UNIDAD 1 : MATRICES Y DETERMINANTES

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1 Material de estudio 05: Matrices y UNIDAD : MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 853. En 858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, entre otras aplicaciones. La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguaes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hoas de cálculo, bases de datos. MATRIZ: definición y clasificación Se define la matriz como un conunto de números reales colocados en forma rectangular según filas y columnas. Se denomina matriz de orden n x m al arreglo de números ubicados en n filas y m columnas. Simbólicamente se puede escribir con corchetes o con paréntesis respetando filas y columnas. Para ello, cuando se expresa genéricamente, cada elemento de la matriz debe indicar como subíndice primero la fila que ocupa y en segundo término la fila. Sea A una matriz x 3: El elemento a3 está ubicado en la fila y en la columna 3.También se simboliza donde i indica la fila donde se ubica el elemento y la columna. Sea el elemento Se dice que una matriz A tiene dimensión n x m cuando tiene n filas y m columnas. Si el número de filas y de columnas coincide, n=m, se la denomina matriz de orden m. Dos matrices son iguales si los elementos correspondientes en fila y columna, son iguales. Prof. Liliana Collado Página

2 Material de estudio 05: Matrices y porque los elementos correspondientes de la fila 3, columna difieren en 0 0 el signo. ALGUNAS MATRICES CARACTERÍSTICAS Matriz nula: es la que tiene todos sus elementos nulos. Se la simboliza O. Matrices cuadradas: Una matriz cuadrada es la que tiene igual número de filas que de columnas. Se simboliza:.. El número de filas o de columnas ( en este caso es el mismo) se denomina orden. Las matrices cuadradas tienen una diagonal principal y una diagonal secundaria. Eemplo 0 Sea! 3 4 # una matriz cuadrada de orden 3, la diagonal principal tiene como 0 elementos -; 4 y ; en la diagonal principal los elementos son de la forma. Matriz identidad : es la matriz cuadrada que tiene en cada lugar de la diagonal principal y ceros en todos los otros lugares. Se la simboliza $ donde n es el número de filas o de columnas. % $ es una matriz identidad de orden y & 0 0 $ es una matriz 0 0 identidad de orden 3. También se pueden expresar % ' () *+, ' Una matriz cuadrada es simétrica cuando Prof. Liliana Collado Página

3 Material de estudio 05: Matrices y / 4 0 es simétrica porque se cumple para todos los elementos 0 Matriz triangular: es aquella matriz que tiene elementos no nulos de un lado de la diagonal principal triangular inferior y 0 triangular superior Matriz diagonal: se denomina así a la matriz cuadrada en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son nulos es una matriz diagonal 0 0 Matrices rectangulares no cuadradas: Matriz fila: es la que tiene una sola fila de elementos. Se simboliza con i= es una matriz fila de orden x3. Este tipo de matriz representa un vector. Matriz columna: es la que tiene una sola columna de elementos. Se simboliza 3 4 con =. Este tipo de matriz representa un vector. & es una matriz columna de orden x 3 Prof. Liliana Collado Página 3

4 Material de estudio 05: Matrices y OPERACIONES CON MATRICES Las matrices son expresiones algebraicas, por lo que forman un conunto sobre el que se puede aplicar operaciones tales como la suma, la multiplicación y la potenciación, con características propias. Trasposición de matrices Dada una matriz de orden m x n, A = (ai), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por A t, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir: 5,(,. : 9 9 Propiedades de la trasposición de matrices 9 9. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.. (A t ) t = A ; %4 : : ; % : la trasposición es distributiva respecto de la suma de matrices. 4. Toda matriz simétrica A cumple: : 5. 3<4 : < : 6. Una matriz A es anti simétrica si : 7. 3 %4 : % :. : la trasposición no es distributiva respecto del producto de matrices. 8. Si. : :., la matriz A es normal. Sea = 0 >, su matriz traspuesta :! # 0 toda matriz identidad es su propia traspuesta. la traspuesta de una matriz cuadrada también es cuadrada del mismo orden. 3& :.4 : :.& Eemplo :Si :! #, entonces 3 : 4 : = 0 > 0 Prof. Liliana Collado Página 4

