Introducción a la topología

Transcripción

1 Introducción a la topología Beatriz Abadie CENTRO DE MATEMÁTICAS FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA Agosto de 2013 i

2 Índice general Capítulo 1. Elementos de la teoría de conjuntos Preliminares Cardinalidad Numerabilidad 9 Capítulo 2. Espacios métricos Definiciones y ejemplos Conjuntos abiertos en espacios métricos Métricas equivalentes 24 Capítulo 3. Espacios topológicos Definiciones y ejemplos Axiomas de separación Axiomas de numerabilidad 35 Capítulo 4. Convergencia en espacios topológicos Definiciones y ejemplos Redes y propiedades topológicas Ejemplos de convergencia en espacios de funciones 50 Capítulo 5. Funciones continuas Definiciones y ejemplos El conjunto de Cantor 59 Capítulo 6. Topología producto Definiciones y ejemplos Propiedades de la topología producto 66 Capítulo 7. Espacios topológicos conexos Definiciones y ejemplos Conexión local y conexión por caminos 75 Capítulo 8. Espacios métricos completos Definiciones y ejemplos Completación de un espacio métrico Algunos resultados en espacios métricos completos 90 Capítulo 9. Espacios compactos Definiciones y ejemplos Compacidad secuencial y propiedad de Bolzano-Weierstrass 102 Capítulo 10. Topología cociente 109 ii

3 Índice general iii Definiciones y ejemplos 109 Bibliografía 116 Lista de símbolos 117 Índice alfabético 118

4 Capítulo 1 Elementos de la teoría de conjuntos 1.1. Preliminares En lo que sigue se dan por conocidas las nociones de unión, intersección y complemento de conjuntos. Repasaremos brevemente algunos resultados básicos. Proposición (leyes de De Morgan) Sea {A α } α I una familia no vacía de subconjuntos de un conjunto U. Entonces ( ) c A α = A c α y ( ) c A α = A c α, α I α I donde, si X U, X c indica el complemento de X con respecto a U. Demostración. Si x U, x ( ) c x A α α I Análogamente, x ( ) c x A α α I α I α I α I A α x A α α I x α I A c α. α I A α α 0 I tal que x A α0 x α I Definición Sean A 1, A 2,, A n conjuntos. El producto cartesiano A 1 A 2 A n es el conjunto A 1 A 2 A n = {(a 1, a 2,..., a n ) : a i A i i = 1, 2,, n}, donde (a 1, a 2,..., a n ) = (b 1, b 2,..., b n ) si y sólo si a i = b i para todo i = 1,, n. Repasamos a continuación algunos subconjuntos especialmente importantes del producto cartesiano A B: las funciones y, en el caso en que A = B, las relaciones de orden y las de equivalencia. Definiciones Una función f : A B es un subconjunto del producto cartesiano A B que verifica la siguiente condición: para todo a A existe un único elemento b B tal que (a, b) f. Como es habitual, escribiremos f(a) = b en lugar de (a, b) f. El conjunto A es el dominio de la función f y B es su codominio. La imagen por f de un subconjunto A 0 de A es el conjunto f(a 0 ) = {f(a) : a A 0 }. La imagen Im(f) o rango de f es el conjunto f(a). 1 A c α.

5 1.1. PRELIMINARES 2 La preimagen de un subconjunto B 0 de B por f es el conjunto f 1 (B 0 ) = {a A : f(a) B 0 }. La función f : A B es inyectiva si a 1, a 2 A y a 1 a 2 implica que f(a 1 ) f(a 2 ), y es sobreyectiva si B = f(a). Una función es biyectiva o invertible si es inyectiva y sobreyectiva. Dadas dos funciones su composición g f es la función f : A B g : B C, g f : A C definida mediante (g f)(a) = g(f(a)). Si f : A B es biyectiva, su inversa es la función f 1 : B A definida por f 1 (f(a)) = a. En ese caso, f 1 también es biyectiva y (f 1 ) 1 = f. La función identidad en un conjunto A es la función id A : A A definida por id A (a) = a para todo a A. Cuando esto no dé lugar a confusión, escribiremos id en lugar de id A. Obsérvese que si f : A B es invertible, entonces Se prueba sin dificultad que una función f f 1 = id B y f 1 f = id A. (1.1.1) f : A B es biyectiva si y sólo si existe una función que verifica (1.1.1). f 1 : B A Observación Sean A y B dos conjuntos. Si alguno de ellos es vacío, también lo es el producto cartesiano A B. Si A es vacío, la única función es la función vacía f : A B f = = A B,

6 que es, además, inyectiva. Si A y B =, no existe una función 1.1. PRELIMINARES 3 f : A B, porque el subconjunto vacío, que es el único subconjunto de A B, no es una función. Definición Sea A un conjunto no vacío. Una relación de orden (o de orden parcial) en A es un conjunto A A que verifica las siguientes propiedades (escribiendo, como es habitual, a b en lugar de (a, b) ): 1. (Propiedad reflexiva) a a, para todo a A. 2. (Propiedad antisimétrica) Si a y b A verifican a b y b a, entonces a = b. 3. (Propiedad transitiva) Si a, b, c A verifican a b y b c, entonces a c. Si es una relación de orden en A, se dice que (A, ) es un conjunto parcialmente ordenado. Una relación de orden en A es total si dados a, b A, se tiene que a b o que b a. Ejemplos El orden habitual en el conjunto R de números reales es un orden total. 2. Dado un conjunto A sea P(A) su conjunto potencia o conjunto de partes P(A) = {B : B A}. El conjunto P(A) es un conjunto parcialmente (y no totalmente) ordenado tanto con la inclusión como con. 3. Todo subconjunto de un conjunto ordenado es un conjunto ordenado con la restricción del orden. Definiciones Sean E un conjunto parcialmente ordenado, A E, e E. 1. Se dice que e es una cota superior (inferior) de A si e a (e a) para todo a A. 2. Se dice que e es el máximo (mínimo) de A si es una cota superior (inferior) de A y e A. Nótese que, por la propiedad antisimétrica de, existe a lo sumo un máximo (mínimo). 3. Se dice que e es el supremo (ínfimo) de A si es el mínimo (máximo) del conjunto de cotas superiores (inferiores). 4. Un elemento a 0 de A es un elemento maximal (minimal) de A si no existe a A tal que a a 0 y a a 0 (a a 0 ). 5. Un subconjunto A de E es una cadena si es un conjunto totalmente ordenado con la restricción del orden en E. Ejemplo Sea P(A) el conjunto potencia de un conjunto A con el orden. Todo subconjunto U P(A) tiene supremo S U S e ínfimo S U S.

7 1.1. PRELIMINARES 4 Observación Todo conjunto finito y totalmente ordenado tiene máximo y mínimo. La demostración, por inducción en el número de elementos del conjunto, se deja a cargo del lector. En este curso recurriremos a menudo al siguiente resultado de la teoría de conjuntos, cuya demostración no veremos. Teorema (Lema de Zorn) Sea (X, ) un conjunto parcialmente ordenado tal que toda cadena de X tiene una cota superior en X. Entonces X tiene un elemento maximal. Definiciones Sea E un conjunto no vacío. Una relación de equivalencia en E es un subconjunto de E E que verifica las siguientes propiedades (escribiendo, como es habitual, x y en lugar de (x, y) ): 1. (Propiedad reflexiva) x x, para todo x E. 2. (Propiedad simétrica) x y implica que y x, para todo x, y E. 3. (Propiedad transitiva) Si x, y, z E verifican x y e y z, entonces x z. Si es una relación de equivalencia en E y x E, la clase de equivalencia de x es el conjunto [x] = {y E : x y}. El espacio cociente E/ es el conjunto de las clases de equivalencia. La proyección canónica es la función sobreyectiva dada por π : E E/ para todo x E. π (x) = [x] Proposición Sea una relación de equivalencia en E. 1. Si x, y E y [x] [y], entonces [x] [y] =. 2. E = x E [x]. Demostración. Si z [x] [y], entonces z x y z y. Por la propiedad transitiva, x y y, de nuevo por la propiedad transitiva, [x] = [y]. La segunda afirmación es evidente porque x [x] para todo x X. Observación Sean E y {C i } i I una familia de subconjuntos de E tal que 1. C i C j = si i j. 2. E = i I C i. Entonces x y si y sólo si existe i I tal que x, y C i define una relación de equivalencia, y E/ = {C i }. La demostración de este resultado es directa y queda a cargo del lector.

8 1.2. CARDINALIDAD 5 Definición Sea {A α } α I una familia no vacía de conjuntos. El producto cartesiano α I A α es el conjunto A α = {f : I A α : f(α) A α para todo α I}. α I α I Para cada α 0 I, la proyección sobre A α0 es la función p α0 : i A i A α0, dada por p α0 (f) = f(α 0 ). Observación En el caso en que la familia de conjuntos en la definición es finita, las definiciones y coinciden. Se puede suponer que I = {1, 2,, n} e identificar la n-upla (a 1, a 2,, a n ) de la definición con la función f : I A i de la definición , dada por f(i) = a i para todo i = 1, 2,, n. El siguiente axioma de la Teoría de Conjuntos, que es equivalente al lema de Zorn, será de gran utilidad a lo largo del curso. Axioma (Axioma de elección) Sea {A α } α I una familia no vacía de conjuntos no vacíos. Entonces A α. α I 1.2. Cardinalidad Definición Se dice que dos conjuntos A y B son equipotentes, coordinables, o que tienen el mismo cardinal, y se indica card(a) = card(b), si existe una función biyectiva f : A B. Ejemplos Los conjuntos A = {n Z : n 0} y B = {n Z : n 1} tienen el mismo cardinal: la función f : A B, dada por f(k) = k + 1, es una biyección. 2. El conjunto N de los números naturales y el conjunto Z de los números enteros tienen el mismo cardinal: la función f : N Z, dada por f(2n) = n y f(2n + 1) = n + 1 para todo n 0, es una biyección.

9 1.2. CARDINALIDAD 6 3. El conjunto R de los números reales y el intervalo ( π, π ) tienen el 2 2 mismo cardinal, porque la función Arcotangente es una biyección de R en ( π, π) Sean a, b R tales que a < b. Entonces los intervalos (a, b), (a, b], [a, b], [a, b] tienen el mismo cardinal que R. Esto es consecuencia del ejemplo 3 y del hecho de que son biyecciones las funciones: a) f : (a, b) (0, 1) dada por f(x) = f(x) a b a. b) g : (a, b] [a, b) dada por g(b) = a y g(x) = x si x a. c) h(a, b] [a, b], donde, si x n := a + b a, para todo n 1, n x si x {x n : n 1}, h(x) = a si x = x 1, x n 1 si x = x n para algún n 2. d) La restricción h : (a, b) [a, b) de la función h definida arriba. Observación Sean A, B y C conjuntos. 1. A tiene el mismo cardinal que A, porque la identidad es una biyección. 2. Si A tiene el mismo cardinal que B, entonces B tiene el mismo cardinal que A, porque si f : A B es una biyección, también lo es su inversa f 1 : B A. 3. Si A tiene el mismo cardinal que B y B el mismo cardinal que C, entonces A tiene el mismo cardinal que C, porque la composición de biyecciones es una biyección. El lector observará que tener el mismo cardinal tiene las propiedades de una relación de equivalencia. No podemos, sin embargo, decir que lo es, porque, de serlo, sería una relación de equivalencia en la familia de todos los conjuntos no vacíos, que no es un conjunto, como prueba la paradoja de Russell. Definición Sean A y B dos conjuntos. Diremos que el cardinal de A es menor o igual que el cardinal de B, y lo indicaremos si existe una función inyectiva Notación La notación card(a) card(b), f : A B. card(a) card(b), card(a) card(b), card(a) card(b) tiene el significado obvio. Ejemplos

10 1.2. CARDINALIDAD 7 1. En virtud de la observación 1.1.4, se tiene que card( ) card(a), para todo conjunto A, y que card(a) card( ) sólo si A =. 2. Sean A y B conjuntos equipotentes. Entonces card(a) card(b) y card(b) card(a). Probaremos en el teorema que la afirmación recíproca también vale. 3. Sean A y B conjuntos tales que A B. Entonces card(a) card(b), porque la función inclusión i : A B es inyectiva. Proposición Sean A y B conjuntos no vacíos. Entonces card(a) card(b) si y sólo si existe una función sobreyectiva g : B A. Demostración. Sea g : B A una función sobreyectiva. El conjunto es no vacío para todo a A. Por el axioma de elección, existe g 1 ({a}) := {b B : g(b) = a} f a A g 1 ({a}). Entonces f : A a A g 1 ({a}) = B, y g f(a) = a, porque f(a) g 1 ({a}). Esto implica que f es inyectiva: si f(a 1 ) = f(a 2 ), entonces Por lo tanto, a 1 = g f(a 1 ) = g f(a 2 ) = a 2. card(a) card(b). Supongamos ahora que card(a) card(b), y sea f : A B una función inyectiva. Sea a 0 A. Definimos por g : B A { a si f(a) = b g(b) = a 0 si no existe a A tal que f(a) = b. Es claro que f es sobreyectiva.

11 1.2. CARDINALIDAD 8 Teorema (Cantor) Sean A un conjunto y P(A) su conjunto potencia. card(a) card(p(a)). Demostración. Si A =, entonces P(A) = { }, y el teorema es consecuencia de la observación Si A, card(a) card(p(a)), porque la función f : A P(A) definida por f(a) = {a} es inyectiva. Supongamos que card(a) = card(p(a)); sea una función biyectiva. Definimos Sea u A tal que f(u) = U. Entonces f : A P(A) U = {a A : a f(a)}. u U u U, contradicción que resulta de suponer que f es sobreyectiva. Teorema (Cantor-Bernstein) Sean A y B conjuntos tales que card(a) card(b) y card(b) card(a). Entonces A y B tienen el mismo cardinal. Demostración. Podemos suponer que A y B son no vacíos, porque si uno de ellos lo es, también lo es el otro por la observación 1, y en ese caso tienen el mismo cardinal. Sean f : A B y g : B A funciones inyectivas. Definimos A 0 = A, A 1 = g(b) y A n = (g f)(a n 2 ) para todo n 2. Se define ahora el grado de un elemento a A como Análogamente, sean gr(a) = máx{n : a A n } N { }. B 0 = B, B 1 = f(a), B n = (f g)(b n 2 ) y gr(b) = máx{n : b B n }. Sean ahora A p, A i y A (B p, B i y B ) los conjuntos de elementos de A (B) de grado par, impar e infinito, respectivamente. Es claro que A y B son las uniones disjuntas Observése ahora que En efecto, A = A p A i A, B = B p B i B. (1.2.1) f(a n ) = B n+1 y g(b n ) = A n+1 para todo n 0. (1.2.2) f(a 0 ) = f(a) = B 1, f(a 1 ) = (f g)(b) = B 2.

12 1.3. NUMERABILIDAD 9 La primera igualdad en (1.2.2) se obtiene, entonces, por inducción en n ya que, si n 2, f(a n ) = f ( (g f)(a n 2 ) ) = (f g)(f(a n 2 )) = (f g)(b n 1 ) = B n+1. La segunda igualdad se prueba en forma análoga. Se concluye inmediatamente a partir de las igualdades (1.2.2 ) que a) f(a p ) = B i, b) f(a ) = B y c) g(b p ) = A i. (1.2.3) Las igualdades (1.2.1) y (1.2.3 c)) permiten definir por h(a) = h : A B { f(a) si a A p A, g 1 (a) si a A i. Probaremos a continuación que h es una biyección, concluyendo así la demostración. Por un lado, h es inyectiva: supongamos que h(a 0 ) = h(a 1 ). Si h(a 0 ) B p, entonces, por (1.2.3), a k A i y h(a k ) = g 1 (a k ), para i = 0, 1. En ese caso se tiene que g 1 (a 0 ) = g 1 (a 1 ) y, por lo tanto, a 0 = a 1. Si, en cambio, h(a 0 ) B p, entonces h(a k ) = f(a k ), para k = 0, 1. Como f es inyectiva, también se concluye en ese caso que a 0 = a 1. Finalmente, la sobreyectividad de h es consecuencia directa de las igualdades (1.2.1) y (1.2.3) Numerabilidad Definiciones Se dice que un conjunto es finito si es vacío o si tiene el mismo cardinal que un conjunto de la forma {1, 2,, n} para algún número entero n Un conjunto es infinito si no es finito. 3. Un conjunto es infinito numerable si tiene el mismo cardinal que N. Obsérvese que, en virtud del ejemplo , esta definición no depende del hecho de que se incluya o no el cero en el conjunto de los números naturales. 4. Un conjunto es numerable si es finito o infinito numerable. Ejemplos El conjunto potencia de un conjunto finito es finito. 2. El conjunto Z de los números enteros es infinito numerable (ejemplo ). La siguiente proposición prueba que ningún conjunto infinito tiene cardinal estrictamente menor que el de N. Proposición Todo subconjunto de N es numerable.

13 1.3. NUMERABILIDAD 10 Demostración. Sea A N. Si A es vacío, es numerable. Supondremos entonces que A no es vacío. Sea a 0 = mín A. Dados a 0, a 1,, a k A, A es numerable si A = {a 0, a 1,, a k }. En caso contrario, sea a k+1 = mín(a \ {a 0,, a k }). Si A {a 0,, a k } para todo k N, consideremos f : N A, dada por f(k) = a k. La función f es inyectiva, porque es estrictamente creciente. Concluimos que A es infinito numerable, a partir del ejemplo y del teorema (También se puede observar directamente que f es una biyección, porque para todo a A se tiene que a = f(k), donde k es el número de elementos de A estrictamente menores que a.) Proposición Sea A un conjunto. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A es numerable. 2. Existe una función inyectiva f : A N. Demostración. Si A es vacío, por la observación 1.1.4, existe una función inyectiva f : A N. Si A es numerable e infinito, entonces existe una biyección f : A N y vale 2). Finalmente, si A es finito y no vacío, existe una biyección g : A {1, 2,, n}. Sea inc : {1, 2,, n} N la función inclusión. Entonces inc g : A N es inyectiva. Recíprocamente, si f : A N es inyectiva, entonces A tiene el mismo cardinal que la imagen de f que, por la proposición 1.3.3, es numerable Proposición Sean A un conjunto y B un conjunto numerable. 1. Si existe una función inyectiva f : A B, entonces A es numerable. 2. Si existe una función sobreyectiva f : B A, entonces A es numerable. Demostración. 1. Si B es numerable, existe, por la proposición 1.3.4, una función inyectiva g : B N. Por lo tanto, g f es inyectiva, lo cual implica que A es numerable, de nuevo por la proposición La hipótesis implica que A por la observación y, en ese caso, la afirmación 2) es equivalente a la 1), por la proposición Corolario Sean B un conjunto numerable y A B. Entonces A es numerable.

14 1.3. NUMERABILIDAD 11 Demostración. Si A es vacío, es numerable. Si A, la inclusión i : A B es inyectiva y, por la proposición 1.3.5, A es numerable. Ejemplo Sean A un conjunto numerable y una relación de equivalencia en A. El espacio cociente A/ es numerable, porque la proyección canónica π : A A/ es sobreyectiva. k. Proposición El conjunto N k es numerable para todo entero positivo Demostración. Sean p 1, p 2,, p k números primos dos a dos diferentes. Entonces la función f : N k N dada por f(n 1, n 2,, n k ) = p n 1 1 p n 2 2 p n k k es inyectiva. Por lo tanto, N k es numerable por la proposición Proposición Sean A 1, A 2, A k conjuntos numerables. Entonces A 1 A 2 A k es numerable. Demostración. Si A i = para algún i, el producto A 1 A k es vacío y, por lo tanto, numerable. En otro caso, sea φ i : A i N una función inyectiva para i = 1, 2,, k. Entonces φ : A 1 A 2 A k N k, dada por φ(a 1, a 2,, a k ) = (φ 1 (a 1 ), φ 2 (a 2 ),, φ k (a k )) es inyectiva. Resulta entonces de la proposición y de la proposición que A 1 A 2 A k es numerable. Ejemplo El conjunto Q de números racionales es numerable, porque Z (N \ {0}) es numerable y la función definida por es sobreyectiva. f : Z (N \ {0}) Q f(m, n) = m/n Proposición Sean I un conjunto numerable y A i un conjunto numerable para cada i I. Entonces la unión i I A i es numerable. Demostración. Alcanza con probar la afirmación en el caso en que I y A i para todo i I. En ese caso, existen funciones sobreyectivas Sean f : N I y f i : N A i para todo i I. g : N N I I A i por g(m, n) = f f(m) (n).

15 1.3. NUMERABILIDAD 12 La función g es sobreyectiva: si a I I A i, sea i I tal que a A i. Sean m y n tales que i = f(m) y a = f i (n). Entonces a = g(m, n). Notación Sea A un conjunto. Indicaremos con P F (A) el conjunto de partes finitas de A, es decir, la familia de subconjuntos finitos de A. Proposición El conjunto P F (N) es numerable. Demostración. Dado k 0, sea P k (N) la familia de subconjuntos de N que tienen exactamente k elementos. Si k 0, sea f k la función dada por donde f k : P k (N) N k f k (A) = (a 1, a 2,, a k ), A = {a 1, a 2, a k } P F (A) y a 1 < a 2 < < a k. Como f k es inyectiva, concluimos que P k (N) es numerable para k 0. También lo es cuando k = 0, porque P 0 (N) = { }. En virtud de la proposición , se tiene que P F (N) = k N P k (N) es numerable. Corolario Sea A un conjunto numerable. Entonces P F (A) es numerable. Demostración. Sea f : A N una función inyectiva. Entonces la función f : P F (A) P F (N) definida por f (S) = {f(s) : s S}, f ( ) = también es inyectiva, y resulta de las proposiciones y que P F (A) es numerable. Proposición Todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable. Demostración. Sea A un conjunto infinito. Para cada n 1, sea P n (A) la familia de subconjuntos de N que tienen exactamente n elementos. Por el axioma de elección (1.1.16), existe una sucesión {S n } n N tal que S n P n (A) para todo n N. Sea ahora S = n N S n. Entonces S es numerable por la proposición , y es infinito porque S n S m si n m.

16 1.3. NUMERABILIDAD 13 Corolario Sean A un conjunto numerable y B un conjunto infinito. Entonces A B y B tienen el mismo cardinal. Demostración. Como el conjunto A = {a A : a B} es numerable y A B = A B, podemos suponer que A y B son disjuntos. Sea B 0 un subconjunto infinito numerable de B. Entonces A B 0 y B 0 son infinitos y numerables; sea f : A B 0 B 0 una biyección. Entonces φ : A B B, dada por φ(x) = { f(x) si x A B 0 x en caso contrario es una biyección. Es claro que φ es sobreyectiva y que, si x y, y ni x ni y pertenece a A B 0, φ(x) = x y = φ(y). Por otro lado, si x A B 0 y φ(x) = φ(y), entonces φ(y) B 0. Por lo tanto, φ(y) A B 0, lo cual implica que y A B 0, y que f(y) = φ(y) = φ(x) = f(x). Como f es inyectiva, concluimos que x = y. Notación En lo que sigue, indicaremos con R el conjunto de sucesiones con valores en {0, 1} que toman infinitas veces el valor 1. Proposición (Descomposición binaria) Sea r (0, 1]. Entonces existe una única sucesión {a n }, con a n {0, 1} para todo n N y tal que: a n 1. r = 2. n n=1 2. El conjunto {n : a n = 1} es infinito. La correspondencia φ : (0, 1] R tal que φ(r) = {a n } es una biyección cuya inversa está dada por φ 1( {a n } n 1 ) = n=1 a n 2 n. (1.3.1) Demostración. Definiremos la sucesión {a n } por recurrencia. Sea { 0 si 0 < r 1 a 1 =, 2 1 si 1 < r 1. (1.3.2) 2 Entonces 0 < r a

17 Dados a 1, a 2,, a n {0, 1} tales que n a k 0 < r 2 1 k 2, n se define Se tiene entonces que a n+1 = 1.3. NUMERABILIDAD 14 k=1 { 0 si 0 < r n a k k=1 1 si 1 2 n+1 < r n k=1 0 < r n+1 k=1 a k 2 k 1 2 n+1, 1, 2 k 2 n+1 a k 1 2 k 2 n (1.3.3) lo cual permite construir por recurrencia la sucesión y prueba, además, que a n r = 2. n n=1 Las sucesión {a n } así construida toma infinitas veces el valor 1: supongamos que para algún r (0, 1] se tuviera a N = 1 y a n = 0 para todo n > N. Entonces Pero entonces r = r k=1 N 1 k=1 a k 2 = N k k=1 a k 2 = 1 k 2 N y, por (1.3.3), a N = 0, en contradicción con lo supuesto. Es claro ahora, en virtud de la condición 1), que la correspondencia φ es inyectiva. Demostraremos a continuación que también es sobreyectiva y que su inversa está dada por (1.3.1). Sea {b n } R. 0 < n=1 a k 2 k. b n 2 1 n 2 = 1, n donde la desigualdad estricta se debe a que, como {b n } R, no puede ser b n = 0 para todo n 1. Sea b n r = (0, 1]. 2n n=1 Probaremos ahora, por inducción en n, que a n = b n para todo n N, donde {a n } = φ(r). En primer lugar, b 1 = a 1 : b k b 1 = 0 r = 2 1 k 2 = 1 k 2. Entonces, por(1.3.2), a 1 = 0. Por otro lado, k=2 n=1 k=2

18 1.3. NUMERABILIDAD 15 b 1 = 1 r > b 1 2 = 1 2. De nuevo por (1.3.2), a 1 = 1. Supongamos ahora que b k = a k para todo k n. Entonces Por lo tanto, b n+1 = 0 r r n k=1 n k=1 Por (1.3.3) se tiene que a n+1 = 0. Finalmente, b n+1 = 1 r a k n 2 = r k a k 2 = k k=n+2 n k=1 lo cual implica, por (1.3.3), que a n+1 = 1. k=1 b k 2 k. b k 2 k k=n+2 a k 2 k > b n+1 2 n+1 = 1 2 n+1, 1 k 2 k = 1 2 n+1. Observación La descomposición binaria no es única si no se impone la segunda condición en la proposición : = 1 2. k Se puede probar que ese tipo de situación es la única posible. Es decir, que a k 2 = b k k 2, donde a k, b k k {0, 1} para todo k N 1 1 si y sólo si (cambiando, eventualmente, los roles de {a k } y {b k }) existe k 0 1 tal que 1. a k = b k para todo k < k a k0 = 1 y b k0 = a k = 0 y b k = 1 para todo k > k 0. Proposición El conjunto R tiene el mismo cardinal que el conjunto potencia P(N) del conjunto de los números naturales. Demostración. Sea T el conjunto de sucesiones con valores en {0, 1}. Es claro que la correspondencia dada por (ψ(a)) n = k=2 ψ : P(N) T es una biyección, así como su restricción { 1 si n A, 0 en caso contrario. ψ 0 : P(N) \ P F (N) R.

