Métodos Matemáticos: Análisis Funcional

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1 Licenciatura en Ciencias y Técnicas Estadísticas Universidad de Sevilla renato/clases.html

2 Espacios eucĺıdeos Definición Se dice que un espacio vectorial E es un espacio eucĺıdeo si dados dos elementos cualesquiera x, y E existe un número denominado producto escalar y que denotaremos por x, y tal que 1 Para todo x, y E, x, y = y, x. 2 Para todo x, y, z E, x + y, z = x, z + y, z. 3 Para todo x, y E y λ C, λx, y = λ x, y 4 Para todo x E, x 0, x, x > 0 y si x, x = 0, entonces x = 0.

3 Espacios eucĺıdeos: Ejemplos C n con el prod. escalarl: x = (x 1,..., x n ), e y = (y 1,..., y n ) n x, y = x k y k. Obviamente este es un espacio de dimensión finita.

4 Espacios eucĺıdeos: Ejemplos C n con el prod. escalarl: x = (x 1,..., x n ), e y = (y 1,..., y n ) n x, y = x k y k. Obviamente este es un espacio de dimensión finita. l 2, el espacio de las sucesiones (x n ) n tales que x k 2 <, donde si x = (x 1, x 2,..., x n,...), e y = (y 1, y 2,..., y n,...) x, y = x k y k. De la desigualdad de Hölder el p.e. está bien definido.

5 Espacios eucĺıdeos: Ejemplos C n con el prod. escalarl: x = (x 1,..., x n ), e y = (y 1,..., y n ) n x, y = x k y k. Obviamente este es un espacio de dimensión finita. l 2, el espacio de las sucesiones (x n ) n tales que x k 2 <, donde si x = (x 1, x 2,..., x n,...), e y = (y 1, y 2,..., y n,...) x, y = x k y k. De la desigualdad de Hölder el p.e. está bien definido. C [a,b] (que denotaremos por C[a,b] 2 ) de las funciones continuas en [a, b] cerrado y acotado con el siguiente producto escalar f, g = b a f (x)g(x)dx.

6 Espacios eucĺıdeos: Propiedades Ejercicio Prueba que como consecuencia de la definición anterior se tiene que 1 Para todos x, y, z E, x, y + z = x, y + x, z. 2 Para todos x, y E y λ C, x, λy = λ x, y. 3 Para todo x E, x, 0 = 0, x = 0. 4 Si x, z = y, z para todos los z E, entonces x = y.

7 Espacios eucĺıdeos: Propiedades Ejercicio Prueba que como consecuencia de la definición anterior se tiene que 1 Para todos x, y, z E, x, y + z = x, y + x, z. 2 Para todos x, y E y λ C, x, λy = λ x, y. 3 Para todo x E, x, 0 = 0, x = 0. 4 Si x, z = y, z para todos los z E, entonces x = y. Teorema (Cauchy-Schwarz) Sea E un espacio eucĺıdeo. Entonces para todos f, g E, f, g 2 f, f g, g. (1)

8 Espacios eucĺıdeos y espacios normados Teorema Todo espacio eucĺıdeo E es normado si en él definimos la norma mediante la fórmula f = f, f. Además, f, g f g. Demostración: 1 y 2 son triviales. Probemos el tercero: que f + g 2 = f + g, g + g = f, f + 2R( f, g ) + g, g f, f + 2 f, g + g, g f, f + 2 f, f g, g + g, g = ( f, f + g, g ) 2,

9 Espacios eucĺıdeos y espacios normados Teorema Todo espacio eucĺıdeo E es normado si en él definimos la norma mediante la fórmula f = f, f. Además, f, g f g. Demostración: 1 y 2 son triviales. Probemos el tercero: que f + g 2 = f + g, g + g = f, f + 2R( f, g ) + g, g f, f + 2 f, g + g, g f, f + 2 f, f g, g + g, g = ( f, f + g, g ) 2, Todo espacio eucĺıdeo E es un espacio métrico con la métrica inducida por el producto escalar mediante la fórmula ρ(x, y) = x y = x y, x y.

10 Espacios eucĺıdeos y espacios métricos. Espacios de Hilbert En C n tenemos que la norma inducida es x = n x k 2 En l 2, x = x k 2, b En C [a,b] la norma viene dada por f = a f (x) 2 dx.

