Matemática 2 MAT022. Clase 1 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María. Matrices

Transcripción

1 Matemática 2 MAT022 Clase 1 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María

2 Tabla de Contenidos 1 Matrices Propiedades

3 Tabla de Contenidos Matrices 1 Matrices Propiedades

4 Definición Una matriz de orden m n (se lee m filas por n columnas) es un arreglo de m filas y n columnas, de la forma a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a m1 a m2 a m3 a mn Cada uno de los elementos del arreglo a ij es llamada entrada, elemento o coeficiente de la matriz. Observación Anotamos A = (a ij ) m n para indicar una matriz A de m filas y n columnas.

5 Observación Los elementos de una matriz pueden pertenecer a cualquier conjunto numérico, en particular a R o C. Denotaremos por M m n (R) ó M (m n, R) al conjunto de todas las matrices de orden m n con coeficientes reales, esto es: M m n (R) = { A = (a ij ) m n : a ij R, i, j }. De manera similar, se define el conjunto de matrices M m n (C). Ejemplo Tenemos: { 1 a b M 2 2 (R) = c d } : a, b, c, d R. { 2 M 3 1 (R) = x y : x, y, z R z }.

6 Definición Una matriz de orden m 1 se llama matriz columna. Son matrices de la forma: a 11 a 21 A =. M m 1(R). a m1 De manera similar, una matriz de orden 1 n es llamada matriz fila, esto es: A = ( a 11 a 12 a 13 a 1n ) M1 n (R).

7 Definición Llamaremos matriz nula de orden m n a la matriz: [0] = (a ij ) M m n (R), donde a ij = 0 para cada i, j. Las matrices nulas se denotan como [0] m n, simplemente, con el símbolo 0. Ejemplo Son ( matrices ) nulas: M (R) M (R).

8 Definición Llamaremos matriz identidad de orden n n, a la matriz I n = (δ ij ), donde: { 1, i = j, δ ij = 0, i j. La expresión δ ij se conoce como delta de Kronecker. Ejemplo Son matrices identidad: I 3 = M 3 3 (R) I 2 = M (R).

9 Definición Sea A = (a ij ) una matriz de orden n. Diremos que A es una: 1 matriz diagonal si a ij = 0 para todo i j. 2 matriz escalar si existe un escalar α tal que: { α, i = j, a ij = 0, i j. 3 matriz triangular superior si a ij = 0 para i > j. 4 matriz triangular inferior si a ij = 0 para i < j.

10 Ejemplo Las matrices: A = ; B = ; C = son diagonal, escalar con α = 2 y triangular superior, respectivamente. Definición Sea A = (a ij ) n n. Llamaremos traza de A al número: Tr(A) = a 11 + a a nn n = a ii. i=1

11 Ejemplo Sea A = ( a ij ) Mn n (R), donde a ij = ij. Notamos que los coeficientes en la diagonal de la matriz A, son de la forma a ii = i 2 para todo i = 1, 2,..., n. Luego, por definición de traza, tenemos: Tr(A) = = = n i=1 n i=1 a ii i 2 n(n + 1)(2n + 1). 6

12 En lo que sigue, K representa el conjunto de los números reales R, o bien, el conjunto de los números complejos C. Definición Sean A = (a ij ) M m n (K) y B = (b ij ) M p q (K). Diremos que las matrices A y B son iguales (denotamos A = B) si: 1 m = p y n = q; y 2 a ij = b ij para cada i, j. Ejemplo 1 Las matrices: A = 1 0 y B = a de orden 2 son iguales si a 3 = 1, i.e. si a = 4.

13 Con la relación de igualdad definida sobre el conjunto de matrices M m n (K), podemos establecer un álgebra de matrices. Definición Suma de matrices: Sean A = (a ij ) y B = (b ij ) matrices de orden m n con coeficientes en K. Se define la suma de A y B como la matriz A + B, de orden m n, definida por: A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ). Ejemplo Sean A = A + B = y B = en M (R). Luego: =

14 Definición Multiplicación por escalar: Si A = (a ij ) M m n (K) y α K. Se define el producto por escalar o ponderación como el producto: α A = α (a ij ) = (α a ij ). Ejemplo 1 3 Si A = M (R) y α = 2, entonces: α A = ( 2) 1 3 =

15 Definición Multiplicación de matrices: Sean A = (a ij ) M m n (K) y B = (b ij ) M n p (K). Se define la multiplicación de A y B, en símbolos A B o simplemente AB, como la matriz de orden m p siguiente: AB = (d ij ), donde d ij = n k=1 a ikb kj para cada i, j. Ejemplo Sean A = 1 1 M (R) y B = AB = = M (R). Luego:

16 1. Solo se pueden multiplicar matrices tales que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda. 2. Sean A y B matrices con órdenes tales que la multiplicación pueda efectuarse. Si denotamos por f i (A) la fila i-ésima de A y c j (B) la columna j-ésima de B, entonces el coeficiente d ij del producto AB, está dado por la multiplicación: para cada i, j. d ij = f i (A) c j (B)

17 3. Sean A = y B = 0 0 AB = , entonces: = 0 1 Luego, en el contexto de matrices: AB = 0 A = 0 B = 0

18 4. En general, el producto no conmuta como( sí ocurre ) en R. 1 2 Considere, por ejemplo, las matrices A = y B =. Luego: 0 1 AB = y, por otro lado: BA = Así, en general, tenemos: AB BA 1 2 = =

19 Propiedades Sean A, B, C matrices cualesquiera (con órdenes tales que las operaciones consideradas pueden ser aplicadas) y α, β escalares en K. Entonces: 1 (A + B) + C = A + (B + C). 2 A + B = B + A. 3 A + 0 = A. 4 A + ( A) = 0, donde A = ( 1) A. 5 α (A + B) = α A + α B. 6 (α + β) A = α A + β B.

20 Propiedades Sean A, B, C matrices cualesquiera (con órdenes tales que las operaciones consideradas pueden ser aplicadas) y α, β escalares en K. Entonces: 1 1 A = A. 2 (αβ) A = α (β A). 3 (AB)C = A(BC). 4 A(B + C) = AB + AC. 5 α (AB) = (α A)B = A(α B). En particular, si A M m n (R), entonces: I m A = A = A I n