19 1.3. NUMERABILIDAD 16 Por otro lado, como P F (N) es numerable por la proposición , se sigue del corolario que P(N) y R tienen el mismo cardinal. Corolario El conjunto R de los números reales tiene el mismo cardinal que el conjunto potencia P(N) del conjunto de los números naturales. Demostración. El teorema prueba que R tiene el mismo cardinal que el intervalo (0, 1], el cual, a su vez, tiene el mismo cardinal que R, por el ejemplo Finalmente, por la proposición , R y P(N) tienen el mismo cardinal. Corolario El conjunto R de los números reales es no numerable. Demostración. La afirmación se sigue directamente del corolario y del teorema de Cantor (1.2.8).

20 Capítulo 2 Espacios métricos 2.1. Definiciones y ejemplos Definición Un espacio métrico (E, d) consiste en un conjunto E junto con una función d : E E R, llamada métrica o distancia, que cumple con las siguientes condiciones para todo x, y, z E: 1. d(x, y) d(x, y) = 0 si y sólo si x = y. 3. d(x, y) = d(y, x). 4. (Desigualdad triangular) Ejemplos d(x, z) d(x, y) + d(y, z). (2.1.1) 1. Si d es una métrica en E, un subconjunto F de E es un espacio métrico con la restricción de d a F F, llamada métrica o distancia relativa. 2. La distancia habitual en R, es decir, la función d(x, y) = x y, es efectivamente una distancia. Es la métrica que consideraremos en R y sus subconjuntos, salvo indicación contraria. 3. Son distancias en R n las funciones d 1, d 2 y d dadas por: n d 1 (x, y) = x i y i, i=1 d 2 (x, y) = ( n x i y i 2) 1 2, i=1 d (x, y) = máx{ x i y i : i = 1,, n}, donde x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ). Obsérvese que las tres métricas coinciden con la del ejemplo cuando n = 1. 17

21 2.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS Espacio métrico discreto. La métrica discreta en un conjunto E es la función { 0 si x = y, d : E E R, dada por d(x, y) = 1 si x y. Para verificar la desigualdad triangular, obsérvese que los dos lados de (2.1.1) valen cero si x = y = z. En caso contrario, el lado derecho es mayor o igual a uno, y, por lo tanto, vale la desigualdad. Las demás propiedades se verifican fácilmente. 5. El conjunto C([a, b])de funciones continuas con valores complejos en el intervalo [a, b] es un espacio métrico con la distancia d(f, g) = sup{ f(x) g(x) : x [a, b]}. Obsérvese que la definición tiene sentido, por el teorema de Weierstrass y la continuidad de las partes real e imaginaria de un número complejo. La desigualdad triangular es consecuencia directa de la desigualdad triangular en R: sup f(x) h(x) sup x [a,b] x [a,b] ( f(x) g(x) + g(x) h(x) ) sup f(x) g(x) + sup g(x) h(x). (2.1.2) x [a,b] x [a,b] También es un espacio métrico, por el ejemplo , el conjunto C R ([a, b]) de funciones continuas con valores reales en el intervalo [a, b] con la restricción de la métrica d. 6. Métricas provenientes de normas. Si V es un espacio vectorial real o complejo, una norma en V es una función : V R que verifica para todo x, y V : a) x 0. b) x = 0 si y sólo si x = 0 V. c) λx = λ x para todo escalar λ. d) (Desigualdad triangular) x + y x + y. (2.1.3) Se verifica en forma inmediata que una norma en V define una métrica d en V por d(x, y) = x y. Las métricas d 1, d 2 y d del ejemplo provienen, respectivamente, de las normas n x 1 = x 1, x 2 = ( n x i 2) 1/2 (2.1.4) i=1 i=1 y x = máx i x i, (2.1.5)

22 2.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 19 donde x = (x 1, x 2,, x n ) R n. Las fórmulas en (2.1.4) y (2.1.5) definen también normas en el espacio vectorial complejo C n. Por lo tanto, las fórmulas de las distancias d 1, d 2 y d en el ejemplo también definen métricas en C n. Las distancias definidas en el ejemplo también provienen de normas. El conjunto C([a, b]) es un espacio vectorial complejo con las operaciones (f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x), (2.1.6) para todo f, g C([a, b]) y todo escalar λ. Se verifica inmediatamente, usando (2.1.2), que la siguiente función sup, llamada norma del supremo, es una norma en C([a, b]) que induce la distancia del ejemplo : f sup = sup f(x). (2.1.7) x [a,b] Análogamente, las fórmulas en (2.1.6) definen en C R ([a, b]) una estructura de espacio vectorial real, con una norma definida como en (2.1.7), que induce la métrica del ejemplo Normas en espacios de sucesiones. Sea l 1 el conjunto de sucesiones complejas x tales que x n <, (2.1.8) n donde, como se hará de aquí en adelante, dada una sucesión x, se indica x = {x n }. El conjunto l 1 es un espacio vectorial con las operaciones definidas por (x + y) n = x n + y n, (λx) n = λx n, (2.1.9) para todo x, y l 1 y para todo escalar λ. En efecto, es claro, a partir de las desigualdades N N N x n + y n x n + y n x n + y n, (2.1.10) n=1 n=1 n=1 N λx n = λ n=1 n=1 n=1 n=1 N x n λ x n, (2.1.11) para todo N N, que las fórmulas en definen, efectivamente, elementos de l 1, y que la función 1 dada por x 1 = x n (2.1.12) n=1 define una norma en l 1. El subconjunto l 1 R l1 de sucesiones con valores reales es un espacio vectorial real, con la estructura definida por las fórmulas en (2.1.9), en el que (2.1.12) define una norma. n=1

23 2.2. CONJUNTOS ABIERTOS EN ESPACIOS MÉTRICOS 20 Otros ejemplos importantes de espacios normados de sucesiones son l 2 = {{x n } C : x n 2 < } (2.1.13) n=1 y l = {{x n } C : sup x n < }. (2.1.14) n Razonando en forma análoga a la empleada en el caso de l 1, se prueba que las fórmulas en (2.1.9) definen una estructura de espacio vectorial complejo tanto en l 1 como en l con norma 2 y, respectivamente, donde x 2 = ( x n 2) 1/2 y x = sup x n. (2.1.15) n n Como en el caso de l 1, los subconjuntos l 2 R l2 y l R l de sucesiones reales son espacios vectoriales reales normados, con las mismas fórmulas. Observación Sea (E, d) un espacio métrico. Si x, y, z E, entonces d(y, z) d(x, z) d(x, y). Demostración. Por la desigualdad triangular, Esto implica que d(x, z) d(x, y) + d(y, z) y d(x, y) d(x, z) + d(y, z). d(x, z) d(x, y) d(y, z) y d(x, y) d(x, z) d(y, z), lo cual concluye la demostración Conjuntos abiertos en espacios métricos Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Dados x E y ɛ > 0, la bola abierta de centro x y radio ɛ es el conjunto B ɛ (x) = {y E : d(x, y) < ɛ}. Cuando pueda haber lugar a confusión con respecto al espacio métrico E en el que se considera la bola, la indicaremos con B E e psilon(x). Ejemplo Sean (E, d) un espacio métrico discreto, x E y ɛ > 0. Entonces { {x} si ɛ 1, B ɛ (x) = E si ɛ > 1. Observación Sean (E, d) un espacio métrico, F E, x F y ɛ > 0. Sean B E ɛ (x) y B F ɛ (x) la bola de centro x y radio ɛ en E y en F con la métrica relativa, respectivamente. Entonces B F ɛ (x) = F B E ɛ (x).

24 2.2. CONJUNTOS ABIERTOS EN ESPACIOS MÉTRICOS 21 Observación Sean (E, d) un espacio métrico, x E y 0 < ɛ 1 ɛ 2. Entonces B ɛ1 (x) B ɛ2 (x). 0. Proposición Sean (E, d) un espacio métrico, x, y, z E y ɛ 1, ɛ 2 > 1. Si y B ɛ1 (x), entonces B ɛ1 d(x,y)(y) B ɛ1 (x). 2. Si y B ɛ1 (x) B ɛ2 (z), entonces B δ (y) B ɛ1 (x) B ɛ2 (z), donde δ = mín{ɛ 1 d(x, y), ɛ 2 d(z, y)}. Demostración. 1. Si u B ɛ1 d(x,y)(y), entonces d(u, x) d(u, y) + d(y, x) < ɛ 1 d(x, y) + d(x, y) = ɛ 1. Por lo tanto, u B ɛ1 (x). 2. Por la parte anterior, B ɛ1 d(x,y)(y) B ɛ1 (x) y B ɛ2 d(z,y)(y) B ɛ2 (z). La afirmación es ahora consecuencia de la observación Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Un subconjunto A de E es abierto (en E) si para todo a A existe ɛ > 0 tal que B ɛ (a) A. Ejemplos Las bolas abiertas en un espacio métrico son conjuntos abiertos, por la parte 1 de la proposición El intervalo I = (0, 1] no es abierto en R: 1 I pero, para todo ɛ, B ɛ (1) I porque 1 + ɛ 2 I. 3. El intervalo I = (0, 1] es abierto en (, 1], por la observación y porque B x (x) I (, 1], para todo x I. 4. Todo intervalo abierto (a, b) en R es abierto en R: alcanza con observar, en virtud del ejemplo , que (a, b) es la bola abierta de centro a + b a y radio b a Todo subconjunto de un espacio métrico discreto es abierto, por el ejemplo El conjunto A = {x l 1 : x 0 0}

25 2.2. CONJUNTOS ABIERTOS EN ESPACIOS MÉTRICOS 22 es abierto en l 1 porque, si x A, entonces B x0 (x) A. En efecto, si z B x0 (x), entonces z 0 x 0 z x 1 < x 0. Entonces, por la observación 2.1.3, z 0 z0 x 0 x 0 > 0. Proposición Sea (E, d) un espacio métrico. Entonces: 1. Los conjuntos E y son abiertos. 2. Si {A i } i I es una familia de conjuntos abiertos en E, entonces i A i es abierto. 3. Si A 1, A 2,, A n son conjuntos abiertos en E, entonces n i=1 A i es abierto. Demostración. 1. La afirmación es obvia. 2. Dado x i A i, sea i 0 I tal que x A i0. Como A i0 es abierto, existe ɛ > 0 tal que B ɛ (x) A i0 A i, i como queríamos probar. 3. Dado x n i=1 A i, para cada i = 1, 2,, n existe ɛ i > 0 tal que B ɛi (x) A i. Sea ɛ = mín{ɛ i : i = 1, 2., n}. Entonces ɛ > 0 y B ɛ (x) i Observación La afirmación 3 de la proposición no vale si la cantidad de conjuntos no es finita, como lo prueba el siguiente ejemplo: ( 1 n, 1 n ) = {0}. n=1 Proposición Sea (E, d) un espacio métrico. Un subconjunto no vacío de E es abierto si y sólo si es unión de bolas abiertas. Demostración. Sea A E un conjunto abierto. Entonces, para cada a A existe ɛ a > 0 tal que a B ɛa (a) A y, por lo tanto, A i. A = a A B ɛa (a). La afirmación recíproca es consecuencia del ejemplo y de la parte 2 de la proposición Observación Se probó, en particular, en la demostración de la proposición que si A es un conjunto abierto en un espacio métrico, para cada a A existe ɛ a > 0 tal que A = a A B ɛa (a).

26 2.2. CONJUNTOS ABIERTOS EN ESPACIOS MÉTRICOS 23 Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Un subconjunto F de E es cerrado (en E) si su complemento es abierto. Ejemplos Bolas cerradas. Si x es un elemento de un espacio métrico E y r > 0, la bola cerrada de centro x y radio r es el conjunto: B r (x) = {y E : d(x, y) r}. Una bola cerrada es un conjunto cerrado: si y B r (x) y z B d(x,y) r (y), entonces d(x, z) d(x, y) d(y, z) > d(x, y) d(x, y) + r = r. Se probó así que B d(x,y) r (y) B r (x) c si y Br (x) c, lo cual prueba que Br (x) c es abierto, es decir, que Br (x) es cerrado. 2. Un intervalo cerrado [a, b] es cerrado en R porque es la bola cerrada de centro a + b a y radio b a Por el ejemplo , el conjunto es cerrado en l 1. F = {x l 1 : x 0 = 0} Proposición Sean (E, d) un espacio métrico y F E. 1. Un subconjunto A de F es abierto en F si y sólo si A = F S, donde S es un conjunto abierto en E. 2. Un subconjunto A de F es cerrado en F si y sólo si A = F S, donde S es un conjunto cerrado en E. Demostración. 1) Si A es abierto en F, entonces, por la proposición , existe una familia de bolas abiertas {B F ɛ i (x i )} tal que Entonces, por la observación 2.2.3, A = B F ɛ i (x i ). A = B F ɛ i (x i ) = ( F B E ɛi (x i ) ) = F B E ɛ i (x i ) = F S, (2.2.1) donde S = B E ɛ i (x i ) es abierto en E. Recíprocamente, si A = F S, donde S es abierto en E, dado a A, existe ɛ > 0 tal que B ɛ (a) S. Por lo tanto, lo cual prueba que A es abierto en F. B F ɛ (a) = F B ɛ (a) F S = A,

27 2.3. MÉTRICAS EQUIVALENTES 24 2) Es consecuencia directa de la parte anterior y del hecho de que el complemento en F de F S, con S E, es F S c, donde S c es el complemento de S en E. Ejemplo El conjunto A = [0, 1) es abierto y cerrado en E = [0, 1) (2, 3], porque [0, 1) = [0, 1] E = ( 1, 1) E. Proposición Sean d 1 y d 2 métricas en un conjunto E. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Para toda bola abierta B d 1 ɛ (x) en (E, d 1 ) existe δ > 0 tal que δ (x) Bd 1 ɛ (x), B d 2 donde B d 2 δ (x) es la bola abierta en (E, d 2). 2. Todo conjunto abierto en (E, d 1 ) es abierto en (E, d 2 ). Demostración. 1 2: Sea A un conjunto abierto en (E, d 1 ). Entonces, como en la observación , A = a A B d 1 ɛ a (a). Sea ahora, para cada a A, δ a > 0 tal que Entonces Por lo tanto, B d 2 δ a (a) B d 1 ɛ a (a). A B d 2 δ a (a) B d 1 ɛ a (a) = A. a A a A A = a A B d 2 δ a (a) y, por la proposición , A es abierto en (E, d 2 ). 2 1: La bola abierta B d 1 ɛ (x) es abierta en (E, d 2 ) y contiene a x. Por lo tanto, existe δ > 0 tal que δ (x) Bd 1 ɛ (x). B d Métricas equivalentes Definición Dos métricas d 1 y d 2 en un conjunto E son equivalentes si un subconjunto A de E es abierto en (E, d 1 ) si y sólo si lo es en (E, d 2 ). Observación En virtud de la proposición , las métricas d 1 y d 2 son equivalentes si y sólo si, dadas bolas abiertas B d 1 ɛ 1 (x) y B d 2 δ 1 (x), existen ɛ 2 > 0 y δ 2 > 0 tales que B d 2 δ 2 (x) B d 1 ɛ 1 (x) y B d 1 ɛ 2 (x) B d 2 δ 1 (x).

28 2.3. MÉTRICAS EQUIVALENTES 25 Ejemplo La métrica discreta y la métrica habitual en Z son equivalentes: con ambas son abiertos todos los subconjuntos de Z. Suele probarse en cursos de Cálculo que las métricas d 1, d 2 y d en R n son equivalentes. La siguiente proposición extiende ese resultado a otros productos cartesianos de espacios métricos. Proposición Sea (E i, m i ) un espacio métrico para i = 1, 2,, n, y sea E el producto cartesiano Sean d 1, d 2 y d las funciones definidas por d 1 (e, f) = E = E 1 E 2 E n. d 1, d 2, d : E E R n m i (e i, f i ), d 2 (e, f) = ( n (m i (e i, f i ) 2) 1/2 i=1 i=1 y d (e, f) = máx{m i (e i, f i ) : i = 1,, n}. i donde e = (e 1, e 2,, e n ) y f = (f 1, f 2,, f n ). Entonces d 1, d 2 y d son métricas equivalentes en E. (2.3.1) Demostración. No es difícil probar directamente que d α es una métrica para α {1, 2, }. También se puede observar que d α (e, f) = m(e, f) α para todo α {1, 2, }, e E y f F, donde, si e = (e 1, e 2,, e n ) y f = (f 1, f 2,, f n ), m(e, f) R n es el vector m(e, f) = (m 1 (e 1, f 1 ), m 2 (e 2, f 2 ),, m n (e n, f n )) y 1, 2, son las normas en R n definidas en (2.1.4) y (2.1.5). Si x, y R n, x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) son tales que 0 x i y i, i = 1,, n, entonces, como y i x i = y i x i y i, para todo i = 1, 2,, n, se tiene que x α y α para todo α {1, 2, }. Por lo tanto, dados e, f, g E, y α {1, 2, }, d α (e, g) = m(e, g α m(e, f) + m(f, g) α (2.3.2) m(e, f) α + m(f, g) α = d α (e, f) + d α (d, g), (2.3.3) lo cual prueba la desigualdad triangular. El resto de las propiedades en la definición de distancia se verifican fácilmente a partir del hecho de que m i es una distancia y α una norma para todo i = 1,, n y α {1, 2, }. Las tres métricas son equivalentes por la observación 2.3.2, ya que ɛ (e) B d 2 ɛ (e) Bɛ d (e) B d 1 nɛ(e), (2.3.4) B d 1

29 2.3. MÉTRICAS EQUIVALENTES 26 para todo e E y ɛ > 0. Las dos últimas inclusiones son claras, y la primera se debe a la desigualdad ( n ) 2 n a i a 2 i, si a i 0 para todo i = 1, 2, n, i=1 i=1 que se verifica desarrollando el término de la izquierda. Definiciones Sea F un subconjunto de un espacio métrico (E, d). El diámetro de F es cero si F =, y es diám(f ) = sup{d(x, y) : x, y F } R {+ }. 2. Se dice que un subconjunto F de un espacio métrico (E, d) está acotado si su diámetro es finito. 3. Se dice que una distancia d en un conjunto E está acotada si el diámetro de E es finito (es decir, si E es un conjunto acotado). Observación Un subconjunto F de un espacio métrico E está acotado si y sólo si está contenido en una bola cerrada. Por un lado, si F está acotado y D es el diámetro de F, F B D (x) (2.3.5) para todo x F. Por otro lado, si F verifica (2.3.5) para algún D > 0, entonces diám(f ) 2D. En particular, la noción de acotación definida en la definición coincide, en R n, con la habitual. Proposición Toda distancia d en un conjunto E es equivalente a una distancia acotada d 0 que verifica para todo x, y E. d 0 (x, y) 1, Demostración. Sea d 0 (x, y) = mín{1, d(x, y)}. Para probar que d 0 verifica la desigualdad triangular d 0 (x, z) d 0 (x, y) + d 0 (y, z), (2.3.6) obsérvese que si uno de los dos sumandos en el lado derecho de (2.3.6) es igual a uno, la desigualdad se verifica porque En caso contrario, se tiene que d 0 (x, z) 1 d 0 (x, y) + d 0 (y, z). d 0 (x, z) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) = d 0 (x, y) + d 0 (y, z). Se verifica ahora sin dificultad que d 0 es una distancia. Finalmente, d 0 es equivalente a d porque, como B d ɛ = B d 0 ɛ para todo ɛ tal que 0 < ɛ 1, las dos métricas inducen los mismos conjuntos abiertos.

30 Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1. Definiciones y ejemplos Se prueba a menudo en los cursos de Cálculo que, a muchos efectos, trabajar con cualquiera de las tres métricas habituales en R n es equivalente. Esto se debe, en el fondo, a que las tres métricas inducen los mismos conjuntos abiertos (proposición 2.3.4), y sugiere la idea de concentrarse no en la métrica sino en la familia de conjuntos abiertos. Ese es el mecanismo por el cual uno pasa del estudio de los espacios métricos al de una clase más general: la de los espacios topológicos, en los que hay una noción de conjunto abierto que no necesariamente proviene de una distancia en el espacio. Formalizamos esta idea en la siguiente definición. Definición Un espacio topológico (X, τ) consiste en un conjunto X junto con una familia τ de subconjuntos de X, llamada topología, que verifica: 1. X τ, τ. 2. Si {A i } i I τ, entonces i I A i τ. 3. Si A 1, A 2, A n τ, entonces A 1 A 2 A n τ. Los elementos de τ se llaman conjuntos abiertos de X. Los elementos de X a menudo se llaman puntos. Ejemplos Sea (E, d) un espacio métrico. La proposición prueba que τ d = {A E : A es abierto en (E, d)} define una topología en E. Además, dos métricas d 1 y d 2 en E son equivalentes si y sólo si las topologías que inducen son iguales. Se dice que una topología es metrizable si proviene de una distancia. 2. La topología discreta en un conjunto X es τ = P(X). Obsérvese que, por el ejemplo , la topología inducida por la métrica discreta es la topología discreta. 3. La topología indiscreta en un conjunto X es τ = {, X}. 27

31 3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS La topología de los complementos numerables en un conjunto X es la topología τ = {A X : A = o A c es numerable}. En efecto, por las leyes de De Morgan (proposición 1.1.1), si A i τ para todo i I, entonces ( ) c A i = A c i, i I que es numerable, a menos que A i = para todo i I, en cuyo caso i I A i =. En cualquier caso, entonces, i I A i τ. Por otro lado, si A 1, A 2,, A n τ, entonces ( n ) c A i = A c i, i=1 que es numerable por la proposición , a menos que A i = para algún i = 1,, n, en cuyo caso n A i = τ. i=1 i 5. La topología de los complementos finitos en un conjunto X es la topología τ = {A X : A = o A c es finito}. La verificación de que τ es una topología es análoga a la del ejemplo 4, y se deja a cargo del lector. 6. Sean (X, τ) un espacio topológico e Y X un subconjunto. La topología relativa a τ en Y es τ Y = {A Y : A τ}. Se prueba fácilmente que τ Y es, efectivamente, una topología en Y. Obsérvese que, por la proposición , si τ está inducida por una métrica d en X, entonces la topología relativa τ Y está inducida por la métrica relativa d Y en Y. 7. La topología del cero en R es la topología con respecto a la cual un conjunto A R es abierto si es vacío o si contiene al cero. Mencionamos esta topología porque será un ejemplo importante a lo largo del curso, pero es un caso particular de la topología que, como se prueba sin dificultades, se obtiene en un conjunto no vacío X al elegir x 0 X y declarar abiertos los conjuntos que son vacíos o contienen a x 0.

32 8. La topología par-impar en Z es 3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 29 τ = {A Z : 2n A 2n 1 A, para todo n Z}. Se verifica fácilmente que τ es una topología. Definición Sean (X, τ) un espacio topológico y x X. Un conjunto U X es un entorno de x si existe un conjunto abierto A tal que x A U. Indicaremos con N x la familia de entornos del punto x. Ejemplos En la topología de los complementos numerables (finitos) en un conjunto X, para todo x X N x = {A X : A es abierto y x A}. Es claro que los conjuntos abiertos que contienen a x son entornos de x. Por otro lado, si U N x, existe un conjunto abierto A X tal que x A U. Entonces U c A c, y, por lo tanto, U c es numerable (finito). Entonces U es abierto. 2. En el espacio topológico del ejemplo , un conjunto V Z es un entorno de 3 si y sólo si {3, 4} V. Por un lado, si V N 3 existe un abierto A tal que 3 A V. Por lo tanto, 4 A y se tiene que {3, 4} V. Recíprocamente, como {3, 4} es abierto, V N 3 si {3, 4} V. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico y x X. Entonces 1. N x. 2. Si V N x y V U X, entonces U N x. 3. Si V N x, existe U N x tal que U es abierto y U V. 4. Si U, V N x, entonces U V N x. 5. Un subconjunto A de X es abierto si y sólo si A N a para todo a A. Demostración. 1) X N x. 2) y 3) son obvios a partir de la definición. 4) Sean A y B conjuntos abiertos tales que Entonces A B es abierto y x A U y x B V. x A B U V, de donde resulta que U V N x. 5) Es claro que si A es abierto, entonces A N a para todo a A. Recíprocamente, si A es un entorno de todos sus puntos, para cada a A existe un conjunto abierto U a tal que a U a A.

