En general, llamaremos matriz de dimensión mxn a un conjunto de m.n números reales distribuidos en m filas y n columnas.

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Eva Flores Castro
hace 6 años
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1 TEMA : MATRICES. Matrices Numéricas La noción de matriz se introduce como "tabla de números". Sus elementos aparecen dispuestos en filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales). 5 9 Por ejemplo, la expresión: es una matriz de filas y columnas. Decimos 6 5 que es una matriz de dimensión o de orden x. En general, llamaremos matriz de dimensión mxn a un conjunto de m.n números reales distribuidos en m filas y n columnas. Representaremos las matrices con letras mayúsculas: A, B, C,..., y sus elementos con la misma letra pero minúscula y dos subíndices: a ij, b ij, c ij,... Estos subíndices determinan la posición en que se encuentra el elemento; el primero indica la fila y el segundo la columna: a a... a n a a... an A ( aij ) mxn am am... a mnmxn Así, el término a es el que está en la fila y en la columna. En el ejemplo anterior a, a.. Tipos de matrices. Matriz cuadrada: Tiene el mismo número de filas que de columnas (dimensión nxn).. Diagonal principal: En las matrices cuadradas, formada por los elementos de la forma a ii (a, a,..., a nn ). La otra diagonal se llama diagonal secundaria.. Matriz fila o vector fila: Sólo tiene una fila (dimensión xn). Matriz columna o vector columna: Sólo tiene una columna (dimensión mx) 5. Matriz triangular (superior o inferior): Todos los elementos situados por debajo o por encima (respectivamente) de la diagonal principal son ceros. 5 5 triangular superior triangular inferior 6. Matriz diagonal: Matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.. Matriz identidad: Matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son unos. Se representa con la letra I, acompañada por un subíndice que representa el orden de la matriz: I,, I,.... Matriz nula: Todos sus elementos son ceros. /5 IBR IES LA NÍA

2 9. Matriz traspuesta: (de otra matriz dada A). Es la que resulta de intercambiar filas por columnas en la matriz A. Se representa como A t y si la dimensión de A era mxn, la de A t será nxm.. Matriz simétrica: Es simétrica respecto a la diagonal principal (a ij a ji ). Si una matriz es simétrica se cumplirá que AA t.. Matriz opuesta: (de otra matriz dada A). Si A(a ij ) A(a ij ), es decir, los elementos de la misma posición son opuestos. º) Indica la dimensión de la matriz e identifica los elementos a, a, a, a º) Escribe: a. Una matriz de dimensión x triangular inferior. b. Una matriz x triangular superior c. Una matriz diagonal x. d. La matriz nula de dimensión x º) Puede ser una matriz simultáneamente triangular superior y triangular inferior? º) Puede existir una matriz diagonal de dimensión x? 5º) Escribe la matriz (a ij ) x, con a ij ij 6º) Halla las traspuestas de las matrices A, B, C Alguna es simétrica? º) Si A(a ij )ij y B(b ij ) ij y ambas son x, se pide: a) Escribe las matrices A y B. b) Son simétricas? c) Escribe las matrices A t, B t, (A) t. 5. Operaciones con matrices ) Suma: Sólo está definida si las matrices tienen la misma dimensión, y se define sumando los términos que ocupan la misma posición: A(a ij ) mxn B(b ij ) mxn A+B(a ij +b ij ) mxn Propiedades:. La suma de dos matrices de dimensión mxn es otra matriz mxn (LCI). Asociativa: (A+B)+CA+(B+C). Elemento neutro: es la matriz nula de dimensión mxn O mxn, aquella que tiene todos sus elementos cero: A+OA. Toda matriz tiene una opuesta: Si A(a ij ) A(a ij ) y se cumple que A+(A)O 5. Conmutativa: A+BB+A Nota: La existencia de matriz opuesta permite definir la matriz diferencia: ABA+(B) /5 IBR IES LA NÍA

3 ) Producto de una matriz por un nº real Independientemente de la dimensión de la matriz, se define el producto por un nº real sin más que multiplicar todos los elementos de la matriz por dicho número. k R y A(a ij ) mxn k.a(k.a ij ) mxn t º) Dadas las matrices A, B y C, calcula ( A B) y 5 ( B C) + ( C + A) B 9º) Determina el valor de a, b, c, d, e y f en la siguiente operación: a c e + b 5 d f º) Siendo A, B e I la matriz identidad de orden, calcula la 5 matriz AB+I ) Producto de dos matrices: Así como las dos operaciones anteriores se definen de forma bastante natural, el producto de matrices es más extraño. En primer lugar se debe cumplir que el nº de columnas de la primera matriz sea igual al nº de filas de la segunda matriz: se pueden multiplicar: A x.b x5 ; A x.b x no se pueden multiplicar: A x y B x En general: A mxn.b nxp C mxp La matriz producto A mxn.b nxp se obtiene de la forma siguiente: es otra matriz C mxp, cuyos elementos c ij se obtienen multiplicando la fila "i" de la primera matriz (A) por la columna "j" de la segunda (B) y sumando los resultados. Propiedades: ) Asociativa: (A mxn.b nxp ).C pxq A mxn.(b nxp.c pxq ) (mxn).(pxq) (nxp).(pxq) (mxq).(pxq) (mxn)(nxq) (mxq) (mxq) ) No conmutativa: en efecto, de hecho si podemos hacer el producto A.B, puede que no esté definido el producto B.A. Pero, aún en el caso que podamos hacer A.B y B.A no tienen el mismo resultado: A B B A Ejemplo:. y ) Elemento neutro: es la matriz identidad I n, pero sólo en el caso de matrices cuadradas. Se debe cumplir: A nxn.i n A nxn y también I n.a nxn A nxn ) Distributiva respecto a la suma: (A+B).CA.C+B.C y D.(A+B)D.A+D.B /5 IBR IES LA NÍA

4 º) Dadas las matrices A, B y C calcula ( ) A + B C. º) A( 5) y B, calcula las matrices: A.B y B.A º) Considera las matrices siguientes M N calcula: 6 5 a) A M + N (M N) b) B M N ( M + I) ( N I ) A, B 5 º) Es posible que matrices no cuadradas se puedan multiplicar por los dos lados? Qué condición deben cumplir? 5º) Cómo debe ser una matriz para que se pueda calcular A? 6º) Di si es verdadera o falsa la siguiente proposición, justificando la respuesta: "Si A y B son matrices cuadradas se verifica: (A+B) A +AB+B " n º) Sea A la matriz. Halla A n. º) Probar que A n n.a, siendo A 9º) Halla la matriz B n, siendo B n n n º) Calcula A : A. Solución. A n n n º) Resuelve la ecuación matricial: x x.. y y 6 º) A, B, calcula la matriz : A5B, 5 5. [x5/ y/] /5 IBR IES LA NÍA

5 5/5 IBR IES LA NÍA º) Siendo 6 A y 9 B halla una matriz que cumpla la ecuación: B A. º) Resuelve la ecuación + 5 5º) Calcula las matrices e que son soluciones del siguiente sistema: , 6º) Obtén las matrices A y B que verifiquen el sistema: + Solución., 6 9. º) A, I matriz identidad de orden. Determina si es posible un valor de β para que la matriz (A βi) sea la matriz nula. [ β] º) a) Calcular las matrices reales cuadradas de orden, e, que satisfacen las siguientes ecuaciones: + C B, donde C y B b) Si e son las matrices anteriores, calcular la matriz (+)(+)() (Jun) , ; ) b BC

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