ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL

Transcripción

1 ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL Matriz Una matriz de orden o dimensión n x p es una ordenación rectangular de elementos dispuestos en n filas y p columnas de la siguiente forma: a11 a1 a1p a1 a a p A an1 an anp En general, para designar a una matriz se utiliza una letra mayúscula en negrita. Un elemento génerico de la matriz A se designa mediante aij, donde el primer subíndice i hace referencia a la fila en que está situado el elemento, mientras qhe el segundo subíndice j hace referencia a la columna. Una matriz de orden 1 x 1 es un escalar Ejemplos: A B Matriz transpuesta La transpuesta de una matriz A de orden nx p, obtenida mediante el intercambio de filas y columnas, de forma que a b ij ji En general, a la matriz transpuesta de A se denomina A' Ejemplos de transpuestas de las matrices anteriores: 1

2 1 1 5 A' 3 5 B' Vector columna y vector fila Un vector columna de orden n es una ordenación de elementos dispuestos en n filas y 1 columna de la siguiente forma: a1 a En general, para designar a un se utiliza una letra a vector columna minúscula en negrita. an Un vector fila de orden n es una ordenación de elementos dispuestos en 1 fila y n columnas de la siguiente forma: b b b b 1 n El transpuesto de un vector fila es un vector columna: a' a a a 1 n Matriz cuadrada Se dice que una matriz es cuadrada si el número de filas es igual al número de columnas. En esta línea, una matriz cuadrada de orden n tiene n filas. 1 Una matriz cuadrada de orden 3: C Traza de una matriz En una matriz cuadrada de orden n la diagonal principal está formada por los elementos a ii (i 1,,, n). La traza de una matriz cuadrada A, a la que se designa por tr (A) o por traza(a), es la suma de los elementos de la diagonal principal. Es decir : n tr(a) = a i1 ii Ejemplo: tr(c) =

3 Matriz simétrica Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si se verifica: A A' Ejemplo: D Matriz diagonal Se dice que una matriz cuadrada es diagonal cuando todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son nulos. Es decir, en una matriz diagonal se verifica que a 0 cuando i j. La matriz diagonal es de la forma: ij a a 0 A 0 0 anp Matriz escalar Se dice que una matriz diagonal es escalar cuando todos los elementos de la diagonal principal son idénticos. Es decir, en una matriz escalar se verifica que a k para todo i. ii Matriz identidad Es una matriz escalar en la que a 1. Se le denomina I. Una matriz identidad genérica tiene la forma: ii I

4 OPERACIONES CON MATRICES Igualdad de matrices La igualdad de dos matrices A B se cumple si, y sólo si, A y B son del mismo orden y a b para todo i y todo j. ij ij Para realizar la suma, las matrices Ay B deben ser del mismo orden. Suma de matrices La suma de las matrices A y B de orden nx p es igual a otra matriz C, también de orden nx p, definida de la siguiente forma: A B C Los elementos de la matriz C se obtienen: cij aij bij i, j Ejemplo: A, B C Multiplicación escalar La multiplicación escalar de una matriz A por un escalar se efectúa multiplicando cada elemento de A por. El producto es designado por A Ejemplo: 4, A A Multiplicación de matrices Si A es una matriz de orden n x m y B es una matriz de orden m x p, el producto de estas dos matrices es otra matriz C de orde n p n x : A x B C El elemento genérico c n a b ij ik kj k1 a a a 11 1 a b11 b1 b 13 (a11b11 a1 b 1) (a11b1 a1 b ) (a11b13 a1 b 3) b b b (a b a b ) (a b a b ) (a b a b )

5 4 4x1x7 4x9x 4x1x x1 5x7 3x9 5x 3x1 5x x16x7 x96x x16x El producto de matrices no es conmutativo: A xb B xa Sean las matrices: A, B x1+ 3 x0 x5 + 3 x AxB x x x x x x + 5 x4 1x3 + 5 x BxA x x x x x La matriz identidad I es conmutativa: A xi IxA x1+ 3 x0 x0 + 3 x1 3 AxI x A x x x x x + 0 x4 1x3 + 0 x1 3 I x A x A x x x x Determinante de una matriz El determinante de una matriz cuadrada A, al que se designa por A, es un escalar que se obtiene por la suma de n! términos, cada uno de los cuales es el producto de n elementos. Se obtiene mediante la fórmula: A a a a 1j k nq En la expresión anterior cada sumando se obtiene permutando el segundo subíndice. El signo de cada sumando o según que el número de permutaciones realizado a partir de la ordenación original sea par o impar. Si A 0 se dice que la matriz A es singular a 11 1 Ejemplos: A a11 a a1 a1 a1 a a 5