5 Material de estudio 05: Matrices y Matriz opuesta a una dada Sea A una matriz de dimensión nxm, su matriz opuesta, -A, tiene la misma dimensión, nxm, y sus elementos, que ocupan los mismos lugares que los elementos de A,son los opuestos de los elementos de A.? tiene como opuesta a? Suma y diferencia de matrices La adición de matrices es una función que tiene como dominio el conunto de todas las matrices del mismo orden ( o dimensión) y cuya imagen también contiene matrices del mismo orden. Si tienen la misma dimensión se dice que son conformables para la adición. La suma de dos matrices A=(ai), B=(bi) de la misma dimensión (orden), es otra matriz S=(si) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico si=ai+bi. Por tanto, para poder sumar dos matrices, éstas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Sean 4 0, % y & ; % En cambio, A+C o B+C no son conformables para la adición porque no tienen la misma dimensión. Propiedades de la adición de matrices La suma de matrices es una matriz del mismo orden.. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa). A + B = B + A (propiedad conmutativa) 3. A + 0 = A (0 es la matriz nula, elemento neutro de la adición) 4. La matriz ( A), que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + ( A) = (-A) +A = 0. Prof. Liliana Collado Página 5

6 Sean 7 0 y %, entonces: 4 0 Carrera: Arquitectura Material de estudio 05: Matrices y ; ; ; ; ; %? 7 ; 0 ; 7 ; 0@ % ; 4 ; 0 ; ; 344 ; 0 La diferencia de matrices A y B se representa por A B, y se define como: A B = A + ( B) 0 Sean 7 0 y % entonces % ; 3% Producto de una matriz por un número El producto de una matriz A = (ai) por un número real k es otra matriz B = (bi) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bi de B se obtiene multiplicando ai por k, es decir,. D C B G F E bi = k ai. El producto de la matriz A por el número real k se designa por k A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices. Propiedades del producto de una matriz por un escalar Sea K un número real cualquiera y A y B matrices conformables para la suma:. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva ª). (k + h)a = k A + h A (propiedad distributiva ª) 3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta) 4. A = A (elemento unidad) 5. k. O = O (matriz nula) Prof. Liliana Collado Página 6

7 Material de estudio 05: Matrices y Matriz producto de dos matrices Para definir la matriz resultado de multiplicar dos matrices se necesita establecer requisitos indispensables para dicha operación y es que sean conformables para ella. Esto significa que la primera matriz debe tener el mismo número de columnas que el número de filas de la segunda matriz. Se define la matriz C como producto de A y B de la siguiente forma: 9 & () *+, H I Expresándolo en lenguae natural: se suman todos los productos de los elementos de una fila de la primera matriz con sus correspondientes elementos de una columna de la segunda matriz. J J.' I Sean 3 0 y % 0. ; ; 3..0 ; 3.34 El producto.% K 0. ; ; ; L.% K L El producto %. no es conformable porque el número de columnas de B no es igual al número de filas de A. las matrices cuadradas del mismo orden siempre se pueden multiplicar. Propiedades de la multiplicación entre matrices - No es conmutativa en general. Prof. Liliana Collado Página 7

8 Material de estudio 05: Matrices y , M+,N, O,.)P,O Sin embargo: Para matrices cuadradas de un orden determinado, la matriz identidad del mismo orden actúa como elemento neutro de la multiplicación. 3- Al multiplicar por una matriz nula conformable para el producto, se obtiene otra matriz nula, aún cuando no sea del mismo orden de la multiplicación Si se multiplica una matriz fila por una matriz columna, conformables para la operación, la matriz resultado tiene un solo elemento Es asociativa 6- Es distributiva respecto de la suma y de la diferencia entre matrices. 5 y % 3 Calcular: (A+B). (A-B) y A - B ; % ; % ; 44 3 ; ; %4.3 %4 K L= ; % 0 0 % En el Álgebra de números reales existe la factorización de la diferencia de cuadrados, en el Álgebra de matrices, no se cumple. Esto se debe a: Prof. Liliana Collado Página 8

