 Se repite para todos los elementos del pivote x 1 x 3 = 1 1x 2 + 2x 3 = 4 x 1 x 2 = 1 + x 3 4 2x 3 x 3 x 3

33 Resumen Resumen Teorema El sistema a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 Tiene una solución única si y sólo si a 11 a 22 a 12 a 21 0 No tiene solución o tiene un número infinito de soluciones si y sólo si a 11 a 22 a 12 a 21 = 0

34 Resumen Resumen Reducción de Gauss & Gauss-Jordan En la eliminación Gaussiana se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones, se despeja el valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás para las demás incógnitas En la eliminación de Gauss-Jordan se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida por renglones usando el procedimiento descrito

35 Resumen Resumen Problemas - Tarea 1 Pruebe que la distancia entre un punto (x 1, y 1 ) y la recta ax + by = c está dada por: d = ax 1+by 1 +c a 2 +b 2 2 Encuentre la distancia entre la recta 2x y = 6 y el punto de intersección de las rectas 2x 3y = 1 y 3x + 6y = 12

36 Resumen Resumen Problemas - Tarea - Reducción de Gauss-Jordan 1 Para qué valor de k tendrá soluciones no triviales el siguiente sistema?: 1x + 1y + 1z = 0 2x + 3y + 4z = 0 3x + 4y + kz = 0 2 Comprueba el resultado aplicando la reducción de Gauss-Jordan

38 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Definiciones y operaciones básicas Vector renglón de n componentes Se define a un vector renglón de n componentes como un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera: ( x1 x 2 x n ) Ejemplo: -vector renglón x = ( )

39 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Definiciones y operaciones básicas Vector columna de n componentes Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera: x 1 x 2 x n Ejemplo: 3-vector columna u = 1 1 0

40 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Definiciones y operaciones básicas Espacio vectorial R n Se usa el símbolo R n para denotar al conjunto de todos los n-vectores: a 1 a 2 cada a i es un número real a n

41 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Definiciones y operaciones básicas Matriz Una matriz A de m n es un arreglo rectangular de mn números agrupados en m renglones y n columnas A = a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn

42 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Suma y multiplicación de matrices Suma de matrices Consideremos A = (a ij ) y B = (b ij ) dos matrices m n Entonces la suma de A y B es una matriz m n, A + B dada por: A + B = a ij + b ij a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n = a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn Es decir, A + B es una matriz de m n que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A y B

43 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Suma y multiplicación de matrices Multiplicación de una matriz por un escalar Si A = (a ij ) es una matriz m n y si α es un escalar, entonces la matriz m n, αa, está dada por: αa = (αa ij ) αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n = αa m1 αa m2 αa mn Es decir, αa = (αa ij ) es una matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por α

44 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Suma y multiplicación de matrices Teorema Sean A, B y C tres matrices de m n y sean α y β dos escalares Entonces: 1 A + 0 = A 2 0A = 0 3 A + B = B + A (ley conmutativa) 4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa) α(a + B) = αa + αb (ley distributiva para escalares) 6 1A = A 7 (α + β)a = αa + βa

51 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Producto escalar Definición: Producto escalar a 1 b 1 a 2 Sean a = y b = b 2 a n b n dos vectores Entonces el producto escalar de a y b, representado por a b, está definido como: a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n Para poder realizar el producto escalar de a y b es necesario que a y b tengan el mismo número de componentes

52 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Producto escalar Teorema Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar Entonces: 1 a 0 = 0 2 a b = b a (ley conmutativa) 3 a (b + c) = a b + a c (ley distributiva) 4 (αa) b = α(a b)

56 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Producto de dos matrices Definición: Sea A = (a ij ) una matriz m n, y sea B = (b ij ) una matriz de n p Entonces el producto de A y B es una matriz de m p, C = (c ij ), en donde: c ij = (renglón i de A) (columna j de B) Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglón i de A y la columna j de B Si esto se extiende, se obtiene: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B, entonces se dice que A y B son compatibles bajo la multiplicación

57 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Producto de dos matrices Ejemplificación de la multiplicación matricial (c ij ) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a i1 a i2 a in a m1 a m2 a mn b 11 b 12 b 1j b 1p b 21 b 22 b 2j b 2p b n1 b n2 b nj b np

