Algebra de Matrices 1

Transcripción

1 Algebra de Matrices

2 Definición Una matriz es un arreglo rectangular de valores llamados elementos, organizados por filas y columnas. Ejemplo: Notas: A 6. Las matrices son denotadas con letras mayúsculas.. Para hacer referencia a un elemento de una matriz, A, indicamos la fila y la columna donde se encuentra usando notación con subíndices, a ij. a = a = 6 a = fila columna fila columna fila columna

3 Dimensión de una matriz La dimensión de una matriz es el número de filas por el número de columnas de la matriz. Ejemplo: A La dimensión de la matriz A es x filas columnas B 6 7 La dimensión de la matriz B es x Nota: El producto del número de filas por el número de columnas nos indica el número de elementos que tiene la matriz.

4 Matrices Especiales El vector fila es una matriz con una sola fila y varias columnas; es decir, su dimensión es x n. El vector columna es una matriz con una sola columna y varias filas; es decir, su dimensión es n x. La matriz cero es una matriz con todos sus elementos iguales a cero. matriz cero con dimensión x

5 Matrices especiales (cont.) Una matriz cuadrada es una matriz que tiene la misma cantidad de filas que columna. A B 7 9 Dado una matriz cuadrada, los elementos donde los índices de las filas y las columnas son iguales se denominan los elementos sobre la diagonal de la matriz. A a a a a a a a a a elementos sobre la diagonal B b b b b b b una matriz que no es cuadrada, NO tiene diagonal,

6 6 Matrices especiales (cont.) La matriz de identidad es una matriz con todos los elementos de la diagonal iguales a y todos los demás elementos fuera de la diagonal iguales a cero. I I

7 Igualdad de matrices Las matrices A y B son iguales, A = B, si y sólo si tienen la misma dimensión elementos correspondientes son equivalentes: a i,j = b i,j para toda i, j. Ejemplo:

8 Operaciones con matrices. Multiplicación por un escalar Dado una matriz A de dimensión m x n y c un número real, el producto ca es una matriz de dimensión m x n obtenida multiplicando cada elemento de A por la constante c. A A 8

9 Operaciones con matrices Ejemplo: Determine C si C = 9 B = 8 6 Solución: B y C = B C = C = 9

10 Operaciones con matrices. Suma y resta Para sumar o restar dos matrices A y B, las mismas tienen que tener dimensiones iguales. La suma o la resta de A y B, denotada A+B ó A-B, se obtiene sumando o restando los elementos correspondientes. A 8 6 B 9

11 Operaciones con matrices Ejemplo: Dado A y B determine )C = B A )D = A + B A = B = 9 Solución: ) C = )D =

12 Multiplicación de matrices Para multiplicar dos matrices A y B, el número de columnas de A tiene que ser igual al número de filas de B. El producto, AB, es una matriz con el mismo número de filas de A y el mismo número de columnas de B. A m x n B n x p = C m x p

13 Multiplicación de matrices Las matrices que se muestran son compatibles, ya que tienen las dimensiones apropiadas para formar el producto. 8 7 Si estos valores son iguales, entonces las matrices son compatibles para la multiplicación. Dimensiones: x x Estos valores nos dan la dimensión del producto.

14 Multiplicación de matrices Si C=AB entonces el elemento c ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B. Ej. Si C = AB y entonces el elemento C se obtuvo multiplicando la fila de A por la columna de B.

15 Multiplicación de Matrices A a a a a a a B b b b b b b

16 Multiplicación de Matrices 6

17 Multiplicación de Matrices Dimensiones: x x Son iguales, matrices compatibles () + -() (-9) + -(7) () + -(-6) () + () (-9) + (7) () + (-6) Dimensiones: x

18 Multiplicación de Matrices Ejemplo : B y C son matrices tal que Hallar Q. 8

19 Multiplicación de Matrices Ejemplo : B y C son matrices tal que CB = R, hallar R. 9

20 Multiplicación de Matrices Ejemplo : Determinar el producto. x x El producto de estas matrices NO está definido por que las matrices no son compatibles; las dimensiones no son las apropiadas. Recuerda que para multiplicar matrices el número de columnas en la primera matriz debe ser igual al número de filas en la segunda.

21 Propiedades de la Multiplicación de Matrices Sea A = y B =, determinar AB y BA. BA = Note: ABBA. Esto implica que la multiplicación de matrices NO es conmutativa.

22 El álgebra de matrices EJEMPLOS ADICIONALES

23 Multiplicación de Matrices Ejemplo : Hallar el producto ABC para Solución:

24 9 8 7, 6 6 B A ) ( 9 8) ( 7 B Sea Ejemplo: Determinar C si C= A - ¼B Solución: 6 6 A C

25 9 8 7, 6 6 B A Sea Ejemplo: Determinar C si C= A - ¼B Solución:

26 , A B Sea Ejemplo: Determinar C si C= -½AB Solución: )(6) ( ()() )() ( ) ()( )() ( ()() ()(6) )() ( ()() ) )( ( ()() )() ( ()(6) 9)() ( ()() ) 9)( ( ()() 9)() ( (7)(6) ()() (7)() ) ()( (7)() ()()

27 Multiplicación de Matrices Ejemplo : Determinar el producto.