1 Sistemas de ecuaciones lineales.

Transcripción

1 Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Sea S el siguiente sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas: 9 a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 >= >; a m x + a m2 x a mn x n = b m () donde a ij 2 R, i n y j m, se denominan los coe cientes del sistema, b j 2 R j m, se denominan los términos independientes del sistema y (x ; : : : ; x n ) son las incógnitas del sistema El sistema () se puede escribir de manera matricial como sigue: ~x = ~ b, donde a a 2 a n a 2 a 22 a 2n = B 2 M mn, es la matriz de coe cientes a m a m2 a mn ~x = y ~ b = B B x x n b b m 2 R n es el vector de incógnitas 2 R m es el vector de términos independientes La matriz ~ = ( j ~ b) = B a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 a m a m2 a mn b m 2 M m(n+) se denomina matriz ampliada del sistema Obsérvese que ~ recoge toda la información del sistema Si ~ b = ~ se dice que el sistema ~x = ~ es homogéneo Si ~ b 6= ~ se dice que el sistema ~x = ~ b es no homogéneo Dado un sistema ~x = ~ b no homogéneo, al sistema homogéneo ~x = ~ (que tiene la misma matriz de coe cientes) se denomina sistema homogéneo asociado Se dice que el sistema es: Incompatible si no tiene solución 2 ompatible si tiene solución

2 (a) ompatible determinado si tiene una única solución (b) ompatible indeterminado si tiene más de una solución 2 Existencia de soluciones Teorema de Rouché-Frobenius Dado un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas, ~x = ~ b ( 2 M mn matriz de coe cientes y ~ = ( j ~ b) 2 M m(n+) matriz ampliada), se veri ca: El sistema es incompatible si y sólo si rg 6= rg ~ 2 El sistema es compatible si y sólo si rg = rg ~ (a) Si rg = rg ~ = n, entonces el sistema es compatible determinado (b) Si rg = rg ~ < n, entonces el sistema es compatible indeterminado Demostración El sistema ~x = ~ b tiene solución si y sólo si existen x ; : : : ; x n números reales tales que esto es, B a a 2 a m x + B a 2 a 22 a m2 x B a n a 2n a mn ~a x + + ~a n x n = ~ b b x B n = donde ~a j es la columna j-ésima de la matriz Por tanto, el sistema tiene solución si y sólo si ~ b es combinación lineal de los vectores columna de ; esto es, ~ b 2 L(f~a ; : : : ;~a n g) () L(f~a ; : : : ;~a n ; ~ bg) = L(f~a ; : : : ;~a n g) () rg ~ = dim L(f~a ; : : : ;~a n ; ~ bg) = dim L(f~a ; : : : ;~a n g) = rg Si rg ~ = rg = n, entonces f~a ; : : : ;~a n g es un sistema linealmente independiente que generan L(f~a ; : : : ;~a n g) y, por tanto, es una base de L(f~a ; : : : ;~a n g) Luego como las coordenadas son únicas, existen únicos números (x ; : : : ; x n ) tales que ~a x + + ~a n x n = ~ b Por tanto, el sistema es compatible determinado Si rg ~ = rg < n, entonces f~a ; : : : ;~a n g no es linealmente independiente y, por tanto, no es una base de L(f~a ; : : : ;~a n g) Luego, la forma de escribir ~ b como combinación lineal de los vectores ~a ; : : : ;~a n no es única y, por tanto, la solución del sistema no es única b m 2

3 Observaciones Un sistema homogéneo siempre es compatible pues ~x = ~ siempre es solución del sistema 2 Si el sistema homogéneo es compatible determinado entonces ~x = ~ es la única solución del sistema 3 Propiedades de las soluciones de un sistema lineal 3 Sistemas homogéneos El conjunto W de soluciones de un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales y n incógnitas, ~x = ~, es un subespacio vectorial de R n de dimensión dim W = n rg() Nótese que n o W = ~x = (x ; : : : ; x n ) 2 R n j ~x = ~ 4 Sistemas equivalentes Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones Dado un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas ~x = ~ b, 2 M mn, a continuación vamos a ver dos métodos para encontrar un sistema equivalente al dado Este primer método es útil para sistemas compatibles; esto es, sistemas que veri can: rg() = rg( ~ ) = r: (a) Buscamos un menos básico o principal de ; esto es, un menor M r de orden r de tal que M r 6= (b) Del sistema ~x = ~ b suprimimos las ecuaciones que no corresponden a las las del menor elegido (c) Pasamos al lado del término independiente las incógnitas que no corresponden a las columnas del menor elegido El sistema que obtenemos es equivalente al de partida Ejemplo Se considera el siguiente sistema de ecuaciones: 9 x + 2y = = 2x + y + 3z = 2 ; 3x + y + 5z = 3 La matriz de coe cientes es =

