Introducción al Cálculo con Matrices
|
|
- Gabriel Casado Reyes
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Introducción al Cálculo con Matrices 2016Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1
2 Índice 1 Concepto de Matriz o Tabla Listas Numéricas Tablas Numéricas Matrices Tipos de Matrices Atendiendo a la Forma Atendiendo a los Elementos Operaciones con Matrices y sus Propiedades Suma y Resta de Matrices Producto de Matrices Propiedades de las Matrices Rango de una Matriz o Característica Ejercicios para Practicar Ejercicios Aplicados al Mundo Laboral ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
3 Introducción Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1850, introducidas por James Joseph Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático y astrónomo William Rowan Hamilton y a Arthur Cayley este último introdujo la notación matricial como forma abreviada de representación de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Actualmente, muchos programas de ordenador, utilizan el concepto de matriz, por ejemplo las hojas de cálculo de Excel. Estos programas funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas casillas se pueden introducir datos y fórmulas a partir de las cuales realizan los cálculos a gran velocidad. Esto requiere utilizar las operaciones con matrices que definiremos en este capítulo. Objetivos En esta lectura estudiaremos el concepto y características de las matrices así como las operaciones con matrices. 03 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
4 1 Concepto de Matriz o Tabla 1.1 Listas Numéricas Las listas numéricas son un conjunto de números que se disponen uno a continuación de otro, de forma ordenada A(1) A(2) A(3) A(4) A(5) La lista numérica se designa por A (I) donde I (índice), identifica cada una de las posiciones de la lista. Siendo A (1) la primera posición y A (5) la última para este ejemplo. También se suele definir a la lista numérica con el símbolo (a i ) donde a i es un elemento genérico de la lista e i indica su posición. 1.2 Tablas Numéricas Una tabla numérica es una combinación de filas y columnas que forman casillas, es decir cada casilla de la tabla queda determinada por un par de números, uno que indica la fila y otro que indica la columna. Ejemplo: El conjunto de las casillas o posiciones de la tabal se designa por A (I, J), donde I, J son los índices, I recorre los números correspondientes a las filas y J, los números correspondientes a las columnas. En el ejemplo vemos que el elemento representado correspondería a A (3,4)=4 fila 3 columna 4. Al igual que las listas numéricas, las tablas también se representan con el símbolo (a i, j ). 1.3 Matrices Tanto las listas como las tablas de elementos reciben el nombre genérico de matrices. 04 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
5 Si m y n son los valores mayores que toman I y J, respectivamente es posible disponer de los elementos de la matriz en una tabla rectangular de m filas y n columnas de la siguiente forma: El símbolo (a i,j ), designa la matriz completa mientras que a i,j representa un elemento cualquiera de la misma. El número de filas por el de columnas recibe el nombre de dimensión de la matriz, y se designa por. Si m=n se dice que la matriz es de orden n En número total de elementos de la matriz (a i,j ) es Matrices iguales La igualdad de matrices generaliza la igualdad de vectores. Si escribimos los vectores en forma matricial se tiene: Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Ejemplo: dadas las siguientes matrices: Son iguales si se da que 1=c, a=3, b=2, 1=d 2 Tipos de Matrices A continuación se muestran los tipos de matrices más usuales. 2.1 Atendiendo a la Forma a) Matriz fila: es aquella que tiene sólo una fila. b) Matriz columna: es aquella que solo tiene una columna. 05 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
6 c) Matriz cuadrada: es aquella que tiene igual número de filas que de columnas; en caso contrario se llama matriz rectangular. El conjunto formado por todos los elementos diagonal principal. de la matriz cuadrada se llama El conjunto formado por todos los elementos con i+j=n+1 de una matriz cuadrada de orden n reciben el nombre de diagonal secundaria. Diagonal secundaria Diagonal principal d) Matriz traspuesta: dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por, a la matriz que se obtiene cambiado filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de y así sucesivamente De la definición se deduce fácilmente que si A es de dimensión m x n entonces la matriz traspuesta será de dimensión n x m. La traspuesta de una matriz fila es una columna, y recíprocamente. e) Matriz simétrica: se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada tal que Ejemplos de matrices simétricas: 2.2 Atendiendo a los Elementos a) Matriz nula: es aquella que todos son elementos son 0. La matriz nula se representa 0 y se llama también matriz ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
