Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, U.P.M. Álgebra Lineal. 1 TEMA 1.1: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal TEMA : MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición de cuerpo conmutativo Definición Un Cuerpo Conmutativo es un conjunto IK con dos operaciones internas (+ suma y producto) tal que IK con la suma y IK\{} con el producto son Grupo Abeliano (tienen las propiedades Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro y Elemento simétrico) y además cumplen la propiedad Distributiva (a (b+c)=a b+a c) EJEMPLOS de Cuerpos Conmutativos: Los conjuntos de los números reales, IR y de los números complejos, IC, son cuerpos conmutativos El conjunto ZZ 2 = {, } de las congruencias módulo 2 es un cuerpo conmutativo con las operaciones SUMA : + = + = + = + = PRODUCTO : = = = = Como + =, el opuesto de es también, y así = En consecuencia, la resta es idéntica a la suma 2 Matrices Sea A una matriz de m filas y n columnas (A M mxn (IK)) a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A= a m a m2 a mn El elemento a ij IK es el elemento de la fila i y columna j Decimos que una matriz es cuadrada si m = n MATRIZ TRASPUESTA: A t La matriz traspuesta de A, que notamos A t, es una matriz de n filas y m columnas tal que las filas de A son las columnas de A t, es decir, A t M nxm (IK) A t = (a ij ) con a ij = a ji para todo i =,, n, j =,, m A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n, A t = a a 2 a m a 2 a 22 a m2 M nxm (IK) a m a m2 a mn a n a 2n a mn MATRICES CUADRADAS: A M nxn (IK) Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A M nxn (IK), es simétrica si A = A t 3 Ej A = 2 3/4 no es una matriz simétrica 3 3/4 Diagonal de una matriz cuadrada: Dada A M nxn (IK), la diagonal son los elementos de la forma a ii, i =,, n ie a, a 22,, a nn

2 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 2 Traza de una matriz cuadrada: es la suma de los elementos de la diagonal, ie dada A M nxn (IK), Tr(A) = a + a a nn Matriz diagonal: es una matriz cuadrada A M nxn (IK) tal que todos sus elementos son salvo en la diagonal, en la que pueden tomar cualquier valor a a 22 2 A = Ej A = a nn Matriz identidad de orden n I n M nxn (IK), es una matriz cuadrada, diagonal, en la que todos los elementos de la diagonal tienen valor I n = OTRAS MATRICES: A M mxn (IK) Matriz nula: Es aquella cuyos elementos son todos = M mxn (IK) Matriz triangular superior: es la que tiene ceros a la izquierda y por debajo de un triángulo OPERACIONES CON MATRICES : /2 3 /2 Ejs A = , B = SUMA DE MATRICES: Sean A y B matrices, A, B M mxn (IK) Si A = (a ij ) y B = (b ij ), se define C = A + B, C = (c ij ) M mxn (IK) la matriz cuyos elementos son c ij = a ij + b ij, i {,, m}, j {,, n} Propiedades (a) Conmutativa: A + B = B + A (b) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) (c) Elemento neutro: = M mxn (IK) Verifica que A + = + A = A (d) Elemento opuesto: Para cada matriz A = (a ij ) M mxn (IK), su opuesto es una matriz A = (b ij ) M mxn (IK) con b ij = a ij, i {,, m}, j {,, n} Con estas propiedades (M mxn (IK), +) tiene estructura de grupo abeliano

3 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 3 2 PRODUCTO POR UN NÚMERO: Sea A una matriz y λ un número, A M mxn(ik), λ IK Si A = (a ij ), se define λ A = (b ij ) M mxn (IK) la matriz cuyos elementos son b ij = λa ij, i {,, m}, j {,, n} Propiedades (a) El producto de una matriz por un número es conmutativo: λa = Aλ (b) El producto de una matriz por un número es distributivo: (λ + µ)a = λa + µa, λ(a + B) = λa + λb 3 PRODUCTO DE MATRICES: Sean A y B matrices, A M mxn (IK), B M nxp (IK), a a 2 a n b b 2 b p a 2 a 22 a 2n b 2 b 22 b 2p A =, B =, C = A B = (c ij ) M mxp (IK) a m a m2 a mn b n b n2 b np ( ) donde c ij = a i a i2 a in Propiedades (a) No es conmutativa b j b 2j b nj (b) Asociativa: (A B) C = A (B C) (c) Elemento neutro: = a i b j + + a in b nj = n k= a ikb kj i Si m n, M mxn (IK) no tiene elemento neutro ii Si m = n, M nxn (IK) sí tiene elemento neutro I = M nxn (IK) Verifica que A I = I A = A (d) En general no tiene elemento simétrico (inverso) Una matriz cuadrada A M nxn (IK) tiene inversa si A M nxn (IK) tal que A A = A A = I La inversa de una matriz A es única y se representa por A (e) Distributiva: (A + B) C = A C + B C; A, B M mxn (IK), C M nxp (IK) A (B + C) = A B + A C; A M mxn (IK), B, C M nxp (IK) OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS en una matriz A M mxn (IK): Multiplicar una fila por un número λ IK no nulo 2 Intercambiar dos filas entre sí 3 Sumar o restar a una fila un múltiplo de otra fila Ejemplo f 2f f 2 f