33 Por lo tanto, A = a A U a es abierto DEFINICIONES Y EJEMPLOS 30 Definiciones Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. Un punto a A es interior a A si A N a. El interior de A es el conjunto Å = {a A : a es interior a A}. Observaciones Por la parte 5 de la proposición 3.1.5, un conjunto A es abierto si y sólo si A = Å. 2. Sea (X, τ) un espacio topológico. Si A y B son subconjuntos de X tales que A B, entonces Å B: Si a Å, entonces A N a. Por la parte 2 de la proposición 3.1.5, B N a ; es decir, a B. Proposición Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces Å es el mayor subconjunto abierto de X contenido en A. Demostración. Es claro que Å A. Además, Å es abierto: si a Å, existe un conjunto abierto U tal que a U A. Entonces todos los puntos de U son puntos interiores de A. Por lo tanto, a U Å, de donde se concluye que a es interior a Å; es decir, Å es un entorno de a. Entonces Å es abierto, por la parte 5 de la proposición Finalmente, si B X es abierto y está contenido en A, por las observaciones 3.1.7, B = B Å. Corolario Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces Å = Å. Demostración. La afirmación es consecuencia inmediata de la observación , y de la proposición Ejemplo Consideremos el espacio topológico R con la topología del cero. Dado A R, es claro, a partir de la proposición 3.1.8, que { A si 0 A, Å = si 0 A, Definiciones Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. 1. La clausura de A es el conjunto Ā = {x X : V A para todo V N x }. 2. Un punto x X es un punto de acumulación de A si ( V \ {x} ) A, para todo V N x. 3. Un punto x A es un punto aislado de A si no es de acumulación de A.

34 4. La frontera de A es el conjunto 3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 31 A = Ā Ac. 5. Se dice que el conjunto A es cerrado si A = Ā. Observación Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. Un punto x A es aislado si y sólo si el conjunto {x} es abierto en A. En efecto, si x es un punto aislado de A, por la parte 3 de la proposición 3.1.5, existe un entorno abierto U de x tal que (U \ {x} ) A =. Es decir, {x} = U A, que es abierto en A. Es claro que vale la afirmación recíproca. Observaciones Sean A y B subconjuntos de un espacio topológico (X, τ). Es claro, a partir de la definición de clausura, que 1. A Ā. 2. Si A B, entonces Ā B. El siguiente resultado muestra que, como cabe esperar, las definiciones de conjunto cerrado en un espacio topológico y en un espacio métrico coinciden. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. El conjunto A es cerrado si y sólo si A c es abierto. Demostración. Si A c es abierto, sea x Ā. Para cualquier V N x se tiene que V A ; es decir V A c. Por lo tanto, x no es interior a A c. Como A c es abierto, se tiene que x A. Se probó así que Ā A, de donde se concluye que A es cerrado, por la observación Recíprocamente, si A es cerrado y x A c, entonces x A = Ā. Por lo tanto, existe V N x tal que V A =. Es decir, existe V N x tal que V A c. Entonces x es interior a A c. En consecuencia, A c es abierto. Corolario Sea (X, τ) un espacio topológico. Entonces 1. X y son cerrados. 2. Si {A i } i I es una familia de conjuntos cerrados en X, entonces i I A i es cerrado. 3. Si A 1, A 2, A n son conjuntos cerrados en X, entonces es cerrado. A 1 A 2 A n Demostración. Las afirmaciones se obtienen directamente a partir de la definición 3.1.1, la proposición y las leyes de De Morgan. Por ejemplo, para probar 2), ( ) c A i = A c i, i I i I

35 3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 32 que es abierto. Entonces, por la proposición , i I A i es cerrado. Las demás afirmaciones se prueban en forma análoga. Ejemplos Sea (X, τ) un espacio topológico discreto. Todo subconjunto de X es cerrado, por la proposición Por lo tanto, todo conjunto A X tiene frontera vacía: A = Ā Ac = A A c =. Además, como el conjunto {x} es abierto, todo punto x X es aislado. 2. En R, con la topología del cero, un conjunto A R es cerrado si y sólo si 0 A. El único punto aislado es 0, ya que {0} N 0 y que, para todo x R, 0 V para todo V N x. Si A R, { R si 0 A, Ā = A si 0 A. 3. En Z con la topología par-impar, un conjunto es cerrado si y sólo si es abierto: A Z es cerrado si y sólo si A c es abierto, es decir, si y sólo si, para todo n Z, Es decir, si 2n A 2n 1 A. 2n A 2n 1 A, que es equivalente a que A sea abierto. 4. Sean (E, d) un espacio métrico, x E y r > 0. Entonces B r (x) B r (x). En efecto, si y B r (x), entonces d(y, x) > r. Eso implica, por la desigualdad triangular, que B d(y,x) r B r (x) = y, por lo tanto, que y B r (x). La inclusión puede ser estricta: si E es un espacio métrico discreto con más de un punto y x E, entonces B 1 (x) = B 1 (x) = {x} E = B 1 (x). Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. Entonces (Ā)c = (A c ).

36 Demostración. Sea x X AXIOMAS DE SEPARACIÓN 33 x (Ā)c x Ā existe U N x tal que U A = existe U N x tal que U A c x (A c ). Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. La clausura de A es el menor subconjunto cerrado de X que contiene a A. Demostración. Por la proposición y la observación Ā es cerrado y contiene a A. Por otro lado, si F es cerrado y F A, entonces F c es abierto y F c A c. Se sigue entonces de la proposición que F c (A c )= (Ā)c. Por lo tanto, F Ā. Corolario Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. Entonces Ā = Ā. Observación La frontera de todo subconjunto A de un espacio topológico es cerrada por el corolario y la proposición Axiomas de separación Definición Un espacio topológico (X, τ) es T o si, para todo x, y X, Ejemplos N x = N y x = y. 1. El conjunto de los enteros con la topología par-impar no es T 0, porque, como en el ejemplo , para todo n Z se tiene que N 2n = {A Z : {2n, 2n 1} A} = N 2n R con la topología del cero es T 0 : dados x, y R, x y. Uno de los dos, por ejemplo y, es distinto de cero, y {0, x} N x \ N y. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. (X, τ) es T Si x, y X y x y, entonces existe U N x tal que y U o existe V N y tal que x V.

37 3.2. AXIOMAS DE SEPARACIÓN 34 Demostración. 1 2: Como (X, τ) es T 0, existe A N x \N y o A N y \N x. Si A N x \N y, sea U un conjunto abierto tal que x U A. Si y U, por la parte 5 de la proposición 3.1.5, U N y. Pero en ese caso, por la parte 2 de la proposición 3.1.5, A N y, en contradicción con lo supuesto. Por lo tanto, y U y U N x. Si A N y \ N x. se procede en forma análoga. 2 1: Si vale la afirmación 2, dados x, y X, x y, existe U N x \ N y o U N y \ N x y, por lo tanto, X es T 0. Definición Un espacio (X, τ) es T 1 si, para todo x X, U N x U = {x}. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. (X, τ) es T Si x, y X y x y, entonces existen U N x tal que y U y V N y tal que x V. Demostración. Basta con observar que y U N x U existe U N x tal que y U. Corolario Todo espacio topológico T 1 es T 0. Demostración. La afirmación es obvia a partir de las proposiciones y Corolario Un espacio topológico (X, τ) es T 1 si y sólo si el conjunto {x} es cerrado para todo x X. Demostración. El conjunto {x} es cerrado si y sólo si {x} c es abierto, es decir, si y sólo si para todo y x existe V N y tal que V {x} c. Finalmente, la última afirmación es equivalente a que, para todo y x, exista V N y tal que x V, es decir, a que (X, τ) sea T 1. Ejemplos Se vio en el ejemplo que R con la topología del cero es T 0. No es T 1 : si x 0 U N x U = {0, x} {x}. 2. Un conjunto X no vacío con la topología de los complementos numerables (finitos) es T 1, porque si x y, el conjunto {y} c es un entorno abierto de x que no contiene a y.

38 3.3. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD 35 Definición Un espacio topológico (X, τ) es de Hausdorff o T 2 si dados dos puntos distintos x, y X, existen U N x y V N y tales que U V =. Observación Un espacio topológico (X, τ) es de Hausdorff si dados dos puntos distintos x, y X, existen entornos abiertos U y V, de x e y respectivamente, tales que U V =, porque, si U 0 N x y V 0 N y son disjuntos, existen conjuntos abiertos U y V tales que x V V 0 y y W W 0, y es claro que U y V también son disjuntos. Observación Todo espacio topológico de Hausdorff es T 1 (y, por el corolario 3.2.6, también es T 0 ). Demostración. La afirmación es consecuencia inmediata de las proposiciones y Ejemplos Todo espacio métrico (E, d) es de Hausdorff, porque, si x y, las bolas B ɛ (x) y B ɛ (y), con ɛ < d(x,y) 2, son disjuntas: si z B ɛ (x), entonces d(z, y) d(y, x) d(x, z) > d(y, x) ɛ > ɛ. Por lo tanto, z B ɛ (y). 2. Sea X un conjunto no numerable con la topología de los complementos numerables. Vimos en el ejemplo que X es T 1. Veremos a continuación que no es de Hausdorff. Sean A y B entornos de dos puntos diferentes en X. Por el ejemplo , A y B son abiertos no vacíos. Por lo tanto (A B) c = A c B c, que es numerable y, en consecuencia, no es todo X. Es decir, A B. El mismo argumento prueba que un conjunto infinito con la topología de los complementos finitos no es de Hausdorff Axiomas de numerabilidad Definición Sea (X, τ) un espacio topológico. Un subconjunto Y de X es denso en X si Ȳ = X. Proposición Un subconjunto Y de un espacio topológico X es denso si y sólo si Y U para todo subconjunto abierto no vacío U de X.

39 3.3. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD 36 Demostración. Si Y es denso en X y U X es abierto y no vacío, sea u U. Entonces U N u y u Ȳ, por lo que se tiene que U Y. Recíprocamente, si Y U para todo subconjunto abierto no vacío U de X, sea x X. Dado V N x, existe un conjunto abierto U tal que x U V. Entonces Y U y, en consecuencia, Y V. Se ha probado así que x Ȳ para todo x X. Por lo tanto, Y es denso en X. Ejemplos El conjunto Q de los números racionales es denso en R. Todo entorno de un número real x contiene una bola B r (x) = (x r, x + r), y en todo intervalo abierto hay algún número racional. Por lo tanto x Q. 2. Ningún subconjunto propio de un espacio topológico discreto es denso: si Y X y x Y, entonces {x} es abierto y {x} Y =. 3. El conjunto {0} es denso en R con la topología del cero, por el ejemplo El conjunto P = {2n : n Z} es denso en Z con la topología par-impar. Por el ejemplo y la proposición , la clausura de P es el menor abierto que contiene a P, que es Z. 5. Sea X un conjunto infinito con la topología de los complementos finitos. Todo subconjunto infinito Y es denso en X: si U X es abierto, entonces U c es finito. Por lo tanto, Y U c, es decir, Y U. En forma análoga se prueba que todo conjunto no numerable es denso en un conjunto no numerable con la topología de los complementos numerables. Definición Un espacio topológico (X, τ) es separable si tiene un subconjunto denso y numerable. Ejemplos El conjunto R de los números reales es separable por el ejemplo R con la topología del cero es separable por el ejemplo Como por la proposición todo conjunto infinito tiene un subconjunto numerable, se sigue del ejemplo que un conjunto infinito con la topología de los complementos finitos es separable. 4. Un conjunto no numerable X con la topología de los complementos numerables no es separable: si Y X es numerable, entonces Y c es un

40 3.3. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD 37 abierto no vacío disjunto con Y, lo cual implica que Y no es denso. 5. El conjunto l definido en (2.1.14) y (2.1.15) no es separable. Sea τ l el conjunto de sucesiones con valores en {0, 1}. Como se vio en la demostración de la proposición , τ no es separable. Si x, y τ y x y, entonces d(x, y) = x y = 1 y, por la desigualdad triangular, Entonces la familia B 1 2 (x) B 1 (y) =. 2 A = {B 1 (x) : x τ} 2 es una familia no numerable de conjuntos abiertos dos a dos disjuntos. Si Y l es un subconjunto denso, en cada abierto A A hay algún punto y A Y. Como las bolas son dos a dos disjuntas, y A y B si A y B son abiertos distintos en A. Por lo tanto, la correspondencia A y A es una función inyectiva del conjunto no numerable A en Y. Eso prueba que Y no es numerable, porque si fuera numerable también lo sería el conjunto {y A : A A}. Se probó así que l no tiene subconjuntos densos numerables, es decir, que no es separable. Definición Sea (X, τ) un espacio topológico. Una familia de conjuntos abiertos B τ es una base de τ si todo conjunto abierto no vacío de X es unión de elementos de B. En forma equivalente, se dice que B es una base de τ si para todo conjunto abierto A τ existe B 0 B tal que A = U B 0 U. Esta última forma de enunciar la definición tiene la ventaja de que no exige tratar separadamente el caso A =, para el cual se toma B 0 =. Ejemplos La proposición prueba que la familia de bolas abiertas en un espacio métrico es una base de la topología inducida por la distancia. 2. Si B es una base de la topología τ en X, e Y X, entonces B Y = {U Y : U B} es una base de la topología relativa en Y. 3. La familia B = {{x} : x X} es una base de la topología discreta en el conjunto X.

41 3.3. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD La familia B = {{0, x} : x R} es una base de la topología del cero en R. 5. La familia B = {{2n, 2n 1} : n Z} es una base de Z con la topología par-impar. Proposición Una familia no vacía B de subconjuntos de un conjunto X es base de una topología en X si y sólo si verifica las siguientes condiciones: 1. U B U = X. 2. Dados U, V B y x U V, existe A B tal que x A U V. Demostración. Supongamos primero que B es base de una topología τ. Como X τ, existe una subfamilia B 0 B tal que X = U B 0 U, lo cual implica 1). Además, dados U, V B, U V es abierto y, por lo tanto, existe B 1 B tal que U V = A B 1 A. Entonces, si x U V, existe A x B 1 tal que x A x U V. Supongamos ahora que B satisface las condiciones 1) y 2). Probaremos que τ = {W X : W = U B 0 U para algún subconjunto B 0 B} es una topología en X. Es claro que, en ese caso, B es una base de τ. Por la condición 1), X τ. Además, = U U τ. Es claro que la unión de miembros de τ pertenece a τ. Finalmente, si W 1, W 2, W n τ, se va a probar que n i=1w i τ. Sea B i B tal que W i = U B i U, para i = 1, 2, n. Entonces W 1 W 2 W n = U i B i U 1 U 2 U n, y alcanza con probar que U 1 U 2 U n τ

42 3.3. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD 39 si U 1, U 2,, U n B. Dado x U 1 U 2 U n, por la propiedad 2) (e inducción en n) existe A x B tal que Es claro ahora que x A x U 1 U 2 U n. U 1 U 2 U n = x U i A x τ. Definición Sea (X, τ) un espacio topológico. Una familia de conjuntos abiertos S τ es una subbase de τ si la familia B = {U 1 U 2 U n : n N, U i S, para todo i = 1,, n} es una base de τ. Se dice en ese caso que τ es la topología generada por S. Observación Se concluye inmediatamente a partir de la proposición que una familia no vacía S de subconjuntos de X es subbase de una topología si y sólo si X = U S U. Ejemplos La familia S = {(, a), (b, + ) : a, b R} es una subbase de la topología habitual en R. Obsérvese primero que los elementos de S son, efectivamente, conjuntos abiertos, porque (, a) = n N ( n, a) y (b, + ) = n N(b, n). Además, toda bola abierta es intersección de una cantidad finita de elementos de S: B r (x) = (x r, x + r) = (, x + r) (x r, + ). Entonces, por el ejemplo , S es una subbase. 2. La familia S = {{x} c : x X} es una subbase de la la topología de los complementos finitos en el conjunto X, porque, si A X es abierto y no vacío, entonces n A c = {x i } y, por lo tanto, A = ( n {x i } ) n c = {x i } c. i=1 Definición Sean τ 1 y τ 2 topologías en un conjunto X. Se dice que τ 1 es más fina o mayor que τ 2, o que τ 2 es menor que τ 1, si τ 2 τ 1. i=1 i=1

43 3.3. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD 40 Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico y sea S una subbase de τ. Entonces τ es la menor topología en X que contiene a S. Demostración. Sea σ una topología en X que contiene a S. Entonces B = {U 1 U 2 U n : n N, U i S para todo i = 1,, n} σ. Ahora, dado U τ, existe B 0 B tal que U = V B 0 V σ. Definición Se dice que un espacio topológico (X, τ) verifica el segundo axioma de numerabilidad, o que es N 2, si tiene una base numerable. Ejemplos Un espacio topológico (X, τ) es N 2 si tiene una subbase numerable S, porque, en ese caso, la base B = {U 1 U 2 U n : n N, U i S, para todo i = 1,, n} es numerable, ya que la correspondencia ψ : n 1 S n B, dada por ψ({u 1,, U n ) = U 1 U 2 U n, es sobreyectiva. 2. Un conjunto X con la topología de los complementos finitos es N 2 si y sólo si es numerable. Por un lado, si X es numerable, entonces verifica el segundo axioma de numerabilidad, por los ejemplos y Por otro lado, si X no es numerable y {B n } es una base numerable de conjuntos no vacíos de la topología de los complementos finitos en X, entonces ( ) c B n = n n B c n es numerable y, por lo tanto, ( ) c B n X, es decir, B n. n Sea x n B n. Entonces {x} c es abierto, pero B k {x} c para todo k N, lo cual contradice el hecho de que {B n } es una base. 3. Un espacio topológico discreto X es N 2 si y sólo si es numerable. Si es numerable, es N 2 por el ejemplo Si no es numerable, y B es una base, cada conjunto {x} es unión de elementos de B. Por lo tanto, {x} B para todo x X y, en consecuencia, B no es numerable. 4. Sea (X, τ) un espacio topológico N 2. Entonces todo subconjunto de X es N 2 con la topología relativa, por el ejemplo n

44 3.3. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD 41 Proposición Todo espacio topológico N 2 es separable. Demostración. Dada una base numerable {B n } n N de la topología τ en X, sea b n B n para cada n N. El conjunto {b n } n N es denso, por la proposición 3.3.2, porque, si A X es abierto A = B k, para algún subconjunto K de N. k K Entonces b k A para todo k K. El siguiente ejemplo muestra que, en general, no vale el recíproco de la proposición Ejemplo Sea X un conjunto no numerable con la topología de los complementos finitos. Entonces X es separable, por el ejemplo , pero, por el ejemplo , no es N 2. Probamos a continuación que el recíproco de la proposición vale, sin embargo, para espacios métricos. Proposición Un espacio métrico es N 2 si y sólo si es separable. Demostración. Dado un subconjunto numerable y denso {x n } de un espacio métrico separable (E, d), sea B = {B 1 (x n ) : m, n N}. m Se va a probar que B es una base de la topología inducida por la métrica. Dados un conjunto abierto A E y a A, sea m a N tal que B 1 ma (a) A. (3.3.1) Sea ahora n a N tal que x na B 1 (a). 2ma (3.3.2) Por la desigualdad triangular, y por (3.3.1) y (3.3.2), Entonces a B 1 (x na ) B 1 (a) A. 2ma ma A = B 1 (x na ). 2ma a A Por lo tanto, B es una base, y es claro que es numerable. En consecuencia, E es N 2. El recíproco se probó en la proposición Ejemplo Resulta de la proposición y del ejemplo que R, con la topología habitual, es N 2. Definiciones Sean (X, τ) un espacio topológico e Y X. Un cubrimiento abierto de Y es una familia {U λ } λ Λ de conjuntos abiertos en X tal que Y λ Λ U λ.

45 3.3. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD 42 Un subcubrimiento abierto del cubrimiento abierto {U λ } λ Λ de Y es una subfamilia {U λ } λ Λ0, donde Λ 0 Λ, tal que Y λ Λ 0 U λ. Definición Un espacio topológico (X, τ) es de Lindelöf si todo cubrimiento abierto de X tiene un subcubrimiento numerable. Teorema (Lindelöf) Todo espacio topológico N 2 es de Lindelöf. Demostración. Dado un espacio topológico N 2 (X, τ), sean {B n } n N una base numerable de τ y {U λ } λ Λ un cubrimiento abierto de X. Para cada n N, sea L n = {λ : U λ B n }. Para cada n N tal que L n, se elige λ n L n. Se va a probar que {U λn } es un subcubrimiento abierto de {U λ } λ Λ. Sea x X. Entonces x U λ para algún λ Λ. Como U λ es abierto, existe K N tal que U λ = B k. k K Sea k 0 K tal que x B k0. Entonces L k0 y x B k0 U λk0. Por lo tanto, X = n U λn y {U λn } n N es un subcubrimiento abierto de {U λ } λ Λ. Es claro que es numerable. Se ha probado así que (X, τ) es de Lindelöf. El siguiente ejemplo muestra que no vale el recíproco del teorema de Lindelöf (3.3.22). Ejemplo Sea X un conjunto no numerable con la topología de los complementos finitos. Se vio en el ejemplo que X no es N 2. Sí es de Lindelöf, incluso cuando no es numerable: dado un cubrimiento abierto {U λ } de X, sea λ 0 tal que U λ0. Entonces U c λ 0 = {x 1, x 2, x n }. Sea ahora λ i tal que x i U λi, para i = 1, 2,, n. Entonces {U λ0, U λ1,, U λn } es un subcubrimiento finito de {U λ }. Definición Sean (X, τ) un espacio topológico y x X. Una base de entornos o base local de x consiste en una familia {V α } α A N x de entornos de x tal que para todo entorno U N x existe V α0 A tal que V α0 U. Ejemplos Obviamente, para cualquier punto x de un espacio topológico, N x es una base de entornos.

46 3.3. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD Por la parte 3 de la proposición 3.1.5, la familia de entornos abiertos de un punto es una base local. 3. Sean (E, d) un espacio métrico, x E y {r n } n N una sucesión de números positivos que tiende a cero. Entonces la familia {B rn (x) : n N} es una base de entornos de x. En efecto, dado un entorno V N x, existe un conjunto abierto A tal que x A V. Sean r > 0 tal que B r (x) A y r n tal que r n < r. Entonces B rn (x) B r (x) A V. 4. Sea (X, τ) un espacio topológico. Si B es una base de τ, entonces B x = {V B : x V } es una base de entornos de x: si U N x, sea A un conjunto abierto tal que x A U. Existe entonces B 0 B tal que A = W B 0 W. Sea W 0 B 0 tal que x W 0. Entonces W 0 B x y W 0 A U. 5. Sean X un espacio topológico discreto y x X. Entonces, por el ejemplo 4 y el ejemplo , es una base local de x. B x = {{x}} 6. En R con la topología del cero, para todo x R, B x = {{0, x}} es una base local de x, por el ejemplo 4 y el ejemplo Definición Un espacio topológico (X, τ) verifica el primer axioma de numerabilidad, o es N 1, si todo punto de X tiene una base de entornos numerable. Observación Todo espacio N 2 es N 1 por el ejemplo Ejemplos El ejemplo prueba que todo espacio métrico es N 1.

47 3.3. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD Todo espacio discreto es N 1 por el ejemplo R con la topología del cero es N 1 por el ejemplo Un conjunto X con la topología de los complementos finitos es N 1 si y sólo si es numerable. Si es numerable, se vio en el ejemplo que es N 2. Resulta entonces de la observación que es N 1. Por otro lado, si es N 1 y no es numerable, entonces, dada una base local numerable {N k } de un punto x X, se tiene que ( ) c N k = Nk, c k que es numerable y, por lo tanto, está estrictamente contenido en {x} c. Entonces k N k {x}, y existe y k N k, y x. Pero entonces {y} c N x y, para todo k, N k {y} c, lo cual contradice el hecho de que {N k } es una base local de x. Observación Sea (X, τ) un espacio topológico. Si x X tiene una base de entornos numerable, entonces tiene una base de entornos numerable y decreciente: dada una base numerable {U n } n N, sean V 1 = U 1 y V k = U k V k 1 para todo k > 1. Es claro que V k V k 1 para todo k 1. Además, dado V N x, sea U k tal que U k V. Entonces V k U k V, lo cual prueba que {V k } es una base de entornos de x. k

48 Capítulo 4 Convergencia en espacios topológicos 4.1. Definiciones y ejemplos Veremos en este capítulo (proposición 4.1.3) que el comportamiento de las sucesiones en un espacio topológico N 1 determina la topología y cómo, para extender ese resultado a otros espacios topológicos, es necesario considerar funciones más generales que las sucesiones: las redes. Definición Se dice que una sucesión {x n } n N en un espacio topológico (X, τ) converge al punto x X si para todo entorno V N x existe n 0 N tal que x n V para todo n n 0. Observación Se verifica inmediatamente que se obtiene una definición equivalente a la definición si se reemplaza la familia de entornos N x por una base de entornos B x del punto x. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico, A X y x X. 1. Si existe una sucesión contenida en A que converge a x, entonces x Ā. 2. Si X es N 1 y x Ā, entonces existe una sucesión contenida en A que converge a x. Demostración. Si hay una sucesión contenida en A que converge a x, es claro que en todo entorno de x hay puntos de A y, en consecuencia, que x Ā. Para probar el recíproco, si x Ā, tomemos una base numerable y decreciente {V n } de entornos de x. Como V n A, para cada n N podemos elegir x n V n A. La sucesión así construida converge a x. En efecto, dado un entorno V de x, sea n 0 N tal que V n0 V. Entonces, para todo n n 0 se tiene que x n V n V n0 V. El siguiente ejemplo muestra que la parte 2) de la proposición no vale si el espacio no es N 1. Ejemplo Consideremos el espacio R de los números reales con la topología de los complementos numerables y A = R\{0}. El punto 0 está en la clausura de A: si V N 0, entonces V c es numerable y por lo tanto A V. Sin embargo, no existen sucesiones contenidas en A que converjan a 0: si {x n } es una sucesión contenida en A, entonces el conjunto {x n : n N} c es un entorno de 0 en el que no hay puntos de la sucesión. 45

49 4.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 46 Este ejemplo muestra que las sucesiones no alcanzan, en general, para acercarse a los puntos de un espacio topológico. Se necesitan funciones con dominios más generales, como los que definiremos a continuación. Definición Un conjunto dirigido (D, ) consiste en un conjunto no vacío D con una relación que verifica: 1. d d para todo d D. 2. La relación es transitiva: si d 0 d 1 y d 1 d 2, entonces d 0 d 2 para todo d 0, d 1, d 2 D. 3. Dados d 0 y d 1 en D, existe d D tal que d i d para i = 0, 1. Observación Se prueba fácilmente por inducción en n, a partir de la condición 3 de la definición 4.1.5, que, dados n elementos d 1, d 2,, d n de un conjunto dirigido D, existe d D tal que Ejemplos d d i para todo i = 1, 2,, n. 1. El conjunto de los números naturales con el orden habitual es un conjunto dirigido. 2. Sea X un conjunto no vacío. La familia P(X) es un conjunto dirigido, tanto con el orden como con el orden : es claro que ambos órdenes tienen las dos primeras propiedades en la definición; en cuanto a la tercera, dados A 1, A 2 P(X), se tiene que A 1 A 2 A i A 1 A 2 para i = 1, Si (X, τ) es un espacio topológico y x X, la familia N x es un conjunto dirigido, tanto con el orden como con. La verificación es igual a la del ejemplo , dado que la unión y la intersección de dos entornos son entornos. 4. El par ({a, b, c}, ), donde a b, c b y x x para todo x {a, b, c}, es un conjunto dirigido. 5. Dadas dos sucesiones {a n } y {b n } tales que a n a m y b n b m si n m, y a n b m para todo n, m N, sea D = {a n : n N} {b n : n N} con el orden dado por a m a n si y sólo si m n, b m a n si y sólo si m + 1 n, b m b n si y sólo si m = n. Se comprueba fácilmente que esta relación es transitiva.