7 b) Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos c) Matriz escalar: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales. d) Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1 por ejemplo: e) Matriz triangular: es una matriz cuadrada en la que todos los términos por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos. 3 Operaciones con Matrices y sus Propiedades 3.1 Suma y Resta de Matrices Dos matrices se pueden sumar si son de la misma dimensión Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a ij ) y B=(b ij ), se define la matriz suma como: A+B=(a ij +b ij ). El número de filas y columnas de la primera matiz ha de ser igual al número de filas y columnas de la segunda. 07 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
8 La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición. Ejemplo 1: dadas las siguientes matrices realiza la suma de A+B=C Primero tenemos que estudiar su dimensión: La matriz A 2x2 es una matriz 2x2 (m=2 filas y n=2 columnas) La matriz B 2x2 es una matriz 2x2 (p=2 filas y q=2 columnas) Como puedes observar ambas matrices tienen la misma dimensión y como resultado se obtendrá una matriz C 2x2, de la misma dimensión. Los elementos de la matriz C se obtienen de la siguiente manera c 11 =a 11 +b 11 =1+5=6 c 12 =a 12 +b 12 =2+6=8 c 21 =a 21 +b 21 =3+7=10 c 22 =a 22 +b 22 =4+8=12 Ejemplo 2: dadas las siguientes matrices realiza la resta de A-B=C Primero tenemos que estudiar su dimensión: La matriz A 2x3 es una matriz 2x3 (m=2 filas y n=3 columnas) La matriz B 2x3 es una matriz 2x3 (p=2 filas y q=3 columnas) Los elementos de la matriz C se obtienen de la siguiente manera c 11 =a 11 -b 11 =1-2=-1 c 12 =a 12 -b 12 =0-1=-1 c 13 =a 13 -b 13 =3-3=0 c 21 =a 21 - b 21 =2-4=-2 c 22 =a 22 - b 22 =5-3=2 c 23 =a 23 - b 23 =6-2=4 Recuerda: Se suman o restan los elementos que ocupan la misma posición. 08 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
9 3.2 Producto de Matrices Dos matrices son multiplicables si el número de columnas de la 1º matriz coincide con el número de filas de la 2º matriz. Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz; dicho de otro modo: si A tiene dimensión y b tiene dimensión, para realizar el producto de A B es necesario que n=p. Así pues: El producto de una matriz A de dimensión por la matriz b de dimensión, es otra matriz de dimensión de modo que cada elemento se obtiene multiplicando escalarmente la fila i por de la primera matriz por la columna j de la segunda. Ejemplo 1: Sea las matrices: Determinar A B 1º Estudiamos sus dimensiones Ttiene 2 filas y 3 columnas; es decir m=2 y n=3 Tiene 3 filas y 2 columnas p=3 y q=2 Coincide el número de columnas de la primera matriz n=3 con el número de filas de la segunda matriz p=3? Sí, luego estas matrices se pueden multiplicar, y se realiza de la siguiente forma: Recuerda: Siempre se multiplican las filas de la pirmera matriz por las columnas de la segunda, elemento elemento.la primera fila (rodeada en rojo) por la primera columna rodeada en azul, nos daría com resutado el elemeno a 11, de la matriz resultante (rodeado en verde) El primer elemento de la fila por el primer elemento de la columna 1x7 El segundo elemento de la fila por el segundo elemento de la columna 2x8 El tercer elemento de la fila por el primer tercer de la columna 3x9 a 11 =1x7+2x8+3x9=50 09 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
10 Ejemplo 2: Dada las matrices: Determinar A B 1º Estudiamos sus dimensiones Coincide el número de columnas de la primera matriz n=2 con el número de filas de la segunda matriz p=2? Sí, luego estas matrices se pueden multiplicar, y se realiza de la siguiente forma: ( ) 3.3 Propiedades de las Matrices El producto de matrices verfica las siguientes propiedades 1. Propiedad asociativa Respecto de la suma: A+(B+C)=(A+B)+C Respecto del producto: A(BC)=(AB)C 2. Propiedad conmutativa La suma de dos matrices es conmutativa A+B=B+A El producto de dos matrices en general no es conmutativo; es decir AB BA. Ejemplo: dadas las matrices 3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene Siendo, la matriz identidad de orden n. 010 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