11 Espacios eucĺıdeos y espacios métricos. Espacios de Hilbert En C n tenemos que la norma inducida es x = n x k 2 En l 2, x = x k 2, b En C [a,b] la norma viene dada por f = a f (x) 2 dx. Ejercicio Prueba que, en la norma inducida por el producto escalar, las operaciones adición de vectores, multiplicación por un escalar y n producto escalar de vectores son continuas, i.e., si x n x, n n n y n y y α n α, entonces x n + y n x + y, n α n x n αx, y x n, y n n x, y.

12 Espacios de Hilbert Definición Un espacio eucĺıdeo E completo se denomina espacio de Hilbert y lo denotaremos por H.

13 Espacios de Hilbert Definición Un espacio eucĺıdeo E completo se denomina espacio de Hilbert y lo denotaremos por H. Definición Sea el sistema de vectores (φ n ) n (finito o infinito) de un espacio eucĺıdeo E. Diremos que (φ n ) n=1 es un sistema ortogonal dos a dos si φ n, φ m = δ n,m φ n 2. (2) Si además φ n = 1 para todo n N, se dice que el sistema es ortonormal.

14 Espacios de Hilbert Por ejemplo, el sistema de los vectores canónicos de C n (e k ) n, definido por e 1 = (1, 0, 0,..., 0, 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0, 0),. e n = (0, 0, 0,..., 0, 1). es un sistema ortonormal. Análogamente, el sistema (e k ) n, definido por e 1 = (1, 0, 0, 0,... ), e 2 = (0, 1, 0, 0,... ), e n = (0, 0, 1, 0... ), es un sistema ortonormal de l 2..

15 Espacios Hilbert Ejercicio Prueba que si los vectores x 1,..., x n de un espacio eucĺıdeo son ortogonales, entonces son linealmente independientes.

16 Espacios Hilbert Ejercicio Prueba que si los vectores x 1,..., x n de un espacio eucĺıdeo son ortogonales, entonces son linealmente independientes. Teorema (Gram-Schmidt) En un espacio de Hilbert H de cualquier conjunto de vectores linealmente independiente se puede construir un conjunto de vectores ortonormales (ortogonales).

17 Espacios Hilbert Ejercicio Prueba que si los vectores x 1,..., x n de un espacio eucĺıdeo son ortogonales, entonces son linealmente independientes. Teorema (Gram-Schmidt) En un espacio de Hilbert H de cualquier conjunto de vectores linealmente independiente se puede construir un conjunto de vectores ortonormales (ortogonales). Teorema Si el espacio eucĺıdeo E es separable, entonces cualquier sistema ortogonal (ortonormal) de E es numerable.

18 Espacios Hilbert Del proceso anterior n 1, n 1 ψ n = φ n + α n,k ψk φ n = ψ n 1 n + β n,k ψk ψ k, ψ n = 0, k = 0, 1,... n 1 φ k, ψ n = 0, k = 0, 1,... n 1.

19 Espacios Hilbert Del proceso anterior n 1, n 1 ψ n = φ n + α n,k ψk φ n = ψ n 1 n + β n,k ψk ψ k, ψ n = 0, k = 0, 1,... n 1 φ k, ψ n = 0, k = 0, 1,... n 1. Usando lo anterior tenemos: φ 1, φ 1 φ 1, φ 2 φ 1, φ n 1 φ 1 φ 2, φ 1 φ 2, φ 2 φ 2, φ n 1 φ 2 ψ n = φ n, φ 1 φ n, φ 2 φ n, φ n 1 φ n. Basta notar que φ k, ψ n = 0, k = 1, 2,..., n 1.

20 Espacios de Hilbert separables: Series de Fourier Definición (Serie de Fourier respecto al sist. ortonormal (φ n ) n=1 ) Dado un vector x H definiremos la serie de Fourier Teorema s := c n φ n, c n = x, φ n, n 1. n=1 Sea H el subespacio lineal de H generado por los vectores {φ 1, φ 2..., φ n }, n N, i.e., H = span (φ 1, φ 2..., φ n ). Entonces mín x q H q 2 = x 2 n c k 2 = x 2 n x, φ n 2 y se alcanza cuando q es la suma parcial de la serie de Fourier q = s n := n c kφ k.