4 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 4 f 2 f 2 f MATRICES ELEMENTALES por filas (de orden m): Son aquellas matrices cuadradas que resultan de aplicar una operación elemental por filas a la matriz identidad I m Hay tres tipos Intercambiar las filas i y j en la matriz identidad (E ij ) 2 Multiplicar la fila i de la matriz identidad por un número λ (E i (λ)) 3 Sumar a la fila i la fila j multiplicada por λ en la matriz identidad (E ij (λ)) Ejemplo 22 I 3 = I 3 = I 3 = f f 2 E2 = f 3 3f 3 E3 ( 3) = f 3 f 3 2f 2 E32 ( 2) = 3 2 OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS en una matriz A M mxn (ZZ 2 ): Intercambiar dos filas entre sí 2 Sumar una fila a otra fila Ejemplo 23 f 2 f 2+f f 3 f 3+f f 3 f 2 f 3 f 3 +f 2 MATRICES ELEMENTALES por filas: En ZZ 2 hay dos tipos Intercambiar las filas i y j en la matriz identidad (E ij ) 2 Sumar a la fila i la fila j en la matriz identidad (E ij ( ))

5 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 5 Ejemplo 24 I = I = f f 2 E2 = f 3 f 3+f 2 E 32 ( ) = Relación entre matrices elementales y operaciones elementales: Realizar en una matriz A M mxn una operación elemental por filas es equivalente a multiplicar por la izquierda dicha matriz por la matriz elemental, de orden m, correspondiente Ejemplo 25 2 A = 2 3 f 2f A = f 2 f 2 f A = f 2 f 3 A = E (2)A = E 23 A = E 2 ( )A = = = = 5 = A = A = A Por tanto, A = E 2 ( )E 23 E (2)A Observación 26 Todas las matrices elementales tienen inversa y se verifica que E ij = E ij E i (λ) = E i ( λ ) E ij (λ) = E ij( λ) Luego, su inversa es también una matriz elemental Ejemplo 27 E 23 E 23 = = E 2 (2)E 2 ( 2 ) = 2 2 =

6 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 6 E 3 ( 2)E 3 (2) = 2 2 = Observación 28 En el caso de ZZ 2, las inversas de las matrices elementales son E ij = E ij E ij ( ) = E ij ( ) MATRIZ DE PASO: Sea una matriz A M mxn y sea B una matriz mxn que se obtiene al realizar k operaciones elementales a A Entonces B=E k E k E 2 E A donde E i es la matriz elemental asociada a la operación elemental i-ésima Además, si tomamos la matriz identidad I de orden m, I M mxm, y hacemos (A I m ) k oprselts (B E) se verifica B = E A donde E = E k E k E 2 E La matriz E se llama MATRIZ DE PASO de A a B (A I m ) (E A E I m ) (E 2 E A E 2 E I m ) (E k E k E 2 E A E k E k E 2 E I m ) (E A E I m ) (B E) Ejemplo 29 f 2 f 3 (A I) = f 2 f 2f = (A E 2 ( )E 23 E (2)) Ejemplo 2 (A I) = f 3 f 3 +f f 3 f 2 f 2 f 2 +f = (A E 23 E 3 ( )E 2 ( )) Observación 2 Si E = E k E k E 2 E, E M nxn (IK) es una matriz de paso, E tiene inversa y es E = E E 2 E k E k Debemos comprobar que E E = E E = I: E E = E k E k E 2 E E E 2 E k E k = I E E = E E 2 E k E k E k E k E 2 E = I FORMA REDUCIDA o ESCALONADA de una matriz A: Es una matriz triangular superior que se obtiene aplicando un número finito de operaciones elementales por filas en la matriz A Si A es una matriz mxn, una forma reducida o escalonada de A, es una matriz B, mxn, de la siguiente forma Las k primeras filas de B son no nulas ( k m) 2 Las m k últimas filas de B son nulas

