23/10/14. Algebra Matricial $ $ ' ' ' $ & & & # # I 3 I 2 = 1 0 $ DEFINICION DE MATRIZ 2.1 CONCEPTOS DE MATRICES CONCEPTOS DE MATRICES. $ n. ! a.

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Virginia Valdéz Marín
hace 5 años
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1 /0/ Algebra Matricial. OPERACIONES DE DEFINICION DE MATRIZ Si A es una matriz de m x n (esto es una matriz con m filas y n columnas) la entrada escalar en la i-ésima fila y la j-ésima columna de A se denota por a ij y se le llama la entrada (i j) de A. Ver la figura. Cada columna de A es una lista de m números reales que se identifican como un vector en R m. Slide.- CONCEPTOS DE Las columnas se denotan por a a n y la matriz A se escribe como A = a a a n. El número a ij es la i-ésima entrada del j-ésimo vector columna a j. Las entradas diagonales en una matriz A = a ij son a a a y forman la diagonal principal de A. CONCEPTOS DE Una matriz diagonal es una matriz de n n con las entradas fuera de la diagonal principal de valor Slide.- Slide.- CONCEPTOS DE Una matriz identidad es una matriz diagonal con las todas las entradas de la diagonal de valor. I = 0 0 I = CONCEPTOS DE Una matriz de m nen la cual todas sus entradas son cero es una matriz cero y se escribe como 0. 0 = Slide.- 5 Slide.- 6

2 /0/ IGUALDAD DE Dos matrices son iguales si son del mismo tamaño (o sea tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas) y si sus correspondientes columnas son iguales que es lo mismo que decir que sus entradas correspondientes son iguales. 6 = a b Estas matrices son iguales si y solo si a = y b = 6 SUMAS DE Si A yb son matrices m n entonces la suma es una matriz A+ B cuyas columnas son la suma de las columnas correspondientes de A y B. Ya que la suma vectorial de columnas se realiza entrada por entrada cada entrada A+ B es la suma de las correspondientes entradas en A y B. Por lo anterior la suma A+ B se define únicamente cuando A y B son del mismo tamaño Slide.- 7 Slide.- 8 SUMA DE SUMA DE Ejemplo : Dadas A = 0 5 B = 5 7 C = 0 Encontrar A+ B y A+ C. y A = 0 5 B = C = Solución: A+ B = 5 6 pero A+ C 8 9 no está definido porque A y C tienen diferentes tamaños. Slide.- 9 Slide.- 0 MULTIPLO ESCALAR DE UNA MATRIZ PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE Si r es un escalar y A es una matriz el múltiplo escalar ra es la matriz cuyas columnas son r veces las correspondientes columnas de A. Ejemplo. Calcular el múltiplo escalar ra si r = y A = 0 5 Solución: ra = 0 5 ( = ( Teorema: Sean A B y C matrices del mismo tamaño y r y s escalares. A+ B= B+ A ( A+ B) + C = A+ ( B+ C) A+ 0 = A r( A + B) = ra + rb ( r + s) A = ra + sa r( sa) = ( rs) A Slide.- Slide.-

/0/ PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE Cada ecuación del teorema se puede demostrar mostrando que la matriz del lado izquierdo tiene el mismo tamaño que la matriz del lado derecho y sus columnas

Si este vector es luego multiplicado por una matriz A el vector resultante es A(Bx). Ver la figura. Slide.

3 /0/ PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE Cada ecuación del teorema se puede demostrar mostrando que la matriz del lado izquierdo tiene el mismo tamaño que la matriz del lado derecho y sus columnas correspondientes son iguales. Cuando una matriz B multiplica a un vector x esta operacion transforma a x en el vector Bx. Si este vector es luego multiplicado por una matriz A el vector resultante es A(Bx). Ver la figura. Slide.- Entonces A(Bx) se produce a partir de x por medio de una composición de mapeos. Slide.- Ahora representaremos este mapeo compuesto como un producto por una sola matriz denotada por AB tal que AB ( x)=(ab)x. Ver la figura. Entonces Bx = x b x p b p Como el producto matriz-vector es una operación lineal A(Bx) = A(x b ) A(x p b p ) Si A es de m n B es n p y x esta en R p denotamos las columnas de B por b b p y las entradas en x by x x p. Slide.- 5 = x Ab x p Ab p El vector A(Bx) es una combinación lineal de los vectores Ab Ab p usando las entradas de x como pesos. En notación matricial esta combinación lineal se escribe. A(Bx) = Ab Ab b x Slide.- 6 La multiplicación por Ab Ab Ab p transforma x en A(Bx). Ejemplo. Dadas A = 5 B = 6 y x = calcular AB. Slide.- 7 Solución: Calcular Bx Bx = 6 x = x + x + x 6 Y luego A(Bx) A(Bx) = A x * ) ( + A x * ) + ( + A x 6 * ) + ( + = x A * ) ( + x A * ) + ( + x A 6 * ) + ( + Slide.- 8