21 Espacios de Hilbert separables: Series de Fourier Como corolario del Teorema tenemos que I n = x s n 2 = x 2 n c k 2 0, n N, luego se tiene la Desigualdad de Bessel c k 2 x 2, de donde se sigue que la serie c k 2 converge y por tanto ĺım c n = 0. n

22 Espacios de Hilbert separables: Series de Fourier Como corolario del Teorema tenemos que I n = x s n 2 = x 2 n c k 2 0, n N, luego se tiene la Desigualdad de Bessel c k 2 x 2, de donde se sigue que la serie c k 2 converge y por tanto ĺım c n = 0. n La serie de Fourier converje a x (en norma) x 2 = c k 2 = x, φ n 2. Esta igualdad se denomina comúnmente igualdad de Parseval y es, en general, muy complicada de comprobar.

23 Espacios de Hilbert separables: Series de Fourier Definición Se dice que un sistema de vectores l.i. (φ n ) n es completo en X H si x X H y ɛ > 0 existe una combinación lineal l n, l n = n α k φ k tal que x l n < ɛ. En otras palabras cualquier vector x X H se puede aproximar en norma tanto como se quiera mediante alguna combinación finita de vectores del sistema (φ n ) n. Definición Un sistema ortogonal (ortonormal) completo de X H se denomina base ortogonal (ortonormal) de X H. Ejemplos: Los sist. (e k ) k, e k = δ i,k son bases completas de C n y l 2.

24 Espacios de Hilbert separables: Series de Fourier Teorema Sea H un espacio de Hilbert y sea el sistema ortonormal de vectores (φ n ) n=1 de H. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1 (φ n ) n es completo en X H. 2 Para todo x X H, x = x, φ k φ k. 3 Para todo x X H, se cumple la igualdad de Parseval x 2 = x, φ k 2. 4 Si x, φ k = 0 para todo k N entonces x = 0. La equivalencia entre 1 y 2, así como las implicaciones 2 3 4, son ciertas para cualquier espacio eucĺıdeo (no neces. completo).

25 Espacios de Hilbert separables: Series de Fourier Corolario Sea el sistema ortonormal completo (φ n ) n y sean x, y X H tales que x, φ k = y, φ k para todo k N, entonces x = y. En otras palabras, dos elementos de H con iguales coeficientes de Fourier son iguales, por tanto cualquier vector de H queda biunívocamente determinado por sus coeficientes de Fourier.

26 Espacios de Hilbert separables: Series de Fourier Corolario Sea el sistema ortonormal completo (φ n ) n y sean x, y X H tales que x, φ k = y, φ k para todo k N, entonces x = y. En otras palabras, dos elementos de H con iguales coeficientes de Fourier son iguales, por tanto cualquier vector de H queda biunívocamente determinado por sus coeficientes de Fourier. Definición Se dice que un sistema ortonormal (φ n ) n es cerrado en un espacio eucĺıdeo E si para todo vector x E se cumple la igualdad de Parseval c k 2 = x, φ k 2 = x 2. Cosecuencia: (φ n ) n es completo en H (φ n ) n es cerrado en H.

27 Espacios de Hilbert separables: Series de Fourier Teorema Todo espacio de Hilbert H separable tiene una base ortonormal. Este teorema se puede generalizar a cualquier esp. euc. separable.

28 Espacios de Hilbert separables: Series de Fourier Teorema Todo espacio de Hilbert H separable tiene una base ortonormal. Este teorema se puede generalizar a cualquier esp. euc. separable. Teorema (Riesz-Fischer) Sea (φ n ) n un sistema ortonormal en un espacio de Hilbert H y sean los números c 1, c 2,..., c n,... tales que c n 2 < +. n=1 Entonces, existe un elemento x H cuyos coeficientes de Fourier son precisamente los números c 1, c 2,..., c n,..., i.e., c n 2 = x 2, c n = x, φ n. n=1

29 Espacios de Hilbert separables Definición Una aplicación U entre dos espacios de Hilbert H y H se denomina unitaria si U es lineal, biyectiva y preserva el producto escalar, i.e. a, x, y = Tx, Ty = x, y. Los espacios H y H son isomorfos si existe una aplicación unitaria U T : H H tal que x = Tx, donde x H y x H. a Se entiende que, denota el producto escalar en H que no tiene por que ser el mismo que en H. Teorema (del isomorfismo) Cualquier espacio de Hilbert separable H es isomorfo a C n o a l 2.

30 Teoría Espectral Definición Sea la aplicación (operador) linear A : E E, E, E espacios eucĺıdeos. Si existe el operador lineal A : E E tal que para todo x E e y E lo denominaremos adjunto de A. Por sencillez asumiremos E = E. Ax, y = x, A y, Ejemplos: Los operadores desplazamiento y multiplicación. Teorema Sea la aplicación (operador) linear A : H H, H, H espacios de Hilbert. Entonces existe un único operador A : H H adjunto a A.