50 4.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 47 Además, a m, a n a máx{m,n}, b m, a n a máx{m+1,n}, b m, b n a máx{m+1,n+1}. 6. Dados dos conjuntos dirigidos (D i, i ), i = 1, 2, el producto cartesiano D 1 D 2 es un conjunto dirigido tanto con el orden lexicográfico: (d 1, d 2 ) (e 1, e 2 ) si d 1 e 1 o si d 1 = e 1 y d 2 e 2, como con el orden: (d 1, d 2 ) (e 1, e 2 ) sii d i e i, i = 1, 2. Se deja la verificación de los detalles a cargo del lector. Definiciones Sea (X, τ) un espacio topológico. 1. Una red en (X, τ) es una función T : D X, donde D es un conjunto dirigido. Escribiremos, en general, T d en lugar de T (d). 2. Se dice que una red {T d } d D X converge a un punto x X si para todo entorno V N x existe d 0 D tal que T d V para todo d d 0. Observación Al igual que en el caso de las sucesiones, se obtiene una definición equivalente si se reemplaza en la definición la familia de entornos N x por una base de entornos B x. Ejemplos Las sucesiones son redes y las dos nociones de convergencia coinciden. 2. Una red en un conjunto X con la topología indiscreta converge a todos los puntos de X. 3. Una red {T d } d D en un conjunto X con la topología discreta converge a x X si y sólo si existe d 0 D tal que T d = x para todo d d 0, ya que {x} N x. 4. Sea D el conjunto dirigido del ejemplo Toda red {T d } d D en un espacio topológico (X, d) converge (por lo menos) a T b, ya que d b implica que d = b. 5. Sea D el conjunto dirigido del ejemplo Se considera la red T : D R 2, T an = ( 1 n, 0) y T b n = ( 1 n, 1 1 n ). La red {T d } converge al punto (0, 0). En efecto, dado ɛ > 0, sea n 0 N tal que 1 n 0 < ɛ. Si d D es tal que d a n0, entonces d = a m y m n 0. Por lo tanto, T d = ( 1, 0) dista de (0, 0) en menos de ɛ. m

51 4.2. REDES Y PROPIEDADES TOPOLÓGICAS Redes y propiedades topológicas El siguiente resultado muestra que las redes cumplen, en espacios topológicos en general, el papel que juegan las sucesiones en espacios N 1. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico, A X y x X. Entonces x Ā si y sólo si existe una red contenida en A que converge a x. Demostración. Si una red contenida en A converge a x, entonces en todo entorno de x hay puntos de la red y, por lo tanto, hay puntos de A. En consecuencia, x Ā. Supongamos ahora que x Ā. Consideramos el conjunto dirigido (N x, ). Para cada V N x elegimos T V V A. La red {T V } V Nx está contenida en A y converge a x: dado un entorno W de x, para todo V N x tal que V W se tiene que T V V W. Corolario Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. Entonces A es cerrado si y sólo si para toda red {T d } A que converge a un punto x de X se tiene que x A. Proposición Sean σ y τ topologías en un conjunto X. Entonces τ σ si y sólo si toda red que σ-converge a un punto x X también τ- converge a x. Demostración. Si τ σ y {T d } d D σ-converge a x, dado un τ-entorno V de x, V es también un σ-entorno, porque existe A τ σ tal que x A V. Por lo tanto, existe d 0 D tal que T d V para todo d d 0, y concluimos que {T d } τ-converge a x. Supongamos ahora que toda red σ-convergente a un punto x es τ-convergente a x. Dado un conjunto τ-cerrado F, sea x un punto en la σ-clausura de F. Por la proposición 4.2.1, existe una red {T d } d D F que σ-converge a x. Entonces {T d } d D F τ-converge a x y, por el corolario 4.2.2, x F. Resulta entonces del corolario que F es σ-cerrado. Finalmente, si A τ, entonces A c es τ-cerrado, lo cual, como se acaba de probar, implica que A c es σ-cerrado y, por lo tanto, que A σ. Concluimos así que el comportamiento de las redes en un espacio topológico determina la topología: Corolario Sean τ y σ topologías en un conjunto X. Las afirmaciones siguientes son equivalentes: 1. τ = σ. 2. Una red en X τ-converge a un punto x X si y sólo si σ-converge a x. No es de sorprender, a partir del corolario 4.2.4, que las propiedades topológicas puedan traducirse a propiedades de las redes, como ilustra el siguiente resultado. Proposición Un espacio topológico (X, τ) es de Hausdorff si y sólo si toda red en X converge a lo sumo a un punto.

52 4.2. REDES Y PROPIEDADES TOPOLÓGICAS 49 Demostración. Si X es de Hausdorff, sea {T d } d D X una red que converge a los puntos x 1 y x 2. Si x 1 x 2, sean V 1 y V 2 entornos disjuntos de x 1 y x 2, respectivamente. Existen entonces d i D, i = 1, 2, tales que T d V i si d d i. Sea ahora d 0 d i, para i = 1, 2. Se tiene entonces que T d0 V 1 V 2, lo cual contradice el hecho de que estos entornos son disjuntos. Por lo tanto, x 1 = x 2. Suponemos ahora que toda red en X converge a lo sumo a un punto. Sean x, y X tales que no existen U N x y V N y disjuntos. Se va a probar que x = y, de donde se concluye que X es de Hausdorff. Sea D = N x N y, dirigido con la relación (véanse los ejemplos y ) (V, W ) (V, W ) si y sólo si V V y W W. Dado (V, W ) D, existe un punto T (V,W ) V W ; veremos que la red así construida converge tanto a x como a y. Dado un entorno V 0 de x, si (V, W ) (V 0, Y ), entonces T (V,W ) V W V 0. Por lo tanto, {T d } d D converge a x. Un razonamiento análogo prueba que también converge a y. Se concluye entonces que x = y. Por lo tanto, X es de Hausdorff. Definiciones Sean (X, τ) un espacio topológico y {T d } d D X una red. 1. Un punto x X es un punto de aglomeración de {T d } d D X si, dados d 0 D y V N x, existe d 1 D, d 1 d 0, tal que T d1 V. 2. Una subred de {T d } es una red de la forma {T i(e) } e E }, donde E es un conjunto dirigido e i : E D es una función que verifica: para todo d 0 D existe e 0 E tal que i(e) d 0 para todo e e 0. Ejemplo Una subsucesión {x nk } es una subred de la sucesión {x n }, porque la función k n k verifica la propiedad exigida. Pero no toda subred de {x nk } se obtiene de esta manera. Consideremos, por ejemplo, el conjunto dirigido R + de los reales positivos con su orden habitual, y sea E : R + N la función que toma la parte entera, es decir, E(r) = máx{n N : n r}. Se verifica fácilmente que {x E(r) } r R + es una subred de {x n }, y no está indexada en un conjunto numerable Proposición Sea {T d } d D una red en un espacio topológico (X, τ). Un punto x X es de aglomeración de {T d } si y sólo si existe una subred de {T d } que converge a x. Demostración. Sea {T i(e) } e E una subred de {T d } que converge a x. Dados un entorno V N x y d 0 D, sean e 0 y e 1 en E tales que para todo e E se tiene que i(e) d 0, si e e 0, y que T i(e) V si e e 1. Sea ahora e E tal que e e i para i = 0, 1. Entonces i(e) d 0 y, además, T i(e) V. Por lo tanto, x es un punto de aglomeración. Recíprocamente, dado un punto de aglomeración x X, sea E = N x D, dirigido con el orden (V 0, d 0 ) (V 1, d 1 ) si V 0 V 1 y d 0 d 1.

53 4.3. EJEMPLOS DE CONVERGENCIA EN ESPACIOS DE FUNCIONES 50 Para cada (V, d) E, sea i(v, d) D tal que i(v, d) d y T i(v,d) V. Entonces T i(v,d) es una subred de {T d ): dado d 0 D, i(e) d 0 para todo e E tal que e (X, d 0 ). Además, T i(v,d) converge a x, porque T i(e) V 0 para todo e E tal que e (V 0, d 0 ), donde d 0 es un elemento cualquiera de D Ejemplos de convergencia en espacios de funciones Notación Dados conjuntos S y T, indicaremos con F(S, T ) el conjunto F(S, T ) = {f : S T }. Proposición Sean S un conjunto no vacío e Y un espacio topológico. Dados s S y un conjunto abierto U Y, sea W s,u = {f F(S, Y ) : f(s) U}. La familia R = {W s,u : s S, U abierto en Y } es subbase de una topología τ en F(S, Y ). Además, una red {f d } d D converge a f en (F(S, Y ), τ) si y sólo si f d (s) converge a f(s) en Y para todo s S. Demostración. Para probar que R es subbase de una topología alcanza con probar, en virtud de la observación , que F(X, Y ) = s,u W s,u. Esto es claro porque W s,y = F(S, Y ) para todo s S. Probemos ahora la segunda afirmación. Sea {f d } d D una red que converge a f en F(S, Y ). Dados s S y un entorno abierto V N f(s), el conjunto W s,v es un entorno de f. Entonces existe d 0 D tal que f d W s,v para todo d d 0. Es decir, f d (s) V para todo d d 0. Por lo tanto, por la observación 4.1.9, f d (s) converge a f(s). Recíprocamente, si f d (s) converge a f(s) para todo s S, dado un entorno W de f en F(S, Y ), sean W si,u i R, i = 1,, n, tales que n f W si,u i W. i=1 Como f d (s i ) converge a f(s i ) y U i N f(si ), para todo i = 1,, n existe d i tal que f d (s i ) U i para todo d d i. Sea d 0 D tal que d d i, para todo i = 1,, n. Entonces n f d W si,u i W, para todo d d 0. i=1 Se probó así que {f d } d D converge a f. Definición La topología τ de la proposición es la topología de la convergencia puntual en F(S, Y ).

54 4.3. EJEMPLOS DE CONVERGENCIA EN ESPACIOS DE FUNCIONES 51 Definición Sean S un conjunto no vacío y (E, d E ) un espacio métrico. Se dice que una función f : S E está acotada si su imagen es un conjunto acotado, es decir, si existe M f > 0 tal que Se indica con F b (S, E) el conjunto d E (f(s), f(t)) M f, para todo s, t S. F b (S, E) = {f : S E : festá acotada}. Proposición Sean S un conjunto no vacío y E un espacio métrico. La función d : F b (S, E) F b (S, E) R dada por d sup (f, g) = sup d E (f(s), g(s)) s S es una métrica en F b (S, E). Demostración. Sea s 0 S y, dadas f y g en F b (S, E), sean M f y M g constantes tales que Entonces d E (f(s), f(t)) M f y d E (g(s), g(t)) M g para todo s, t S. d E (f(s), g(s)) d E (f(s), f(s 0 )) + d E (f(s 0 ), g(s 0 )) + d E (g(s 0 ), g(s)) para todo s S y, por lo tanto, M f + d E (f(s 0 ), g(s 0 )) + M g, sup d E (f(s), g(s)) <. s S Dadas f, g, h F b (S, E), para todo s S se tiene que d E (f(s), h(s)) d E (f(s), g(s)) + d E (g(s), h(s)) d sup (f, g) + d sup (g, h), de donde resulta que d sup (f, h) d sup (f, g) + d sup (g, h). La demostración de que d sup satisface las demás propiedades de una distancia es elemental y se deja a cargo del lector. Observación Una red {f d } d D en el espacio métrico ( ) F b (S, E), d sup definido en la proposición converge a f F b (S, E) si y sólo si, dado ɛ > 0, existe d 0 D tal que d E (f d (s), f(s)) < ɛ, para todo s S y d d 0. Esta convergencia es la convergencia uniforme de una red de funciones. Definición La distancia d sup en F b (S, E) definida en la proposición es la distancia del supremo o de la convergencia uniforme.

55 Capítulo 5 Funciones continuas 5.1. Definiciones y ejemplos Definición Sean X e Y espacios topológicos, y sea f : X Y una función. Se dice que f es continua en un punto x X si, dado W N f(x), existe V N x tal que f(v ) W. Se dice que la función f es continua si es continua en todos los puntos de X. Observación Se verifica sin dificultad que se obtiene una definición equivalente a la definición si se reemplaza N f(x) por una base B f(x) de entornos de f(x). Proposición Sean (E, d E ) y (F, d F ) espacios métricos, x E y f : E F. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. f es continua en x. 2. Dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que d F (f(x), f(y)) < ɛ para todo y E tal que d E (x, y) < δ. (5.1.1) Demostración. 1 2: Dado ɛ > 0, existe V N x tal que existe una bola B δ (x) V. Entonces f(v ) B ɛ (f(x)), f(b δ (x)) f(v ) B ɛ (f(x)), de donde resulta (5.1.1). 2 1: La igualdad (5.1.1) prueba que para toda bola abierta B ɛ (f(x)) existe un entorno B δ (x) V x tal que f(b δ (x)) B ɛ (f(x)). De ahí resulta la continuidad de f en x, por la observación 5.1.2, tomando como base de entornos de f(x) la colección de bolas abiertas {B ɛ (f(x)) : ɛ > 0} (véase ejemplo ). 52

56 5.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 53 Observación La proposición prueba, en particular, un hecho que el lector probablemente haya observado en casos particulares: la continuidad de una función entre espacios métricos sólo depende de las topologías inducidas por las métricas y no se altera si se cambian las métricas por métricas equivalentes. Ejemplo Sea (E, d) un espacio métrico. La función distancia d : E E R es continua con cualquiera de las tres métricas definidas en la proposición 2.3.4: si x, x, y, y E, d(x, y) d(x, y ) d(x, y) d(x, y ) + d(x, y )) d(x, y ) d(y, y ) + d(x, x ), por la observación Por lo tanto, la función distancia es continua con la métrica d E E 1 y, en consecuencia, por la observación 5.1.4, con cualquiera de las tres métricas habituales en el producto E E. El siguiente resultado describe la continuidad en términos de redes. Proposición Sean X e Y espacios topológicos y x X. Una función f : X Y es continua en x si y sólo si, para toda red {T d } d D X que converge a x, la red {f(t d )} d D converge a f(x) en Y. Demostración. Si f es continua en x y {T d } d D X converge a x, sea W N f(x). Entonces existe V N x tal que f(v ) W. Sea d 0 D tal que T d V para todo d d 0. Entonces f(t d ) f(v ) W para todo d d 0. Por lo tanto, {f(t d )} converge a f(x). Se supone ahora que f no es continua en x. Entonces existe W N f(x) tal que para todo V N x se tiene que f(x V ) W para algún x V V. (5.1.2) Se obtiene así una red {x V } V Nx, al ordenar N x con. Es claro que {x V } converge a x ya que, dado V 0 N x, x V V 0 para todo V V 0. Por otro lado, {f(x V )} no converge a f(x) por (5.1.2). Proposición Sean X e Y espacios topológicos y f : X Y. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. f es continua. 2. Para todo x X, W N f(x) implica que f 1 (W ) N x. 3. f 1 (A) es abierto en X para todo conjunto abierto A Y.

57 5.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS Si B es una base de la topología en Y, entonces f 1 (A) es abierto en X para todo conjunto abierto A B. 5. Si S es una subbase de la topología en Y, entonces f 1 (A) es abierto en X para todo conjunto abierto A S. 6. f 1 (F ) es cerrado en X para todo conjunto cerrado F Y. Demostración. 1 2: Si W N f(x), existe V N x tal que f(v ) W y, por lo tanto, V f 1 (W ), lo cual prueba que f 1 (W ) N x, por la parte 2 de la proposición : Si A Y es abierto, entonces A N a para todo a A. Por 2), f 1 (A) N x para todo x f 1 (A). Se concluye entonces, a partir de la parte 5 de la proposición 3.1.5, que f 1 (A) es abierto. Es claro que 3 4 y que : Sea S una subbase de la topología en Y. Dado un conjunto cerrado F Y, se tiene que F c = V, α Λ V C α donde C α es un subconjunto finito de S para todo α Λ. Entonces (f 1 (F )) c = f 1 (F c ) = f 1 (V ), α Λ V C α que es abierto. Por lo tanto, f 1 (F ) es cerrado. 6 1: dados x X y W N f(x), sea A un conjunto abierto tal que Entonces es abierto. Por lo tanto, En consecuencia, f es continua en x. f(x) A W. f 1 (A) = (f 1 (A c )) c f 1 (A) N x y f(f 1 (A)) A W. Observación Sean τ y σ topologías en un conjunto X. Resulta claro, a partir de la proposición 5.1.7, que σ τ si y sólo si es continua. id : (X, τ) (X, σ) Ejemplos Toda función f : X Y es continua si X es discreto, porque todo subconjunto de X es abierto. 2. Toda función f : X Y es continua si Y es indiscreto, porque el único subconjunto abierto no vacío de Y es Y, y f 1 (Y ) = X, que es abierto.

58 5.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS Toda función constante es continua, porque la preimagen de un abierto es vacía o es todo el dominio. 4. Si f : X Y es continua, también lo es su restricción a un subconjunto Z X no vacío, porque, si A Y es abierto (f Z ) 1 (A) = f 1 (A) Z, que es abierto en Z con la topología relativa. 5. Si f : X Y es continua, y f(x) Z Y, entonces la correstricción f Z : X Z, dada por f Z (x) = f(x) para todo x X, es continua, porque, si A Z es abierto en Z, entonces donde B es abierto en Y, y que es abierto en X. A = B Z, (f Z ) 1 (A) = f 1 (B Z) = f 1 (B), 6. Sean f : X Y y g : Y Z funciones continuas. Entonces g f es continua: si A Z es abierto, entonces g 1 (A) es abierto en Y y, por lo tanto, es abierto en X. (g f) 1 (A) = f 1 (g 1 (A)) 7. Consideremos Z con la topología par-impar. La función f : Z Z, dada por f(n) = n + 1 no es continua, porque que no es abierto. f 1 ({2n 1, 2n}) = {2n 2, 2n 1}, 8. Sea τ 0 la topología del cero en R; una función f : (R, τ 0 ) (R, τ 0 ) es continua si y sólo si es constante o f(0) = 0. Ya se vio en el ejemplo que las funciones constantes son continuas. Por otro lado, si f(0) = 0, la función f es continua: si A R es abierto y no vacío, entonces 0 A. En consecuencia, 0 f 1 (A) y f 1 (A) es abierto. Si f no es constante, y f(0) 0, f no es continua: sea α f(0) en la imagen de f. Entonces f 1 ({0, α}) no es vacío y no contiene al cero,

59 y, por lo tanto, no es abierto DEFINICIONES Y EJEMPLOS Sean (E, d) un espacio métrico y x 0 E. La función f x0 : E R, dada por f x0 (x) = d(x, x 0 ), es continua: dados x E y ɛ > 0, si y B ɛ (x), entonces f x0 (x) f x0 (y) = d(x, x 0 ) d(y, x 0 ) d(x, y) < ɛ. Definición Sean (E, d E ) y (F, d F ) espacios métricos. Una función f : E F es una inmersión isométrica si d F (f(x), f(y)) = d E (x, y) para todo x, y E. (5.1.3) Observaciones Resulta inmediato, a partir de (5.1.3), el hecho de que toda inmersión isométrica es inyectiva. 2. Una inmersión isométrica f es continua, porque para todo x E y ɛ > 0. f 1( B ɛ (f(x)) ) = B ɛ (x), Definición Una isometría es una inmersión isométrica sobreyectiva. Observaciones Toda isometría es invertible, por la observación Se prueba fácilmente que la inversa de una isometría y la composición de isometrías son isometrías. Ejemplo Sean X un espacio normado y u X. La función T u : X X, dada por T u (x) = x + u, es una isometría: d(t u (x), T u (y)) = T u (x) T u (y) = x + u (y + u) = x y = d(x, y). Además, T 1 u = T u. Definición Dos espacios métricos E y F son isométricos si existe una isometría entre ellos. Definición Sean (E, d E ) y (F, d F ) espacios métricos. Una función f : E F es uniformemente continua si, dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que para todo x, y X tales que d E (x, y) < δ. d F (f(x), f(y)) < ɛ (5.1.4)

60 5.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 57 Observación Es claro, a partir de la proposición 5.1.3, que toda función uniformemente continua es continua. Por otro lado, en la proposición 5.1.3, dado ɛ > 0, el valor de δ depende, en principio, del punto en el cual se estudia la continuidad, mientras que en el caso de la continuidad uniforme el mismo δ garantiza que se cumple (5.1.4) para todo x, y. Ejemplo Una inmersión isométrica es uniformemente continua: se obtiene (5.1.4) tomando δ = ɛ. Definición Sean X e Y espacios topológicos. Una función f : X Y es un homeomorfismo si es continua e invertible, y su inversa es continua. Dos espacios topológicos X e Y son homeomorfos si existe un homeomorfismo f : x Y. Observación Sean X e Y espacios topológicos. Las siguientes afirmaciones se prueban fácilmente. 1. Si f : X Y es un homeomorfismo, también lo es f 1 : Y X. 2. Si f : X Y y g : Y Z son homeomorfismos, también lo es Ejemplos g f : X Z. 1. Una isometría entre espacios métricos es un homeomorfismo. Por lo tanto, dos espacios métricos isométricos también son homeomorfos. El recíproco no vale: la función Arctg : ( π 2, π 2 ) R es un homeomorfismo entre R y ( π, π ), que no son isométricos, ya 2 2 que d(x, y) π si x, y ( π, π ), mientras que la distancia en R no 2 2 está acotada. 2. Sean X un espacio normado y λ un escalar. La función M λ : X X, dada por M λ (x) = λx, es un homeomorfismo si λ 0. En efecto, M λ es uniformemente continua: dado ɛ > 0, d(m λ (x), M λ (y)) = λx λy = λ x y < ɛ (5.1.5) si x y < ɛ λ. Además, M 1 λ = M 1. Como muestra (5.1.5), M λ es una isometría si y sólo si λ = 1. λ

61 5.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 58 Observación Sean X un espacio normado y A X. Dados x X y un escalar λ, se definen los conjuntos A + {x} = {a + x : a A} y λa = {λa : a A}. (Se escribe a veces A + x en lugar de A + {x}). En la notación de los ejemplos y , A + x = T x (A) y λa = M λ (A). En particular, como T x y M λ son homeomorfismos, para todo x X y λ 0, A es abierto si y sólo si A + x y λa lo son. Definición Sean X e Y espacios topológicos. Una función f : X Y es abierta si f(u) es abierto para todo conjunto abierto U X, y es cerrada si f(f ) es cerrado para todo conjunto cerrado F X. Proposición Sean X e Y espacios topológicos y f : X Y una función biyectiva. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. f es un homeomorfismo. 2. f es continua y abierta. 3. f es continua y cerrada. Demostración. 1 2: Si A es abierto en X, entonces, f(a) = (f 1 ) 1 (A) es abierto en Y. 2 3: Si F X es cerrado, entonces, como f es biyectiva, f(f ) = (f(f c )) c es cerrado. 3 1: Si F X es cerrado, entonces (f 1 ) 1 (F ) = f(f ) es cerrado. Por lo tanto, f 1 es continua y f es un homeomorfismo. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico y (E, d) un espacio métrico. El conjunto C b (X, E) de funciones continuas y acotadas es un subespacio cerrado de ( F b (X, E), d sup ). Demostración. Sea f una función en la clausura de C b (X, E) en F b (X, E); queremos probar que f C b (X, E), es decir, que f es continua. Dados x X y ɛ > 0, sean g C b (X, E) y V N x tales que Entonces, si y V : d sup (f, g) < ɛ/3 y d(g(x), g(y)) < ɛ/3 si y V. d(f(x), f(y)) d(f(x), g(x)) + d((g(x), g(y)) + d(g(y), f(y)) < d sup (f, g) + ɛ/3 + d sup (g, f) < ɛ.

