!MATRICES INVERTIBLES

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1 Tema 4.- MATRICES INVERTIBLES!MATRICES INVERTIBLES!TÉCNICAS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR 1 Hemos hablado anteriormente de la matriz cuadrada unidad de orden n (I n ).. Es posible encontrar matrices cuadradas A para las cuales existe una matriz cuadrada B de forma que Por ejemplo: A B = B A = I Estas matrices cuadradas son muy interesantes y reciben un nombre especial: matrices invertibles o matrices inversibles. En este capítulo enseñamos cómo c distinguir las matrices invertibles a través s de su determinante y explicamos métodos m para calcular de un modo eficaz la inversa de A. 2

2 Las matrices invertibles son indispensables en el Álgebra Lineal, principalmente para cálculos c algebraicos y deducciones de fórmulas. f Hay también n ocasiones en las que una matriz inversa permite entender mejor un modelo matemático tico de una situación n de la vida real. es regular si es singular si es invertible si esta matriz B es única y se denomina inversa de A : 3 MATRICES INVERTIBLES Si tal que o, entonces A es regular y con siendo la matriz que se obtiene al sustituir los elementos de A por sus adjuntos. Esta fórmula f apenas se utiliza en la práctica 4

3 Técnicas útiles para calcular la inversa de una matriz regular A Operaciones elementales de filas Resolución de un sistema de ecuaciones lineales Matrices que satisfacen una ecuación n del tipo: 5 Operaciones elementales de filas Cómo llegamos a la matriz unidad I? Conseguimos ceros debajo de la diagonal principal Conseguimos unos en la diagonal principal Sin deshacer lo conseguido: conseguimos ceros encima de la diagonal principal 6

4 -EJEMPLO. EJEMPLO.- Calcular la inversa de la matriz: A A -1 = I 7 -EJEMPLO. EJEMPLO.- Resolución de un sistema de ecuaciones lineales: Esta técnicat suele resultar útil para matrices triangulares Escribiendo en forma matricial: Sugerencia.- Comprobar el resultado Sugerencia.- Comprobar el resultado A A -1 = I 8

5 -EJEMPLO. EJEMPLO.- Matrices que satisfacen una ecuación n del tipo: Sea A una matriz regular que satisface la ecuación: Calcular A -1, luego, según la definición: 9 PROPIEDADES DE LAS MATRICES REGULARES Sean : matrices regulares de orden n Atención Si A es triangular, entonces A -1 es triangular. Enunciamos a continuación n un teorema que nos permite caracterizar las matrices invertibles en varias formas básicas, b utilizando conceptos estudiados previamente: 10

6 Teorema de la matriz invertible.- Sea A una matriz cuadrada de orden n.. Entonces los enunciados que siguen son equivalentes. Esto es, para una matriz A dada, los enunciados son o todos ciertos o todos falsos. 1.- A es una matriz invertible. 2.- A es una matriz regular. 3.- A es equivalente por filas a la matriz I n, es decir:. 4.- Los vectores columna de A son linealmente independientes. 5.- Los vectores columna de A generan. 6.- Los vectores columna de A forman una base de. 7.- Los vectores fila de A son linealmente independientes. 8.- Los vectores fila de A generan. 9.- Los vectores fila de A forman una base de A T es una matriz invertible Existe una matriz B cuadrada de orden n tal que A B = I n Existe una matriz C cuadrada de orden n tal que C A = I n r ( A ) = n POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO DE MATRICES REGULARES Cuando, es decir es una matriz regular de orden n,, o lo que es lo mismo, una matriz invertible, tiene sentido hablar de potencias de A con exponente entero, como por ejemplo: Si y : -PROPIEDADES

7 MATRICES ORTOGONALES se dice ortogonal si:, es decir : Su inversa y su traspuesta coinciden -PROPIEDADES.- Sean Nuestra primera observación n acerca de las matrices ortogonales es que son matrices invertibles. Se cumple también n que la inversa de una matriz ortogonal es su traspuesta. En este caso no hay que hacer inversiones complicadas. Las matrices ortogonales surgirán n de nuevo en el curso en el capítulo Matriz regular Matriz singular Matriz invertible Resultado fundamental PROPIEDADES MÉTODOS DE CÁLCULO POTENCIACIÓN ENTERA MATRIZ ORTOGONAL Propiedades Matriz de cambio de base 14