9 Material de estudio 05: Matrices y Sean A y B matrices cuadradas de orden, conformables para el producto a izquierda y a derecha. Si se desea calcular (A+B). (A-B) se debe aplicar la propiedad distributiva: 3 ; %4.3 %4.% ; %. % y como el producto no es conmutativo, debe resolverse cada miembro. A MODO DE REPASO: presentamos buen esquema con el podemos entender aún más la mecánica del producto de elementos de dos matrices: decir por qué sí o por qué no se pueden multiplicar las siguientes matrices:? 0@ R 0 5S sí son conformables para el producto porque tienen dimensiones 3x y x4 0 5 Respectivamente, la matriz producto es? @ 0 5 R 0 5S? 0@ no son conformables para el producto porque las dimensiones son x4 y 3x respectivamente y el número de columnas de la primera matriz no coincide con el número de filas de la segunda matriz. Resolver A-3I, siendo T 3 U e I es la identidad de orden T 3 U 3 T 0 0 U T 3 U T U T 3 4 U Prof. Liliana Collado Página 9

10 Material de estudio 05: Matrices y LAS MATRICES COMO REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES En un sistema de ecuaciones se observan tres grupos de componentes notables: las incógnitas, los coeficientes que acompañan a las incógnitas y los términos independientes. Las matrices pueden servir para representar estos sistemas teniendo en cuenta que aparecerán tres de ellas con distintas características, pero que ubicadas de un modo determinado, serán conformables para el producto. 3V W ; 4X 0 V ; W ; X 3 V ; 3W X 3 4 Matriz de V 3 Matriz de las incógnitas YWZ X 0 Matriz de los términos independientes? 3@ De este modo se puede expresar el sistema dado : 3 4 V 0.= W> 3 3 X Cualquiera de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales puede ser ampliado con los siguientes: Matrices equivalentes por filas: Dos matrices son equivalentes por filas si: Se intercambian filas Se multiplica un escalar por una fila Se suma a una fila un múltiplo de otra Prof. Liliana Collado Página 0

11 Material de estudio 05: Matrices y Producto de 3 por la fila [ 4 [ 0 [ Matriz escalonada por filas: Una matriz se denomina escalonada por filas si cumple: a) Todas las filas de ceros ( si existen) están la parte inferior de la matriz. b) En las filas no nulas, el primer término no nulo de una fila está en una columna anterior que en el primer término no nulo de la fila siguiente. Existe un método para escalonar una matriz, llamado de eliminación de Gauss. Este método tiene los siguientes pasos: - Intercambiar filas de modo tal que el primer término de la primera fila sea no nulo. - Sumar un múltiplo de la primera fila a todas las filas que necesiten transformar cada término de la primera columna en ceros (excepto el de la primera fila). 3- Seguir el proceso antes propuesto para las filas siguientes. Toda matriz de orden mxn es equivalente a una escalonada por filas que preserve el orden mxn. Intercambio fila 3 por fila 0 4 Para escalonar la matriz 3 Intercambiamos la fila 3( F3) por la fila (F) para que el primer término de la nueva primera fila sea no nulo y que los ceros se ubiquen en la parte inferior de la matriz Suma de 3.fila +fila 3 Sumamos a la fila (F) un múltiplo de F de modo que quede 0 en el término correspondiente a la primera columna y la nueva fila (F ) será: 3 ;! 0 ^ # 0 4 Prof. Liliana Collado Página

12 Material de estudio 05: Matrices y No habiendo más pasos a repetir, porque la fila 3 tiene 0 en su primer término, la matriz ya está escalonada ,*+P),(,! 0 5 # Matriz reducida por filas: Si queremos que la matriz equivalente sea aún más sencilla, se utiliza la matriz reducida, que se obtiene aplicando el siguiente procedimiento: a) Se escalona por filas b) El primer elemento no nulo de cada fila, se llama pivote y es. c) Encima o debao de cada pivote sólo hay ceros. 3V ; W X Sea el sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas: _ V ; W ; X 0 6V W X Representándolo matricialmente: 3 V.= W> 0 6 X Si a la matriz de coeficientes la reducimos por filas, debemos cumplir los mismos procedimientos con la matriz de términos independientes, entonces usamos una matriz ampliada : [ 3 [ [ [ F :(-3).F + F F 3 : 6.F +F3 F : F cambia por F 0 [ 0 # [ ^ F : (-/5). F Prof. Liliana Collado Página