62 Por lo tanto, f es continua EL CONJUNTO DE CANTOR 59 Observación Si X e Y son espacios topológicos, el conjunto de funciones continuas no es, en general, cerrado en F(X, Y ) con la topología de la convergencia puntual. Por ejemplo, la sucesión de funciones continuas {f n } F([0, 1], R), f n (x) = x n, converge puntualmente a una función que no es continua El conjunto de Cantor Notación Si I = [a, b] es un intervalo cerrado en R, se indica con I el conjunto I = [a, a + b a a ] [a + 2b 3 3, b]. Si J = n k=1 I k es la unión de una cantidad finita de intervalos cerrados y dos a dos disjuntos, se indica con J el conjunto n J = Ik. k=1 Definición Sean A 0 = [0, 1] y A n = A n 1, para todo n 1. El conjunto de Cantor es el conjunto C = A n. n=0 Observación El conjunto de Cantor es cerrado en R, al ser la intersección de conjuntos cerrados. donde y Proposición Para todo n 1 I n,k = [a (k) n, b (k) n ], b (k) n A n = a (k) n 2 n k=1 {a (k) n : k = 1,, 2 n } = { I n,k, = 1 para todo k = 1,, 2n 3n n i=1 x i 3 i : x i {0, 2}}. En particular, los intervalos I n,k, con k = 1, 2, 2 n, son dos a dos disjuntos. Demostración. Procederemos por inducción en n. Para n = 1 A 1 = [0, 1 3 ] [2 3, 1] y la afirmación es cierta. Supongamos ahora que la proposición vale para n 1. Entonces A n = A n 1 = 2 n 1 k=1 [a (k) n 1, b (k) n 1],

63 donde {a (k) 5.2. EL CONJUNTO DE CANTOR 60 n 1 n 1 : k = 1,, 2 n 1 x i } = { 3 : x i i {0, 2}} i=1 y b (k) n 1 a (k) n 1 = 1 3 n 1 para todo k = 1,, 2 n 1. Ahora, [a (k) n 1, b (k) n 1] = [a (k) n 1, a (k) n 1 + b(k) n 1 a (k) 3 Por lo tanto, n 1 = { i=1 n 1 ] [a (k) n b(k) n 1 a (k) 3 = [a (k) n 1, a (k) n n ] [a(k) n n, b(k) n 1]. {a (k) n } = {a (k) n 1, a (k) n : k = 1,, n 2n 1 } = x i 3, n 1 i i=1 Es claro, además, que b (k) n x i 3 i n : x i {0, 2}} = { n i=1 n 1 x i 3 i : x i {0, 2}}., b (k) n 1] = a (k) n = 1 3 n. El siguiente resultado será de utilidad para estudiar con más detalle el conjunto de Cantor. Lema Sean r = j=1 x j 3 y s = y j j 3, j donde x j, y j {0, 2} para todo j 1. Si n 0 es tal que x n0 y n0 y x j = y j para todo j < n 0, entonces r s 1 3. n 0 Demostración. Por un lado, n 0 +1 Por lo tanto, x j y j 3 j r s = n 0 +1 j=1 x j y j 3 j j=n 0 +1 j=1 2 3 j = 2 3 n 0+1 x j y j = x j y j 3 j 3 j j=n 0 x n 0 y n0 3 n 0 n j = 1 3 n 0. x j y j 3 j 2 3 n n 0 = 1 3 n 0.

64 5.2. EL CONJUNTO DE CANTOR 61 Proposición Sean n, m N, n < m y A n = 2 n l=1 I n,l y A m = 2 m l=1 I m,l, donde, como en la proposición 5.2.4, I p,l = [a (l) p, b (l) p ], para todo l = 1,, 2 p, p {m, n}. Si I m,r I n,s, entonces I m,r I n,s y existen x 1, x 2,, x m {0, 2} tales que a (s) n = n k=1 x k 3 k y a(r) m = m k=1 x k 3 k. Demostración. Probaremos primero, por inducción en m n, que I m,r I n,s. Si m = n + 1, I m,r In,t(r) para algún t(r) {1, 2,, 2n }. Entonces, si s = t(r), I m,r I n,s ; de lo contrario, I m,r I n,s =. Ahora, si I m,r I n,s, sea t(m, r) tal que 1 t(m, r) 2 m 1 e I m,r I m 1,t(m,r). Entonces I m 1,t(m,r) I n,s y, por la hipótesis de inducción, Se sabe, por la proposición 5.2.4, que n a (s) y k n = 3 y k a(r) m = I m,r I m 1,t(m,r) I n,s. (5.2.1) k=1 donde y k, x l {0, 2} para todo k = 1,, n y l = 1,, m. Sólo falta probar que y k = x k para todo k = 1,, n. Por (5.2.1) tenemos que lo cual implica que m k=1 [a (r) m, b (r) m ] [a (s) n, b (s) n ], 0 a (r) m x k 3 k, a (s) n < 1 3 n. (5.2.2) Si existe k 0, 1 k 0 n, tal que y k0 x k0 y x k = y k para todo k < k 0, entonces, por el lema y por (5.2.2), 1 3 k a(r) 0 m a (s) n < 1 3, n de donde se concluye que k 0 > n, contra lo supuesto. Proposición La correspondencia ψ : {{x n } n 1 : x n {0, 2} para todo n} C, dada por ψ({x n }) = x n n=1 3 n, es una biyección.

65 5.2. EL CONJUNTO DE CANTOR 62 Demostración. Obsérvese primero que, efectivamente, la imagen de ψ está contenida en el conjunto de Cantor. Se probó en la proposición que las sumas finitas x n 3, donde {x n} n n 1 {0, 2} n=1 pertenecen a C. Entonces, como C es cerrado, también contiene a la imagen de ψ. Por otro lado, si t C, entonces t A n para todo n 1. Por lo tanto, para cada n 1 existe l(n, t) {1, 2,, 2 n } tal que t [a (l(n,t)) n, b (l(n,t)) n ]. Por la proposición 5.2.6, existe una sucesión {x n } n 1 {0, 2} tal que n a (l(n,t)) x k n = 3. k Además, como la sucesión {a (l(n,t)) n } n 1 converge a t. Es decir, k=1 t a (l(n,t)) n 1 2 n, t = k=1 lo cual prueba que ψ es sobreyectiva. Finalmente, la inyectividad de ψ es consecuencia inmediata del lema x k 3 k, Proposición El conjunto de Cantor tiene interior vacío en R. Demostración. Si C, existe un intervalo abierto (a, b) C. Es decir, (a, b) A n, para todo n N. Entonces, para todo n N existe l(n) tal que (a, b) [a (l(n)) n, b (l(n)) n ]. Por lo tanto, b a 1 para todo n 1, lo cual contradice el hecho de 2 n que a < b. Proposición Todo punto del conjunto de Cantor es un punto de acumulación. Demostración. Dados t C y ɛ > 0, sea, como en la proposición 5.2.7, una sucesión {x n } {0, 2} tal que x n t = 3. n n=1 Si existe n 0 tal que x k = 0 para todo k n 0, sea n 1 n 0 tal que 2 3 n 1 < ɛ. Entonces s := t n 1 C,

66 5.2. EL CONJUNTO DE CANTOR 63 por la proposición 5.2.7, y s t < ɛ. Se probó así que t es un punto de acumulación de C. Si, en cambio, la sucesión {x n } toma infinitas veces el valor 2, entonces en cualquier entorno de t hay sumas parciales N x n n=1 3 n, que son puntos diferentes de t. Por lo tanto, también en ese caso t es un punto de acumulación de C. Proposición Existe una función f : C [0, 1] que es uniformemente continua y sobreyectiva. Demostración. En virtud de la proposición 5.2.7, podemos definir x n f( 3 ) = x n /2 n 2, n n=1 donde {x n } {0, 2}, es decir, {x n /2} {0, 1}. En consecuencia, por la proposición , f es sobreyectiva. Además f es uniformemente continua: dado ɛ > 0, sea k 1 tal que 1 < ɛ. 2 k Sean r, s C tales que r s < 1. Si 3 k+1 entonces, por el lema 5.2.5, Por lo tanto, r = j=1 n=1 x j 3 y s = y j j 3, j j=1 x j = y j para todo j k. f(r) f(s) = j=k+1 j=k+1 j=k+1 (x j y j )/2 2 j (x j y j )/2 2 j 1 2 j = 1 2 k < ɛ. Observación La función f de la proposición no es inyectiva: f( 1 3 ) = f( j=2 2 ) 1 = 3 k 2 = 1 k 2 = f(2 3 ). Proposición El conjunto de Cantor tiene el mismo cardinal que el intervalo [0, 1]. j=2

67 5.2. EL CONJUNTO DE CANTOR 64 Demostración. La inclusión es una función inyectiva de C en [0, 1]. Por otro lado, por la proposición y la proposición 1.2.7, existe una función inyectiva en la otra dirección. La afirmación es, entonces conscuencia del teorema de Cantor-Bernstein (1.2.9).

68 Capítulo 6 Topología producto 6.1. Definiciones y ejemplos Definición Sean X un conjunto y {X i } i I una familia de espacios topológicos. Dada una familia F = {f i } i I de funciones f i : X X i, la topología inicial en X con respecto a F es la topología generada por S = {f 1 i (U) : Ues un subconjunto abierto de X i, i I}. (6.1.1) Observación Es claro, a partir de la proposición , que la topología inicial es la menor topología en X para la cual la función f i es continua para todo i I. Definición Sea {X i } i I una familia de espacios topológicos. La topología producto en el producto i I X i es la topología inicial con respecto a la familia de proyecciones {p j } j I, dadas por p j : i I X i X j, p j (f) = f(j). Observación Los miembros de la subbase en (6.1.1) de la topología producto son de la forma p 1 i (U) = S i,u = {f i I X i : f(i) U}, donde U es un subconjunto abierto de X i. Los miembros de la correspondiente base de la topología producto son de la forma n p 1 i k (U k ) = S i1,u 1 S in,un = Y i, (6.1.2) i I k=1 con n N e i k I para todo k = 1,, n, donde { X i si i {i k : k = 1,, n}, Y i = U k si i = i k. Observación Si se toma el producto de una cantidad finita de factores X 1, X 2,, X n, los miembros de la base descritos en (6.1.2) son los subconjuntos de X 1 X 2 X n de la forma U 1 U 2 U n, donde U i es un subconjunto abierto de X i para todo i = 1,, n. 65

69 6.2. PROPIEDADES DE LA TOPOLOGÍA PRODUCTO 66 Ejemplo Sean (E 1, m 1 ),, (E n, m n ) espacios métricos. La topología inducida por las métricas d 1, d 2 y d estudiadas en la proposición es la topología producto en E = E 1 E 2 E n. Por un lado, la bola abierta Bɛ d (e), donde e = (e 1,, e n ), es abierta en la topología producto porque B d ɛ (e) = n i=1 B m i ɛ (e i ), y es, en consecuencia, de la forma descrita en (6.1.2). Esto prueba que la topología inducida por cualquiera de las tres métricas en E está contenida en la topología producto. Por otro lado, un abierto de la base de la topología producto U = U 1 U 2 U n, donde U i es abierto en E i, es abierto con d : si e = (e 1,, e n ) U, entonces e i U i para todo i = 1,, n. Por lo tanto, existe ɛ i > 0 tal que B m i ɛ i (e i ) U i. Tomando ahora ɛ ɛ i para todo i = 1,, n, se tiene que Bɛ d (e) U. Entonces U es abierto con d, como se quería probar. Observación Vale un resultado más general que el del ejemplo 6.1.6: si {(E n, m n )} n N es una familia numerable de espacios métricos, la topología producto en n N E n es metrizable: puede probarse que está inducida por la distancia d(e, f) = m n (e n, f n ) 2 n (1 + m n (e n, f n )), n N donde e = {e n } y f = {f n } Propiedades de la topología producto Proposición Sea {X i } i I una familia de espacios topológicos. Las proyecciones p j : i X i X j son funciones continuas y abiertas. Demostración. La función p j es continua, para todo j I, por la observación Para probar que p j es abierta, alcanza con probar que p j (U) ( es abierto si U es un abierto de la base descrita en 6.1.2, ya que p j i U i) ) = p j (U i ). Sea entonces U = i I donde Y i = X i salvo para una cantidad finita de valores i 1,, i n, para los cuales Y ik = U ik, para algún subconjunto abierto U ik de X ik. Y i,

70 Entonces 6.2. PROPIEDADES DE LA TOPOLOGÍA PRODUCTO 67 p j (U) = En cualquier caso, p j (U) es abierto. { X j si j {i 1,, i n }, U ik si j = i k para algún k {1, 2,, n}. Observación No es cierto que las proyecciones sean siempre cerradas: el conjunto F = {(x, 1 x ) : x > 0} es cerrado en R 2, pero su proyección sobre la primera copia de R es que no es cerrado en R. p 1 (F ) = {x : x > 0}, Describimos a continuación la topología producto en términos de la convergencia de redes. Proposición Sea {X i } i I una familia de espacios topológicos. Una red {T d } d D en i X i converge a un punto x i X i si y sólo si p i (T d ) converge a p i (x) para toda proyección p i, con i I. Demostración. Sea {T d } d D una red converge a x en i X i. Como p i es continua para todo i I, la red p i (T d ) converge a p i (x) por la proposición Recíprocamente, si p i (T d ) converge a p i (x) para todo i I, dado V N x, existen i 1, i 2,, i n I y conjuntos W 1,, W n abiertos en X i1,, X in, respectivamente, tales que x n j=1 p 1 i j (W j ) V. Como W j N pij (x), para cada j = 1,, n, existe d j D tal que p ij (T d ) W j para todo d d j. Sea d 0 d j para todo j = 1,, n. Entonces T d n j=1 p 1 i j (W j ) V, para todo d d 0. Por lo tanto, {T d } converge a x. Corolario Sea {X i } i I una familia de espacios topológicos, y sea f : X X i, i donde X es un espacio topológico. La función f es continua si y sólo si es continua la función p i f para todo i I, donde p i es la proyección sobre X i. Demostración. Por la proposición 5.1.6, la función f es continua en x si y sólo si, para toda red {T d } que converge a x, la red {f(t d )} converge a f(x). Esto es equivalente, por la proposición 6.2.3, a que, para todo i I, la red (p i f)(t d ) converja a (p i f)(x), para toda red {T d } que converge a x.

71 6.2. PROPIEDADES DE LA TOPOLOGÍA PRODUCTO 68 Finalmente, por la proposición 5.1.6, esto último es equivalente a que p i f sea continua en x. Ejemplo Si S es un conjunto e Y es un espacio topológico, el espacio topológico Y S es el conjunto Y S = s S Y s, donde Y s = Y para todo s S. Obsérvese que Y S = {f : S Y } y que la proyección p s es la evaluación p s (f) = f(s). Por la proposición 6.2.3, la proposición y el corolario 4.2.4, concluimos que Y S coincide con F(S, Y ) con la topología de la convergencia puntual. Proposición Sea {X i } i I una familia de espacios topológicos. El producto i X i es de Hausdorff si y sólo si X i es de Hausdorff para todo i I. Demostración. Supongamos que X i es de Hausdorff para todo i I, y sean x, y i X i, x y. Sea i I tal que x(i) y(i) y sean V y W entornos disjuntos en X i de x(i) e y(i), respectivamente. Entonces, si p i es la proyección sobre X i, p 1 i (V ) y p 1 i (W ) son entornos disjuntos de x e y, respectivamente, en i X i. Recíprocamente, si i X i es de Hausdorff, dados x j, y j X j, x j y j, sean x, y i X i tales que x(j) = x j y y(j) = y j, y x(k) = y(k) para todo k j. Sean V y W entornos disjuntos de x e y, respectivamente. Sean n k=1 p 1 i k (U k ) y m (V l ) abiertos de la base en (6.1.2) tales que l=1 p 1 j l x n k=1 p 1 i k (U k ) V y y m l=1 p 1 j l (V l ) W. Como V y W son disjuntos y x(i) = y(i) si i j, entonces existen k y l tales que i k = j = j l y U k V l =. Por lo tanto, U k y V l son entornos disjuntos de x j y y j, respectivamente.

72 Capítulo 7 Espacios topológicos conexos 7.1. Definiciones y ejemplos Definición Un espacio topológico (X, τ) es conexo si no existen dos conjuntos abiertos, no vacíos y disjuntos A, B X tales que X = A B. Un subconjunto Y X es conexo si lo es con la topología relativa. Ejemplos Un espacio con un solo elemento es conexo, porque no se puede escribir como unión de dos conjuntos disjuntos no vacíos. 2. Un conjunto X con más de un elemento no es conexo con la topología discreta: si x X se tiene que X = {x} {x} c. 3. Un conjunto X con la topología indiscreta es conexo, ya que no tiene subconjuntos abiertos disjuntos y no vacíos. 4. El espacio X = [1, 2) [3, + ) no es conexo porque [1, 2) y [3, + ) son abiertos disjuntos en X. 5. El espacio Q de los números racionales no es conexo, porque Q = ( (, 2) Q ) ( ( 2, + ) Q ). 6. Un conjunto infinito X con la topología de los complementos finitos es conexo: si A y B son subconjuntos disjuntos no vacíos de X, entonces X = (A B) c = A c B c. Por lo tanto, A o B no es abierto. 7. R con la topología del cero es conexo: no tiene subconjuntos abiertos, disjuntos y no vacíos. Proposición El intervalo [0, 1] es conexo. Demostración. Supongamos que A y B son subconjuntos abiertos, disjuntos y no vacíos de [0, 1] y que [0, 1] = A B. (7.1.1) 69

73 7.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 70 Podemos suponer que 0 A; en caso contrario se intercambian los papeles que cumplen A y B en lo que sigue. Sea S = {x A : x b para todo b B}. El conjunto S está acotado por 1, y no es vacío porque 0 S. Sea α = sup S. Entonces α S A = A. Si α = 1, se tendría que B =, contradiciendo lo supuesto; por lo tanto, α < 1. Sea β = mín B; se tiene que α < β, porque α β y α A B c. Ahora, si x (α, β), x B porque x < β y x A, porque es una cota inferior de B que no pertenece a S, ya que es mayor que sup S. Por lo tanto, (α, β) [0, 1] y (α, β) (A B) =, lo cual contradice (7.1.1). Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. X es conexo. 2. No existen A, B X cerrados, disjuntos y no vacíos tales que X = A B. 3. Si A X es abierto y cerrado, entonces A = o A = X. 4. No existe una función continua y sobreyectiva f : X {0, 1}. Demostración. 1) 2): Si A y B son subconjuntos cerrados, disjuntos y no vacíos de X tales que X = A B, entonces A c y B c son subconjuntos abiertos, disjuntos y no vacíos de X tales que X = A c B c, lo cual contradice el hecho de que X es conexo. 2) 3): Si A es abierto y cerrado, entonces X = A A c, donde A y A c son cerrados disjuntos. Por lo tanto, uno de ellos es vacío, es decir A = o A = X. 3) 4): Sea f : X {0, 1} una función continua. Como {0} es abierto y cerrado en {0, 1}, f 1 ({0}) es abierto y cerrado en X. Por lo tanto, o f 1 ({0}) = y f(x) = 1 para todo x X, f 1 ({0}) = X y f(x) = 0 para todo x X. En cualquier caso, f es constante y no es sobreyectiva. 4) 1): Si X = A B, donde A y B son abiertos, disjuntos y no vacíos, la función f : X {0, 1},

74 7.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 71 definida por f(x) = 0 si x A, y f(x) = 1 si x A es sobreyectiva. Además, es continua: los subconjuntos abiertos no vacíos de {0, 1} son {0}, {1} y {0, 1}, y sus preimágenes por f son, respectivamente, A, B y X, que son abiertos. Teorema (Bolzano) Sean X e Y espacios topológicos y f : X Y una función continua. Si X es conexo, f(x) también lo es. Demostración. Si f(x) no es conexo, existe, por la proposición 7.1.4, una función continua y sobreyectiva g : f(x) {0, 1}. Entonces g f es una función continua y sobreyectiva de X en {0, 1} y, en consecuencia, X no es conexo. Corolario Sean X e Y espacios topológicos homeomorfos. Entonces X es conexo si y sólo si Y lo es. Demostración. La demostración es inmediata al aplicar el teorema de Bolzano (7.1.5) a un homeomorfismo de X en Y y a su inversa. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico, C un subconjunto conexo de X y D X tal que Entonces D es conexo. C D C. Demostración. Supongamos que D = (A D) (B D), donde A y B son abiertos en X, y A D y B D son disjuntos y no vacíos. Si a A D, entonces a C y A N a. Por lo tanto, A C. Análogamente, B C. Entonces C no es conexo, porque C = D C = (A C) (B C), y A C y B C son abiertos en C, disjuntos y no vacíos. Corolario La clausura de un subconjunto conexo de un espacio topológico también es conexa. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea {Y i } i I una familia de subconjuntos conexos de X tal que Y i Y j para todo i, j I. Entonces i I Y i es conexo. Demostración. Sea f : i I Y i {0, 1} una función continua. Alcanza, en virtud de la proposición 7.1.4, con probar que f es constante. En efecto, dados x, y i I Y i, sean i, j I tales que x Y i, y Y j, y sea z Y i Y j. Entonces, como Y i e Y j son conexos, como queríamos probar. f(x) = f(z) = f(y),

75 7.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 72 Proposición Un espacio topológico (X, τ) es conexo si y sólo si para todo x, y X existe un conjunto conexo C X tal que x, y C. Demostración. Sea x X. Para cada y X, sea C(y) X un conjunto conexo tal que x, y C(y). Entonces X = C(y), y X y x C(y) C(z), para todo y, z X. Por la proposición 7.1.9, X es conexo. La afirmación recíproca es obviamente cierta. Definición Sea V un espacio vectorial real o complejo. Un subconjunto C V es convexo si para todo x, y C y t (0, 1). tx + (1 t)y C, Proposición Un subconjunto convexo de un espacio normado es conexo. Demostración. Dado un subconjunto convexo C de un espacio normado V, sea x C. Dado y C, la función f y : [0, 1] V, dada por f(t) = tx + (1 t)y es continua: si x = y, f es constante; en otro caso, f(t) f(s) = (t s)x + (s t)y t s máx{ x, y } < ɛ si t s < ɛ/ máx{ x, y }. Entonces la imagen de f y es conexa, por el teorema de Bolzano (7.1.5) y la proposición Además, como C es convexo, C = y C Imf y. Ahora, como x Imf y Imf z para todo y, z C, se sigue de la proposición que C es conexo. Ejemplos Todo espacio normado es convexo y, en consecuencia, conexo. 2. Un intervalo en R es un conjunto I R tal que si a, b I, y a < b, entonces (a, b) I. Todo intervalo es conexo porque es convexo: si a, b I, y a < b y t (0, 1), entonces a = ta + (1 t)a < ta + (1 t)b < tb + (1 t)b = b. Por lo tanto, ta + (1 t)b (a, b) I para todo t [0, 1].

76 7.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS Las bolas abiertas y las bolas cerradas en un espacio normado son convexas y, por lo tanto, conexas: si y, z B ɛ (x) y t (0, 1): ty + (1 t)z x = ty + (1 t)z (tx + (1 t)x) t(y x) + (1 t)(z x) = t y x + (1 t) z x < ɛ. En forma análoga se prueba que las bolas cerradas son convexas. Teorema Sea {X i } i I una familia de espacios topológicos. Entonces el espacio producto X = i X i es conexo si y sólo si X i es conexo para todo i I. Demostración. Para todo j I, la proyección p j de X en X j es continua y X j = p j (X), de donde resulta, por el teorema de Bolzano (7.1.5), que cada X j es conexo si X lo es. Supongamos ahora que X j es conexo para todo j I. Sea f : X {0, 1} una función continua. Se va a probar que f es constante, lo cual implica, por la proposición 7.1.4, que X es conexo. En primer lugar, probaremos que para todo a X y todo subconjunto finito F de I la función f es constante en el conjunto A F (a) := {x X : p i (x) = p i (a) para todo i F }. Procedemos por inducción en el cardinal de F. Si F = {j}, observemos primero que la restricción de p j a A F (a) p j AF (a) : A F (a) X j es un homeomorfismo. En efecto, como p i (x) = p i (y) para todo i j, y x, y A F (a), la función p j es inyectiva en A F (a). Además, es sobreyectiva porque, dado t X j, t = p j (x), donde x A F (a) está definido por x(i) = a(i) para todo i j y x(j) = t. Finalmente, p j es un homeomorfismo, porque una red {x d } en A F (a) AF (a) converge a x si y sólo si {p j (x d )} converge a p j (x), ya que el resto de las coordenadas coincide con las de a. Por lo tanto, A F (a) es conexo, de donde se deduce que la función f es constante en A F (a). Suponemos ahora que el resultado vale para cardinales estrictamente menores que el de F. Sean j F y F = F \ {j}. Observemos primero que A F (a) = A j (y). y A F (a)

77 7.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 74 En efecto, dado x A F (a), sea y X tal que y(i) = x(i) para todo i j e y(j) = a(j). Entonces x A j (y) e y A F (a). La inclusión inversa se prueba en forma inmediata. Ahora, dado x A F (a), sea y A F (a) tal que x A j (y). Por la hipótesis de inducción, f es continua en A j (y) y en A F (a). Como, además, y A j (y) A F (A) y a A F (A), se tiene que f(x) = f(y) = f(a), y concluimos que f = f(a) en A F (a). Fijamos ahora a X y definimos A(a) = A F (a), F P F (I) donde P F (I) indica la familia de subconjuntos finitos de I. Como a A F (a) para todo F, resulta que la función f es constante en A(a): si x, y A(a), entonces f(x) = f(a) = f(y). Para probar que f es constante en X, alcanza ahora con probar que A(a) es denso en X, ya que f 1 ({f(a)}) es cerrado en X y contiene a A(a). Sea U un abierto de la base, U = p 1 i (U i ), i F donde F es un subconjunto finito de I, y U i es abierto en X i para todo i F. Sea x X tal que x(i) U i si i F y x(i) = a(i) si i F. Entonces x U A(a). Por lo tanto, A(a) es denso en X y f es constante. Definición Sea (X, τ) un espacio topológico y x, y X. Se dice que x e y están conectados, y se indicará con x c y, si existe un conjunto conexo C X tal que x C e y C. Observación La relación c en un espacio topológico X es una relación de equivalencia. Por un lado, x c x para todo x X, porque {x} es conexo por el ejemplo Es claro que la relación es simétrica. Finalmente, si x c y e y c z, sean C y D subconjuntos conexos de X tales que x, y C e y, z D. Entonces, como y C D, C D es conexo, por la proposición Además, x, z C D, lo cual implica que x c z. Definición Sea (X, τ) un espacio topológico. La componente conexa C x de un punto x X es la clase de equivalencia de x con respecto a la relación c. Observación Resulta inmediatamente a partir de la proposición que, si (X, τ) es un espacio topológico, entonces: 1. Si x, y X y C x C y, entonces C x C y =. 2. X = x X C x. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico y x X. Entonces

78 7.2. CONEXIÓN LOCAL Y CONEXIÓN POR CAMINOS La componente conexa C x es el mayor subconjunto conexo de X que contiene a x. 2. C x es cerrado. Demostración. 1) Sea D X un conjunto conexo tal que x D. Entonces, para todo y D, se tiene que y c x y, por lo tanto, y C x. Se probó así que D C x. Además, C x es conexo: si y, z C x existe un conjunto conexo C X que contiene a y y a z. Por el razonamiento anterior, C C x y, por la proposición , C x es conexo. 2) Por la proposición y la parte 1), C x es conexo. Por la parte 1), entonces, C x = C x. Ejemplo En el espacio Q de los números racionales, la componente conexa de un punto x Q es {x}: dados dos números racionales r < s y un conjunto C tal que r, s C Q, C no es conexo, ya que C = [(, α) C] [(α, + ) C], donde α es un número irracional tal que r < α < s. Obsérvese que en este caso las componentes conexas no son abiertas Conexión local y conexión por caminos Definición Un espacio topológico (X, τ) es localmente conexo si todo punto de X tiene una base de entornos conexos. Ejemplos Todo espacio normado es conexo por el ejemplo , y es localmente conexo, porque la familia de las bolas abiertas de centro en x es una base local de entornos conexos de x, por el ejemplo El espacio X = (0, 1) [2, 3) es localmente conexo, porque las bolas abiertas de radio menor que 1 forman una base de entornos conexos de cada punto, pero no es conexo porque (0, 1) es abierto, cerrado y no vacío en X. 3. El espacio X = R Q no es conexo ni localmente conexo. No es conexo porque, de serlo, también lo sería Q, que es la imagen de X por la proyección sobre Q, en contradicción con el ejemplo Tampoco es localmente conexo: dado V N (0,0), existe ɛ > 0 tal que B ɛ ((0, 0)) X V. En consecuencia, existe (t, q) V, con q > 0. Sea α un número irracional tal que 0 < α < q. Entonces V ( R {q Q : q > α} ) V es abierto, cerrado y no vacío en V, lo cual prueba que V no es conexo.