31 Teoría Espectral: Dimensión finita Supongamos que H es un espacio de Hilbert de dimensión finita. Entonces H es isomorfo a C n. Sea (e k ) k una base de H x = n x k e k = y = Ax = Supongamos que Ae k = y = n a i,k e i = i=1 ( n n ) a i,k x k e i = i=1 n x k Ae k. n y i e i = y i = i=1 n a i,k x k, i = 1, 2,... n I.e., si consideramos los vectores x, y C n con coordenadas x i, y i, i = 1,..., n, respectivamente, entonces el operador A se puede representar como una matriz A = (a i,j ) n i,j=1, i.e., tenemos la aplicación A : C n C n, y = Ax.

32 Teoría Espectral Ejercicio Prueba que la matriz de la aplicación identidad es la matriz identidad.

33 Teoría Espectral Ejercicio Prueba que la matriz de la aplicación identidad es la matriz identidad. Lo anterior se puede generalizar al caso de dimensión infinita, sólo que en este caso la matriz sería una matriz infinita a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,n a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,n A = a n,1 a n,2 a n,3 a n,n

34 Aplicaciones inversas Definición Sea el operador lineal A : X Y, X e Y espacios de Banach. Diremos que A es invertible si existe un operador B, A : Y X tal que AB = I Y, BA = I X. Para el caso de dimensión finita, existirá el inverso de A si dim X = dim Y y la matriz correspondiente será la matriz inversa de A.

35 Aplicaciones inversas Definición Sea el operador lineal A : X Y, X e Y espacios de Banach. Diremos que A es invertible si existe un operador B, A : Y X tal que AB = I Y, BA = I X. Para el caso de dimensión finita, existirá el inverso de A si dim X = dim Y y la matriz correspondiente será la matriz inversa de A. En dimensión infinita la situación es algo más complicada. Por ejemplo, el operador desplazamiento S cumple con S S = I pero SS I, luego S no tiene inverso.

36 Teoría Espectral Teorema Sea el operador lineal A : X X, X espacio de Banach. Si A < 1, entonces I A es invertible y (en norma) (I A) 1 = A k. k=0

37 Teoría Espectral Teorema Sea el operador lineal A : X X, X espacio de Banach. Si A < 1, entonces I A es invertible y (en norma) (I A) 1 = A k. k=0 En adelante denotaremos por L(X) el conjunto de todos los operadores lineales en X, i.e., A : X X. Es fácil ver que el espacio L(X) es un espacio de Banach respecto a la norma de los operadores.

38 Teoría Espectral Definición Un operador lineal A : X Y, X e Y espacios de Banach es compacto para toda sucesión acotada (x n ) n de X, la sucesión (Ax n ) n de Y tiene una subsucesión convergente. Si A es compacto, A es acotado pues sino existiría una sucesión acotada (x n ) n tal que Ax n n y entonces la sucesión (Ax n ) n no tendría una subsucesión convergente. Ejemplos: A : H H, H con dimh = n, es compacto. En dimensión infinita el operador identidad no es compacto.

39 Teoría Espectral Definición Un operador lineal A : X Y, X e Y espacios de Banach es compacto para toda sucesión acotada (x n ) n de X, la sucesión (Ax n ) n de Y tiene una subsucesión convergente. Si A es compacto, A es acotado pues sino existiría una sucesión acotada (x n ) n tal que Ax n n y entonces la sucesión (Ax n ) n no tendría una subsucesión convergente. Ejemplos: A : H H, H con dimh = n, es compacto. En dimensión infinita el operador identidad no es compacto. Definición Un operador A : H H, H espacio de Hilbert, se llama hermítico o autoadjunto si A = A, i.e., Ax, y = x, A y, x, y H.

40 Teoría Espectral: Espectro de un operador En un espacio de dimensión finita podemos definir el espectro de un operador como el conjunto de los autovalores de su correspondiente matriz (en alguna base i.e., es el conjunto de los números complejos λ tales que Ax = λx, x 0. Puesto que para cualquier matriz n n existen n autovalores, en el caso finito es relativamente simple de estudiar. El caso infinito es mucho más complicado. Por ejemplo el operador desplazamiento ya visto antes S : l 2 l 2, S(x 1, x 2, x 3,...) = (0, x 1, x 2,...), no tiene autovalores pues la igualdad Sx = λx implica x = 0.