6 b b b b b b b b b b b b b13 b b 31 b3 b3 b 11 b33 b1b1 b31 b3 b33 B b b b Propiedades de los determinantes El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta: A A' El determinante del producto de matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de cada una de las matrices: ABC A x B x C Si se multiplica una matriz A de orden n por una constante h, se verifica: ha h n x A Si una matriz A tiene dos filas, o dos columnas, idénticas o proporcionales, entonces: A 0 Matriz inversa La inversa de una matriz cuadrada A es una matriz B que verifica: AB B A I 1 En general, a la matriz B que cumple esta propiedad se le designa por A, 1 1 con lo cual: A A A A I Ejemplo: A A' A A' / 10 1/ A 10 4 /10 4/ A A I AA I

7 Propiedades de las matrices La inversa de un producto de matrices ABC es igual a: (ABC) C B A La transpuesta de una inversa es igual a la inversa de la transpuesta: (A )' (A') 1 1 El determinante de la inversa de una matriz es igual al recíproco del determinante de la matriz original, es decir: A 1 1 A MATRICES Y DETERMINANTES: OPERACIONES Calcular A. (B C), siendo: A B C BC A.(BC) ( 1) ( 1)

8 Dadas las matrices A y B, obtener los productos AB y BA, donde: A B 3 0 A.B B.A Calcular X tal que X a b 6 1 3a 4c 3b 4d c d a11c 7b11d a 4c 6 3a4c 3b4d 6 1 7a11c 69 7a 11c 7b 11d b 4d 1 7b 11d 59 a c 5 b 1 d 6 1 en consecuencia, X 5 6 Resolver el sistema de ecuaciones de matrices X 3Y A X 3Y B donde: A, B X 3Y A X AB 3X X3Y B

9 X X3Y A 3Y XA 3Y Y a b Dada la matriz A, donde a y b son números reales. Calcular A 0 a a b A 0 a n a b a b a ab A. 0 a 0 a 0 a a b 0 a 0 a 0 a 3 3 a ab a 3a b A A.A. 3 a b 0 a 0 a 0 a a 3a b a 4a b A A.A. 3 4 A n 0 a n n1 a na b n Hallar la potencia n-ésima de A A A A.A

10 A A.A A A.A n a n n Por inducción: A 0 1 n Para calcular a n se considera la sucesión: a1 1, a 3, a3 6, a4 10 nn n(1n) n a a bn cn n(1 n) 1 n n Finalmente, A 0 1 n 1 Dada la matriz A, obtener todas las matrices que conmutan con A 0 1 a b Sea la matriz B tal que A.B B.A c d 1 a b a b 1 a c b d a a b c d c d 0 1 c d c c d 10

11 a c a b d ab c 0 a d c c d cd a b B a, b 0 a 1 3 Dado el determinante A 4 5, desarrollar por los elementos de su 6 0 segunda fila y por los elementos de la tercera columna. Por la regla de Sarrus. El desarrollo de A por la segunda fila: A a 1.A1 a.a a 3.A A 1 ( 1) 0 A ( 1) A 3 ( 1) A a 1.A1 a.a a 3.A3 4..( ) El desarrollo de A por la tercera columna: A a 13.A13 a 3.A3 a 33.A A 13 ( 1) 01 1 A 3 ( 1) (06) A 33 ( 1) A a 13.A13 a 3.A3 a 33.A33 3.( 1) 5.6 ( ).0 6 El desarrollo de A por Sarrus: ( ) A ( )

12 Desarrollar el determinante A A F F F 3F F 4F F 3F ( 1) Desarrollar el determinante A x x x F F 1 1 x x x x1 A F F (x 1) F F x x 1 3 1

13 1 1 1 Desarrollar el determinante de Vandermonde A a b c a b c F3 af ba ca A a b c 0 ba ca F af b(ba) c(ca) a b c 1 0 b ab c ac 1 1 (b a).(c a) (b a).(c a).(c b) b c A a b c (ba).(ca).(cb) a b c Calcula el valor del determinante A log3 log30 log300 (log3) (log30) (log300) log 30 log (3.10) log10 log3 1log3 log300 log (3.100) log100 log3 log A log3 log30 log300 log3 1log3 log3 (log3) (log30) (log300) (log3) (1log3) ( log3) C3 C log3 1 1 C C 1 log3 3 log3 1 (log3) 1 log3 3 log3 3 log31 log A log3 log30 log300 (log3) (log30) (log300) F 3 (log3)f F (log3)f1 (log30 log3). (log300 log3). (log300 log30) log10. log100. log10 13

14 3 x x x x 3 x x Resolver 0 x x 3 x x x x 3 3 x x x 3 3x x x x 1 x x x C1 C C3 C x 3 x x 4 3 3x 3 x x 1 3 x x (3 3 x) x x 3 x 3 3x x 3 x 1 x 3 x x x x 3 3 3x x x 3 1 x x 3 F F1 1 x x x F3 F1 3 (3 3 x) (3 3 x).(3 x) 0 F4 F x 0 0 x x 0 x 3 triple x Valor del determinante a a 3a 4a a a a a a a 3a 4a a a a a 00 0 a a a a a a a a a a a a Los dos determinantes valen 0 al tener dos filas iguales o proporcionales. Valor del determinante F F1 F3 F