4 que tiene rango 2 ya que det = y, por ejemplo, el menor formado por las dos primeras las y las dos primeras columnas de la matriz es distinto de cero: 2 2 6= Tomamos 2 2 como menor básico La matriz ampliada es ~ = que tiene rango 2 pues orlando el menor básico de tenemos = y = Por tanto, rg = rg ~ = 2 < 3, y el sistema es compatible indeterminado omo el menor principal que hemos considerado es el formado por las dos primeras las podemos prescindir de la tercera ecuación del sistema Un sistema equivalente al lado es el siguiente: donde z = 2 R x + 2y = 2x + y = 2 2 uando en un sistema de ecuaciones lineales se realizan las siguientes operaciones el sistema que se obtiene es equivalente al de partida: Intercambiar ecuaciones Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero Sumar a una ecuación una combinación lineal de las restantes 5 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 5 Método de ramer El método de ramer se utiliza para sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados; esto es, sistemas de ecuaciones lineales de la forma: ~x = ~ b, con 2 M nn, donde rg() = rg( ) ~ = n omo rg() = n la matriz es invertible Multiplicando por la inversa de el sistema de ecuaciones ~x = ~ b obtenemos: ~x = ~ b () ~x = ~ b solución del sistema 3 omo sabemos que = det (dj)t 4

5 se tiene que la solución del sistema es Desarrollando lo anterior se tiene: ~x = det (dj)t ~ b: x i = det i det ; i = ; : : : ; n donde i es la matriz obtenida al susitutir en la matriz la columna i-ésima por la columna de términos independientes 52 Método de Gauss-Jordan El método de Gauss-Jordan consiste en obtener un sistema equivalente al dado y más fácil de resolver Si partimos de un sistema ~x = ~ b, con 2 M mn ; esto es, 9 a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 >= >; a m x + a m2 x a mn x n = b m utilizando operaciones permitidas obtendremos un sistema equivalente de la forma ^a x + ^a 2 x ^a n x n = ^b 9 ^a 22 x ^a 2n x n = ^b 2 >= ^a rn x n = ^b r = = Si ^a rn = y ^b r 6= el sistema de partida es incompatible Si ^a nn 6= y ^b n 6= (r = n) el sistema de partida es compatible determinado Si ^a rn 6= y ^b r 6= (r < n) el sistema de partida es compatible indeterminado Observaciones Nótese que utilizando este método no es necesario estudiar primero la compatibilidad del sistema con el Teorema de Rouché-Frobenius 2 omo la matriz ampliada recoge toda la información del sistema de ecuaciones, las operaciones elementales las haremos en la matriz ampliada 3 Utilizaremos el símbolo cuando pasemos de una matriz ampliada de un sistema S a la matriz ampliada de un sistema equivalente a S >; 5

6 Las operaciones elementales son: Intercambiar ecuaciones del sistema que equivale a intercambiar las de la matriz ampliada 2 Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero que equivale a multiplicar una la de la matriz ampliada por un número distinto de cero 3 Sumar a una ecuación una combinación lineal de las restantes que equivale a sumar a una la de la matriz ampliada una combinación lineal de las restantes las Ejemplo Vamos a estudiar el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 8 < x + 2y z = 3x + y 2z = 2 : x + 5y 4z = 2 Utilizamos el método de Gauss La matriz ampliada del sistema es: 2 ~ = a la+3( a la) 3 a la+ a la a la 2 a la por tanto el sistema equivalente se escibe: 8 < x + 2y z = 7y 5z = 5 : = 6 que es incompatible pues 6= 6 6