13 Material de estudio 05: Matrices y 0 [ [ [ ^ ^ 0 ^ ^ 0 ^ ^ 0 a [ a [ a [ F :(-).F + F F 3 : (-0).F +F3 F 3 : (-/5).F 3 F : -F 3+F F : F 3+F 3V ; W X V ; 0W ; 0X ^ Esto se interpreta así: _ V ; W ; X 0 es equivalente a b0v ; W ; 0X 6V W X ^ 0V 0W ; X 0 Y el conunto solución de este sistema es 5 c3 ^; ;04e y tiene como único elemento un punto, esto significa que es un sistema compatible determinado. ^ Rango de una matriz MATRIZ INVERSA En un principio, definiremos el rango de una matriz como el número de filas no nulas de la misma después de aplicar el método de Gauss, lo que significa haber realizado las operaciones elementales necesarias para simplificar la matriz. 0 ~ 0 ~ ;? 0 ~ 0,, 3 3 ;? luego, el rango de A, rg A= Prof. Liliana Collado Página 3

14 Material de estudio 05: Matrices y Se puede concluir que el rango de una matriz es menor o a lo sumo igual al número de filas de dicha matriz. Definición de matriz inversa En el conunto de las matrices cuadradas, una matriz A tiene inversa A - si cumple: Características:.. $ Una matriz nula no tiene inversa. La matriz identidad es su propia inversa. Una matriz cuadrada que tiene una fila de ceros no tiene inversa. Una matriz cuadrada que tiene una columna de ceros no tiene inversa. Que una matriz tenga inversa es equivalente a asegurar que el rango de dicha matriz es el valor máximo posible, esto significa que después de escalonar la matriz, todas las filas son no nulas. Sea? 3@, aplicando el concepto de rango, decir para qué valores de k la 5 < matriz A tiene inversa (no se pide calcular la matriz inversa). ~? 3@, ;? 0 5 < 5 < ~, 3 5 ; 3? ~ ; 3? < < 5 6 Si < 0, la matriz A tiene inversa, entonces < Método de eliminación de Gauss- Jordan para hallar la matriz inversa Se puede hallar la matriz inversa de diversas formas, una de ellas se denomina Método de eliminación de Gauss Jordan. Consiste en aplicar el método de matrices equivalentes por filas, ampliando el desarrollo al incorporar en el mismo tratamiento la matriz identidad. Sabemos que la expresión matricial de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas(para que la matriz de coeficientes sea cuadrada) es: Prof. Liliana Collado Página 4

15 Material de estudio 05: Matrices y.h % Donde A es la matriz cuadrada de los coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes. Si queremos averiguar los posibles valores que toman las incógnitas para verificar la igualdad, habrá que despear X, para ello A tendrá que tener inversa( que sea cuadrada es una de las condiciones fundamentales) y ésta debe ser aplicada correctamente de modo de obtener la identidad: 3.h4 % 3 4.h % $.h % h % Apoyado en este planteo se realizan los siguientes pasos: - Se indica la matriz cuadrada A y a continuación la matriz identidad de igual orden. - Para la matriz de coeficientes: a)se escalona por filas. b)el primer elemento no nulo de cada fila, se llama pivote y es. c)encima o debao de cada pivote sólo hay ceros. 3- Las mismas operaciones y en el mismo orden se aplican a la matriz identidad, así se va a ir transformando en la matriz inversa. Eemplo sea 0 3, hallar su inversa en caso de que exista [ 0 0 [ [! 0# [ F =-F+F F3 =-F+F3 F =(-/)F Prof. Liliana Collado Página 5

16 Material de estudio 05: Matrices y [ 0 a [ [ 0 a [ 0 0 F =-F +F F3 =3F +F3 F3 =(-/4)F3 D 0 0 [ C0 0@ 0 0 B G F E F =-3F3 +F F =F3 +F La matriz inversa es D C B G F E D Comprobemos que es correcta: C B G 0 0 F. 0 3? 0 0@ 0 0 E Existen otros métodos para calcular la inversa de una matriz dada, uno de ellos es el que utiliza los conceptos de matriz adunta y determinante. Veremos de qué se trata cada uno de ellos. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Conceptualización: el concepto de determinante fue introducido con el obeto de calcular el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales; a partir de ello se plantea que a cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante, obtenido del siguiente modo: a) Si la matriz A es de orden, T ' U entonces el cálculo de es N l ' l. '.N, utilizando la multiplicación entre números reales. N Prof. Liliana Collado Página 6