11 4. Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que: Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A, y se designa por Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad de orden n Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad de orden n. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es invertible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. 5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: 4 Rango de una Matriz o Característica El rango de una matriz M es el número de filas o de columnas linealmente independientes. Ejemplo si consideramos la matriz 3 x 4 Las filas pueden tomarse como un conjunto de 3 vectores con 4 componentes: Análogamente las columnas pueden tomarse como un conjunto de 4 vectores con 3 componentes: 011 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
12 Por tanto si consideramos las filas o columnas de una matriz como vectores, podemos hablar de dependencia e independencia lineal, y por lo tanto podemos hablar de rango por filas y de rango por columnas. 5 Ejercicios para Practicar Ejercicio 1: Dadas las siguientes matrices determina el producto A.B y la suma de A+B Solución: Producto A*B=C Las componentes de la matriz C se calculan de la siguiente forma c 11 =a 11 *b 11 +a 12 *b 21 =1*1+2*1=3 c 12 =a 11 *b 12 +a 12 *b 22 =1*6+2*1=8 c 21 =a 21 *b 12 +a 22 *b 21 =3*1+0*1=3 c 22 =a 21 *b 12 +a 22 *b 22 =3*6+0*1=18 Solución: Suma A+B=D Ejercicio 2: Dadas las siguientes matrices realiza el producto A.B Solución Las componentes de la matriz C se calculan de la siguiente forma c 11 =a 11 *b 11 +a 12 *b 21 +a 13 *b 31 =1*0+2*2+0*0=4 c 12 =a 11 *b 12 +a 12 *b 22 +a 13 *b 32 =1*0+2*2+0*2=4 c 13 =a 11 *b 13 +a 12 *b 23 +a 13 *b 33 =1*1+2*1+0*1=3 c 21 =a 21 *b 1 1+a 22 *b 21 +a 23 *b 31 =0*0+3*2+1*0=6 c 22 =a 21 *b 12 +a 22 *b 22 +a 23 *b 32 =0*0+3*2+1*2=8 c 23 =a 21 *b 13 +a 22 *b 23 +a 23 *b 33 =0*1+3*1+1*1=4 c 31 =a 31 *b 11 +a 32 *b 21 +a 33 *b 31 =1*0+2*2+2*0=4 c 32 =a 31 *b 12 +a 32 *b 22 +a 33 *b 32 =1*0+2*2+2*2=8 012 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
13 c 33 =a 31 *b 13 +a 32 *b 23 +a 33 *b 33 =1*1+2*1+2*1=5 Ejercicio 3: Dadas las siguientes matrices realiza el producto A.B Solución c 11 =a 11 *b 11 +a 12 *b 21 +a 13 *b 31 =1*2+0*2+1*1=3 c 12 =a 11 *b 12 +a 12 *b 22 +a 13 *b 32 =1*1+0*1+1*2=3 c 21 =a 21 *b 1 1+a 22 *b 21 +a 23 *b 31 =1*2+1*2+1*1=5 c 22 =a 21 *b 12 +a 22 *b 22 +a 23 *b 32 =1*1+1*1+1*2=4 Ejercicio 4: Dadas las siguientes matrices, realiza el producto de A.B Solución: Estas matrices no se pueden multiplicar, para que dos matrices se puedan multiplicar, el número de columnas de A ha de ser igual al número de filas de B. En este caso tenemos que el número de columnas de A es 3 y el número de filas de B es 2. Por ello es imposible realizar el producto de estas matrices. 013 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
14 6 Ejercicios Aplicados al Mundo Laboral Ejercicio 1. Una empresa decide premiar con un viaje a su mejor comercial. Para ello analiza las ventas y beneficios de toda la plantilla de comerciales, y entre los finalistas se encuentran Marcos, Raquel y Carolina. Las bases del concurso son las siguientes, durante el fin de semana se analizarán las ventas que obtenga cada uno de los tres comerciales durante el sábado y el domingo y en los turnos de mañana y tarde. El ganador será el que mayor beneficio obtenga de las ventas teniendo en cuenta que obtendrá un beneficio del 12% por las ventas que realicen en el turno de mañana y un 18% por las ventas que realicen en el turno de tarde. Los resultados son los siguientes: Marcos obtiene: El sábado 300um turno de mañana y 700um turno de tarde. El domingo: 500um turno de mañana y 900 um turno de tarde. Raquel obtiene: El sábado 200um turno de mañana y 900um turno de tarde. El domingo: 700um turno de mañana y 1000 um turno de tarde. Lucia obtiene: El sábado 500um turno de mañana y 800um turno de tarde. El domingo: 400um turno de mañana y 800 um turno de tarde. Cuestiones: a) Ordena la información en 3 matrices, matriz de ventas el sábado, matriz de ventas el domingo y matriz de comisión. b) Obtén las ventas totales de cada comercial. c) Quién es el ganador del concurso? Solución: a) Ordena la información en 3 matrices, matriz de ventas el sábado matriz de ventas el domingo y matriz de comisión. Matriz de ventas en sábado: Matriz de ventas en Domingo: 014 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