79 7.2. CONEXIÓN LOCAL Y CONEXIÓN POR CAMINOS El espacio X = ( R Q ) {(x, x) : x R} es conexo y no es localmente conexo. Es conexo porque todo punto (x, q) R Q está conectado con (q, q) y dos puntos de la recta {(x, x) : x R} están conectados entre sí. Por otro lado, no es localmente conexo: sea V N (0,1) tal que V {(x, x) : x R} =. Razonando como en el ejemplo 3), se prueba que V no es conexo. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. X es localmente conexo. 2. Las componentes conexas de los subconjuntos abiertos de X también son abiertas. 3. Existe una base de τ cuyos miembros son conexos. Demostración. 1 2: Sea A X un conjunto abierto. Dado a A, existe un entorno conexo V de a que está contenido en A. Entonces, por la proposición , V está contenido en la componente conexa Ca A de a en A y, por lo tanto, Ca A N a. Se probó así que Ca A es un entorno de todos sus puntos y es, en consecuencia, abierto. 2 3: Sea B = {A τ : A es conexo}. Dado U τ, U = u U C U u, donde C U u es la componente conexa de u en U. Como C U u es abierto para todo u U, se tiene que C U u B. Por lo tanto, B es una base de τ. 3 1: Si B es una base de τ cuyos miembros son conexos, para todo x X la familia B x = {A B : x A} es una base de entornos conexos de x. Por lo tanto, X es localmente conexo. Observación Si X es un espacio localmente conexo, entonces sus componente conexas son abiertas, por la proposición 7.2.3, y cerradas, por la proposición Definición Una curva o camino en un espacio topológico (X, τ) es una función continua α : [0, 1] X. Se dice que dos puntos x, y X están conectados por caminos (o por curvas), y se indica con x cc y, si existe un camino α en X tal que α(0) = x y α(1) = y. En ese caso de dice que α conecta a x e y. Proposición La relación cc en X es una relación de equivalencia.

80 7.2. CONEXIÓN LOCAL Y CONEXIÓN POR CAMINOS 77 Demostración. El camino constante α(t) = x para todo t [0, 1] conecta a x con x. Por otro lado, si α es un camino tal que α(0) = x y α(1) = y, sea β : [0, 1] X, dada por β(t) = α(1 t). Entonces β es un camino en X, β(0) = y y β(1) = x. Finalmente, si α y β son caminos en X, α(0) = x, α(1) = y, β(0) = y, β(1) = z, sea { α(2t) si α 1 γ : [0, 1] X, dada por γ(t) =, 2 β(2t 1) si α > 1. 2 Entonces γ es un camino en X, γ(0) = x y γ(1) = z. Observación Sean (X, τ) un espacio topológico y α : [0, 1] X un camino. Entonces, para todo r, s [0, 1], los puntos α(r) y α(s) están conectados por caminos. En efecto, la afirmación es trivialmente cierta si r = s y, si r < s, el camino β : [0, 1] X dado por conecta a α(r) y α(s). β(t) = α(r + t(s r)) Definición Sea (X, τ) un espacio topológico. La componente conexa por caminos CC x de un punto x X es la clase de equivalencia de x con respecto a la relación cc. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico y x X. La componente conexa por caminos CC x es el mayor subconjunto conexo por caminos de X que contiene a x. Demostración. Si y, z CC x, entonces y cc z. Sea α : [0, 1] X un camino tal que α(0) = y y α(1) = z. Por la observación 7.2.7, α(t) cc z cc x, para todo t [0, 1]. Entonces la imagen de α está contenida en CC x. Por lo tanto, y está conectado por caminos con z en CC x, de donde resulta que CC x es conexo por caminos. Por otro lado, si D es un subconjunto conexo por caminos de X que contiene a x, es claro que D CC x. Definición Un espacio topológico (X, τ) es conexo por caminos si x cc y para todo x, y X. Observaciones Sea (X, τ) un espacio topológico. 1. Sean x, y X dos puntos conectados por caminos. Entonces x e y están conectados, porque ambos pertenecen al conjunto conexo α([0, 1]), donde α es un camino tal que α(0) = x y α(1) = y.

81 7.2. CONEXIÓN LOCAL Y CONEXIÓN POR CAMINOS Se concluye inmediatamente a partir de la observación 1 que CC x C x para todo x, y X. En particular, X es conexo si es conexo por caminos. Ejemplos Sean X e Y espacios topológicos y f : X Y una función continua. Si X es conexo por caminos, entonces f(x) también lo es: dados x, y X, si α es un camino de x a y, entonces f α es un camino de f(x) a f(y). 2. Sean A = {0} [0, 1], B = {(x, sen 1 ) : x > 0} y X = A B. Entonces x A es conexo, pero no es conexo por caminos. Por un lado, B es conexo porque es la imagen de la función continua f : (0, + ) R 2, dada por f(x) = (x, sen 1 x ). Como, además, B X B, resulta de la proposición que X es conexo. Supongamos ahora que α es un camino en X tal que α(0) = (0, 1). Entonces α 1 (A) es cerrado y no vacío en [0, 1]. Probaremos a continuación que también es abierto. Como [0, 1] es conexo, resultará que α([0, 1]) A y, por lo tanto, que (0, 1) no está conectado por caminos con los puntos de B y, en consecuencia, que X no es conexo por caminos. Para probar que α 1 (A) es abierto, fijamos t 0 α 1 (A). Sea δ > 0 tal que α(t) B 1/2 (α(t 0 )) para todo t [0, 1] tal que t t 0 < δ. Como, para todo t [0, 1] tal que t t 0 < δ 0, α(t) está conectado por caminos con α(t 0 ), por la observación α(t) está en la componente conexa de α(t 0 ) en α ( B δ (t 0 ) ), que es A α ( B δ (t 0 ) ). Por lo tanto, t α 1 (A) si t t 0 < δ, de donde se concluye que α 1 (A) es abierto, como se quería probar. Obsérvese también que, según resulta de lo anterior, B, que no es cerrado, es una componente conexa por caminos de X. Definición Un espacio topológico (X, τ)es localmente conexo por caminos si todo punto de X tiene una base de entornos conexos por caminos. Observación Resulta de la observación , que si X es localmente conexo por caminos, también es localmente conexo. En la siguiente proposición probamos, para el caso de la conexión por caminos, el resultado análogo al de la proposición Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

82 7.2. CONEXIÓN LOCAL Y CONEXIÓN POR CAMINOS X es localmente conexo por caminos. 2. Las componentes conexas por caminos de los subconjuntos abiertos de X también son abiertas. 3. Existe una base de τ cuyos miembros son conexos por caminos. Demostración. 1 2: Sea A X un conjunto abierto. Dado a A, sea V N a un entorno conexo por caminos contenido en A. Entonces, por la proposición 7.2.9, se tiene que V CC A a y, por lo tanto, que CC A a N a. Se probó así que CC A a es un entorno de cada uno de sus puntos y es, en consecuencia, abierto. 2 3: Sea B = {A τ : A es conexo por caminos}. Si U X es abierto, entonces U es la unión de sus componentes conexas por caminos que, por la parte 1) y por la proposición 7.2.9, pertenecen a B. Se probó así que B es base de la topología τ. 3 1: Si B es una base de τ cuyos miembros son conexos por caminos, entonces, para todo x X, la familia B x = {V B : x V } es una base de entornos conexos por caminos de x. Observación Si X es un espacio localmente conexo por caminos, entonces sus componente conexas por caminos son abiertas por la proposición 7.2, y son cerradas porque el complemento de una componente conexa por caminos es la unión de las restantes componentes, que es abierta. Proposición Sea X un espacio localmente conexo por caminos. Entonces, para todo x X, CC x = C x. Demostración. Por la observación , CC x C x. Además, por la observación , CC x C x es abierto, cerrado y no vacío en C x, que es conexo. Por lo tanto, CC x C x = C x, es decir CC x C x. Corolario Si X es un espacio localmente conexo por caminos y conexo, entonces también es conexo por caminos.

83 c 7.2. CONEXIÓN LOCAL Y CONEXIÓN POR CAMINOS 80

84 Capítulo 8 Espacios métricos completos 8.1. Definiciones y ejemplos El procedimiento de completación del espacio Q de los números racionales (es decir, aquél por el que se pasa de Q a R) consiste en agregar a Q los límites de las sucesiones racionales. Los procedimientos habituales (mediante cortaduras, pares de clases contiguas, etc.) están vinculados al orden en Q, ya que los límites reales de las sucesiones racionales se pueden obtener como límites de sucesiones crecientes (o decrecientes). Por esta misma razón, la completitud del espacio R de los números reales (es decir, la propiedad de que R no se agranda si se le aplica el procedimiento por el que se pasa de Q a R) suele enunciarse también en términos del orden: todo conjunto de números reales acotado superiormente tiene un supremo. En este capítulo estudiamos la completitud y completación de espacios métricos. Como en general no hay un orden en el espacio que describa la métrica, las sucesiones de Cauchy, que son sucesiones que se acercan a un punto que eventualmente no está en el espacio y hay que agregar, juegan el papel que juegan en el pasaje de Q a R las cortaduras de Dedekind, etcétera. Definiciones Una sucesión {x n } en un espacio métrico (E, d) es de Cauchy si para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal que d(x n, x m ) < ɛ si n, m n Se dice que una red {T d } en un espacio métrico (E, d) está acotada si el conjunto {T d : d D} está acotado (véase definición 2.3.5). Ejemplo Una sucesión convergente en un espacio métrico es de Cauchy. Sea {x n } una sucesión que converge a x en un espacio métrico (E, d). Dado ɛ > 0, sea n 0 tal que d(x n, x) < ɛ/2 para todo n n 0. Entonces, por la desigualdad triangular, para todo n, m n 0. d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) < ɛ Proposición Toda sucesión de Cauchy está acotada. Demostración. La demostración es similar a la del caso de sucesiones reales: sean n 0 tal que d(x n, x m ) 1 para todo n, m n 0 y M = máx{1, d(x k, x l ) : k, l n 0 }. 81

85 Entonces d(x n, x m ) 2M para todo k N. En efecto, es claro que 8.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 82 d(x n, x m ) M (8.1.1) si n, m n 0 o si n, m n 0. Supongamos ahora que n n 0 m. Entonces, por la desigualdad (8.1.1), d(x n, x m ) d(x n, x n0 ) + d(x n0, x m ) 2M. Proposición Una sucesión de Cauchy que tiene una subsucesión convergente es convergente. Demostración. Sean {x n } una sucesión de Cauchy y {x nk } k N una subsucesión que converge a x. Dado ɛ > 0, sean n 0 tal que y k 0 tal que n k0 n 0 y d(x n, x m ) < ɛ/2 para todo n, m n 0 (8.1.2) Entonces, por (8.1.2) y (8.1.3), para todo n n 0, d(x nk0, x) < ɛ/2. (8.1.3) d(x n, x) d(x n, x nk0 ) + d(x nk0, x) < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ. Proposición Sean (E, d E ) y (F, d F ) espacios métricos y sea f : E F una función uniformemente continua. Si {x n } E es una sucesión de Cauchy, entonces {f(x n )} también lo es. Demostración. Dado ɛ > 0, sea δ > 0 tal que Sea ahora n 0 tal que Entonces, por (8.1.4) y (8.1.5), d F (f(x), f(y)) < ɛ si d E (x, y) < δ. (8.1.4) d E (x n, x m ) < δ si n, m n 0. (8.1.5) d F (f(x n ), f(x m )) < ɛ para todo n, m n 0. Definición Un espacio métrico (E, d) es completo si toda sucesión de Cauchy en E es convergente. Ejemplos Como se suele probar en los cursos de Cálculo, el espacio R de los números reales es completo. 2. El intervalo I = ( 1, 1) no es completo: la sucesión {x n } I dada por x n = 1 1 es de Cauchy, pero no converge. n

86 8.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 83 Proposición Sea (E, d) un espacio métrico completo. Un subconjunto F E es completo si y sólo si es cerrado en E. Demostración. Sea F un subconjunto cerrado de E. Si {x n } F es una subsucesión de Cauchy, como E es completo, {x n } converge a x E. Como F es cerrado, x F. Por lo tanto, toda sucesión de Cauchy en F converge (en F ), es decir, F es completo. Recíprocamente, si F es completo, dado x F, existe, por la proposición 4.1.3, una sucesión {x n } F que converge a x. Como F es completo, {x n } converge a y F. Ahora, por el ejemplo y la proposición 4.2.5, se tiene que x = y F. Concluimos así que F es cerrado. Observación Los espacios R y ( 1, 1) son homeomorfos, porque la función h : ( 1, 1) R dada por h(t) = Arctg( πt ) es un homeomorfismo. Sin embargo, como se vio en 2 los ejemplos 8.1.7, R es completo, mientras que ( 1, 1) no lo es. Esto muestra que la completitud no es una propiedad topológica, es decir, no es una propiedad que un espacio comparta necesariamente con los espacios homeomorfos a él (como es, por el corolario 7.1.6, la conexión). Probaremos a continuación (corolario ) que sí es una propiedad métrica, es decir, una propiedad que un espacio métrico comparte con los espacios isométricos a él. Proposición Sean (E, d E ) y (F, d F ) espacios métricos y sea i : E F una inmersión isométrica. Si E es completo, Im(i) es cerrada en F. Demostración. Sea {i(x n )} una sucesión en Im(i) que converge a y F. Como d E (x n, x m ) = d F (i(x n ), i(x m )), la sucesión {x n } es de Cauchy en E y, en consecuencia, converge a x E. Por la continuidad de i, i(x n ) converge a i(x). Por lo tanto, como F es de Hausdorff, se tiene que y = i(x) Im(i). Proposición Sean (E, d E ) y (F, d F ) espacios métricos y f : E F una función continua y biyectiva cuya inversa es uniformemente continua. Si E es completo, F también lo es. Demostración. Sea {y n } F una sucesión de Cauchy. Por la proposición 8.1.5, la sucesión {f 1 (y n )} es de Cauchy y, por ser E completo, converge a un punto x E. Como f es continua e y n = f(f 1 (y n )) para todo n N, la sucesión {y n } converge a f(x). Corolario Sean (E, d E ) y (F, d F ) espacios métricos isométricos. Entonces E es completo si y sólo si F lo es.

87 8.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 84 Observación Sean (E 1, m 1 ), (E 2, m 2 ),, (E n, m n ) espacios métricos, y sean E el producto cartesiano E = E 1 E 2 E n y d E 1, d E 2 y d E las distancias en E definidas en la proposición Se prueba fácilmente, a partir de las inclusiones en (2.3.4), que las funciones id : (E, d E α ) (E, d E β ), donde α, β {1, 2, }, son uniformemente continuas. Resulta entonces del corolario que E es completo con una de esas métricas si y sólo si lo es con las restantes. Proposición Sean (E, m E ) y (F, m F ) espacios métricos. Entonces el espacio producto E F es completo (con cualquiera de las tres métricas habituales, en virtud de la observación ) si y sólo si E y F son completos. Demostración. Consideremos la distancia d en E F, es decir, la distancia dada por d ((e, f), (e, f )) = máx{m E (e, e ), m F (f, f )}. Las proyecciones p E y p F son uniformemente continuas: dado ɛ > 0, si se tiene que d ((e, f), (e, f )) < ɛ, m E (p E (e, f), p E (e, f )) = m E (e, e ) < d ((e, f), (e, f )) < ɛ y, análogamente, m F (p F (e, f), p F (e, f )) < ɛ. Supongamos que E y F son completos y sea {(e n, f n )} una sucesión de Cauchy en E F. Como las proyecciones p E y p F son uniformemente continuas, las sucesiones {e n } = {p E ((e n, f n ))} y {f n } = {p F ((e n, f n ))} son de Cauchy por la proposición y, en consecuencia, convergen a puntos e y f en E y F, respectivamente. Resulta ahora de la proposición que {(e n, f n )} converge a (e, f) en E F. Supongamos ahora que el producto E F es completo, y sea f 0 F. Como la función ι : E E {f 0 } dada por i(e) = (e, f 0 ), es claramente una isometría, alcanza con probar, en virtud del corolario , que E {f 0 } es completo y esto, por la proposición 8.1.8, queda, a su vez, probado si se prueba que E {f 0 } es cerrado en E F. Probemos, entonces, esta última afirmación: si (e, f) E {f 0 }, sea V un entorno abierto de f tal que f 0 V. Entonces E V es abierto en la topología producto y (e, f) E V (E {f 0 }) c, lo cual prueba que (E {f 0 }) c es abierto. En forma análoga se prueba que F es completo cuando E F lo es. Corolario Sean (E 1, m 1 ), (E 2, m 2 ),, (E n, m n ) espacios métricos, y sea E el producto cartesiano E = E 1 E 2 E n.

88 8.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 85 El espacio producto E, con cualquiera de las tres métricas habituales, es completo si y sólo si E i es completo para todo i = 1,, n. Demostración. La demostración, por inducción en n, es inmediata a partir de la proposición , y se deja a cargo del lector. Proposición Sean S un conjunto y (E, d) un espacio métrico completo. Entonces el espacio de funciones acotadas F b (S, E) definido en la proposición también es completo. Demostración. Sea {f n } una sucesión de Cauchy en F b (S, E). Observemos primero que, para cada x S, la sucesión {f n (x)} es de Cauchy en E. En efecto, dado ɛ > 0, sea n 0 tal que d sup (f n, f m ) < ɛ si n, m n 0. Entonces d(f n (x), f m (x)) d sup (f n, f m ) < ɛ para todo x S, si n, m n 0. En consecuencia, {f n (x)} converge a un punto f(x) para todo x S. Probemos ahora que la función f F(S, E) así obtenida está acotada: por la proposición 8.1.3, existe K tal que d sup (f n, f m ) K para todo n, m N. (8.1.6) Por otro lado, como la función f n está acotada, para todo n existe M n tal que Entonces d(f n (x), f n (y)) M n para todo x, y S. d(f n (x), f n (y)) d(f n (x), f 1 (x)) + d(f 1 (x), f 1 (y)) + d(f 1 (y), f n (y)) d sup (f n, f 1 ) + M 1 + d sup (f 1, f n ) 2K + M 1, (8.1.7) para todo x, y S y n N. Finalmente, por la continuidad de la función distancia en E E (ejemplo 5.1.5), d(f(x), f(y)) = d ( lím n (f n (x), f n (y)) ) = lím n d(f n (x), f n (y)) 2K + M 1 para todo x, y S, por la desigualdad (8.1.7), lo cual prueba que f F b (S, E). Por último, la sucesión {f n } converge a f en F b (S, E): dado ɛ > 0, sea n 0 tal que d sup (f n, f m ) < ɛ 2 si n.m n 0. Entonces, d(f n (x), f(x)) = lím m d(f n (x), f m (x)) ɛ 2, para todo x S y n n 0, de donde resulta que d sup (f n, f) < ɛ si n n 0. Corolario Sean X un espacio topológico y (E, d) un espacio métrico completo. El conjunto C b (X, E) de funciones continuas y acotadas definido en la proposición , es completo.

89 8.2. COMPLETACIÓN DE UN ESPACIO MÉTRICO 86 Demostración. Es una consecuencia inmediata de las proposiciones , y Completación de un espacio métrico Como se verá en lo que queda de este capítulo, la completitud de un espacio métrico garantiza que valen resultados muy útiles como el teorema de Baire, el teorema de cerrados encajados de Cantor o el teorema del punto fijo para contracciones. Cuando un espacio métrico E no es completo, uno querría repetir el procedimiento por el que se pasa del espacio no completo de los números racionales al espacio completo de los números reales. Intuitivamente, uno querría agregar los límites de las sucesiones de Cauchy, sin agregar, claro, nuevas sucesiones de Cauchy no convergentes, y agrandando lo menos que sea posible el espacio original. Cuando E es un subespacio de un espacio completo F, esto se puede hacer tomando su clausura E en F. Probaremos en esta sección que un procedimiento de ese tipo siempre es posible. Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Una completación de (E, d) consiste en un par (Ê, i) tal que 1. Ê es un espacio métrico completo. 2. i : E Ê es una inmersión isométrica. 3. i(e) es denso en Ê. Ejemplo Si (E, d) es un espacio métrico completo, (E, inc) es una completación de cualquier subconjunto denso en E, donde inc es la inclusión. En particular, 1. (R, inc) es una completación de Q. 2. (E, id) es una completación de E cuando E es completo. Observación El ejemplo implica que si i : E F es una inmersión isométrica entre los espacios métricos E y F, y F es completo, entonces (i(e), i) es una completación de E. Probaremos a continuación que todo espacio métrico tiene una completación, siguiendo el procedimiento sugerido por la observación Luego de establecer algunos resultados preliminares, probaremos también que la completación es básicamente única (corolario 8.2.8). Proposición Todo espacio métrico tiene una completación. Demostración. Sea (E, d) un espacio métrico. Probaremos que existe una inmersión isométrica i : E C b (E, R). Resultará entonces la observación y del corolario que (i(e), i) es una completación de E.