7 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 7 3 El primer elemento no nulo (o pivote) de la fila i está a la izquierda del primer elemento no nulo de la fila i + ( i k ) b b k b k+ b n b kk b kk+ b kn B= RANGO de una matriz A: Es el número de filas NO nulas que hay en una forma reducida o escalonada de A Ejemplo A = f 2 f 3 f +f 2 f 2 f f f 2 } {{ } F orma Escalonada de A Rango 2 2 2f 2 f 3 f f 2 2 F orma canonica de A FORMA CANÓNICA POR FILAS o FORMA ECHELON-FILA de una matriz A: Es la forma reducida o escalonada de A más sencilla posible, que se puede obtener mediante operaciones elementales por filas, en la matriz A; tiene la siguiente forma: sea B una forma reducida de A En ella los pivotes son todos unos y por encima de los pivotes se hacen ceros Si b ii entonces se puede transformar en y hacer ceros por encima de él ( i k) Si b ii = entonces no se podrán hacer ceros por encima de él ( i k) Es decir, el primer elemento NO nulo de cada fila es un, se encuentra a la izquierda del primer elemento NO nulo de la fila siguiente y por encima de l todos los elementos son Esta matriz es una forma reducida y es única, aunque el proceso para llegar a ella no sea único (la notaremos Ec(A)) Se obtiene continuando con operaciones elementales a partir de una forma reducida Ejemplo 23 Dada la matriz A = 2 Encontrar una sucesión de matrices elementales E, E 2,, E k tal que E k E 2 E A sea la forma canónica por filas o forma echelon-fila de A y obtener la matriz de paso f (A I) = 2 3 +f 2 2f 3 f E A E E 3 E 2 E A E 3 E 2 E

8 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 8 f 2 f f2 2 2 f f E 4 E 3 E 2 E A E 4 E 3 E 2 E E 5 E 4 E 3 E 2 E A E 5 E 4 E 3 E 2 E E 6 E 5 E 4 E 3 E 2 E A E 6 E 5 E 4 E 3 E 2 E Por tanto la matriz de paso E = E 6 E 5 E 4 E 3 E 2 E verifica que EA = I 3, siendo, E 3E 2 =, E 4 =, E 5 = E = 2 2, E 6 = Observación 24 A M nxn (IK) es invertible, regular o no singular rg (A) = n Su forma canónica por filas es la identidad y la matriz de paso de A a su forma canónica es la inversa de A Por tanto, se puede utilizar el método anterior para calcular la inversa de A M nxn (IK), si existe: (A I n ) k oprs elts ( A E ) k oprs elts ( Ec(A) E ) freducida fcanon Si rango de A, que es el número de filas no nulas de A, es n entonces Ec(A) = I n y E = A (ver apartado aplicaciones del teorema de Rouché-Frobenius) Veamos que efectivamente E es la inversa de A: Como E es la matriz de paso de A a I n, E A = I n Por otra parte, como vimos anteriormente, E tiene inversa por lo que A E = E E A E = E I n E = I n Por tanto A = E Observación 25 A M nxn (IK) es invertible A es producto de matrices elementales PROPIEDADES DE LA INVERSA: Sean A, B M nxn (IK) invertibles La inversa, si existe, es única ( A ) (A B) = B A, 3 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es una expresión de la forma a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 con a ij, b i IK números dados a m x + a m2 x a mn x n = b m Representación de un sistema en FORMA VECTORIAL: En forma vectorial el sistema sería a a 2 a m x + a 2 a 22 a m2 x a n a 2n a mn x n = b b 2 b m