4 /0/ Los productos matriz vector: A = 5 A = 0 = + A 9 = 5 9 = Sustituir: A(Bx) = x + x 0 + x 9 x = 0 x = (AB)x 9 x Slide.- 9 La multiplicación por Ab Ab Ab p transforma x en A(Bx). Definición: Si A es una matriz de m n y si B es una matriz de n p con columnas b b p entonces el producto AB es la matriz de m p con columnas Ab Ab p. Esto es Ejemplo : Calcule AB donde. B = 6 Solución: Escribir B = [ b b b ] A = y 5 y calcular: AB = A b b L b b b b p = A A L A p Slide.- Slide.- Ab = 5 Ab = 5 Ab = 0 = Entonces 0 AB = A[ b b b ] = 9 6 = 5 = 9 Cada columna de AB es una combinación lineal de las columnas de A usando como pesos las entradas correspondientes de las columnas de B. Ver la figura de la hoja anterior. Regla fila-columna para calcular AB Si el producto AB está definido la entrada de la fila i y la columna j de AB es la suma de los productos de entradas correspondientes de la fila i of A y la columna j de B. Si (AB) ij denota la entrada (i j) en AB y si A es de tamaño m n entonces. ( AB) = a b a b ij i j in nj Ab Ab Ab Slide.- Slide.-

5 /0/ Ejemplo : PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE Teorema : Dada una matriz A de m n y dadas B y C de tamaños para los cuales están definidas la suma y la multiplicación. a. ABC ( ) = ( ABC ) (ley asociativa de la multiplicación) b. AB ( + C) = AB+ AC(ley distributiva izq.) c. ( B + C) A = BA + CA (ley distributiva der.) d. r( AB) = ( ra) B = A( rb) Para escalar r e. I A= A= AI m n(multiplicación por la matriz identidad) Slide.- 6 Ejercicios Hacer en clase los ejercicios: (*) PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE El orden izquierda-derecha en los productos es crítico porque AB y BA usualmente no son iguales. Esto último porque las columnas de AB son combinaciones lineales de las columnas de A mientras que las columnas de BA se construyen de las columnas de B. La posición de los factores de AB se enfatiza diciendo que A multiplica por la izquierda a B o que B multiplicada por la derecha a A. Slide.- 8 PROPIEDADES DE MULTIPLICACION DE Cuidado:. En general AB BA.. Las leyes de la cancelación no aplican para la multiplicación de matrices. Esto es si AB = AC en general no es cierto que B= C.. Si el producto AB es la matriz cero no se concluye que en general que A = 0 o B = 0. POTENCIAS DE LA MATRIZ A Si A es una matriz de n n y si k es un entero positivo entonces A k denota el producto de k copias de A: A k = A A... AA k veces Si A no es cero y si x está en R n entonces A k x es el resultado de multiplicar a x por A por la izquierda repetidamente k veces. Si k = 0 entonces A 0 x debería ser x mismo. Slide.- 9 Entonces A 0 se interpreta como la matriz identidad. Slide.- 0 5

6 /0/ LA TRASPUESTA DE UNA MATRIZ Dada una matriz A de m n La traspuesta de A es la matriz de n m denotada por A T cuyas columnas están formadas por las correspondientes filas de A. LA TRASPUESTA DE UNA MATRIZ La traspuesta del producto de matrices es el producto de sus traspuestas en orden inverso. Teorema : Dadas A y B matrices cuyos tamaños son apropiados para las sumas y los productos. a. ( T T A ) = A b. ( A+ B) T = A T + B T c. Para cualquier escalar r ( ra) T = ra T d. ( AB) T = B T A T Slide.- Slide.- TAREA DE LA UNIDAD Sección. ejercicios:

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