90 8.2. COMPLETACIÓN DE UN ESPACIO MÉTRICO 87 A los efectos de definir i, fijamos un punto e 0 E y, para cada e E, definimos la función i e : E R, por i e (x) = d(e, x) d(e 0, x), para todo x E. Como en el ejemplo 5.1.5, i e es continua para todo e E. Además, está acotada: i e (x) = d(e, x) d(e 0, x) d(e, e 0 ), para todo x, y E. Finalmente, i es una inmersión isométrica: i e (x) i f (x) = d(e, x) d(e 0, x) d(f, x) + d(e 0, x) = d(e, x) d(f, x) d(e, f) para todo x E, de donde se concluye que Por otro lado, d sup (i e, i f ) = sup i e (x) i f (x) d(e, f). x E d sup (i e, i f ) i e (f) i f (f) = d(e, f). Se probó así que d sup (i e, i f ) = d(e, f), es decir, que i es una inmersión isométrica. Proposición Sean (E, d E ) y (F, d F ) espacios métricos, X un subconjunto denso en E y f : X F una función uniformemente continua. Si F es completo, existe una única extensión continua f de f a E. Además, f es uniformemente continua y es una inmersión isométrica si f lo es. Demostración. Dado e E, sea {x n } X una sucesión que converge a e. Entonces, por la proposición 8.1.5, {f(x n )} también es de Cauchy en F, que es completo y, por lo tanto, {f(x n )} converge a un punto m F. Antes de definir, como es natural, f(e) := m, es necesario probar que si {x n} X es otra sucesión que converge a e, entonces {f(x n)} también converge a m. Razonando como arriba, concluimos que {f(x n)} converge a m. Dado ɛ > 0, sea δ > 0 tal que y sea n 0 tal que d F (f(x), f(x )) < ɛ si d E (x, x ) < δ, d E (x n, e) < δ/2 y d E (x n, e) < δ/2 para todo n n 0. Entonces, por la desigualdad triangular, d E (x n, x n) < δ

91 y, por lo tanto, 8.2. COMPLETACIÓN DE UN ESPACIO MÉTRICO 88 d F (f(x n ), f(x n)) < ɛ (8.2.1) para todo n n 0. Tomando ahora límite en n en (8.2.1), concluimos que es decir, m = m. Definimos, entonces, d F (m, m ) ɛ para todo ɛ > 0, f(e) := m. (8.2.2) Obsérvese que (8.2.2) es la única definición posible de la función f si ésta es continua. Veamos ahora que f es uniformemente continua: dado ɛ > 0, sea δ tal que d F (f(x), f(x )) < ɛ/2 si x, x X son tales que d E (x, x ) < δ. Dados e, e en E, tales que d E (e, e ) < δ/3, sean {x n } y {x n} sucesiones en X que convergen a e y e, respectivamente, y sea n 0 tal que para todo n n 0. Entonces para todo n n 0. Por lo tanto, y, pasando al límite, d E (x n, e) < δ/3 y d E (x n, e ) < δ/3, d E (x n, x n) d E (x n, e) + d E (e, e ) + d E (e, x n) < δ, d F (f(x n ), f(x n)) < ɛ/2 d F ( f(e), f(e )) ɛ/2 < ɛ. Finalmente, si f es una inmersión isométrica, dados e y e E, y sucesiones {x n } y {x n} en X que convergen, respectivamente, a e y e, d F ( f(e), f(e )) = lím n d F (f(x n ), f(x n) = lím n d E (x n, x n) = d E (e, e ). Observación La proposición no vale si se supone que f es continua pero no uniformemente continua: la función f : (0, 1] R, dada por f(x) = 1 x es continua, pero no se puede extender a una función continua en [0, 1]. Proposición Sean (Ê, i E) y ( F, i F ) completaciones de los espacios métricos E y F, respectivamente, y una función uniformemente continua. Entonces f : E F

92 8.2. COMPLETACIÓN DE UN ESPACIO MÉTRICO Existe una única función continua f tal que el diagrama E f F (8.2.3) i E Ê conmuta. 2. f es uniformemente continua. 3. Si f es una inmersión isométrica, f también lo es y, además, 4. f es una isometría si f lo es. Demostración. La función f F i F Im( f) = Im(i F f). (8.2.4) i F f i 1 E : i E(E) F es uniformemente continua e i(e) es denso en Ê. Por la proposición 8.2.5, entonces, i F f i 1 E se extiende en forma única a una función continua f en Ê, que es además uniformemente continua. Como f hace conmutar el diagrama (8.2.3) si y sólo si es una extensión de i F f i 1 E, hemos probado las afirmaciones 1 y 2. Si f es una inmersión isométrica, también lo es i F f i 1 E, y resulta de la proposición que f es una inmersión isométrica. Además, como f es continua, Im( f) = f((i E (E)) ( f i E )(E) = Im(i F f). (8.2.5) Por otro lado, como i F f = f i E, Entonces, por (8.2.5) y (8.2.6), Im(i F f) Im( f). (8.2.6) Im(i F f) Im( f) Im(i F f). (8.2.7) Finalmente, como Im( f) es cerrada por la proposición , tomando clausuras en la cadena de inclusiones (8.2.7), se obtiene Im( f) = Im(i F f), lo cual prueba la afirmación 3. Por último, la afirmación 4 es evidente a partir de la 3. Corolario Si (Ê1, i 1 ) y (Ê2, i 2 ) son completaciones de un espacio métrico (E, d), existe una única isometría j tal que el diagrama Ê 1 i 1 j i 2 Ê 2 conmuta. E

93 8.3. ALGUNOS RESULTADOS EN ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS 90 Demostración. Se obtiene j al aplicar la proposición al diagrama E id E i 1 Ê 1 j Ê 2 i 2 Observación El corolario establece que entre dos completaciones de un espacio métrico (E, d) existe una isometría que preserva la copia del espacio E, lo cual hace que la completación de un espacio métrico sea esencialmente única. A menudo hablaremos, entonces, en un ligero abuso de lenguaje, de la completación de un espacio métrico. Proposición Sean (Ê1, i 1 ) y (Ê2, i 2 ) completaciones de los espacios métricos (E 1, m 1 ) y (E 2, m 2 ), respectivamente. Entonces ( (Ê1 Ê2, d α ), i 1 i 2 ) es una completación de (E1 E 2, d α ), donde (i 1 i 2 )(e 1, e 2 ) = (i 1 (e 1 ), i 2 (e 2 )) para todo (e 1, e 2 ) E 1 E 2, y d α es la distancia definida en 2.3.4, con α {1, 2, }. Demostración. Es claro que, por ser i 1 e i 2 inmersiones isométricas, también lo es i 1 i 2 : (E 1 E 2, d α ) (Ê1 Ê2, d α ), para todo α {1, 2, }. Además, por la proposición , (Ê1 Ê2, d α ) es completo para todo α {1, 2, }. Sólo falta probar, entonces, que la imagen de i 1 i 2 es densa en (Ê1 Ê2, d α ): dados (x, y) Ê1 Ê2 y α {1, 2, }, sean {x n } n N E 1 e {y n } n N E 2 sucesiones tales que {i 1 (x n )} converge a x en Ê1 e {i 2 (y n )} converge a y en Ê2. Entonces (i 1 i 2 )(x n, y n ) converge a (x, y) en (Ê1 Ê2, d α ), lo cual concluye la demostración Algunos resultados en espacios métricos completos Definiciones Sean (E, d) un espacio métrico y f : E E. 1. Se dice que f es una contracción en E si existe α [0, 1) tal que d(f(x), f(y)) α d(x, y) (8.3.1) para todo x, y E. 2. Un punto x E es un punto fijo de f si f(x) = x.

94 8.3. ALGUNOS RESULTADOS EN ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS 91 Observación Toda contracción es uniformemente continua: el valor α de la definición siempre puede tomarse estrictamente positivo, ya que la desigualdad (8.3.1) se cumple para cualquier número real mayor que α, si vale para α. En ese caso, d(f(x), f(y)) < ɛ si d(x, y) < ɛ α. Teorema Toda contracción en un espacio métrico completo tiene un punto fijo y uno solo. Demostración. Sean (E, d) un espacio métrico completo y f una contracción en E. Sea α [0, 1) tal que para todo x, y E. Fijamos x 0 E, y definimos d(f(x), f(y)) α d(x, y), x n = f(x n 1 ) para todo n 1. Veamos primero que la sucesión {x n } así construida es de Cauchy. En efecto, como d(x n+1, x n ) = d(f(x n ), f(x n 1 )) α d(x n, x n 1 ), se prueba sin dificultad, por inducción en n, que d(x n+1, x n ) α n d(x 1, x 0 ). Sea ɛ > 0; dados n < m, aplicando sucesivas veces la desigualdad triangular, se tiene que d(x m, x n ) m 1 k=n d(x k, x k+1 ) m 1 k=n α k d(x 1, x 0 ). Como la serie k αk d(x 1, x 0 ) converge, existe n 0 N tal que si m, n n 0. Sea d(x m, x n ) Entonces, como f es continua, m 1 k=n a = lím n x n. α k d(x 1, x 0 ) < ɛ. f(a) = lím n f(x n ) = lím n x n+1 = a. Por lo tanto, a es un punto fijo de f. Además, es el único: si e E es un punto fijo de f, d(a, e) = d(f(a), f(e)) α d(a, e) < d(a, e) si a e. Observación La demostración del teorema da también una forma de aproximarse al punto fijo que a veces permite calcularlo.

95 8.3. ALGUNOS RESULTADOS EN ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS 92 Teorema (de cerrados encajados de Cantor) Sea (E, d) un espacio métrico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. E es completo. 2. Si {F n } es una sucesión de subconjuntos cerrados de E tal que F n+1 F n para todo n 1 y lím n diám(f n ) = 0, existe a E tal que F n = {a}. n=1 Demostración. 1) 2): Se elige x n F n para cada n N. Si n, m n 0, se tiene que x n, x m F n0 y, por lo tanto, d(x n, x m ) diám(f n0 ). Entonces, como diám(f n ) tiende a cero, {x n } es de Cauchy y converge a un punto a E. Como a es el límite de la sucesión {x n } n m F m, resulta que para todo m 1 y, por lo tanto, Sea b n=1 F n; entonces a F m = F m n=1 F n {a}. d(a, b) diám(f n ) para todo n 1, de donde se concluye que d(a, b) = 0 y, en consecuencia, que a = b. Hemos probado así que F n = {a}. n=1 2) 1): Dada una sucesión de Cauchy {x n } en (E, d), definamos F n = {x k : k n}. Es claro que la sucesión {F n } está en las hipótesis de 2). Sea a E tal que F n = {a}. n=1 Entonces {x n } converge a a: dado ɛ > 0, sea n 0 tal que el diámetro de F n es menor que ɛ para todo n n 0. Entonces d(x n, a) diám(f n ) < ɛ para todo n n 0. Teorema (Baire) Sean (E, d) un espacio métrico completo y {U n } n 1 una sucesión de subconjuntos abiertos y densos en E. Entonces n 1 U n es denso en E.

96 8.3. ALGUNOS RESULTADOS EN ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS 93 Demostración. Por las proposiciones y 3.3.2, alcanza con probar que para todo punto x E y r > 0. Sea B r (x) n 1 U n, B 1 := B r (x). Como el conjunto B 1 U 1 es abierto y no vacío, existen x 2 E y ɛ > 0 tales que B ɛ (x 2 ) B 1 U 1. (8.3.2) Sean ahora Entonces ɛ 2 := mín{ ɛ 2, 1 2 } y B 2 := B ɛ2 (x 2 ). B 2 B ɛ (x 2 ) B 1 U 1. (8.3.3) Sean x 2, x 3,, x n 1 E y ɛ 2,, ɛ n 1 tales que 0 < ɛ k 1 k y que B k B k 1 U k 1, para todo k = 2,, n 1, donde B k = B ɛk (x k ). Como el conjunto B n 1 U n 1 es abierto y no vacío, existen x n E y ɛ > 0 tales que B ɛ (x n ) B n 1 U n 1. Definiendo ahora se tiene que ɛ n := mín{ ɛ 2, 1 n } y B n := B ɛn (x n ), B k B k 1 U k 1, (8.3.4) para todo k = 2,, n. Se construye así por recurrencia la sucesión de bolas {B k } que satisface (8.3.4) para todo k 2 y tal que diám(b k ) 2 k k 0. Tenemos entonces que {B n } n 2 es una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados de E cuyo diámetro tiende a cero. Concluimos, a partir del teorema 8.3.5, que existe a E tal que {a} = B n B 1 ( ) U n, (8.3.5) n 2 de donde resulta que el conjunto de la derecha en (8.3.5) no es vacío, como queríamos probar. n 1

97 8.3. ALGUNOS RESULTADOS EN ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS 94 Observación Si bien la demostración del teorema de Baire (8.3.6) descansa en la estructura métrica del espacio E, su conclusión vale también para espacios topológicos que son homeomorfos a un espacio métrico completo (por ejemplo, para un intervalo abierto, que no es completo, pero es homeomorfo a R): Si h : X E es un homeomorfismo del espacio topológico (X, τ) en el espacio métrico completo (E, d), y {U n } es una sucesión de conjuntos abiertos y densos en X, entonces {h(u n )} es una sucesión de conjuntos abiertos y densos en E y, por el teorema de Baire (8.3.6), n h(u n) es denso en E. Por lo tanto, U n = h 1( h(u n ) ) es denso en X. n Definiciones Sea (X, τ) un espacio topológico. 1. Un subconjunto A X es nunca denso (en X) si n Å =. 2. Un subconjunto A X es magro o de primera categoría en X si es la unión de una cantidad numerable de subconjuntos nunca densos en X. Ejemplos Sean X un espacio topológico T 1 y x X. El conjunto {x} es nunca denso si y sólo si x no es un punto aislado, porque, por la observación y el corolario 3.2.7, {x} = {x} = { {x} si x es aislado, en caso contrario. 2. El espacio de números racionales Q es magro, por el ejemplo , porque es numerable y sus puntos no son aislados. 3. El conjunto de Cantor C es nunca denso en R por las proposiciones y Sea (X, τ) un espacio topológico. Si A X es abierto y no vacío, su frontera A es un conjunto cerrado y nunca denso. Es claro, a partir de la definición, que A es cerrado; sólo falta probar que tiene interior vacío. Si U A es abierto y no vacío, entonces A U A A = Å A =, de donde se concluye que U no está contenido en A, en contradicción con lo supuesto.

98 8.3. ALGUNOS RESULTADOS EN ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS 95 Observación Sea (X, τ) un espacio topológico. Un conjunto A X es nunca denso en X si y sólo si (A c ) es denso en X, porque, por la proposición , A es nunca denso en X ( A ) = [ ( (A) c ) c ] = [ (A) c] c = ( A ) c = X ( A c ) = X (A c ) es denso en X. Corolario Sean (X, τ) un espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo y F X un conjunto magro en X. Entonces F tiene interior vacío. Demostración. Sea {F n } n N una sucesión de subconjuntos nunca densos de X tales que F = n N F n. Podemos suponer que F n es cerrado para todo n N sin perder generalidad, porque F n es nunca denso si y sólo si F n lo es, y porque, una vez demostrado el teorema para F = n N F n, se concluye que Con ese supuesto, se tiene que F F =. F c = F c n, donde, por la observación , F c n es abierto y denso en X. Por la observación 8.3.7, F c es denso en X y, por lo tanto, F = ( F c) c =. Corolario Sea (X, τ) un espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo. Entonces X no es magro (en sí mismo). Demostración. Es inmediata a partir del corolario Ejemplo El conjunto de Cantor es completo, al ser cerrado en R. Por lo tanto, no es magro en sí mismo (compárese con el ejemplo ). Ejemplo Sea C el conjunto de Cantor. Veremos que existe un número real x tal que ( C + {x} ) Q =, donde Q es el conjunto de los números racionales y C + {x} = {c + x : c C}. Si r Q, como se vio en el ejemplo , la función T r : R R, dada por T r (x) = x+r, es un homeomorfismo, y lleva C en el conjunto C +{r}. Entonces, por el ejemplo , C + {r} es nunca denso en T r (R) = R.

99 8.3. ALGUNOS RESULTADOS EN ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS 96 Por el corolario , entonces, R r Q ( C + {r} ). Sea x R \ r Q ( C + {r} ), y sea x = x. Entonces ( C + {x} ) Q =.

100 Capítulo 9 Espacios compactos 9.1. Definiciones y ejemplos Definición Sea (X, τ) un espacio topológico. Un subconjunto Y X es compacto si todo cubrimiento abierto tiene un subcubrimiento finito. Observación Un subconjunto Y de un espacio topológico X es compacto si y sólo si lo es con la topología relativa, porque un cubrimiento abierto de Y con la topología relativa consiste en una familia {U α Y } α I, donde U α es abierto en X para todo α, y tal que Y = α I U α Y, es decir, Y α I U α. Proposición Un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto. Demostración. Sean X un espacio topológico compacto e Y X un conjunto cerrado. Sea {U α } α I una familia de conjuntos abiertos en X tal que Y α I U α. (9.1.1) Entonces {Y c } {U α } α I es un cubrimiento abierto de X, y tiene un subcubrimiento finito {Y c, U α1, U α2,, U αn }. Por lo tanto, n Y U αi. i=1 Ejemplos El espacio topológico R de los números reales no es compacto: el cubrimiento abierto U = {( n, n) : n N} no tiene subcubrimientos finitos, porque la unión de una cantidad finita de miembros de U es un conjunto acotado, a diferencia de R. 2. Un conjunto X con la topología de los complementos finitos es compacto, como probáramos en el ejemplo

101 9.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 98 Teorema (Heine-Borel) Un subconjunto cerrado y acotado de R es compacto. Demostración. Por la proposición 9.1.3, alcanza con probar que todo intervalo cerrado [a, b] es compacto. Sea U = {U α } α I una familia de conjuntos abiertos en R tal que [a, b] α I U α, y sea X = {x [a, b] : [a, x] está contenido en la unión de una cantidad finita de miembros de U}. Entonces X no es vacío, porque a X. Sean c = sup X, α 0 I tal que c U α0 y ɛ > 0 tal que (c ɛ, c + ɛ) U α0. Sea x X (c ɛ, c], y sean α 1,, α n I tales que n [a, x] U αi. Entonces, para todo y [x, c + ɛ) [a, b], se tiene que n [a, y] y, por lo tanto, i=1 i=0 U αi (c ɛ, c + ɛ) [a, b] X. Como, además, c = sup X, concluimos que c = b X y que, en consecuencia, U tiene un subcubrimiento finito. Definición Sean X un conjunto y F P(X) una familia de subconjuntos de X. Se dice que F tiene la propiedad de intersección finita (PIF) si para toda subfamilia finita {F 1, F 2,, F n } de F se tiene que F 1 F 2 F n. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico, U P(X) y F = {U c : U U}. Entonces 1. La familia U es un cubrimiento abierto de X si y sólo si F es una familia de conjuntos cerrados en X tal que F =. F F 2. La familia U no tiene subcubrimientos finitos si y sólo si F tiene la PIF.

102 9.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 99 Demostración. Ambas afirmaciones son consecuencia inmediata de las leyes de De Morgan (proposición 1.1.1): U no tiene subcubrimientos finitos si y sólo si, dados U 1, U 2,, U n U se tiene que n U i X. i=1 i=1 Como, por las leyes de De Morgan, n n U i X Ui c, esto es equivalente a que F tenga la PIF. La demostración de la primera afirmación es análoga. Corolario Un espacio topológico X es compacto si y sólo si para toda familia F de conjuntos cerrados en X con la PIF se tiene que F. F F Demostración. La afirmación es inmediata a partir de la proposición Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico de Hausdorff, K X un conjunto compacto y x X tal que x K. Entonces existen conjuntos abiertos y disjuntos U y V tales que i=1 x U y K V. Demostración. Para cada y K, sean U y y V y conjuntos abiertos disjuntos tales que x U y e y V y. Como K V y, existen y 1, y 2,, y n K tales que Sean U := K y K n V yi. i=1 n U yi y V := i=1 n V yi. Entonces x U, K V y n n U V = U yi V yj = ( ) Uy1 U y2 U yn V yj =. i=1 j=1 Corolario Sean (X, τ) un espacio topológico de Hausdorff y K X un conjunto compacto. Entonces K es cerrado en X. Demostración. La afirmación es consecuencia inmediata de la proposición i=1

103 9.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 100 Ejemplo En el corolario es necesaria, en general, la hipótesis de que X sea de Hausdorff: en R con la topología del cero, el conjunto {0} es compacto y no es cerrado. Corolario Sean (X, τ) un espacio topológico de Hausdorff y {K α } α I una familia de subconjuntos compactos de X. Entonces α I K α es compacto. Demostración. Sea α 0 I. Por el corolario , α I K α es un subconjunto cerrado de K α0. Entonces, por la proposición 9.1.3, α I K α es compacto. Proposición Sean X e Y espacios topológicos y f : X Y una función continua. Si X es compacto, entonces f(x) también lo es. Demostración. Sea {U α } α I una familia de conjuntos abiertos en Y tal que f(x) α I U α. Entonces {f 1 (U α )} α I es un cubrimiento abierto de X y tiene, en consecuencia, un subcubrimiento finito {f 1 (U αi ) : i = 1,, n}. Eso implica que {U αi : i = 1,, n} es un cubrimiento abierto de f(x), porque f(x) = f ( f 1 (U αi ) ) = f ( ) f 1 (U αi U αi. i i i Corolario Sean X un espacio topológico compacto, Y un espacio topológico de Hausdorff y f : X Y una función continua. La función f es cerrada y es un homeomorfismo si además es biyectiva. Demostración. Sea F X un conjunto cerrado. Por la proposición F es compacto y entonces, por las proposiciones y , el conjunto f(f ) es cerrado en Y. La segunda afirmación resulta de la proposición Lema (Alexander) Sea (X, τ) un espacio topológico. Si τ tiene una subbase S tal que todo cubrimiento U de X contenido en S tiene un subcubrimiento finito, entonces X es compacto. Demostración. Sea (X, τ) un espacio topológico que no es compacto. Probaremos que no existe una subbase S de τ como en el enunciado. Sea F la familia (no vacía) de cubrimientos abiertos de X que no tienen subcubrimientos finitos, ordenada con la inclusión. Observemos primero que toda cadena {U i } i I en F está acotada por U = i I U i. Es claro que U es un cubrimiento abierto de X, ya que cada U i lo es. Para probar que U F, supongamos que U tiene un subcubrimiento finito

104 9.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 101 {A 1, A 2,, A n }. Para cada k = 1,, n, sea i k I tal que A k U ik. Pero entonces {A 1, A 2,, A n } es un subcubrimiento finito del cubrimiento máximo del conjunto {U i1, U i2,, U in }, contradiciendo el hecho de que éste pertenece a F. Hemos probado que (F, ) está en las hipótesis del lema de Zorn (teorema ) y, por lo tanto, tiene un elemento maximal M. Observemos ahora que valen las siguientes afirmaciones para todo par de subconjuntos abiertos A y B de X. i) A M M 1, M 2,...M n M : X = A M 1 M 2 M n. (9.1.2) ii) Si A M y B M = A B M. (9.1.3) iii) Si A B y B M = A M. (9.1.4) Para verificar i), obsérvese que A M es equivalente a que M {A} F y esto, a su vez, es equivalente a que M {A} tenga un subcubrimiento finito, que es la afirmación en el lado derecho de i). La afirmación ii) es consecuencia de i), porque si A M y B M, entonces existen M 1,..M k tales que Por lo tanto, X = A M 1 M 2 M n, X = B M n+1 M n+2 M k. X = (A B) M 1 M 2 M k, que, por i), implica que A B M. Finalmente, si A B y A M, por la parte i) existen M 1, M n M tales que X = A M 1 M 2 M n. Por lo tanto, X = B M 1 M 2 M n y B M. Sea ahora S una subbase de τ. Sean M M y S 1, S 2,, S n S tales que n S i M. i=1 Entonces, por la observación iii), n i=1 S i M y, por la observación ii), S i M para algún i {1,, n}. Ahora, dado x X, sea M x M tal que x M x. y sean Si x S, con i = 1,, n(x), tales que Entonces x n(x) i=1 S x i M x. {S x i : i = 1,, n(x), x X} M es un cubrimiento abierto de X contenido en S que no tiene subcubrimientos finitos, porque, de lo contrario, también M los tendría.

105 9.2. COMPACIDAD SECUENCIAL Y PROPIEDAD DE BOLZANO-WEIERSTRASS 102 Teorema (Tijonov) Sea {(X i, τ i )} i I una familia de espacios topológicos. El espacio producto X = i I X i es compacto si y sólo si cada uno de los espacios X i lo es. Demostración. Si X es compacto, también lo es cada espacio X i por la proposición , ya que X i es la imagen de X por la proyección p i sobre X i. Para probar la afirmación recíproca, verificaremos que la subbase S = {p 1 i (A) : i I, A τ i } verifica las hipótesis del lema de Alexander (9.1.15): si U S es un cubrimiento abierto de X, sea U i = {A X i : p 1 i (A) U}, para todo i I. Entonces existe i 0 I tal que U i0 es un cubrimiento abierto de X i0 : de lo contrario, para cada i I existiría x i X i tal que x i A U i A. Entonces, si x X está definido por p i (x) = x i para todo i I, se tiene que x A U A, lo cual contradice el hecho de que U es un cubrimiento de X. Finalmente, si {A 1,, A n } U i0 un subcubrimiento finito de X i0, entonces {p 1 i 0 (A 1 ),, p 1 i 0 (A n )} U es un subcubrimiento finito de X. Corolario Un subconjunto K de R n es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Demostración. Si K R n es cerrado y acotado, entonces, por la observación 2.3.6, existen a, b R tales que K [a, b] n. Por el teorema de Heine-Borel (9.1.5) y el de Tijonov (9.1.16), [a, b] n es compacto. Entonces K es compacto, por la proposición Recíprocamente, si K R n es compacto, entonces es cerrado por el corolario Además, es acotado, porque el subcubrimiento {( k, k) n : k 0} tiene un subcubrimiento finito Compacidad secuencial y propiedad de Bolzano-Weierstrass Estudiamos en esta sección dos propiedades topológicas estrechamente vinculadas con la compacidad: la compacidad secuencial y la propiedad de Bolzano-Weierstrass. Veremos en el teorema que, en espacios métricos, ambas son equivalentes a la compacidad. Comenzamos por caracterizar la compacidad en términos de redes. Teorema Un espacio topológico (X, τ) es compacto si y sólo si toda red {T d } d D en X tiene una subred convergente.

106 9.2. COMPACIDAD SECUENCIAL Y PROPIEDAD DE BOLZANO-WEIERSTRASS 103 Demostración. Sea {T d } d D una red en un espacio topológico compacto X. Para cada c D, sea A c = {T d : d c}. Entonces A c tiene la PIF: dados c 1,, c n D, sea c D tal que c c i para todo i = 1, 2,, n. Entonces n T c A ci. i=1 Por lo tanto, {A c : c D} es una familia de conjuntos cerrados con la PIF y, por el corolario 9.1.8, A c. c D Probaremos ahora que si x c D A c, entonces x es un punto de aglomeración de {T d }. Por la proposición 4.2.8, entonces, {T d } tiene una subred convergente a x. Efectivamente, dados d 0 D y un entorno V N x, como x A d0, se tiene que A d0 V. Es decir, existe c d 0 tal que T c V. Para demostrar la afirmación recíproca, consideramos una familia F de subconjuntos cerrados de X con la PIF y probaremos que F F F. Sea F 0 la familia de intersecciones de una cantidad finita de miembros de F, ordenada con ( es decir, F G si y sólo si F G). F 0 es un conjunto dirigido, ya que la intersección de dos miembros de F 0 pertenece a F 0. Si F F 0, entonces F ; sea x F F. La red {x F } F F0 tiene una subred convergente y, por lo tanto, tiene un punto de aglomeración x. Entonces, dados F F y V N x, existe G F 0, tal que G F y x G V. Por lo tanto, F V G V. Hemos probado así que como queríamos. x F F F = Proposición Sea (X, τ) un espacio compacto y N 1. Entonces toda sucesión en X tiene una subsucesión convergente. Demostración. Sea {x n } una sucesión en X. Por el teorema {x n } tiene una subred convergente a un punto x X que, por lo tanto, es un punto de aglomeración de {x n }. Sea {V k } k N una base decreciente de entornos de x. Sean n 0 = 1 y n 1 > 1 tal que x n1 V 1. Dados x n1, x n2,, x nl tales que F F F, n i 1 < n i y x ni V i (9.2.1) para todo i = 1,, l, sea n l+1 > n l tal que x nl+1 V l+1. Entonces {x nk } es una subsucesión de {x n } que converge a x.