9 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 9 Representación de un sistema en FORMA MATRICIAL: Si escribimos el sistema en forma de ecuación matricial a a 2 a n a 2 a 22 a 2n } a m a m2 {{ a mn } A con A M mxn, x M nx y b M mx x x 2 x n x = b b 2 b m } {{ } b Ax=b La matriz A se llama MATRIZ DE COEFICIENTES del sistema Ax=b y b es la m-tupla de términos independientes MATRIZ AMPLIADA de un sistema: La matriz A = (A b) M mx(n+) se llama matriz ampliada del sistema Ax=b SOLUCIONES: Dado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas Ax=b, una solución del sistema es una s b n-tupla de números (s,, s n ) con s i IK tal que A = s n b m Teorema 3 Si un sistema Ax=b, con coeficientes en IK infinito, tiene más de una solución Entonces, tiene infinitas soluciones Demostración: Sean s y s 2 dos soluciones distintas del sistema Ax=b Por tanto, As =b y As 2 =b Tomamos s = αs + βs 2 tal que α + β = ; As=A(αs + βs 2 )=αas +βas 2 =αb+βb=(α + β)b=b Por tanto, s es solución del sistema Ax=b y como hay infinitas formas de tomar α y β tal que α + β = hay infinitas soluciones Luego, un sistema o No tiene solución, o tiene una única solución o tiene infinitas soluciones SISTEMA INCOMPATIBLE: No tiene solución SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO: Tiene una única solución SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO: Tiene infinitas soluciones SISTEMA HOMOGÉNEO: El sistema Ax=b es homogéneo si b= Observación: Todo sistema homogéneo es compatible, al menos posee la solución trivial x =, x 2 =,, x n = SISTEMAS EQUIVALENTES: Dos sistemas de ecuaciones lineales se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones 3 Resolución de sistemas por el método de eliminación de Gauss El método de eliminación de Gauss para resolver el sistema Ax=b consiste en realizar operaciones elementales en la matriz (A b) para ir eliminando incógnitas y obtener un sistema equivalente más sencillo de resolver Ejemplo 32 x + 3y + z = 3 3x + 9y + 4z = 7 2x y + z = f 2 3f f 3 2f f 2 f

10 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal x + 3y + z = 3 7y z = 2 z = 2 Este sistema es más sencillo de resolver, sus soluciones son z = 2, y = 2, x = Veamos que tiene las mismas soluciones que el sistema original Teorema 33 Si (A b ) se ha obtenido aplicando a (A b) un número finito de operaciones elementales por filas, los sistemas Ax=b y A x=b son equivalentes (tienen el mismo conjunto de soluciones) Demostración: Supongamos que (A b ) se ha obtenido aplicando k operaciones elementales por filas en la matriz (A b) Por tanto, (A b )=E(A b) con E=E k E k E 2 E, producto de matrices elementales; luego tienen inversa y A =EA y b =Eb Sea s solución de A x=b, es decir A s=b y sustituyendo A =EA y b =Eb obtenemos, EAs = Eb E E 2 E k E k E ke k E 2 E As = E E 2 E k E k E ke k E 2 E b As = b I I El método de Gauss consiste en obtener una forma reducida (A b ) de la matriz (A b) (A b )= y resolver el sistema A x=b que será de la forma a a k a k+ a n b a kk a kk+ a kn b k a x + +a k x k + a k+ x k++ +a nx n = b a kk x k + a kk+ x k++ +a kn x n = b k El sistema A x=b tiene solución (,,, a kk,, a kn, b k ) (,,, b k ) rg(a)=rg(a b) En cuyo caso la solución se obtiene a partir de a x + +a k x k = b a k+ λ k+ a nλ n a kk x k = b k a kk+ λ k+ a kn λ n x k+ = λ k+ x n = λ n Si k=n la solución será única Por tanto, el método de Gauss nos dirá si el sistema Ax=b tiene solución y determina la solución en caso afirmativo Teorema 34 (Teorema de Rouché-Frobenius) Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas Sea A la matriz de los coeficientes del sistema y (A b) la matriz ampliada Se tiene El sistema es Compatible Determinado rg(a) = rg(a b) = n 2 El sistema es Compatible Indeterminado rg(a) = rg(a b) < n