15 Matriz de comisión: b) Obtén las ventas totales de cada comercial. c) Quién es el ganador del concurso? El ganador según las bases del concurso será el que mayor beneficio obtenga en función de las ventas y de la comisión. El ganador del viaje es Raquel, con un beneficio obtenido de 450um Ejercicio 2. Un taller de ebanistería, fabrica tres tipos de muebles A,B,C en dos tamaños diferentes grandes y pequeños. Produce diariamente 10 muebles grandes y 8 pequeños del modelo A, del modelo B produce 8 grandes y 6 pequeños y del modelo C produce 4 grandes y 6 pequeños cada mueble grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada mueble pequeño lleva 12 tornillos y 4 soportes a) Representa esta información en dos matrices. b) Halla la matriz que represente la cantidad de tornillos y soportes para cada uno de los modelos A,B, C. Solución: a) Representa esta información en dos matrices. Matriz de Muebles Matriz de Material necesario 015 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
16 b) Halla la matriz que represente la cantidad de tornillos y soportes para cada uno de los modelos A,B, C. Para obtener la cantidad de tornillos y soportes para cada modelo multiplicamos las dos matrices anteriores. Para la producción diaria de cada modelo necesita: Modelo A tamaño grande necesita 160 tronillos y 60 soportes. Modelo A pequeño necesita 96 tonillos y 32 soportes Modelo A necesita un total de 256 tronillos y 92 soportes Modelo B tamaño grande necesita 128 tronillos y 48 soportes. Modelo B pequeño necesita 72 tonillos y 24 soportes Modelo B necesita un total de 200 tronillos y 72 soportes Modelo C tamaño grande necesita 64 tronillos y 24 soportes. Modelo C pequeño necesita 72 tonillos y 24 soportes Modelo C necesita un total de 136 tronillos y 48 soportes Ejercicio 3. Tres agentes comerciales a comisión, V1, V2 y V3, venden tres productos P1,P2, P3. Las matrices E,F,M reflejan los ingresos del trimestre del año 2016 expresados en unidades monetarias. a) Calcula los ingresos totales del trimestre. b) Calcula el incremento de ingresos entre el mes de Enero y el mes de febrero. c) Si los vendedores reciben un 8% de los ingresos por ventas en concepto de comisión Cuánto ganó cada agente comercial en este trimestre? 016 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
17 Solución 3 a) Calcula los ingresos totales del trimestre Los ingresos totales del trimestre será la suma de los ingresos del mes de Enero más los del mes de Febrero más los del mes de Marzo. b) Calcula el incremento de ingresos entre el mes de Enero y el mes de febrero. El incremento de ingresos denominado como lo obtenemos restando los ingresos del mes de Febrero menos los ingresos del mes de Enero, para obtener la diferencia de ingresos en estos dos meses. c) Si los vendedores reciben un 8% de los ingresos por ventas en concepto de comisión Cuánto ganó cada agente comercial en este trimestre? Para obtener lo que gana cada vendedor sumamos los ingresos totales de cada vendedor por cada uno de los productos y aplicamos el 8% En el apartado a) hemos obtenido los ingresos totales el trimestre Luego los ingresos totales de cada vendedor serán Vendedor 1 =p1+p2+p3 = =1422 Vendedor 2 =p1+p2+p3= =1574 Vendedor 3 =p1+p2+p3= =1454 Si aplicamos una comisión del 8% obtenemos los beneficios de cada vendedor. Vendedor 1 = 1422 * 0,08=113,76um Vendedor 2 =1574 * 0,08=125,92um Vendedor 3 =1454 * 0,08=116,32um Ejercicio ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
18 Una fábrica de coches, produce dos modelos de coches diferentes W1= coche deportivo y W2= coche familiar. Estos dos modelos se fabrican en tres gamas diferentes Ga=Gama alta, Gm= Gama media y Gb= gama básica. La línea 1 de producción produce las siguientes unidades: W1=40 unidades en Ga W1=100 unidades en Gm W1=200 unidades en Gb La línea 2 de producción produce las siguientes unidades: W2=10 unidades en Ga W2=40 unidades en Gm W2=100 unidades en Gb Se ha realizado una estimación de las horas de taller y las horas de administración que se han destinado para la fabricación de cada unidad de producto, obteniendo para cada gama los siguientes resultados: Solución Ga= gama alta 30h de taller y 2h de administración Gm= Gama media 45h de taller y 3h de administración Gb= Gama básica 60h de taller y 4h de administración a) Representa la información en dos matrices, matriz de producción y matriz de costo en horas. b) Hallar la matriz que exprese las horas de taller y administración empleadas para cada producto. a) Representa la información en dos matrices, matriz de producción y matriz de costo en horas. Matriz de producción Matriz de costo en horas b) Hallar la matriz que exprese las horas de taller y administración empleadas para cada producto. 018 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
