Tema 3: Conjuntos y Funciones

Transcripción

1 Tema 3: Conjuntos y Funciones Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Lógica y Computabilidad Curso LC, Conjuntos y Funciones 3.1

2 Conjuntos Escribimos x C para expresar que x es un elemento de C. Además, x C expresa que x NO es un elemento de C. Dada una propiedad Θ, denotamos por {t : Θ(t)} al conjunto formado por aquellos elementos que verifican la propiedad Θ. El conjunto vacío de denota por. Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, es decir, si Para todo x, x A x B Por tanto, dada una propiedad, Θ, si A = {x : Θ(x)} entonces, para todo x, x A Θ(x) LC, Conjuntos y Funciones 3.2

3 Subconjuntos A es un subconjunto de B, y lo expresamos, A B, si todo elemento de A es elemento de B, es decir, En consecuencia, Para todo x, x A = x B A = B A B y B A Así, podemos probar que dos conjuntos A y B son iguales por doble inclusión, es decir, probando que A B y B A. LC, Conjuntos y Funciones 3.3

4 Operaciones con conjuntos Unión: A B = {x : x A ó x B} Intersección: A B = {x : x A y x B} Diferencia: A B = {x : x A y x / B} Complementario: Fijado un conjunto C, para cada A C el complementario de A (en C) se define como A = C A = {x C : x / A} Conjunto Potencia: Dado un conjunto A, el conjunto potencia de A (o conjunto de las partes de A) es P(A) = {C : C A} LC, Conjuntos y Funciones 3.4

5 Producto cartesiano Producto cartesiano: A B = {(u, v) : u A y v B}, donde (u, v) denota al par ordenado formado por u y v. La propiedad característica de los pares ordenados es (a, b) = (c, d) a = c y b = d En general, para cada n 3, podemos considerar n-tuplas, (a 1, a 2,..., a n ), cuya propiedad característica es: (a 1,..., a n ) = (b 1,..., b n ) a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b n A 1... A n = {(x 1,..., x n ) : x 1 A 1... x n A n }. Si A 1 =... = A n = A, escribiremos A n = A A (n... A. Además, la n tupla (x 1,..., x n ) se denotará por x. LC, Conjuntos y Funciones 3.5

6 Funciones Una función f es un conjunto de pares ordenados, tal que (a, b) f y (a, c) f = b = c El dominio de una función f es el conjunto: El rango de f es el conjunto: dom(f ) = {x : y ((x, y) f )} rang(f ) = {y : x ((x, y) f )} Si f es una función, para cada a dom(f ) existe un único b rang(f ) tal que (a, b) f. Por ello usaremos la notación habitual, f (a) = b para expresar que (a, b) f. Ejemplo: Sea A un conjunto. La función identidad de A es la función Id A : A A, dada por Id A (x) = x. LC, Conjuntos y Funciones 3.6

7 Igualdad entre funciones Notación: Escribiremos f (x) para expresar que x dom(f ) y utilizaremos la notación f (x) para expresar que x / dom(f ). (En este último caso se dice que f no está definida en x). Si f y g son funciones, entonces f = g si y sólo si tienen los mismos elementos (pares ordenados). Por tanto, f = g dom(f ) = dom(g) y para todo x dom(f ), f (x) = g(x) Para todo x, f (x) g(x) y f (x) = g(x) LC, Conjuntos y Funciones 3.7

8 Tipos de funciones Sean A y B dos conjuntos y f una función. f es una aplicación de A en B (o función total de A en B) y escribiremos f : A B, si dom(f ) = A y rang(f ) B f es una función parcial de A en B, f : A B, si Una función f : A B es: dom(f ) A y rang(f ) B inyectiva si para todo x1, x 2 dom(f ), f (x 1 ) = f (x 2 ) = x 1 = x 2 sobreyectiva (o suprayectiva o exhaustiva) si rang(f ) = B, es decir, y B x A(f (x) = y) biyectiva si es total, inyectiva y sobreyectiva. LC, Conjuntos y Funciones 3.8

9 Composición de funciones Sean f : A B y g : B C. Se define la composición de f y g como la función (parcial) h : A C dada por h = {(x, y) A C : Existe z B tal que f (x) = z y g(z) = y} Gráficamente, Notación: h = g f. f g A B C x f (x) g(f (x)) (= h(x)) LC, Conjuntos y Funciones 3.9

10 Función inversa Dada una función f decimos que una función g es la inversa de f si, para todo x y todo y se tiene, f (x) = y g(y) = x Si existe, la inversa de f es única y se denota por f 1. Sea f una función. Entonces, f tiene inversa f es inyectiva. Proposición: Sea f : A B una aplicación. Entonces, 1. f 1 es aplicación de B en A f es biyectiva (en cuyo caso, f 1 también será biyectiva) 2. Si f es biyectiva, f f 1 = Id B y f 1 f = Id A. Si, además, A = B entonces, f f 1 = f 1 f LC, Conjuntos y Funciones 3.10

11 Conjuntos numerables Definición: Un conjunto A es numerable si existe una aplicación biyectiva de N en A. Si un conjunto, A, es numerable, entonces los elementos de A pueden ordenarse en una lista infinita sin repeticiones: a 0, a 1,..., a n,... N 2 es numerable. Para probarlo, basta demostrar que la siguiente función J : N 2 N es biyectiva: J(x, y) = (x + y)(x + y + 1) 2 + x En general, para cada k 2, el conjunto N k es numerable. El conjunto de los números racionales Q es numerable. LC, Conjuntos y Funciones 3.11