11 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 3 El sistema es Incompatible rg(a) < rg(a b) Ejemplo 35 x 3y + z = 2 2x + y z = 4 x + 4y 2z = f 2 2f f 3 f { x 3y + z = 2 7y 3z = x = λ = y = 3 7 λ z = λ f 3 f rg(a)=rg(ab)=2<3 SCI Ejemplo 36 x 3y + z = 2 2x + y z = 2 x + 4y 2z = f 2 2f f 3 f f 3 f rg(a)=2,rg(ab)=3 SI OBSERVACIÓN: Los dos sistemas se podrían haber resuelto a la vez por tener la misma matriz de coeficientes f 2 2f f 3 f f 3 f SCI SI 4 Aplicaciones del teorema de Rouché-Frobenius 4 Cálculo de la Matriz Inversa Teorema 4 Dada A una matriz cuadrada, nxn, existe Inversa de A (que notaremos A ) rg(a)=n Además, si existe es única y diremos que A es invertible (o regular o no singular) Demostración: Buscamos una matriz X única tal que AX=XA=I Sean las matrices x x 2 x n y y 2 y n x 2 x 22 x 2n y 2 y 22 y 2n X = Y = x n x n2 x nn y n y n2 y nn queremos encontrar X e Y tal que AX=YA=I ((YA) t =A t Y t =I) Por el teorema de Rouché-Frobenius los sistemas x x 2 x n x 2 x 22 x 2n A =, A =,, A = x n x n2 x nn

12 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 2 ) ) ( ( ) ( ( y y 2 y n A =,, y n y n2 y nn A = y y n A t y 2 =,, A t y n2 = y n tienen solución única si y sólo si rg(a) = n (Observación: Hemos usado que rg(a)=rg(a t )) Además, si AX=I y YA=I = YAX=X AX=I = X=Y Luego, A es invertible si y sólo si rg(a) = n y nn Pasos para el cálculo de la inversa de una matriz A, nxn: ) Realizar operaciones elementales por filas en la matriz (A I) hasta obtener una matriz (A E ) con A una forma reducida de A 2 Si rg(a) < n = A no es invertible 3 Si rg(a) = n = Seguir realizando operaciones elementales en (A E ) hasta obtener una matriz (I E) La inversa de A será la matriz E Proposición 42 (A ) = A por la unicidad de la inversa y (AB) = B A ya que ABB A =I=B A AB (AB) =B A Corolario 43 Una matriz A es invertible A es producto de matrices elementales Demostración: Sea A una matriz nxn, A es invertible rg(a)=n (A I) I=EA con E=E k E k E producto de matrices elementales A=E E k E k oprs elts (I E) tal que Ejemplo 44 ( ) f A I = f 3 2 } {{ } 3 f f +f 2 f 3 rg(a)=3 Invertible A Ejemplo 45 ( ) 2 A I = f 3 f 2 f 2 2f rg(a)=2 NO Invertible f 3 3f

13 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 3 42 Eliminación de Parámetros Sean las ecuaciones paramétricas (I) x = b + b t + + b p t p x 2 = b 2 + b 2 t + + b 2p t p x n = b n + b n t + + b np t p con b ij, b i IR números dados En forma matricial serán x x 2 x n x = b b 2 b m } {{ } b + b b 2 b n } {{ } b t + + b p b 2p b np } {{ } b p t p x = b + b t + + b p t p Eliminar los parámetros t,, t p en (I) significa obtener un sistema de ecuaciones lineales en las variables x,, x n en el que no figuren los parámetros t,, t p y cuyas soluciones sean (I), es decir, significa resolver el sistema (I) tomando x b como términos independientes Por tanto, la eliminación de parámetros es el problema inverso al de hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales Supongamos que rg(b,, b p ) nxp = k y si reducimos la matriz (b,, b p x b) nx(p+) nos quedará una matriz de la forma b b k b p b kk b kp a x + + a n x n + a a n k x + + a n kn x n + a n k Por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema (I) tiene solución si y sólo si rg(b,, b p )= rg(b,, b p x b)=k (II) a x + + a n x n + a = a n k x + + a n kn x n + a n k = El sistema (II) es el resultado de la eliminación de parámetros en (I), y las soluciones del sistema (II) son precisamente (I) Ejemplo 46 x = + 2r + s + 3t y = 2 + r 2s t Ecs Paramétricas z = r + s u = + r + s + 2t 2 3 x + 2 y 2 z 2 u 2 y 2 f 2 2f,f 3 +f,f 4 f 5 5 x 2y + 5 y + z u y + 5 f2 f f 2 2 y x + z 2 u 2 y 2 5 x 2 5 y + y + z u y +

14 Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal 4 2 y 2 f 3 +f 2,f 4 3f 2 5 (x 2y + 5) 5 x y + z x + 5 y + u 2 { x + 3y + 5z = 3x + y + 5u = Ecs Implícitas