19 019 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
Más detallesTema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.
Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz
Más detallesMatrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología
MATRICES Índice:. Introducción-------------------------------------------------------------------------------------- 2. Definición de matriz-----------------------------------------------------------------------------
Más detallesEstos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.
TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detalles1. Matrices. Operaciones con matrices
REPASO MUY BÁSICO DE MATRICES. Matrices. Operaciones con matrices.. Introducción Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se
Más detallesTEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.
TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre
Más detallesMATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.
Concepto de matriz. Igualdad de matrices MATRICES 2º Bachillerato Concepto de matriz. Igualdad de matrices Concepto de matriz. Igualdad de matrices Se llama matriz a una disposición rectangular de números
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES
CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno
Más detallesDefinición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.
1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
CONCEPTO MATRICES Se llama matriz de orden (dimensión) m n a un conjunto de m n elementos dispuestos en m filas y n columnas Se representa por A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn j=1,2,,n
Más detallesMatrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Matrices 1 Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se
Más detallesMATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesEs una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
Definición de matriz Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesTEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos:
TEMA V 1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Realmente quien determina la naturaleza y las soluciones del sistema, no son las incógnitas: x, y,
Más detallesMatriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a
Más detallesMatrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.
Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente
Más detallesTema 1: Matrices. October 13, 2016
Tema 1: Matrices October 13, 2016 1 Matrices Las matrices se usan en muchos ámbitos de las ciencias: sociología, economía, hojas de cálculo, matemáticas, física,... Se inició su estudio en el siglo XIX
Más detallesMatemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara
Matemáticas Física Curso de Temporada Verano 2016 Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com UNIDAD III: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com
Más detallesSe denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
TEMA 1.- MATRICES 1.-Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la
Más detallesDefinición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.
UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices. 3.1.1 Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas.
Más detallesMatrices. Álgebra de matrices.
Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detallesUna matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:
1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con
Más detallesMatrices y Sistemas Lineales
Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes 1 ÍNDICE Matemáticas Cero Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 5 2
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesDefinición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Más detallesDOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P.
DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P. DEFINICIONES Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un texto matemático chino que proviene del año 300 A. C. a 200 A. C., Nueve capítulos
Más detallesMatrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1
Matrices José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 1 Introducción Por qué estudiar las matrices? Son muchas las situaciones de la vida real en las que
Más detallesMatrices y Sistemas Lineales
Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 6 2 Herramientas 8 21 Operaciones
Más detallesMATRICES. M(n) ó M nxn A =
MTRICES Definición de matriz. Una matriz de orden m n es un conjunto de m n elementos pertenecientes a un conjunto, que para nosotros tendrá estructura de cuerpo conmutativo y lo denotaremos por K, dispuestos
Más detallesTema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES
Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos
Más detallesUna matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( )
MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de matrices ( + ( ) ( + ( ) El tamaño o el orden de una
Más detallesBLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21
Más detallesMatrices y operaciones con Matrices.
Matrices y operaciones con Matrices En clases anteriores hemos usado arreglos rectangulares de números, denominados matrices aumentadas, para resolver sistemas de ecuaciones lineales Denición Una matriz
Más detallesDEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas
Más detallesMATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS
Definición: se llama matriz de m filas y n columnas sobre un cuerpo K (R ó C), a una ordenación rectangular de la forma Notación: a11 a...... a1n a21 a...... a2n A = M M M donde cada elemento a ij Є K
Más detallesTEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...
TEMA : MATRICES Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas a a a... a n a a a... an A... am am am... amn A los números reales a ij se les llama elementos
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detallesUNIDAD 1 : MATRICES Y DETERMINANTES
Material de estudio 05: Matrices y UNIDAD : MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesAPÉNDICE A. Algebra matricial
APÉNDICE A Algebra matricial El estudio de la econometría requiere cierta familiaridad con el álgebra matricial. La teoría de matrices simplifica la descripción, desarrollo y aplicación de los métodos
Más detallesMatrices y sus operaciones
año secundario Matrices y sus operaciones Operaciones básicas Adición La única regla que hay para la suma de matrices es que ambas tienen que tener el mismo número de filas y de columnas, y no importa
Más detallesLo rojo sería la diagonal principal.
MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).
Más detalles1. Lección 3: Matrices y Determinantes
Apuntes: Matemáticas Empresariales II 1. Lección 3: Matrices y Determinantes Se define matriz de orden n m a todo conjunto de n m elementos de un cuerpo K, dispuestos en n filas y m columnas: A n m = (
Más detallesClase 8 Matrices Álgebra Lineal
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas
Más detallesVectores en el plano UNIDAD I: MATRICES. Dirección de un vector. Sentido de un vector
UNIDAD I: MATRICES Vectores en el plano Un vector,, es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (etremo).un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto
Más detallesContenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices
elementales Diciembre 2010 Contenido Definición y tipos de matrices elementales 1 Definición y tipos de matrices 2 3 4 elementales 5 elementales Definición 1.1 (Matriz) Una matriz de m filas y n columnas
Más detallesUniversidad Alonso de Ojeda. Facultad de Ingeniería GUIA DE ESTUDIO ALGEBRA LINEAL.
UNIDAD II: MATRICES Universidad Alonso de Ojeda. MATRIZ Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas EJEMPLO: Cada uno de los números
Más detallesMatrices y Determinantes.
Tema II Capítulo 1 Matrices Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC Tema II Matrices y Determinantes 1 Matrices 1 Definiciones básicas Definición 11 Una matriz A de
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detallesMatemáticas Aplicadas a los Negocios
LICENCIATURA EN NEGOCIOS INTERNACIONALES Matemáticas Aplicadas a los Negocios Unidad 4. Aplicación de Matrices OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:
Más detallesTema 1: Matrices y Determinantes
Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz
Más detallesMatrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales.
UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Resúmenes Curso 2007-2008 Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz A de orden m n es una colección de m
Más detallesUNIDAD 3 FUNCIONES, MATRICES Y DETERMINANTES. Matrices. Dr. Daniel Tapia Sánchez
UNIDD FUNCIONES, MTRICES Y DETERMINNTES Matrices Dr. Daniel Tapia Sánchez Estos son los temas que estudiaremos:.7. Concepto de matriz e igualdad de matrices.7. Clasificación de matrices según sus elementos.7.