107 9.2. COMPACIDAD SECUENCIAL Y PROPIEDAD DE BOLZANO-WEIERSTRASS 104 Definición Sea (X, τ) un espacio topológico. Se dice que X es secuencialmente compacto si toda sucesión en X tiene una subsucesión convergente. Ejemplo Por la proposición todo espacio topológico compacto y N 1 es secuencialmente compacto. En particular, todo espacio métrico compacto es secuencialmente compacto. Corolario Todo espacio métrico compacto es completo. Demostración. La afirmación se sigue inmediatamente de la proposición y el ejemplo Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico N 2 y secuencialmente compacto. Entonces X es compacto. Demostración. Probaremos que si X es N 2 y no es compacto, entonces no es secuencialmente compacto. Sea U un cubrimiento abierto de X. Como X es N 2, es de Lindelöf por el teorema , y existe un subcubrimiento numerable {U n } n N de U. Como X no es compacto, existe Sea n 1 N tal que x 1 U n1, y sea Como X no es compacto, existe Sean n 2 tal que x 2 U n2 y x 1 X \ U 1. n 1 A 1 = U i. i=1 x 2 X \ A 1. n 2 A 2 = U i. i=1 Obsérvese que, entonces, n 2 > n 1. En general, dados n 1, n 2, n k tales que n j n j 1 < n j, A j := U i, x j U nj \ A j 1 (9.2.2) i=1 para 2 j k, sean x k+1 X \ A k y n k+1 N tal que x k+1 U nk+1. (Obsérvese que esto implica que n k+1 > n k ). Se construyen así, por recurrencia, sucesiones {x j }, {n j } y {A j } que verifican (9.2.2) para todo j 2. Veamos ahora que la sucesión {x j } no tiene subsucesiones convergentes. Dado x X, sea m N tal que x U m, y sea k 0 N tal que n k0 1 m < n k0. Entonces U m es un entorno de x tal que x k U m si k > k 0. Por lo tanto {x n } no tiene subsucesiones que converjan a x. Esto concluye la demostración, ya que el argumento vale para todo punto x X.

108 9.2. COMPACIDAD SECUENCIAL Y PROPIEDAD DE BOLZANO-WEIERSTRASS 105 Corolario Un espacio topológico N 2 es compacto si y sólo si es secuencialmente compacto. Demostración. La afirmación resulta de la observación y de las proposiciones y Definición Un espacio topológico (X, τ) tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass si todo subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulación (en X). Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico N 1 y T 1, y {x n } n N una sucesión en X. Si x X es un punto de acumulación del conjunto {x n : n N}, entonces {x n } tiene una subsucesión que converge a x. Demostración. Si x es un punto de acumulación del conjunto {x n : n N}, también es un punto de acumulación del conjunto {x n : n N} \ {x}. Por lo tanto, podemos suponer que x n x para todo n N. Sea {V k } k N una base decreciente de entornos de x. Como x x 1, existe k 1 > 1 tal que x 1 V k1. (9.2.3) Sean k 0 = n 0 = 1. Como x es un punto de acumulación de {x n }, existe n 1 N, Obsérvese que, por (9.2.3) y (9.2.4), n 1 > 1 = n 0. En general, dados k 1,, k l y n 1,, n l tales que x n1 V k1. (9.2.4) k j 1 < k j, n j 1 < n j y x nj V kj (9.2.5) para todo j = 1, l, sean k l+1 tal que para todo n n l se tiene que x n V kl+1, lo cual implica que k l+1 > k l, y n l+1 tal que x nl+1 V kl+1, lo cual implica que n l+1 > n l. Se construyen así sucesiones {k j } y {n j } que verifican (9.2.5) para todo j 1. Por lo tanto, {x nj } es una subsucesión de {x n }, y converge a x, porque, dado W N x, si m, k 0 N son tales que V m W y n k0 m, se tiene que para todo k k 0. x nk V nk V nk0 V m W Ejemplo En general, es necesaria la hipótesis de que X sea T 1 en la proposición 9.2.9: la sucesión x n = n para todo n N en Z con la topología par-impar no tiene subsucesiones convergentes, pero cualquier número natural es un punto de acumulación de su imagen. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico.

109 9.2. COMPACIDAD SECUENCIAL Y PROPIEDAD DE BOLZANO-WEIERSTRASS Si X es secuencialmente compacto, entonces X tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass. 2. Si X es N 1, T 1 y tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass, entonces X es secuencialmente compacto. Demostración. 1. Sea A X un conjunto infinito. Por la proposición , A tiene un subconjunto infinito numerable {a n } n N, donde a n a m si n m. Por ser X secuencialmente compacto, {a n } tiene una subsucesión (de rango infinito) que converge a un punto x X. Por lo tanto, x es un punto de acumulación de A. 2. Sea {x n } una sucesión en X. Si el conjunto {x n : n N} es finito, la sucesión {x n } tiene una subsucesión constante y, por lo tanto, convergente. De lo contrario, el conjunto {x n : n N} tiene un punto de acumulación x X y, por la proposición 9.2.9, {x n } tiene una subsucesión que converge a x. Proposición Todo espacio métrico secuencialmente compacto es separable. Demostración. Sea (E, d) un espacio métrico secuencialmente compacto. Para cada n N, sea E n = {A E : d(x, y) 1, para todo par de puntos diferentes x, y A}. n Si E tiene sólo un punto, entonces es separable. De lo contrario, dados x, y E tales que x y, sea n 0 N tal que d(x, y) 1 n 0. Entonces E n para todo n n 0. Consideremos E n, con n n 0, ordenado con la inclusión. Toda cadena {A α } α I E n está acotada por A = α I A α. En efecto, A E n : si x, y A, sean α 1, α 2 tales que x A α1, y A α2. Entonces x, y A α, donde A α = Máx{A α1, A α2 }. Como A α E n, concluimos que d(x, y) 1 n. Sea M n un elemento maximal de E n para n n 0, y sea M = n n 0 M n. Observemos ahora que M n es finito para todo n n 0. De lo contrario, por la proposición , existiría una sucesión {x k } M n tal que x k x l si k l. Pero entonces d(x k, x l ) 1 para todo k, l N, n

110 9.2. COMPACIDAD SECUENCIAL Y PROPIEDAD DE BOLZANO-WEIERSTRASS 107 por lo cual {x k } no tiene subsucesiones convergentes, en contradicción con el hecho de que E es secuencialmente compacto. Por lo tanto, M es numerable. Además, M es denso en E: dados x E \ M y ɛ > 0, sea n 1 n 0 tal que 1 n 1 < ɛ. Como x M n1 y M n1 es un conjunto maximal en E n1, existe y M n tal que d(x, y) < 1 n 1 < ɛ. Hemos probado así que M es denso en E y, por lo tanto, que E es separable. Teorema Sea (E, d) un espacio métrico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. E es compacto. 2. E es secuencialmente compacto. 3. E tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass. Demostración. 1) 2) se probó en el ejemplo ) 1): Por la proposición E es separable si es secuencialmente compacto. Como, además, un espacio métrico separable es N 2 por la proposición , el corolario prueba que X es compacto. 2) 3) resulta de la proposición Corolario Todo espacio métrico compacto es separable. Demostración. La demostración es inmediata a partir de las proposiciones y Proposición Sea {U α } α I un cubrimiento abierto de un espacio métrico compacto (E, d). Entonces existe un número positivo λ tal que, para todo x E, existe α(x) I tal que B λ (x) U α(x). Demostración. Dado x E, existe α(x) tal que x U α(x). Además, como U α(x) es abierto, existe r(x) > 0 tal que B r(x) (x) U α(x). (9.2.6) La familia de bolas {B r(x) (x) : x E} tiene un subcubrimiento finito 2 {B r(x i ) (x i ) : i = 1,, n}. 2 Sea λ := Mín{ r(x i) : i = 1,, n}. Ahora, dado y E, y B r(x i ) 2 Entonces 2 (x i ) para algún i = 1, n. B λ (y) B r(x i ) (y) B r(xi )(x) U α(xi ). 2 Se toma ahora α(y) = α(x i ).

111 9.2. COMPACIDAD SECUENCIAL Y PROPIEDAD DE BOLZANO-WEIERSTRASS 108 Definición El número λ de la proposición es un número de Lebesgue del cubrimiento {U α } α I.

112 Capítulo 10 Topología cociente Definiciones y ejemplos Definición Sean Y un conjunto, {X α } α I una familia de espacios topológicos y f α : X α Y una función para cada α I. La topología final en Y con respecto a {f α } es la familia τ = {A Y : fα 1 (A) es abierto en X α para todo α I}. Observaciones Las siguientes afirmaciones se verifican en forma inmediata: 1. La familia τ es, efectivamente, una topología. 2. τ es la mayor topología en Y para la cual f α es continua para todo α I. 3. Sean Z un espacio topológico y g : Y Z. Entonces g es continua si y sólo si g f α es continua para todo α I, ya que las dos afirmaciones son verdaderas si y sólo si fα 1 (g 1 (U)) es abierto para todo conjunto abierto U Z y todo α I. Notación Sea una relación de equivalencia en el conjunto X. Recordamos que indicaremos con [x] (o con [x], si esto no da lugar a confusión) la clase de equivalencia de un elemento x X, con X/ el conjunto cociente X/ = {[x] : x X}, y con π (o con π) la proyección en el cociente: π : X X/ π(x) = [x]. Definición Sean X un espacio topológico y una relación de equivalencia en X. La topología cociente en X/ es la topología final con respecto a la proyección π. Observación La proyección π : X X/ es continua con respecto a la topología cociente en X/, por la observación Observación Sea una relación de equivalencia en un espacio topológico (X, τ). La continuidad de π implica que X/ es conexo (compacto) si X lo es. 109

113 10.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 110 Proposición Sean X e Y espacios topológicos y una relación de equivalencia en X. Entonces una función es continua si y sólo si f π lo es. f : X/ Y Demostración. La afirmación es consecuencia de la observación Definición Sean una relación de equivalencia en el conjunto X y B X. El saturado de B es el conjunto sat B = π 1 (π(b)). Se dice que B es saturado si B = sat B. Observaciones El saturado de un conjunto B es sat B = {x X : x b para algún b B}. 2. Por ser π sobreyectiva, se tiene que A = π(π 1 (A)) para todo A X/. Proposición Sea una relación de equivalencia en un conjunto X. 1. Un conjunto B X es saturado si y sólo si existe A X/ tal que B = π 1 (A): 2. Un conjunto A X/ es abierto si y sólo si A = π(b), donde B es abierto y saturado. Demostración. 1. Si B es saturado, B = π 1 (A), donde A = π(b). Recíprocamente, si B = π 1 (A), entonces, por la observación , sat B = π 1 (π(b)) = π 1 (π(π 1 (A))) = π 1 (A) = B. 2. Si A es abierto, se tiene que B := π 1 (A) es abierto, y es saturado por la parte 1. Además, π(b) = A por la observación Recíprocamente, si A = π(b) y B es abierto y saturado, entonces π 1 (A) = π 1 (π(b)) = B es abierto. Por lo tanto, A es abierto. Definición Se dice que una relación de equivalencia en un conjunto X es abierta (cerrada) si la proyección π es abierta (cerrada). Observación Se verifica inmediatamente a partir de las definiciones que una relación de equivalencia es abierta si y sólo si el saturado de todo conjunto abierto es abierto, y es cerrada si y sólo si el saturado de todo conjunto cerrado es cerrado.

114 10.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 111 Ejemplos Se considera la relación de equivalencia en R definida por x y si y sólo si x y Z. Dado un conjunto A R, sat A = k Z A + k, que es abierto por la observación Concluimos así que es abierta. No es cerrada, en cambio: si F = {n + 1 n : n N}, se verifica fácilmente que F es cerrado, mientras que no lo es. sat F = {m + 1 n : n N, m Z} 2. Se considera en [0, 1] la relación de equivalencia definida como en el ejemplo anterior. Esta relación no es abierta ya que sat ([0, 1 2 )) = [0, 1 2 ) {1}, que no es abierto en [0, 1]. Sí es cerrada, porque { F, si 0 F y 1 F sat F = F {0, 1}, en otro caso. 3. La relación de equivalencia en R definida por x y si y sólo si x = y o x Z e y Z es cerrada y no es abierta, porque { F, si F Z = sat F = F Z, en otro caso. Veamos ahora que el espacio cociente R/ no verifica el primer axioma de numerabilidad. Supóngase que {V n } es una familia de entornos abiertos de π(0) en R/. Entonces π 1 (V n ) es abierto en R y contiene a Z. Para cada entero n, sea a n π 1 (V n )\Z tal que n < a n < n+1, y sea B = {a n : n Z} c. Entonces B es abierto y saturado, porque Z B. En consecuencia, π(b) es un entorno abierto de π(0), por , pero, para todo n, V n π(b), porque π(a n ) V n y π(a n ) π(b). 4. (Cocientes de espacios normados por subespacios cerrados) Sea Y un subespacio vectorial cerrado de un espacio normado X. El espacio vectorial cociente X/Y es el espacio cociente X/, donde x 1 x 2 si y sólo si x 1 x 2 Y.

115 10.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 112 Por lo tanto, la clase de equivalencia de un vector x X es [x] = x + Y = {x + y : y Y }. La estructura de espacio vectorial en X/ está definida por (x + Y ) + (z + Y ) = (x + z) + Y y λ (x + Y ) = (λ x) + Y, para todo escalar λ y x, z X. Veremos a continuación que la topología cociente en X/Y proviene de la norma x + Y = ínf{ x + y : y Y }. (10.1.1) Comenzamos por verificar que (10.1.1) define una norma en X/Y. Es claro que x + Y 0 para todo x X. Supongamos que x + Y = 0. Para cada n N podemos elegir y n Y tal que x + y n < 1 n. Por lo tanto, la sucesión { y n } n N Y converge a x. Como Y es cerrado, concluimos que x Y y, en consecuencia, x + Y = 0 + Y = 0 X/Y. Por otro lado, si λ es un escalar y x X, λ(x + Y ) = λx + Y = ínf{ λx + y : y Y } = ínf{ λx + λy : y Y } = λ ínf{ x + y : y Y } = λ x + Y. Probamos ahora la desigualdad triangular: dados x 1 y x 2 X y ɛ > 0, sean y 1, y 2 Y tales que Entonces x i + y i < x i + Y + ɛ 2 x 1 + x 2 + Y x 1 + x 2 + (y 1 + y 2 ) x 1 + y 1 + x 2 + y 2 para i = 1, 2. < x 1 + Y + x 2 + Y + ɛ. (10.1.2) Como (10.1.2) vale para todo ɛ > 0, se tiene que x 1 + x 2 + Y x 1 + Y + x 2 + Y. Veamos ahora que induce la topología cociente. Observemos por un lado que la proyección en el cociente es continua. π : X (X/Y, )

116 10.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 113 Efectivamente, se tiene que π (x) π (z) = ínf{ x z + y : y Y } x z para todo x, z X. Resulta entonces de la observación que todo conjunto abierto con la norma es abierto en la topología cociente. Sea ahora A X/Y un conjunto abierto en la topología cociente. Sólo falta probar que también es abierto con la norma. En efecto, si a + Y A, como π 1 (A) es abierto y contiene a a, existe δ > 0 tal que B δ (a) π 1 (A). Probaremos a continuación que B X/Y δ (a + Y ) A, lo cual concluirá la demostración. Sea x + Y B X/Y δ (a + Y ). Entonces existe y 0 Y tal que Por lo tanto, es decir, como queríamos probar. x a + y 0 < δ. x + y 0 B δ (a) π 1 (A), x + Y = x + y 0 + Y = π(x + y 0 ) A, Proposición (Propiedad universal del cociente) Sean X e Y espacios topológicos, una relación de equivalencia en X, y f : X Y una función continua tal que f(x) = f(y) si x y. Entonces existe una única función f tal que el diagrama X f Y π X/ f conmuta. Además, f es continua. Demostración. La única forma posible de definir f de manera de que el diagrama conmute es por f([x] ) = f(x), y la condición f(x) = f(y) si x y permite definir f así. La continuidad es consecuencia directa de la proposición Definición La esfera S n es el conjunto n+1 S n = {x R n+1 : x = 1}, donde (x 1,, x n+1 ) 2 = x i 2. i=1

117 10.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 114 Observación La esfera S 1 es homeomorfa al espacio cociente [0, 1]/, donde es la relación de equivalencia en [0, 1] definida en En efecto, la función φ : [0, 1] S 1 dada por φ(t) = e 2πit define, como en la proposición , una función continua φ : [0, 1]/ S 1. Claramente, φ es biyectiva. Por el corolario , φ es un homeomorfismo, ya que S 1 es de Hausdorff y [0, 1]/ es compacto, por la observación Ejemplo El toro n-dimensional T n es el espacio cociente cociente R n /, donde (x 1,, x n ) (y 1,, y n ) si y sólo si x i y i Z para todo i = 1,, n. Observación El toro T n es compacto para todo n 1, porque es la imagen de [0, 1] n por la proyección en el cociente. Observación El toro T n es homeomorfo a (S 1 ) n, porque la función φ : R n (S 1 ) n dada por φ(x 1, x 2,, x n ) = (e 2πix 1, e 2πix 2,, e 2πixn ) define, por la propiedad universal del cociente (proposición ), una función continua φ : T n (S 1 ) n. Es claro que φ es biyectiva. Además, su dominio es compacto, por la observación , y su imagen es de Hausdorff. Por el corolario , φ es un homeomorfismo. Definición Sea una relación de equivalencia en un conjunto X. El grafo de es el conjunto G = {(x, y) X X : x y}. Proposición Sea una relación de equivalencia en un espacio topológico (X, τ). 1. G X X es cerrado si X/ es de Hausdorff. 2. X/ es de Hausdorff si G es cerrado en X X y π es abierta. Demostración. 1. Sea (x, y) G. Entonces π(x) π(y) y, por lo tanto, existen abiertos disjuntos U y V en X/ tales que π(x) U y π(y) V. Entonces π 1 (U) π 1 (V ) es abierto en X X y contiene a (x, y). Probaremos a continuación que ( π 1 (U) π 1 (V ) ) G =. Si u, v π 1 (U) π 1 (V ), entonces π(u) U y π(v) V, por lo cual π(u) π(v), es decir, (u, v) G.

118 10.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS Sean x e y en X tales que π(x) π(y). Entonces (x, y) G y, por lo tanto, existen abiertos A y B en X tales que (x, y) A B y (A B) G =. Se tiene que π(a) y π(b) son abiertos por ser π abierta. Además, π(x) π(a) y π(y) π(b). Solamente falta probar que π(a) y π(b) son disjuntos. En efecto, si g π(a) y h π(b), sean a A y b B tales que g = π(a) y h = π(b). Entonces (a, b) A B G c. Por lo tanto, g = π(a) π(b) = h. Definición Dado un número natural n 1, el espacio proyectivo real P R n es el espacio cociente ( R n+1 \ {0} ) /, donde x y si y sólo si existe λ R tal que x = λy. Observación P R n es conexo por la observación Además, es compacto, porque P R n = π (S n ). Proposición P R n es homeomorfo a S n / s, donde x s y si y sólo si x = ±y. Demostración. Sea φ : R n+1 \ {0} S n dada por φ(x) = x x. El diagrama conmutativo R n+1 \ {0} π P R P R n φ ψ:=π s φ ψ S n π s S n / s define una función ψ continua, invertible y con dominio compacto. Alcanza, entonces, con probar que S n / s es de Hausdorff. Esto es consecuencia de que S n y s están en las hipótesis de Por un lado, el grafo G s es cerrado: si (x, y) G s, entonces x ±y y existen abiertos disjuntos U 0 y V 0 en S n tales que x U 0 e y V 0 y abiertos disjuntos U 1 y V 1 tales que x U 1 e y V 1. Entonces (x, y) ( U 1 U 0 ) (V 1 V 0 ) G c s, porque, dado (u, v) ( U 1 U 0 ) (V 1 V 0 ), si u = v, entonces u U 0 V 0 y si u = v, entonces u U 1 V 1, contradiciendo lo anterior. Además, π s es abierta en virtud de las observaciones y , porque sat s (B) = B B.

119 Bibliografía [ADQ] R. Ayala, E. Domínguez y A. Quintero. Elementos de la topología general Addison-Wesley (1997). [DD] Dotti, I.G.; Druetta, M.J. Topología, Publicaciones FAMAF, Universidad Nacional de Córdoba, Serie C, 2/1992. [Ha] Halmos, Paul, Naive Set Theory Springer (1974) [Li] Lima, E.L. Espaços Métricos Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq (1977) [Ke] Kelley, J.L.General Topology Van Nostrand (1955). [Ru] Runde, V. A Taste of Topology Springer (2005). 116

120 Lista de símbolos Å Interior Ā Clausura B ɛ (x) Bola abierta B r (x) Bola cerrada C Conjunto de Cantor C([a, b]) Espacio de funciones complejas continuas en [a, b] C b (X, E) Espacio de funciones continuas y acotadas C R ([a, b]) Espacio de funciones reales continuas en [a, b] C x Componente conexa CC x Componente conexa por caminos d sup Distancia del supremo A Frontera Ê Completación E/ Espacio cociente F(S, T) Espacio de funciones F b (S, E) Espacio de funciones acotadas G Grafo de una relación de equivalencia l 1 Espacio de sucesiones complejas sumables l 1 R Espacio de sucesiones reales sumables l 2 Espacio de sucesiones complejas de cuadrado sumable l 2 R Espacio de sucesiones reales de cuadrado sumable l Espacio de sucesiones complejas acotadas l R Espacio de sucesiones reales acotadas N x Familia de entornos de un punto π Proyección en el cociente P(A) Conjunto potencia P F (A) Conjunto de partes finitas PR n Espacio proyectivo real R Conjunto de sucesiones de ceros e infinitos unos sat B Saturado S n Esfera n-dimensional T n Toro n-dimensional [x] Clase de equivalencia sup Norma del supremo c Conexión cc Conexión por caminos

121 Índice alfabético axioma de elección, 5 axiomas de separación, 33 de numerabilidad, 35 primer axioma, 43 segundo axioma, 39 base de entornos, 42 de una topología, 37 local, 42 bola abierta, 20 cerrada, 23 cadena, 3 camino, 76 cardinal, 6 clase de equivalencia, 4 clausura, 30 cociente espacio, 4 codominio, 1 completación, 85 completitud, 81 componente conexa, 74 conexa por caminos, 77 composición, 2 conexión, 69 local, 75 por caminos, 75 conjunto abierto en un espacio métrico, 21 en un espacio topológico, 27 acotado, 26 cerrado en un espacio métrico, 23 en un espacio topológico, 31 convexo, 72 de Cantor, 59 de partes, 3 de partes finitas, 12 denso, 35 dirigido, 46 finito, 9 infinito, 9 infinito numerable, 9 numerable, 9 nunca denso, 93 potencia, 3 saturado, 109 conjuntos con el mismo cardinal, 5 coordinables, 5 equipotentes, 5 continuidad, 52 uniforme, 56 contracción, 89 convergencia de una red, 47 de una sucesión, 45 uniforme, 51 cota inferior, 3 superior, 3 cubrimiento abierto, 41 curva, 76 descomposición binaria, 13 desigualdad triangular, 17, 18 diámetro, 26 distancia, 17 acotada, 26 de la convergencia uniforme, 51 del supremo, 51 equivalente, 24 relativa, 17 dominio, 1 elemento maximal, 3 minimal, 3 118

122 Índice alfabético 119 entorno, 29 equivalencia relación de, 108 esfera, 112 espacio N 1, 43 N 2, 39 T 0, 33 T 1, 34 T 2, 34 compacto, 96 completo, 81 conexo, 69 conexo por caminos, 77 de Hausdorff, 34 de Lindelöf, 41 de primera categoría, 93 discreto, 18 localmente conexo, 75 localmente conexo por caminos, 78 métrico, 17 magro, 93 secuencialmente compacto, 103 separable, 36 topológico, 27 espacio proyectivo real, 114 espacios homeomorfos, 57 isométricos, 56 frontera, 31 función, 1 inversa, 2 abierta, 58 acotada, 51 biyectiva, 2 cerrada, 58 continua, 52 invertible, 2 inyectiva, 2 sobreyectiva, 2 uniformemente continua, 56 grafo de una relación de equivalencia, 113 homeomorfismo, 57 imagen, 1 infimo, 3 inmersión isométrica, 56 interior, 30 intervalo, 72 isometría, 56 lema de Zorn, 4 de Alexander, 99 leyes de De Morgan, 1 máximo, 3 métrica, 17 discreta, 18 equivalente, 24 relativa, 17 mínimo, 3 número de Lebesgue, 107 norma, 18 del supremo, 19 orden parcial, 3 total, 3 PIF, 97 preimagen, 2 producto cartesiano, 1, 5 propiedad de Bolzano-Weierstrass, 104 de intersección finita, 97 métrica, 82 topológica, 82 proyección, 5 en el cociente, 4 punto aislado, 30 de acumulación, 30 de aglomeración, 49 fijo, 89 interior, 30 puntos conectados, 74 conectados por caminos, 76 conectados por curvas, 76 rango, 1 red, 47 acotada, 80 relación de equivalencia, 4 abierta, 109 cerrada, 109 saturado de un conjunto, 109 subbase, 38 subcubrimiento abierto, 41 subred, 49 sucesión de Cauchy, 80 supremo, 3 teorema de Baire, 91

123 de Bolzano, 71 de Cantor, 8 de Cantor-Bernstein, 8 de cerrados encajados de Cantor, 91 de Heine-Borel, 97 de Lindelöf, 41 de Tijonov, 101 topología, 27 cociente, 108 de la convergencia puntual, 50 de los complementos finitos, 28 de los complementos numerables, 28 del cero, 28 discreta, 27 final, 108 generada, 38 indiscreta, 27 inducida por una métrica, 27 inicial, 65 más fina, 39 mayor, 39 menor, 39 metrizable, 27 par-impar, 29 producto, 65 relativa, 28 toro, 113 Índice alfabético 120