Matrices. Observación: Es usual designar una matriz por letras mayúsculas: A, B, C,... 3 B =

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Rosario Medina Castilla
hace 7 años
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1 Definición: A una ordenación o arreglo rectangular de ciertos objetos se define como matriz (en este curso nos interesa que los objetos de la matriz sean numeros reales. Observación: Es usual designar una matriz por letras mayúsculas: A, B, C,... A = ( 1 2 π B = e 2 Ahora, si la matriz tiene m filas y n columna, decimos que el orden de la matriz es m por n y se anota m n, en las matrices anteriores la matriz A es de orden 2 3 (2 filas y 3 columnas y la matriz B es de orden 3 3. Observaciones a a 1n..... a m1... a mn i Para denotar una matriz A de orden m por n con coeficientes reales, se escribe: A m n (R ii Si una matriz A tiene el mismo numero de filas como de columnas, es decir es de orden n n, se dice que la matriz es cuadrada iii El elemento ubicado en la i-ésima fila con la j-ésima columna de una matriz de orden m n se denota como a ij. iv Para ahorrar tiempo y espacio, al escribir una matriz, es conveniente usar una notación especial. Se suele escribir A = (a ij

2 Determine la matriz A = (a ij, si a ij = i + j; para i = 1, 2, 3 y j = 1, 2 Igualdad de : Sean A = (a ij y B = (b ij dos matrices de orden m n. Entonces: A = B a ij = b ij, para todo i {1, 2,..., m}, para todo j {1, 2,..., n} Es decir, dos matrices son iguales si los elementos correspondientes son iguales. Matriz nula: La matriz de orden m n cuyos elementos son todos cero se llama matriz nula y se denota por 0. Ejercicio 1 Indique cuantas filas y columnas tiene cada una de las siguientes matrices: ( A = B = ( 3 B = Ejercicio 2 Determine los valores de x e y si: ( ( 1 2 2y x 3 = 0 8 0

3 OPERACIONES CON MATRICES Es lógico pensar que al igual que en los conjuntos estudiados en cursos anteriores, como por ejemplo en los numeros reales, las operaciones de suma, resta y multiplicación de matrices cumple las mismas propiedades; pero no es así, en matrices no siempre es posible realizar dichas operaciones. A continuación estudiaremos las operaciones con matrices, sus propiedades y restricciones. 1 Adición de : Sean A = (a ij y B = (b ij dos matrices de orden m n (deben tener el mismo orden. La suma entre A y B, denotada por A + B es la matriz de orden m n, definida por: a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b a 2n + b 2n A + B = a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn Obs.: Se debe sumar términos correspondientes. Sean A = A + B = ( y B = ( Multiplicación de un escalar por una matriz. ( =, entonces: ( Sea λ un número (a este elemento se le llama escalary sea A = (a ij una matriz de orden m n. El producto del escalar λ con la matriz A, denotado λa es la matriz de orden m n, definida por: λa 11 λa λa 1n λa 21 λa λa 2n λa = λa m1 λa m2... λa mn ( B = = (

4 3 Multiplicación de matrices: Sean A = (a ij matriz de orden m n y B = (b ij matriz de orden n s. El producto de las matrices A y B, es la matriz de orden m s, denotado AB, definido por: AB = (m ij, donde m ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj Para todo i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., s}. Obs.: Para poder realizar la multiplicación es condición necesaria que el número de columnas de la primera matriz (izquierda debe ser el mismo que el número de filas de la segunda (derecha y la matriz resultante tendrá de orden el número de filas de la primera matriz por el número de columnas de la segunda matriz. Sean las matrices A = y B = ( , el orden de A es 3 2 y de B es 2 3 por lo que cumple la condición para realizar la multiplicación y la matriz resultante será de orden ( AB = = cada elemento a ij se obtiene de multiplicar la fila i con la columna j, por ejemplo que para obtener el elemento c 11 se obtiene de: c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 4 = c 12 = a 11 b 21 + a 12 b 22 7 = Ejercicio 3 Calcular BA, en caso de ser posible. Sean A = y B = ( dos matrices. Solución: Como el orden de A es 3 2 y de B es 2 4, entonces la multiplicación entre

5 estas matrices SI es posible y es: AB = Si queremos calcular BA está multiplicación no esta definida, ya que B es 2 4 y A es 3 2 por lo tanto el numero de columnas de la primera no coincide con el numero de filas de la segunda. Obs.: Con el ejemplo anterior podemos darnos cuenta que en la multiplicación es muy importante el orden ya que a veces no es posible realizar la multiplicación o como en el primer ejemplo cuando es posible no da lo mismo, es por esto que la multiplicación no es conmutativa. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES 1 Sean A, B y C matrices de orden m n sobre R. a A + (B + C = (A + B + C b A + B = B + A c A + 0 = A = 0 + A donde 0 es la matriz nula de orden m n d A es de orden m n, es la matriz inversa aditiva de A, tal que: A + ( A = 0 = ( A + A (con esta propiedad hemos definido la resta. 2 Sean A una matriz de orden m n y B una matriz de orden n s a A (B C = (A B C, para toda matriz C de orden s r b λ(ab = (λab = AλB, para todo λ R. c A(B + C = AB + AC, para toda matriz C de orden n s d A 0 n s = 0 m s. Definición: Transpuesta de una matriz: Sea A = (a ij una matriz de orden m n. La matriz transpuesta de A, denotada por A t es la matriz de orden n m cuyas columnas son las filas de A (en el mismo orden. Es decir: Sea A = entonces A t =

6 Obs.: Para obtener la transpuesta de una matriz se deben cambiar las filas de la matriz en columnas. Propiedades: 1 (A t t = A, para toda matriz A de orden m n 2 (A + B t = A t + B t, para toda matriz A y B de orden m n 3 (λa t = λa t para todo escalar λ y para toda matriz A de orden m n 4 (A B t = B t A t para toda matriz A de orden m n y B de orden n s.

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