58 Resumen Resumen La notación Σ El producto escalar y la multiplicación de dos matrices puede ser expresada de la siguiente forma: Producto escalar a b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n n = a i b i i=1 Multiplicación de dos matrices c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj n = a ik b kj k=1

59 Resumen Resumen Problemas - Tarea 1 Sean a 11, a 12, a 21 y a 22 números reales dados tales que a 11 a 22 a( 12 a 21 0 Encuentre ) ( los números ) ( b 11, b) 12, b 21 y b 22 a11 a tales que 12 b11 b = a 21 a 22 b 21 b Calcule A 2 si A = ( ) 3 Se dice que dos vectores a y b son ortogonales si a b = 0 Determine todos los números α y β tales que los vectores 1 4 α 2 y 2β sean ortogonales 3 7

61 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales Sistema de m ecuaciones y n incógnitas Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m La matriz de coeficientes es: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn

62 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales Sistema de m ecuaciones y n incógnitas Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Los vectores x y b son: x = x 1 x 2 x n b = b 1 b 2 b m

63 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales Sistema de m ecuaciones y n incógnitas Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Representación matricial de un sistema de ecuaciones: Ax = b Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si: Ax = 0

64 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales Sistema de m ecuaciones y n incógnitas Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Ejemplo: 1x 1 + 4x 2 2x 3 = 10 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 8 3x 1 + 1x 2 2x 3 = 4 A =

65 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales Sistema de m ecuaciones y n incógnitas Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Ejemplo (continuación): 1x 1 + 4x 2 2x 3 = 10 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 8 3x 1 + 1x 2 2x 3 = 4 x = x 1 x 2 x 3, b =

66 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo Ejemplo: 1x 1 + 1x 2 1x 3 = 7 4x 1 1x 2 + x 3 = 4 6x 1 + 1x 2 + 3x 3 = 18 La representación de la matriz aumentada de Ax = b es:

67 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo Ejemplo: 1x 1 + 1x 2 1x 3 = 7 4x 1 1x 2 + x 3 = 4 6x 1 + 1x 2 + 3x 3 = 18 Reduciendo la matriz aumentada a la forma escalonada, tenemos: R 2 R 2 4R 1 R 3 R 3 6R

68 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo Ejemplo: 1x 1 + 1x 2 1x 3 = 7 4x 1 1x 2 + x 3 = 4 6x 1 + 1x 2 + 3x 3 = 18 Reduciendo la matriz aumentada a la forma escalonada, tenemos (continuación): R 2 R

69 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo Ejemplo: 1x 1 + 1x 2 1x 3 = 7 4x 1 1x 2 + x 3 = 4 6x 1 + 1x 2 + 3x 3 = 18 Reduciendo la matriz aumentada a la forma escalonada, tenemos (continuación): R 1 R 1 R 2 R 3 R 3 + R

70 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo Ejemplo: 1x 1 + 1x 2 1x 3 = 7 4x 1 1x 2 + x 3 = 4 6x 1 + 1x 2 + 3x 3 = 18 La reducción queda como: La solución sería: x 1 x 2 x 3 = 11 4 x x 3 x 3

71 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo Ejemplo: 1x 1 + 1x 2 1x 3 = 7 4x 1 1x 2 + x 3 = 4 6x 1 + 1x 2 + 3x 3 = 18 Considerando las soluciones x 1 y x 2 para x 3 = 1 y x 3 = 2, respectivamente: x 1,2 = x 1 x 2 x 3 La soluciones serían: x 1 = = 11 4 x x 3 x 3 x 2 =

72 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo Ejemplo: 1x 1 + 1x 2 1x 3 = 7 4x 1 1x 2 + x 3 = 4 6x 1 + 1x 2 + 3x 3 = 18 Consideremos ahora el vector x = x 1 x 2 : x = = efectuando la multiplicación Ax: =

73 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo Teorema Sean x 1 y x 2 soluciones al sistema no homogéneo Entonces su diferencia x 1 x 2, es una solución al sistema homogéneo relacionado A(x 1 x 2 ) = Ax 1 Ax 2 = 0 Consideremos ahora el vector x = x 1 x 2 : x = = efectuando la multiplicación Ax: =