41 Teoría Espectral Definición Sea X un espacio de Banach y A una aplicación lineal A : X X. El espectro de A, que denotaremos por σ(a) es el conjunto de números complejos tales que el operador (λi A) es no invertible, i.e., no existe (λi A) 1. Ejercicio Prueba que en dimensión finita σ(a) es el conjunto de todos los autovalores.

42 Teoría Espectral Definición Sea X un espacio de Banach y A una aplicación lineal A : X X. El espectro de A, que denotaremos por σ(a) es el conjunto de números complejos tales que el operador (λi A) es no invertible, i.e., no existe (λi A) 1. Ejercicio Prueba que en dimensión finita σ(a) es el conjunto de todos los autovalores. Teorema σ(a) es un compacto de C (conjunto cerrado y acotado de C) contenido en el interior del disco cerrado D = {z; z A }.

43 Teoría Espectral Teorema Sea H un espacio de Hilbert y A una aplicación lineal A : H H autoadjunta. Entonces todos los autovalores de A (si los tiene) son reales. Además los autovectores correspondientes son ortogonales.

44 Teoría Espectral Teorema Sea H un espacio de Hilbert y A una aplicación lineal A : H H autoadjunta. Entonces todos los autovalores de A (si los tiene) son reales. Además los autovectores correspondientes son ortogonales. En dimensión infinita un operador lineal A puede no tener autovalores. No ocurre así con los op. compactos y autoadjuntos. Teorema Sea A un operador compacto en un espacio de Hilbert y (φ n ) n una sucesión ortonormal de H. Entonces ĺım n Aφ n = 0.

45 Teoría Espectral Demostración: Supongamos que el teorema es falso, entonces para algún ɛ > 0 ha de existir una subsucesión (φ kn ) n tal que Aφ kn > ɛ para todo n N. Como A es compacto y la sucesión (φ kn ) n es acotada, entonces hay al menos una subsucesión convergente (φ mn ) n tal que ĺım n Aφ mn = ψ 0. Entonces 0 ψ 2 = ψ, ψ = ĺım n Aφ m n, ψ = ĺım n φ m n, A ψ = 0, pues A ψ H y por tanto φ mn, A ψ es, escencialmente, el m n coeficiente de Fourier c mn de A ψ el cual sabemos que tiende a cero si n.

46 Teoría Espectral Demostración: Supongamos que el teorema es falso, entonces para algún ɛ > 0 ha de existir una subsucesión (φ kn ) n tal que Aφ kn > ɛ para todo n N. Como A es compacto y la sucesión (φ kn ) n es acotada, entonces hay al menos una subsucesión convergente (φ mn ) n tal que ĺım n Aφ mn = ψ 0. Entonces 0 ψ 2 = ψ, ψ = ĺım n Aφ m n, ψ = ĺım n φ m n, A ψ = 0, pues A ψ H y por tanto φ mn, A ψ es, escencialmente, el m n coeficiente de Fourier c mn de A ψ el cual sabemos que tiende a cero si n. Teorema Sea H un espacio de Hilbert y A una aplicación lineal A : H H autoadjunta y compacta. Entonces λ = A o λ = A es un autovalor de A.

47 Teoría Espectral Del teorema anterior se sigue que todo operador compacto y autoadjunto tiene siempre al menos un autovalor. De hecho se tiene el siguiente teorema: Teorema Sea H un espacio de Hilbert separable y A una aplicación lineal A : H H autoadjunta y compacta. Entonces A tiene un número finito de autovalores λ n reales distintos o si es infinito, entonces, es n numerable y si lo ordenamos de mayor a menor λ n 0. Del teorema anterior se sigue además que los espacios ker(λ k I A), para cada λ k, k = 1, 2, 3,... son de dimensión finita.

48 Teoría Espectral Del teorema anterior se sigue que todo operador compacto y autoadjunto tiene siempre al menos un autovalor. De hecho se tiene el siguiente teorema: Teorema Sea H un espacio de Hilbert separable y A una aplicación lineal A : H H autoadjunta y compacta. Entonces A tiene un número finito de autovalores λ n reales distintos o si es infinito, entonces, es n numerable y si lo ordenamos de mayor a menor λ n 0. Del teorema anterior se sigue además que los espacios ker(λ k I A), para cada λ k, k = 1, 2, 3,... son de dimensión finita. Y así hemos llegado al...