Más detallesMatemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC13 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas ITESM Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25 Una matriz A m n es un arreglo
Más detallesMatrices y Sistemas de Ecuaciones lineales
Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,
Más detallesMatemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Ejemplo:
Mapa conceptual Determinante de segundo orden Dada una matriz cuadrada de segundo orden: a a 11 12 A = a a 21 22 se llama determinante de A al número real: det (A)= A = a11 a 12 = a a a a a21 a22 11 22
Más detallesMatemá'cas generales
Matemá'cas generales Matrices y Sistemas Patricia Gómez García José Antonio Álvarez García DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Este tema se publica bajo Licencia: Crea've Commons
Más detallesDETERMINANTES Profesor: Fernando Ureña Portero
: CONCEPTO, CÁLCULO DE. Definición: A cada matriz cuadrada A=a ij, de orden n, se le asigna un número real, denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A =det (A)= 1.-Determinante de orden
Más detallesA = , B = 2 2. a 11 a 1n a 21 a 2n A = a m1 a mn
Máster en Materiales y Sistemas Sensores para Tecnologías Medioambientales Erasmus Mundus NOTAS DE CÁLCULO NUMÉRICO Damián Ginestar Peiró ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEL DISEÑO UNIVERSIDAD POLITÉCNICA
Más detallesREPASO DE ÁLGEBRA MATRICIAL
REPASO DE ÁLGEBRA MATRICIAL 1. Porqué necesitamos matrices? Qué son las matrices? Dónde está la matriz en este cuadro? (que por cierto fué hecho por Alberto Durero en 1514 y se llama Melancolía ) Las matrices
Más detallesMATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES Llamaremos matriz de números reales de orden (o dimensión) m n a un conjunto ordenado de m n números reales, dispuestos en m filas y n columnas: A a 11 a 12 a 13 a 1j a 1n a 21 a 22 a 23 a 2j
Más detallesMatrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =
Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Capítulo 4 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales DEFINICIÓN DE MATRIZ DE NÚMEROS REALES Una matriz de números reales de tamaño m n es un conjunto ordenado por filas y columnas de números
Más detallesMATRICES. El inglés Arthur Cailey ( ), introductor en 1855 de la notación matricial actual.
MATRICES El inglés Arthur Cailey (1821-1895), introductor en 1855 de la notación matricial actual. MATEMÁTICAS aplicadas a las CC.SS. II Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas I. DEFINICIONES
Más detallesUna matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...
MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones
Más detallesTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES
TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales de la forma a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Las líneas horizontales (verticales)
Más detallesTEMA 1: MATRICES. x 2. Ejercicio y B =, se pueden encontrar matrices C y D para que existan los productos ACB y BDA?.
TEMA : MATRICES Ejercicio.- 0 2 2 Dadas las matrices A = y B = -2 0 5, calcula BBt AA t. Ejercicio 2.- 0 x 2 Sean las matrices A =, B = y C =, halla x e y para que se 2 y verifique ABC = A t C. Ejercicio
Más detallesMatrices y sistemas lineales
15 Matemáticas I : Preliminares Tema 2 Matrices y sistemas lineales 2.1 Definiciones básicas Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los números
Más detallesMATRICES. Una matriz es un ordenamiento rectangular de números. Los siguientes son ejemplos de matrices.
MATRICES Una matriz es un ordenamiento rectangular de números Los siguientes son ejemplos de matrices [ [ 1 2 1 2 3 1 0 4 1 2 A, B, C 0 1, D 0 1 2 3 2 1 1 1 1 1 2 1 1 En una matriz se pueden identificar
Más detallesEs decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de
Más detallesResumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo
Más detallesDada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución:
3 Determinantes. Determinantes de orden 2 y 3 por Sarrus Piensa y calcula 3 6 Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4 8 3 8 6 4 = 24 24 = 0 Aplica la teoría.
Más detalles1. Justifica por qué no es cierta la igualdad: (A + B)$(A B) = A 2 B 2 cuando A y B son dos matrices cuadradas cualesquiera.
