Traza de una Matriz Cuadrada

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1 Traza de una Matriz Cuadrada Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 10 de septiembre de 2008 Índice 7.1. Definiciones y propiedades básicas La traza de un producto Definiciones y propiedades básicas A pesar de su aparente sencillez, la traza de una matriz cuadrada es un elemento clave en desarrollos posteriores. Veremos su definición y sus propiedades básicas. En la lectura posterior se entenderá su aplicación. Definición Sea A una matriz m m, la traza de A se define como la suma de los elementos de la diagonal principal: tr(a) = a ii = a 11 + a a mm (1) En particular: Ejemplo Determine la traza de la matriz: Solución Directamente de la definición tr(i n ) = n, y tr(j n ) = n tr (A) = (1) + ( 3) + (8) = 6 Lema 7.1 Sean A y B matrices m m: 1. tr (ka) = k tr (A) 2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B) 3. tr (A ) = tr (A)

2 Demostración 1. Tomemos C = k A, así c ij = k a ij y por tanto tr (ka) = tr (C) = 3. Si C = A, c ij = a ji y así a ii : Ejercicio 1 tr ( A ) = tr (C) = Sean A y B matrices m m, demuestre que (k a ii ) = k a ii = k tr (A) a ii = tr (A) tr (A + B) = tr (A) + tr (B) Tome C = A + B, así a ii + b ii. Aplique ahora la definición de la traza. Ejercicio 2 Demuestre que si A y B matrices m n y n m respectivamente: entonces tr (AB) = tr ( B A ) Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y la propiedad de la transpuesta de un producto. Ejercicio 3 Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad: tr (AB) = tr ( B A ) [ ] y B = Lema 7.2 Sea A una matriz cuadrada particionada tal que A 11 A 12 A 1k A 21 A 22 A 2k A k1 A k2 A kk Entonces tr (A) = tr (A 11 ) + tr (A 22 ) + + tr (A kk ) 2

3 Demostración Este resultado se deduce de que la diagonal principal de la matriz A es justo la concatenación de las diagonales principales de las matrices A ii La traza de un producto Teorema 7.3 Sean A y B matrices m n y n m respectivamente. tr (AB) = tr (BA) Demostración Tomemos C = AB, así Para j = i la fórmula anterior queda: Así: tr (C) = Por otro lado si D = BA, así Para j = i la fórmula anterior queda: Así: Comparando las fórmulas: tr (D) = c ij = a ik b kj a ik b ki a ik b ki = d ij = d ii = b ik a kj b ik a ki d ii = a ik b ki = b ik a ki b ki a ik tr (AB) = b ki a ik y tr (BA) = b ik a ki Concluimos que, intercambiando los nombres de los índices i y k, tr (AB) = tr (BA) Ejercicio 4 3

4 Encuentre dos matrices A y B, 2 2, tal que tr (AB) tr (A) tr (B) Piénselo fácil. Tome por ejemplo [ ]. Ejercicio 5 Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad: tr (AB) = tr (BA) ] y B = [ Ejercicio 6 Demuestre que si A, B y C son matrices n n se cumple tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA) Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique el teorema 5.3. Para la segunda igualdad tome D = A y E = BC y aplique el mismo teorema. Ejercicio 7 Demuestre que si A, B y C son matrices n n se cumple tr (ABC) = tr ( B A C ) = tr ( A C B ) Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique como válido el ejercicio 2. Para la segunda igualdad tome D = A y E = BC. y aplique el mismo teorema 5.3. Ejercicio 8 Demuestre que si A, B y C son matrices n n simétricas se cumple tr (ABC) = tr (BAC) Utilice como válido el ejercicio anterior y que X = X para las matrices simétricas. 4

5 Ejercicio 9 Encuentre matrices cuadradas A, B y C 2 2 que cumplen tr (ABC) tr (BAC) Ejercicio 10 Sea A una matriz m n, demuestre que el elemento (i, i) de AA es j=1 a 2 ij Ejercicio 11 Sea A una matriz m n, demuestre que tr ( AA ) = j=1 a 2 ij Utilice como válido el resultado del ejercicio anterior. Ejercicio 12 Utilice el resultado anterior para determinar tr (AA ) Si [ ] Ejercicio 13 Sea A una matriz m n. Entonces 0 si y sólo si tr(a A) = 0. Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y asuma como válido el resultado del ejercicio 11. Y recuerde que la suma de cantidades mayores o iguales a cero es cero si y sólo si cada cantidad es cero. Ejercicio 14 Sea A una matriz m n. Entonces 0 si y sólo si A 0. Tome como válido el resultado del ejercicio anterior. Lema 7.4 5

6 Sean A, B, y C matrices, m n, n p, y n p respectivamente. AB = AC si y sólo si A AB = A AC Demostración Claro que AB = AC implica que A AB = A AC. Si suponemos que A AB = A AC Entonces, desarrollando Por el ejercicio anterior, AB AC = 0 (AB AC) (AB AC) = (B C) A (AB AC) = (B C) (A AB A AC) = 0 Ejercicio 15 Sea A una matriz m m que cumple A A 2. Muestre que 1. tr ((A A ) (A A )) = A es simétrica. Para el primer inciso desarrolle el producto de matrices, utilice la hipótesis, y tome como válido el resultado del ejercicio 1. Para el segundo inciso, utilice como válido el resultado del ejercicio 13. Ejercicio 16 La traza y la tecnología Asumiendo que una matriz ya está almacenada en memoria. Indique cómo determinar la traza de tal matriz en una calculadora científica (HP o TI) en Maple en Matlab 6