49 Teorema Espectral Teorema (Teorema espectral) Sea H un espacio de Hilbert y A una aplicación lineal A : H H autoadjunta y compacta. Existe una sucesión numerable de autovect. ortonormales (x n ) n de H cuya correspondiente sucesión de autoval. denotaremos por (λ n ) n t.q. Ax = n λ n x, x n x n, x H = ( ) 1 En ( ) aparecen todos los autovalores de A. 2 Si la sucesión (λ n ) n es infinita se puede reordenar de forma n que λ n 0. 3 Los correspondientes espacios ker(λ n I A), para todo n = 1, 2, 3,... son de dimensión finita, siendo la dimensión de estos el N o de veces que aparece un mismo λ k en ( ).

50 Teorema espectral Corolario Sea H un espacio de Hilbert separable y A una aplicación lineal A : H H autoadjunta y compacta. Entonces existe un sistema ortogonal completo (base ortonormal) de autovectores ortonormales (e n ) n de H consistente en los correspondientes autovectores de A. Además, Ax = n λ n x, e n e n, x H, donde (λ n ) n es la sucesión de autovalores asociados a (e n ) n.

51 Teorema espectral Del Teo. esp. se sique que un conjunto de autovec. (φ n ) n t.q. Ax = n λ n x, φ n φ n, x H. (3) Asumamos que λ n 0 ( por qué?). ker A H es un espacio de Hilbert separable ( por qué?) existirá una sistema (numerable) ortogonal completo que denotaremos por (ψ n ) n y como ker A coincide con el subespacio vectorial generado por los autovec. corresp. a λ = 0 (ψ n ) n son autovec. corresp. al autovalor 0. Sea ahora un autovector cualquiera φ m correspondiente al autovalor λ m 0 (Aφ m = λ m φ m ). Entonces φ m será ortogonal a todos los ψ n y el sistema (φ m ) m será ortogonal a (ψ n ) n. Además de (3) se tiene que para todo x H ( A x ) x, φ m φ m = Ax x, φ m Aφ m = 0, m m

52 Teorema espectral i.e., x m x, φ m φ m ker A, luego podemos desarrollarlo en serie de Fourier en la base de ker A (ψ n ) n de forma que obtenemos x m x, φ m φ m = n x, ψ n ψ n = x = m x, φ m φ m + n x, ψ n ψ n x H, i.e., el sistema (φ m ) m (ψn ) n es completo que podemos ortogonalizar utilizando el método de Gram-Schmidt obteniendo el sistema ortonormal (numerable) (e n ) n (recordemos que para autovectores correspondientes a autovalores distintos ya teníamos la ortogonalidad, así que sólo es necesario aplicarlo a los autovectores correspondientes a un mismo autovalor), luego tendremos x = n x, e n e n de donde se sigue el teorema.

53 Consecuencia del Teorema espectral El lenguaje que describe al mundo microscópico, i.e., la Mecánica Cuántica, es el lenguaje de los espacios de Hilbert.

54 Consecuencia del Teorema espectral El lenguaje que describe al mundo microscópico, i.e., la Mecánica Cuántica, es el lenguaje de los espacios de Hilbert. A cada sistema físico se le hace corresponder un espacio de Hilbert H apropiado (separable). El estado del sistema queda caracterizado por un vector de H.

55 Consecuencia del Teorema espectral El lenguaje que describe al mundo microscópico, i.e., la Mecánica Cuántica, es el lenguaje de los espacios de Hilbert. A cada sistema físico se le hace corresponder un espacio de Hilbert H apropiado (separable). El estado del sistema queda caracterizado por un vector de H. Las cantidades que podemos medir son operadores autoadjuntos en H.

56 Consecuencia del Teorema espectral El lenguaje que describe al mundo microscópico, i.e., la Mecánica Cuántica, es el lenguaje de los espacios de Hilbert. A cada sistema físico se le hace corresponder un espacio de Hilbert H apropiado (separable). El estado del sistema queda caracterizado por un vector de H. Las cantidades que podemos medir son operadores autoadjuntos en H. El resultado de una medición sólo puede ser un autovalor del correspondiente operador.

57 Consecuencia del Teorema espectral El lenguaje que describe al mundo microscópico, i.e., la Mecánica Cuántica, es el lenguaje de los espacios de Hilbert. A cada sistema físico se le hace corresponder un espacio de Hilbert H apropiado (separable). El estado del sistema queda caracterizado por un vector de H. Las cantidades que podemos medir son operadores autoadjuntos en H. El resultado de una medición sólo puede ser un autovalor del correspondiente operador.