Álgebra Lineal Ma1010

Transcripción

1 Álgebra Lineal Ma1010 Departamento de Matemáticas ITESM Álgebra Lineal - p. 1/16

2 En esta lectura veremos el proceso para obtener la factorización QR de una matriz. Esta factorización es utilizada para la solución por mínimos cuadrados y da un algoritmo numérico para determinar los valores propios de una matriz cuadrada. Álgebra Lineal - p. 2/16

3 Teorema Si A es una matriz m n con columnas linealmente independientes, entonces A puede factorizarse en la forma A = QR en la que Q es una matriz con columnas ortonormales y R es una matriz triangular superior. Álgebra Lineal - p. 3/16

4 Teorema Si A es una matriz m n con columnas linealmente independientes, entonces A puede factorizarse en la forma A = QR en la que Q es una matriz con columnas ortonormales y R es una matriz triangular superior. Demostración Sean a 1,a 2,...,a n las columnas de A y sean q 1,q 2,...,q n los vectores obtenidos al ortonormalizarlas según el proceso de Gram-Schmidt. Así, Gen(a 1,a 2,...,a n ) = Gen(q 1,q 2,...,q n ) Álgebra Lineal - p. 3/16

5 Definamos Q = [q 1 q 2 q n ] Como cada a i es combinación lineal de q 1,...,q n deben existir escalares r ij tales que a i = r 1i q 1 + +r ni q n = Q r 1i. r ni siendo r ji = 0 para j = i+1,...,n y para i = 1,...n, de acuerdo al proceso de Gram-Schmidt. para i = 1,...,n Álgebra Lineal - p. 4/16

6 Definamos Q = [q 1 q 2 q n ] Como cada a i es combinación lineal de q 1,...,q n deben existir escalares r ij tales que a i = r 1i q 1 + +r ni q n = Q A = [a 1 a n ] = Q r r 1i Álgebra Lineal - p. 4/16. r ni Q para i = 1,...,n siendo r ji = 0 para j = i+1,...,n y para i = 1,...n, de acuerdo al proceso de Gram-Schmidt. Así, r 1n. r nm = QR

7 donde R es la matriz cuyo elemento (i,j) es r ij. Las matrices buscadas son las matrices Q y R: Q tiene sus columnas ortonormales y R es triangular superior. Asimismo R debe ser invertible pues en caso contrario Rx = 0 tendría infinitas soluciones y por ende también QRx = Ax = 0 contradiciendo el hecho de que las columnas de A son linealmente independientes. Álgebra Lineal - p. 5/16

8 donde R es la matriz cuyo elemento (i,j) es r ij. Las matrices buscadas son las matrices Q y R: Q tiene sus columnas ortonormales y R es triangular superior. Asimismo R debe ser invertible pues en caso contrario Rx = 0 tendría infinitas soluciones y por ende también QRx = Ax = 0 contradiciendo el hecho de que las columnas de A son linealmente independientes. Nota En la práctica la matriz R se calcula mediante la fórmula: R = Q T A Álgebra Lineal - p. 5/16

9 Ejemplo Determine una factorización QR para la matriz A = Álgebra Lineal - p. 6/16

10 Ejemplo Determine una factorización QR para la matriz A = Solución Al aplicarle el proceso de Gram-Schmidt a las columnas de A obtenemos: q 1 = ,q 2 = ,q 3 = Álgebra Lineal - p. 6/16

11 Por tanto Q = Álgebra Lineal - p. 7/16

12 Por tanto Q = y R = Q T A = Álgebra Lineal - p. 7/16

13 Los cálculos anteriores pueden hacerse en la calculadora TI. Si seleccionamos el modo exacto, definimos la matriz A y aplicamos la rutina de factorización QR tendremos la salida de la figura 1 Figura 1: Ejemplo 1: cálculo de la factorización QR de A. Álgebra Lineal - p. 8/16

14 La figura 2 despliega la matriz Q calculada. Figura 2: Ejemplo 1: Matriz Q de la factorización QR de A. Álgebra Lineal - p. 9/16

15 La figura 3 despliega la matriz R calculada. y la comprobación de que el producto efectivamente da A. Figura 3: Ejemplo 1: Matriz R de la factorización QR de A. Álgebra Lineal - p. 10/16

16 La figura 4 muestra la comprobación de que el producto efectivamente da A. Figura 4: Ejemplo 1: Comprobación de la factorización QR de A. Álgebra Lineal - p. 11/16

17 Para una matriz A n n invertible, cuyos valores propios λ 1,...,λ n son tales que Hacer: 1. Tomar A 0 = A. λ 1 < λ 2 < < λ n 2. Para i = 0,1,2,...,k 1 hacer: a) Determinar la descomposición QR de A i = Q i R i. b) Tomar A i+1 = R i Q i Resultado: A k se aproxima a una matriz triangular cuyos elementos diagonales son todos los valores propios de A. Álgebra Lineal - p. 12/16

18 Ejemplo Aplique el algoritmo QR a la matriz: [ ] 8 7 A = 1 2 Álgebra Lineal - p. 13/16

19 Ejemplo Aplique el algoritmo QR a la matriz: [ ] 8 7 A = 1 2 Solución Tomamos A 0 = A. Determinamos una factorización QR de A 0 : A 0 = Q 0 R 0 = A 1 = R 0 Q 0 = Álgebra Lineal - p. 13/16

20 Determinamos una factorización QR de A 1 : A 1 = Q 1 R 1 = A 2 = R 1 Q 1 = Álgebra Lineal - p. 14/16

21 Determinamos una factorización QR de A 1 : A 1 = Q 1 R 1 = A 2 = R 1 Q 1 = Determinamos una factorización QR de A 2 : A 2 = Q 2 R 2 = A 3 = R 2 Q 2 = Concluimos que los valores propios de A son aproximadamente 9 y 1. Álgebra Lineal - p. 14/16

22 Las figuras 5,6 y 7 muestran la sucesión de cálculos del algorimto QR para aproximar los valores propios de A. Figura 5: Ejemplo 2: Iteración 1 del algoritmo QR. Álgebra Lineal - p. 15/16

23 Figura 6: Ejemplo 2: Iteraciones 2 y 3 del algoritmo QR. Álgebra Lineal - p. 16/16