º BTO. C.S. Ejercicios de matrices sistemas. Justifica por qué no es cierta la igualdad: (A + B)$(A B) A B cuando A B son dos matrices cuadradas cualesquiera.. Sea A una matriz de dimensión 3%. (a) Existe
Más detallesDETERMINANTES UNIDAD 3. Página 76
UNIDAD 3 DETERMINANTE Página 76 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 2x + 3y 29 5x 3y 8 4x + y
Más detallesIng. Ramón Morales Higuera
MATRICES. Una matriz es un conjunto ordenado de números. Un determinante es un número. CONCEPTO DE MATRIZ. Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y Las líneas horizontales
Más detalleson muchas las actividades en las que conviene disponer las informaciones numéricas
UNIDAD 1 Matrices on muchas las actividades en las que conviene disponer las informaciones numéricas S ordenadas en tablas de doble entrada. Por ejemplo, se conocen las distancias entre las siguientes
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesAPUNTES ALGEBRA SUPERIOR
1-1-016 APUNTES ALGEBRA SUPERIOR Apuntes del Docente Esp. Pedro Alberto Arias Quintero. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander. Contenido MATRICES Y DETERMINANTES... ELEMENTOS
Más detallesEjercicios de Matrices y Determinantes.
Matemáticas 2ºBach CNyT. Ejercicios : Matrices y Determinantes. Pág 1/12 Ejercicios de Matrices y Determinantes. 1. Dadas las matrices: Calcular: A + B; A B; A x B; B x A; A t. 2. Demostrar que: A 2 A
Más detalles2 - Matrices y Determinantes
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 2 - Matrices y Determinantes 1 Matrices 11 Definición Una matriz A es cualquier ordenamiento rectangular de números o funciones a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesBLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*)
BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*) Matrices. Determinantes. Rango. Sistemas de ecuaciones lineales. El Álgebra Lineal es una parte de la Matemática de frecuente aplicación
Más detallesSe llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria
T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes
Más detallesMenor, cofactor y comatriz
Menor, cofactor y comatriz Sea A una matriz cuadrada de orden n. Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A i,j. Por ejemplo, con n = 4,
Más detallesAl consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D).
ÁLGEBRA DE MATRICE Página 48 Ayudándote de la tabla... De la tabla podemos deducir muchas cosas: Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. B solo tiene un candidato el C. Dos consejeros
Más detallesMATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).
1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden
Más detallesMATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
1 MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos horizontales
Más detalles2 Matrices. 1. Tipos de matrices. Piensa y calcula. Aplica la teoría
2 Matrices 1. Tipos de matrices Piensa y calcula Escribe en forma de tabla el siguiente enunciado: «Una familia gasta en enero 400 en comida y 150 en vestir; en febrero, 500 en comida y 100 en vestir;
Más detallesMATRICES. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Repaso de Matrices MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos
Más detallesMatrices. Observación: Es usual designar una matriz por letras mayúsculas: A, B, C,... 3 B =
Definición: A una ordenación o arreglo rectangular de ciertos objetos se define como matriz (en este curso nos interesa que los objetos de la matriz sean numeros reales. Observación: Es usual designar
Más detallesDETERMINANTES MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS RANGO DE UNA MATRIZ. APLICACIONES
Tema 2.- DETERMINANTES DETERMINANTES MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS RANGO DE UNA MATRIZ. APLICACIONES 1 Un poco de historia Los determinantes es uno de los temas más útiles del Álgebra Lineal, con muchas
Más detallesDeterminantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5
DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno
Más detalles3. Matrices. 1 Definiciones básicas. 2 Operaciones con matrices. 2.2 Producto de una matriz por un escalar. 2.1 Suma de matrices.
Tema I Capítulo 3 Matrices Álgebra Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 3 Matrices 1 Definiciones básicas Definición 11 Una matriz A de dimensión m n es un conjunto de escalares
Más detallesy C= determinar la matriz X que verifica la ecuación matricial A B X=C X+I, siendo I =
EJERCICIOS: TEMA 1: MATRICES. 1º/ Dadas las matrices: A= 2 1 1 0 1 1 1 1, B= 2 0 3 1 y C= 2 1 0 1 determinar la matriz X que verifica la ecuación matricial A B X=C X+I, siendo I = 1 0 0 1. 2º/ Determinar
Más detalles