12 Conjuntos no numerables No todo conjunto infinito es numerable. Ejemplos: El conjunto de los números reales, R. El intervalo [0, 1) R. P(N). Estos resultados fueron probados por G. Cantor utilizando la misma idea básica: El método diagonal de Cantor. LC, Conjuntos y Funciones 3.12

13 Predicados y conjuntos Definición: (n 1) Un predicado n ario sobre A es una aplicación θ : A n {0, 1}. Dado (x 1,..., x n ) A n, si θ(x 1,..., x n ) = 1 diremos que el predicado θ se verifica (o que es cierto) para (x 1,..., x n ). Escribiremos θ( x) en vez de θ( x) = 1. Si θ(x 1,..., x n ) = 0 diremos que el predicado no se verifica (o que es falso) para (x 1,..., x n ). Podemos identificar un predicado n ario sobre A, θ : A n {0, 1}, con un subconjunto de A n : S θ = { x A n : θ( x) = 1} Los predicados nos permiten identificar con funciones los subconjuntos de A y, en general, las relaciones entre elementos de A. LC, Conjuntos y Funciones 3.13

14 Función característica Definición: Sea B A n. Llamaremos función característica del subconjunto B, al predicado C B definido sobre A n como sigue: { 1 si x B C B ( x) = 0 si x / B La función característica de B A n, nos permite identificar el conjunto B con un predicado (precisamente, C B ). Si θ es un predicado n ario sobre A y B = S θ entonces C B = θ. LC, Conjuntos y Funciones 3.14

15 Operaciones con predicados Definición: Dados los predicados θ y θ, definimos los predicados θ, θ θ, θ θ, θ θ y θ θ, así: ( θ)( x) θ( x) = 1 θ( x). (θ θ )( x) θ( x) θ ( x) = max(θ( x), θ ( x)) (θ θ )( x) θ( x) θ ( x) = min(θ( x), θ ( x)). θ θ = ( θ) θ. θ θ = (θ θ ) (θ θ). Estas operaciones reflejan las operaciones entre conjuntos del siguiente modo. Sean θ 1 y θ 2 predicados n arios sobre A n. Entonces Sθ1 θ 2 = S θ1 S θ2. S θ1 θ 2 = S θ1 S θ2. S θ1 = A n S θ1. LC, Conjuntos y Funciones 3.15

16 Cuantificación acotada Sea θ(x 1,..., x n, y) un predicado (n + 1) ario sobre N. El predicado obtenido a partir de θ por cuantificación existencial acotada es el predicado (n + 1) ario sobre N que denotaremos por ( z) y θ y se define mediante: { 1 si existe z0 y tal que θ( x, z ( z) y θ( x, z) = 0 ). 0 en caso contrario El predicado obtenido a partir de θ por cuantificación universal acotada es el predicado (n + 1) ario sobre N que denotaremos por ( z) y θ y se define mediante: { 1 si para todo z0 y se tiene θ( x, z ( z) y θ( x, z) = 0 ). 0 en caso contrario ( z) y θ( x, z) = θ( x, 0) θ( x, 1)... θ( x, y) ( z) y θ( x, z) = θ( x, 0) θ( x, 1)... θ( x, y) LC, Conjuntos y Funciones 3.16

17 Cuantificación no acotada Sea θ(x 1,..., x n, y) un predicado (n + 1) ario sobre N. El predicado obtenido a partir de θ por cuantificación existencial es el predicado n ario sobre N que denotaremos por ( z) θ y se define mediante: { 1 si existe z0 tal que θ( x, z ( z) θ( x, z) = 0 ). 0 en caso contrario. El predicado obtenido a partir de θ por cuantificación universal es el predicado n ario sobre N que denotaremos por ( z) θ y se define mediante: { 1 si para todo z0 se tiene θ( x, z ( z) θ( x, z) = 0 ). 0 en caso contrario. LC, Conjuntos y Funciones 3.17

18 El principio de minimización Expresión sobre predicados. Sea θ un predicado 1 ario sobre N. Si x θ(x) entonces m (θ(m) y < m θ(y)) Notación: indicaremos que m es mínimo escribiendo: m = µx(θ(x)) Expresión conjuntista. Sea A N. Si A entonces m (m A y < m(y / A)) Notación: indicaremos que m es el mínimo escribiendo: m = min(a) Ejercicio: Probar utilizando este principio que: Todo número natural n 2 es divisible por un número primo. LC, Conjuntos y Funciones 3.18

19 El principio de Inducción Inducción débil. Teorema: Si θ es un predicado sobre N tal que: 1. Caso base: θ(0), y 2. Paso inductivo: n(θ(n) θ(n + 1)) Entonces, n θ(n). Ejercicio: Probar utilizando este principio que: n i = i=0 n(n + 1) 2 n (2i + 1) = (n + 1) 2 i=0 LC, Conjuntos y Funciones 3.19

20 El Principio de Inducción (II) Inducción fuerte Teorema: Si θ es un predicado sobre N tal que: 1. Caso base: θ(0), y 2. Paso inductivo: n([ p n θ(p)] θ(n + 1)). Entonces, n φ(n). Ejercicio: Probar utilizando este principio que: Todo número natural n 2 puede descomponerse en un producto de números primos. LC, Conjuntos y Funciones 3.20