15 F4 3F ( ) F1 F F3 F F4 3F F1 F ( 5) 90 F F Descomponer la matriz como suma de una matriz simétrica y 0 4 otra antisimétrica. t Sean las matrices S (simétrica, coincide con su transpuesta, es decir S S ) t y A (antisimétrica, cuando su transpuesta es igual a su negativa, esto es, A A ). M S A M S A 1 1 t t t t t S (M M ) A (M M ) t M S A M SA S

16 A Obtener la matriz inversa de A A t t La matriz transpuesta A 1, siendo A A 4 A A A La matriz adjunta A A A A A A A Los adjuntos correspondientes: A 11 ( 1) 3 A 1 ( 1) 8 A 31 ( 1) A 1 ( 1) 1 A ( 1) 10 A 3 ( 1) A 13 ( 1) 9 A 3 ( 1) 4 A 33 ( 1) En definitiva, la matriz adjunta: A La matriz inversa A 1 1 A A 16

17 A Téngase en cuenta que una matriz cuadrada A es invertible sólo si A La matriz inversa A verifica la propiedad conmutativa A.A A. A I A.A I A. A I Halla el rango de la matriz A El rango de una matriz cuadrada es el número de filas o columnas independientes. En este caso, el rango de A como máximo puede ser 3. 3 El menor 0 r(a) 4 3 Combinando todos los menores de tercer orden que se pueden obtener:

18 Al existir un menor de tercer orden distinto de cero, se concluye que r(a) Halla el rango de la matriz A El rango de una matriz cuadrada es el número de filas o columnas independientes, por consiguiente, el rango como máximo puede ser 4. De otra parte, se observa que F F F, es decir, la tercera fila es combinación 3 1 lineal de la primera y segunda fila. Por tanto, se puede suprimir sin que altere el rango de la matriz A Queda la matriz que como máximo tiene rango se tiene que 0 r(a) 1 Orlando el menor de todas las formas posibles, se obtiene: Como resulta que, El rango no puede ser 3, por tanto: r(a) 18

19 Calcular el rango de la matriz Mediante el método de reducción, se tiene: F1 F F3 F F4 F F3 3F F3 F1 F4 F F4 F rango Sea A una matriz cuadrada diagonal. Qué condiciones deben cumplir los elementos para que sea inversible?. Y cuáles para que dicha inversa coincida con A? a 0 0 Sea A 0 b c 1 Para que exista A tiene que verificarse que A a.b.c 0, es decir, que ningún elemento de la diagonal principal sea nulo. a 0 0 1/a c 0 0 1/c t 1 A A 0 b 0 A a.b.c A 0 1/b 0 a 1/a a 1 a 1 t 1 Para que A A b 1/ b b 1 b 1 c 1/c c 1 c 1 19

20 Las matrices que cumplen estas condiciones son: Calcular el valor del determinante a ab ab b ab a b ab ab b a ab b ab ab a a ab ab b a abb ab ab b 1 ab ab b ab a b ab a ab b a b ab 1 a b ab (a b) ab b a ab a ab b b a ab 1 b a ab b ab ab a a abb ab ab a 1 ab ab a 1 ab ab b a(ab) b(b a) b(b a) 0 a ab b ab abb (a b) (a b) b(b a) a(a b) b(b a) 0 b ab a ab abb 0 0 a b a b a(ab) b(ab) a b (a b). (a b ) (a b).(a b ).(a b) b(ab) a(ab) b a (a b).(a b ). (a b).(a b ) (a b).(a b). (a b ) 4 (a b ). (a b ) (a b ) 0

21 x 1 Hallar los valores para los que la matriz A no tiene inversa: A x La matriz no tiene inversa cuando A 0 x 1 A x x 0 x x x 0 La matriz A tiene inversa para todo valor real de x, A x 0 x 3 3 excepto para x y x x x Dadas las matrices A y B Comprueba si (A. B) B. A t t 1 1 A A A A / 1/ t t 1 1 B B B 4 B / 1/ t t A.B (A.B) A.B (A.B) 8 1

22 (A.B) /8 3/ B. A 1/ 1/ 4 1/ 1/ 1/8 3 /8 (A.B) B. A Calcula X tal que X B A.B, donde: A 1 1 0, B XB A.B X A.B B A.B B X A.B B m 0 Determinar los valores de m para los que la matriz X verifique 0 5 X XI 0 m 0 m 0 m X XI m 0 5 m m m

23 m 5 m m m1 0 m 5m Resuelve la ecuación AXB C, donde: A B C AXB C A AXB A C A AXB B A C B IXI A CB X A CB Adviértase que el producto de matrices no es conmutativo. En esta línea, hay 1 1 que multiplicar por la izquierda A y por la derecha B De otra parte, A A B B I t 1 A A A 1 A t 1 B B B 1 B X A CB X Halla la matriz X que verifica AB CX D, siendo: A B 0 1 C D ABCX D CX DAB C CX C (D AB) X C (D AB) t 1 1 C C C C AB

24 DAB X C (D AB) X