17 Material de estudio 05: Matrices y Sea T 3 U su determinante b) Si la matriz A es de orden entonces el cálculo de es m m.. ;.. ; Sea Para calcular el determinante de matrices de orden mayor que 3 se introducen los siguientes conceptos: Menor complementario: Sea la matriz A, se denomina menor complementario de un elemento ai de dicha matriz al determinante de la matriz que resulta cuando se han eliminado la fila i y la columna, esa matriz se puede simbolizar Mi 3 Dada la matriz? el menor complementario del elemento a3 3 n m 0 m Adunto de un elemento de una matriz Dada una matriz A de orden n, se define el adunto del elemento ai, simbolizado por Ai, como el número que se obtiene del siguiente modo: 34 o.n 3 el adunto del elemento a3 de la matriz? es 34 o Se denomina matriz adunta a la que tiene como elementos a los aduntos de cada uno de los elementos de la matriz original y se simboliza N 34. Prof. Liliana Collado Página 7

18 Material de estudio 05: Matrices y Cálculo del determinante de una matriz: se define el determinante de una matriz A de orden n a la sumatoria de cada producto del elemento designado en el matriz por su adunto. 3 3 SeaA=? su determinante es: det34 m 0 m.34 o.3 4 ; 3.34 o.30 ; 44 ;.34 o.30 ; 44 ; 0 ; 34 o.3 ; 4 ; ;.34 o.3 ; 64 ; 3434 o.36 4 ;.34 o.3 04 ; o ; 34 ; 4 ; 0 ; ; 344 ; 384 ; 34 ; 34 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Si una matriz tiene una fila o una columan de ceros, el determinante es cero. -Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, el determinante es cero. 3-Si permutamos dos filas o dos columnas entre sí, el determinante cambia de signo. 4-Si multiplicamos todos los elementos de una fila o todos los elementos de una columna por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. 5-Si a una fila o a una columna se le suma otra fila o columna multiplicada por un número respectivamente, el determinante no cambia. 6-El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta. 7-Si la matriz A tiene inversa A -, entonces: N,( st:u RELACIÓN ENTRE LA MATRIZ INVERSA Y EL DETERMINANTE Una matriz A tiene inversa si det 0 y la inversa se puede calcular : 3N 344: 0 Para? 0 3@ calcular la matriz inversa, si es posible 0 Primero calcularemos el determinante de A: det34 0 ; 0 ; 0 ; 3 0 0, A tiene inversa. Prof. Liliana Collado Página 8

19 Material de estudio 05: Matrices y 3N 344: x l 3 0 l l l l 0 l { w N 34 wl 0 w 0 l l 0 l l 0 l z 3 3 w v l 0 l l l l 0 0 l y z z 3 3 3N 344 :? 3 3@ 3 x 3? 3 3@ w w 3 w w v { z 3 z z z y Comprobaremos que es la matriz inversa de A: x 3 0 w? 0 3@. w 3 0 w w v { z z? 0 0@ z 0 0 z y w También se debe comprobar que w w v x { z.? 0 3@? 0 0@ y z z Prof. Liliana Collado Página 9

20 Material de estudio 05: Matrices y RELACIÓN ENTRE EL RANGO DE UNA MATRIZ Y EL DETERMINANTE Se puede definir rango de una matriz A al tamaño del mayor menor complementario no nulo que esté incluido en la matriz. Sea T U, el mayor menor complementario que tiene A es l l 0, por lo tanto no se tiene en cuenta. Los otros menores complementarios tienen un solo elemento y cualquiera de ellos es distinto de cero, así el rg(a)= Matrices ortogonales Se denomina matriz ortogonal A a aquella matriz cuadrada cuya inversa coincide con la traspuesta : de la matriz. A es una matriz ortogonal: 0 0? 0 para comprobarlo debemos calcular la matriz inversa 0 0 3us3u44 u } }? } } } 0 0? y la traspuestade A es :? : 0 0? Una matriz ortogonal A tiene ~ Matrices ortonormales Se denominan así a las matrices ortogonales cuyo determinante vale +. la matriz identidad es una matriz ortonormal. Prof. Liliana Collado Página 0